用二阶导数判断极值 教案-湘教版数学选修2-2

用二阶导数判断极值教案-湘教版数学选修2-2学校授课教师课时授课班级授课地点教具设计意图核心素养目标1.通过运用二阶导数判断函数极值的过程，培养逻辑推理能力和数学抽象思维。

2.能够在实际问题中发现并运用导数工具，提升应用意识和创新意识。

3.通过分析函数变化趋势，发展学生的直观想象力和数据分析能力。重点难点及解决办法重点：理解二阶导数与函数极值之间的关系，掌握利用二阶导数判断函数极值的方法。

难点：正确应用二阶导数判定定理，区分极大值和极小值的情况，以及在复杂函数中寻找驻点。

解决办法：

1.通过实例讲解，引导学生观察二阶导数符号变化与函数极值的关系，强化直观感知。

2.设计练习题，让学生在实际操作中熟悉二阶导数的应用，巩固判断极值的方法。

3.对于复杂函数，指导学生采用图像分析法和代数法相结合，逐步寻找驻点，并判断极值类型。

4.通过小组讨论和课堂问答，及时发现并解决学生在理解和应用上的困惑，提高解决问题的能力。教学资源1.硬件资源：多媒体教室、计算机

2.软件资源：数学软件（如GeoGebra）、PPT演示文稿

3.课程平台：校园网络教学平台

4.信息化资源：在线数学教育资源库

5.教学手段：板书、互动讨论、小组合作教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

-发布预习任务：通过校园网络教学平台发布预习资料，包括本节课相关的概念讲解PPT和二阶导数判断极值的示例视频。

-设计预习问题：设计如“二阶导数为正、为负、为零时，函数图像分别有何特征？”等思考题，引导学生思考。

-监控预习进度：通过平台统计数据监控学生的预习完成情况。

学生活动：

-自主阅读预习资料：学生观看视频和PPT，理解二阶导数的概念及其与极值的关系。

-思考预习问题：学生思考预习问题，尝试用自己的语言总结二阶导数与极值的关系。

-提交预习成果：学生将预习笔记和问题提交至平台。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：鼓励学生自主探索，培养独立思考能力。

-信息技术手段：利用教学平台实现资源的共享和进度的监控。

2.课中强化技能

教师活动：

-导入新课：通过讲解一个函数极值在实际问题中的应用案例，引出本节课的主题。

-讲解知识点：详细讲解二阶导数判断极值的方法，并通过例题演示。

-组织课堂活动：设计小组讨论，让学生讨论如何应用二阶导数判断极值。

-解答疑问：对学生提出的问题进行解答，确保学生对知识点的理解。

学生活动：

-听讲并思考：学生认真听讲，对老师讲解的例题进行分析。

-参与课堂活动：学生在小组讨论中积极发言，交流判断极值的方法。

-提问与讨论：学生在讨论中对不确定的地方提出疑问，与同学和老师交流。

教学方法/手段/资源：

-讲授法：通过讲解和例题展示，帮助学生理解二阶导数判断极值的原理。

-实践活动法：通过小组讨论，让学生在实践中运用所学知识。

-合作学习法：通过小组合作，培养学生的团队协作能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

-布置作业：布置相关的练习题，让学生独立完成，巩固二阶导数判断极值的方法。

-提供拓展资源：提供一些拓展阅读材料，如相关数学论文或在线课程，供学生深入学习。

-反馈作业情况：及时批改作业，对学生的作业进行反馈。

学生活动：

-完成作业：学生独立完成作业，巩固所学知识。

-拓展学习：学生利用提供的资源进行深入学习，拓宽知识面。

-反思总结：学生总结学习过程中的收获和不足，提出改进措施。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：鼓励学生自主完成作业和拓展学习，提高自主学习能力。

