高考高中数学-不等式归纳总结例题详解

［全］高考高中数学•不等式归纳总结例题详解

-:不等式的基本性质

①（对称性）a>bob>a；

②（传递性）a>/）力,>c：

③（可加性）a>/，oa+c>/7+c：

（同向可加性）a=>〃+c>〃+〃；

（异向可减性）a>0,cv〃=>a-c>b-d；

④（可积性）a>〃,c>（）=>ac>be：

a>b,c<0=>（ic<be：

⑤（同向正数可乘性）a〉〃>0・c>〃>0=>aobd；

（异向正数可除性）〃>/，>（）,Ove<4=>q>彳；

⑥（乘方法则）a>〃>0=>a”>bn（neN,WJI>1）：

⑦（开方法则）。>b>0=>%>幅（〃£N,且〃>1）：

⑧（倒数法则）4>/?>0=>—<1；。</?<（）=>—>—

abah

二：几个重要的不等式

①〃+〃22皿4,（当且仅当。=。时取"="

号）・

2,r2

变形公式：

②（基本不等式）年之日（&beR）（当且仅当

a=/?时取到等号）.

I—（a+b\

变形公式：a+b>2yjab；ab<-----.

I2J

用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要

注意满足三个条件“一正、二定、三相等

③（三个正数的算术一几何平均不等式）

〃+/7+，

>^ahc(a.bfCGR)

3

（当且仅当a=〃=。时取到等号）；

@a24-/?2+c2>ab+be+ca（cbbeR）

（当且仅当a=〃=c•时取到等号）；

⑤rJ+/>3abe{a>（）,/?>（）,c>0）

（当且仅当a=/，=c,时取到等号）；

©若ab〉0,则2+且22（当仅当a=b时取等号）；

ab

若ah<0,则2+—2（当仅当e。时取等号）：

ab

bb+mia

⑦一<-----<1<-------<-,

a。+加/?+〃h

其中（a>〃>（）,机>（）,〃>0）；

规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.

⑧当。>W},\x\>a<=>x2>a2<=>x<-a或v>a：

2

国vau>fva<z>一。<xv4

⑨绝对值三角不等式：同一同4\a土耳业|+\b\.

基本不等式是解决函数值域、最值、不等式证明、参数范围问题的有效

工具，在高考中经常考查，有时也会对其单独考查.题目难度为中等偏

上.应用时，要注意〃拆、拼、凑〃等技巧，特别要注意应用条件，只

有具备公式应用的三个条件时，才可应用，否则可能会导致结果错误。

总结：知识网络

基本不等式成立的条件a>0,b>0

基本不等

式：等号成立的条件

当且仅当a=b

疝q

2时取等号.

a2-b'之2ab(a,bwR).

一十7N2(a,b同号).以上不等式等

几个重要ab

号成立的条件

的不等式

J(dbsR)均为。=/?.

—；—之(a,bwR)

2I2J

设a>0./>0,则。，方的算术平均数为

算术平均

—,几何平均数为J茄，基本不等式可

数与几何2

叙述为两个正数的算术平均数不小于它们

平均数

的几何平均数.

如果积孙是定值P，那么当且仅当x-y时，

利用基本

入・+>有最小值2",（简记：积定和最小）

不等式求

如果x+y是定值P，那么当且仅当x=y

最值问题

时，xy有最大值上.（简记：和定积最大）

4

题型练习

例1.（教材改编）设x>0,y>0,且x+y=18,则处

的最大值为（）

A.80B.77C.81D.82

【解析】x>0,>->0,

.•・山2店，即町,”审）2=81，

2

当且仅当x=y=9时，外取得最大值81.

故选C.

【答案】C

例2.a>0,h>()9ab—(a+b)=I,则a+b的最小

值是.

【解析】根据基本关系式帅式(—Y,

I2)

所以原式转化为不等式(巴叱1_(〃+3>|,

设〃+Z?=r,所以『一4］一4之。，

解得壮2+2应，

所以最小值是2+2&.

【答案】2+2近

【小结】首先利用基本不等式一定要注意“一正、二定、

三相等”,其次用基本不等式解决一些简单的最值问题

如第二题，出现。/"(。+))=1,求。+b的最值就保

留4+力，对他运用基本不等式，类似的也可求决?的

最值.

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例3.己知x,1y为正数，且x+y=2,则±+2■的最小

xy

值为（）

A.2B.A+72

C.5/2D.2-V2

【解析】211z、/21、

+—=_（x+v）・（一+一）

Xv2xv

=—（3+——+-）之一（3+2^2）=—F

2xy22

当且仅当x+y=2且红二±（x>0,y>0）,

xy

即x=4—20,），=20-2时取等号.故选B.

例4.（2014•重庆高考文9）若log4（3〃+4。）=log,4cib,

则的最小值是（）

A.6+26B.7+2J5

C.6+4>/5D.7+45/3

【解析】由题意，且3。+4〃>0,

所以〃>0点>0.

又Iog4(3a+4b)=log24ab,

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所以3a+4〃=”/，，所