专题06函数的性质(2)(原卷版+解析)

专题06函数的性质（2）题型一函数的对称性函数的对称性要注意一下三点：（1）关于轴对称（当时，恰好就是偶函数）（2）关于轴对称（3）是偶函数，则，进而可得到：关于轴对称。最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，主要体现在以下几点：（1）可利用对称性求得某些点的函数值（2）在作图时可作出一侧图像，再利用对称性得到另一半图像（3）极值点关于对称轴（对称中心）对称（4）在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同例1、（2021·山东菏泽市·高三期末）已知函数对任意的都有，若的图象关于直线对称，且，则______．变式1、（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，则（）A．函数是周期函数 B．函数的图象关于点对称C．函数为上的偶函数 D．函数为上的单调函数变式2、（2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知是定义在上的奇函数，且的图像关于直线对称.若当时，，则（）A．0 B．1 C．2 D．4变式3、（2021·山东青岛市·高三二模）已知定义在上的函数的图象连续不断，有下列四个命题：甲：是奇函数；乙：的图象关于直线对称；丙：在区间上单调递减；丁：函数的周期为2.如果只有一个假命题，则该命题是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁变式4、（2018年徐州模拟）已知，方程在内有且只有一个，则在区间内根的个数为题型二单调性与奇偶性的结合例2、【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设函数，则f(x)A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减变式1、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则A．（log3）＞（）＞（）B．（log3）＞（）＞（）C．（）＞（）＞（log3）D．（）＞（）＞（log3）变式2、（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，则（）A．函数是周期函数 B．函数的图象关于点对称C．函数为上的偶函数 D．函数为上的单调函数题型三性质的结合例3、（2021·兴宁市第一中学高三期末）已知函数为R上的奇函数，且图象关于点对称，且当时，，则函数在区间上的（）A．最小值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最大值为变式1、（2021·江苏扬州市高三模拟）已知定义在上的奇函数在上单调递减，且满足，则关于的不等式的解集为（）A． B．C． D．变式2、（福建省泉州市2021届高三联考）在平面直角坐标系中，如图放置的边长为的正方形沿轴滚动（无滑动滚动），点恰好经过坐标原点，设顶点的轨迹方程是，则对函数的判断正确的是()A．函数是奇函数 B．对任意的，都有C．函数的值域为 D．函数在区间上单调递增变式3、（2020·湖北荆州市·高三月考）对于定义在R上的函数，下列命题中正确的有（）A．若为奇函数，则B．若，当时，恒有成立，则为减函数C．若函数为偶函数，为奇函数.则为周期函数且最小正周期为4D．若函数为奇函数且在上有最大值1，则在上有最小值1、（2021·山东济南市·高三二模）已知函数，则下列说法正确的是（）A．为奇函数 B．为减函数C．有且只有一个零点 D．的值域为2、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知定义在上的函数满足，且图像关于对称，当时，，则________.3、（江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研）设函数，则不等式的解集为_____________.4、（湖北省宜昌市2020-2021学年高三联考）已知函数，则（）A．的最小正周期是B．的图像可由函数的图像向左平移个单位而得到C．是的一条对称轴D．的一个对称中心是5、（湖南省衡阳市2020-2021学年高三模拟）已知函数，则下列结论中，正确的有（）A．是的最小正周期B．在上单调递增C．的图象的对称轴为直线D．的值域为6、（2021·天津高三三模）已知为定义在上的偶函数，当时，有，且时；，给出下列命题：①；②函数在定义域上是周期为2的周期函数；③直线与函数的图象有1个交点；④函数的值域为，其中正确命题有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个专题06函数的性质（2）题型一函数的对称性函数的对称性要注意一下三点：（1）关于轴对称（当时，恰好就是偶函数）（2）关于轴对称（3）是偶函数，则，进而可得到：关于轴对称。最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，主要体现在以下几点：（1）可利用对称性求得某些点的函数值（2）在作图时可作出一侧图像，再利用对称性得到另一半图像（3）极值点关于对称轴（对称中心）对称（4）在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同例1、（2021·山东菏泽市·高三期末）已知函数对任意的都有，若的图象关于直线对称，且，则______．【答案】3【解析】因为的图象关于直线对称，所以的图象关于轴对称，所以为偶函数，令则，所以，又，则,所以周期为6，所以,故答案为：3变式1、（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，则（）A．函数是周期函数 B．函数的图象关于点对称C．函数为上的偶函数 D．函数为上的单调函数【答案】ABC【解析】因为，所以，即，故A正确；因为函数为奇函数，所以函数图像关于原点成中心对称，所以B正确；又函数为奇函数，所以，根据，令代有，所以，令代有，即函数为上的偶函数，C正确；因为函数为奇函数，所以，又函数为上的偶函数，，所以函数不单调，D不正确.故选：ABC.变式2、（2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知是定义在上的奇函数，且的图像关于直线对称.若当时，，则（）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】C【解析】是定义在上的奇函数，的图像关于直线对称，，，是周期为的周期函数，.故选:C.变式3、（2021·山东青岛市·高三二模）已知定义在上的函数的图象连续不断，有下列四个命题：甲：是奇函数；乙：的图象关于直线对称；丙：在区间上单调递减；丁：函数的周期为2.如果只有一个假命题，则该命题是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【解析】由连续函数的特征知：由于区间的宽度为2，所以在区间上单调递减与函数的周期为2相互矛盾，即丙、丁中有一个为假命题；若甲、乙成立，即，，则，所以，即函数的周期为4，即丁为假命题.