-反思总结法：引导学生反思学习过程，提升学习效果。拓展与延伸1.提供与本节课内容相关的拓展阅读材料：

-《高等数学导论》中关于导数和极值的深入讨论。

-《数学分析》中二阶导数在函数图像分析中的应用。

-《微积分学导论》中关于极值判定定理的详细证明。

2.鼓励学生进行课后自主学习和探究：

-探索二阶导数与函数拐点的关系，分析拐点附近的函数行为。

-研究不同类型函数（如多项式函数、指数函数、三角函数）的极值点特征。

-利用数学软件绘制函数图像，观察二阶导数为正、负、零时函数图像的变化。

-分析实际问题中的极值问题，如物理学中的最短路径、经济学中的成本最小化等。

-阅读相关数学论文，了解二阶导数在更高数学领域（如微分几何、最优控制理论）的应用。

-探索二阶导数在工程问题中的应用，如机械设计中的优化问题。

-分析二阶导数在不同学科（如生物学、化学、心理学）中的角色和意义。

-通过网络资源学习其他数学家的极值判定方法，对比分析其优缺点。

-参与在线数学论坛，讨论二阶导数相关的数学问题和实际应用案例。

-定期回顾和总结学习内容，构建自己的数学知识体系。教学评价与反馈1.课堂表现：

-观察学生在课堂上的参与度，是否能够积极回答问题，对二阶导数判断极值的方法有清晰的理解。

-记录学生在课堂练习中的表现，是否能正确应用二阶导数判定定理，找出函数的极值点。

-评估学生对函数图像变化的理解程度，是否能够通过二阶导数的符号变化预测函数的极值类型。

2.小组讨论成果展示：

-检查小组讨论的成果，评估学生对二阶导数判断极值方法的掌握程度。

-观察学生在讨论中的协作情况，是否能够有效地交流想法，共同解决问题。

-通过小组代表汇报，了解学生对讨论内容的理解和应用能力。

3.随堂测试：

-设计随堂测试，测试学生对二阶导数判断极值知识点的掌握情况。

-测试内容应包括基础概念题、计算题和应用题，全面考察学生的理解和应用能力。

-分析测试结果，找出学生在学习中的薄弱环节，为后续教学提供指导。

4.课后作业反馈：

-收集并批改学生的课后作业，评估学生对课堂内容的巩固情况。

-分析作业中的错误类型，判断是知识点理解不深还是应用不当。

-对作业中的优秀解答进行展示，鼓励学生互相学习。

5.教师评价与反馈：

-针对学生的学习表现，给予个性化的评价和反馈，强调学生的进步和需要改进的地方。

-对学生在课堂讨论和随堂测试中的亮点进行表扬，增强学生的自信心。

-对学生作业中的不足进行具体指导，提出改进建议，帮助学生提升解题技巧。

-定期与学生进行一对一交流，了解他们在学习过程中的困惑和需求，提供针对性的帮助。

-根据评价结果调整教学策略，确保教学内容的针对性和有效性，提高教学质量。内容逻辑关系1.二阶导数与极值的关系

①重点知识点：二阶导数的定义，二阶导数与函数极值的关系。

②重点词汇：二阶导数、极值点、驻点、拐点。

③重点句子：二阶导数大于0，函数在驻点处取得极小值；二阶导数小于0，函数在驻点处取得极大值；二阶导数等于0，可能是极值点也可能是拐点。

2.极值的判定方法

①重点知识点：二阶导数判定定理，极值的判定步骤。

②重点词汇：判定定理、单调性、极值类型。

③重点句子：通过计算二阶导数在驻点处的值，结合二阶导数判定定理，可以判断函数在该点是否取得极值及其类型。

3.实际应用

①重点知识点：二阶导数在实际问题中的应用，如物理、经济等领域。

②重点词汇：最优化、实际应用、模型构建。

③重点句子：二阶导数不仅用于理论分析，还能在实际问题中寻找最优点，解决实际问题。教学反思与总结教学反思：

这节课我尝试了多种教学方法来帮助学生理解二阶导数与极值的关系。我通过引入实际问题来激发学生的兴趣，让他们看到数学知识的实际应用价值。在课堂讲解中，我尽量用简洁明了的语言，结合具体的例题，让学生能够直观地理解二阶导数的概念及其在判断极值中的作用。同时，我也设计了小组讨论环节，希望通过学生之间的合作交流，加深对知识点的理解。