由于只有一个假命题，则可得该命题是丁，故选：D.变式4、（2018年徐州模拟）已知，方程在内有且只有一个，则在区间内根的个数为【答案】2018【解析】，可得关于轴对称，因为在内有且只有一个零点，所以由对称性可得在只有两个零点。所以一个周期中含有两个零点，区间共包含1009个周期，所以有2018个零点变式5、（2019年宿迁中学模拟）已知定义在上的函数满足：，当时，，则______________【答案】-【解析】：由可得：关于中心对称，由可得：关于轴对称，所以可求出的周期，则题型二单调性与奇偶性的结合例2、【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设函数，则f(x)A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减【答案】D【解析】由得定义域为，关于坐标原点对称，又，为定义域上的奇函数，可排除AC；当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，排除B；当时，，在上单调递减，在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.故选：D．本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.变式1、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则A．（log3）＞（）＞（）B．（log3）＞（）＞（）C．（）＞（）＞（log3）D．（）＞（）＞（log3）【答案】C【解析】是定义域为的偶函数，．，又在(0，+∞)上单调递减，∴，即.故选C．变式2、（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，则（）A．函数是周期函数 B．函数的图象关于点对称C．函数为上的偶函数 D．函数为上的单调函数【答案】ABC【解析】因为，所以，即，故A正确；因为函数为奇函数，所以函数图像关于原点成中心对称，所以B正确；又函数为奇函数，所以，根据，令代有，所以，令代有，即函数为上的偶函数，C正确；因为函数为奇函数，所以，又函数为上的偶函数，，所以函数不单调，D不正确.故选：ABC.题型三性质的结合例3、（2021·兴宁市第一中学高三期末）已知函数为R上的奇函数，且图象关于点对称，且当时，，则函数在区间上的（）A．最小值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最大值为【答案】B【解析】时，，且是减函数，∵是奇函数，∴在上是减函数且又，∴在上是减函数．由的图象关于点对称得，又是奇函数，，∴，，即，∴是周期函数，周期为4．∴且，∴，∴．在上递减，则在上递减，，而，∴在上的最小值是．故选：B．变式1、（2021·江苏扬州市高三模拟）已知定义在上的奇函数在上单调递减，且满足，则关于的不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意，函数定义在上的奇函数，在单调减，所以在单调减，且若函数，当时，，，此时无解；当时，，可得，，此时无解；当时，，可得，此时成立；当时，可得，，所以，所以当时，满足不等式，令，可得函数的定义域为，且，所以函数奇函数，所以当时，满足不等式成立，综上可得，不等式的解集为.故选：B.变式2、（福建省泉州市2021届高三联考）在平面直角坐标系中，如图放置的边长为的正方形沿轴滚动（无滑动滚动），点恰好经过坐标原点，设顶点的轨迹方程是，则对函数的判断正确的是()A．函数是奇函数 B．对任意的，都有C．函数的值域为 D．函数在区间上单调递增【答案】BCD【解析】由题意，当时，顶点的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆；当时，顶点的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆；当时，顶点的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆；当，顶点的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆，与的形状相同，因此函数在恰好为一个周期的图像；所以函数的周期是；其图像如下：A选项，由图像及题意可得，该函数为偶函数，故A错；B选项，因为函数的周期为，所以，因此；故B正确；C选项，由图像可得，该函数的值域为；故C正确；D选项，因为该函数是以为周期的函数，因此函数在区间的图像与在区间图像形状相同，因此，单调递增；故D正确；故选：BCD.变式3、（2020·湖北荆州市·高三月考）对于定义在R上的函数，下列命题中正确的有（）A．若为奇函数，则B．若，当时，恒有成立，则为减函数C．若函数为偶函数，为奇函数.则为周期函数且最小正周期为4D．若函数为奇函数且在上有最大值1，则在上有最小值【答案】BD【解析】对于A，为定义在R上奇函数，则，错误；对于B，，当时，恒有成立，则有时，，或者时，，则为减函数，正确；对于C，为奇函数，所以，，由函数为偶函数，，则为周期函数且最小正周期为8，错误；对于D，函数为奇函数且在上有最大值1，根据奇函数的图象关于原点对称，则在上有最小值，正确.故选：BD.1、（2021·山东济南市·高三二模）已知函数，则下列说法正确的是（）A．为奇函数 B．为减函数C．有且只有一个零点 D．的值域为【答案】AC【解析】,,,故为奇函数，又，在R上单调递增，，，，，，即函数值域为令，即，解得，故函数有且只有一个零点0.综上可知，AC正确，BD错误.故选：AC2、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知定义在上的函数满足，且图像关于对称，当时，，则________.【答案】-2【解析】因为图像关于对称，则，，故是以8为周期的周期函数，故答案为：.3、（江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研）设函数，则不等式的解集为_____________.【答案】【解析】因为,所以,所以函数为奇函数,因为(当且仅当时,等号成立)所以函数为上的递增函数,所以不等式可化为,所以根据函数为奇函数可化为,所以根据函数为增函数可化为,可化为,可化为,解得:,所以不等式的解集为:.故答案为4、（湖北省宜昌市2020-2021学年高三联考）已知函数，则（）A．的最小正周期是B．的图像可由函数的图像向左平移个单位而得到C．是的一条对称轴D．的一个对称中心是【答案】AB【解析】，A.函数的最小正周期，故A正确；B.根据图象的平移变换规律，可知函数的图像向左平移个单位而得到，故B正确；C.当时，，不是函数的对称轴，故C不正确；D.当时，，此时函数值是2，故函数的一个对称中心应是，故D不正确.故选：AB5、（湖南省衡阳市2020-2021学年高三模拟）已知函数，则下列结论中，正确的有（）A．是的最小正周期B．在上单调递增C．的图象的对称轴为直线D．的值域为【答案】BD【解析】由，知函数为偶函数，又，知是的周期，当时，，画出的图象如图所示：由图知，的最小正周期是，A错误