在教学策略上，我意识到每个学生的学习进度和理解能力都有所不同，因此我尽量在课堂上提供多层次的教学活动，以满足不同学生的学习需求。然而，我也发现了一些不足之处。例如，在小组讨论环节，有些学生可能因为害羞或不自信而没有积极参与，这可能会导致他们对知识点的理解不够深入。另外，我在课堂管理方面还有待提高，有时候对学生的引导不够及时，导致课堂气氛不够活跃。

在教学管理方面，我发现及时反馈对学生非常重要。在批改作业和随堂测试后，我及时与学生交流，指出他们的错误并提供改进的建议。这种方式有助于学生及时纠正错误，加深对知识点的理解。但同时，我也意识到需要更多地关注那些在课堂上表现不够积极的学生，找到合适的方法激发他们的学习兴趣。

教学总结：

总体来说，本节课的教学效果是积极的。学生们在二阶导数与极值的关系方面有了明显的进步，他们能够理解并应用二阶导数判定定理来解决问题。在小组讨论中，我也看到了学生们之间的合作和交流，这对他们的沟通能力和团队协作能力的提升是非常有帮助的。

在知识、技能、情感态度等方面，学生们也有了显著的收获。他们不仅掌握了二阶导数的相关知识，而且在解决实际问题时表现出了更高的兴趣和积极性。同时，学生们对数学的态度也更加积极，他们开始意识到数学在生活中的重要性。

针对教学中存在的问题和不足，我计划在未来的教学中采取以下改进措施：

-为那些在小组讨论中不够积极参与的学生提供更多的小组合作机会，鼓励他们表达自己的想法。

-在课堂上更加注重与学生的互动，提问更多开放式问题，让学生主动思考和回答。

-提供更多的实际案例，让学生能够将理论知识与实际应用结合起来，增强他们的实践能力。

-加强课堂管理，确保每个学生都能在课堂上集中注意力，积极参与学习活动。典型例题讲解例题1：

已知函数\(f(x)=x^3-6x^2+9x+1\)，求函数的极值点。

解答：

首先求一阶导数\(f'(x)=3x^2-12x+9\)，令\(f'(x)=0\)解得\(x=1\)或\(x=3\)。

然后求二阶导数\(f''(x)=6x-12\)，代入\(x=1\)和\(x=3\)得\(f''(1)=-6\)和\(f''(3)=6\)。

由于\(f''(1)<0\)，所以\(x=1\)是函数的极大值点；由于\(f''(3)>0\)，所以\(x=3\)是函数的极小值点。

例题2：

已知函数\(f(x)=e^x-2x^2\)，求函数的极值点。

解答：

首先求一阶导数\(f'(x)=e^x-4x\)，令\(f'(x)=0\)解得\(x=\ln(4)\)。

然后求二阶导数\(f''(x)=e^x-4\)，代入\(x=\ln(4)\)得\(f''(\ln(4))=4-4=0\)。

由于\(f''(\ln(4))=0\)，无法直接判断\(x=\ln(4)\)是极大值点还是极小值点，需要进一步分析函数图像或计算函数值。

例题3：

已知函数\(f(x)=\sin(x)\)，求函数的极值点。

解答：

首先求一阶导数\(f'(x)=\cos(x)\)，令\(f'(x)=0\)解得\(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\)（\(k\)为整数）。

然后求二阶导数\(f''(x)=-\sin(x)\)，代入\(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\)得\(f''(\frac{\pi}{2}+k\pi)=-1\)。

由于\(f''(\frac{\pi}{2}+k\pi)<0\)，所以\(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\)是函数的极大值点。

例题4：

已知函数\(f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1\)，求函数的极值点。

解答：

首先求一阶导数\(f'(x)=4x^3-12x^2+12x-4\)，令\(f'(x)=0\)解得\(x=1\)或\(x=2\)或\(x=0\)。

然后求二阶导数\(f''(x)=12x^2-24x+12\)，代入\(x=1\)和\(x=2\)得\(f''(1)=0\)和\(f''(2)=12\)。

由于\(f''(1)=0\)，无法直接判断\(x=1\)是极大值点还是极小值点，需要进一步分析函数图像或计算函数值。

例题5：

已知函数\(f(x)=x^3-3x+1\)，求函数