高中数学《第四章 数列》章节复习、单元检测试卷易错题

高中数学选择性必修二《第四章数列》章节复习

一.知识系统整合

1.知识网络

_数列与函

数的关系-I表示方法卜

数列的

与工的关系|

有关概念-4

「1项数1—

T分类1-

U帆楸1-

-1定义1-

「

数一数

列T等垄数列11通项公式卜列

T前〃项和公式的

1---应

用

-1性质1—_

T定义卜-

h等比数列卜T通项公式1

-1前〃项和公式1—

-|1»|------

2.知识梳理

等差数列等比数列

如果一个数列从第2项起，每一项与如果一个数列从第2项起，每一项

它的前一项的差等于同一个常数，那与它的前一项的比等于同一常数，

定义么这个数列就叫做等差数列，这个常那么这个数列叫做等比数列，这个

数叫做等差数列的公差，公差通常用

常数叫做等比数列的公比，公比通

字母d表示.

常用字母Q表示(q#0).

S±L=q

递推公式3n+l-3-n=d

an

由三个数a,A,b组成的等差数列可

如果a、G、b成等比数列，那么G

以看成最简单的等差数列.这时A叫做

中项叫做a与b的等比中项，且G=±

a与b的等差中项，并且4ab

2

n-I

通项公式an=ai+(n—l)dan=aiq

$_〃(4+a)

前n项和公2q#］时，3^2=

式_,n(n+l)1-4

=nai+-----------d

2

—~~,q=l时，Sn=nai

i-q

心，的%—^n-n

an—a«=(m—n)d-----q

关系%

m,n,sf

tGN*,da£Ui=aa

m+n=s+t

{kJ是等差数

性质{4“}是等差数列{4」是等比数列

歹！1,且

=

S2k-i(2k—2k-\

n=2k-l,a®....a续T=ak

1),Ok

ki,k2>k3(ki,

akf,ak2,akj成

a,%,。八成等比数列

k3,匕£M)成等ki

等差数列

差数列

a«+i—a”是同一常也是同一常数

利用定义

数an

2

利用中项3n+3n+2=2dn+1&an+2=

a«=pn+q,其中

利用通项公式an=abn(a^O,bWO)

判断方法P、q为常数

2n

利用前n项和公Sn=an+bn(a,S„=A(q-l),其中AHO,qKO且

式b为常数)qrl或Sn=np(p为非零常数)

二.规律方法收藏

(1)在求等差数列和等比数列的通项公式时，分别用到了累加法和累乘法；

(2)在求等差数列和等比数列的前n项和时，分别用到了倒序相加和错位相减.

(3)等差数列和等比数列各自都涉及5个量，已知其中任意三个求其余两个，用到了方程思

想.

(4)在研究等差数列和等比数列单调性，等差数列前n项和最值问题时，都用到了函数思

想.

(5)等差数列和等比数列在很多地方是相似的，发现和记忆相关结论时用到了类比.

三.学科思想培优

一、数学抽象

数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养.主要表现

为：获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法和思想，认识数学结构与

体系.在本章中，主要表现在构造新数列，及数列的函数性质中.

【典例1】“春雨惊春清谷天，夏满芒夏署相连，秋处露秋寒霜降，冬霜雪冬小大寒”，

这首二十四节气歌，记录了中国古代劳动人民在田间耕作长期经验的积累和智慧.“二十四

节气”已经被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录,我国古代天文学和数

学著作《周牌算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的卷长损益相同（■是按照日

影测定时刻的仪器，唇长即为所测量影子的长度）二十四节气及辱长变化如图所示，相邻两

个节气唇长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的号长为一丈三尺五寸，夏至的

展长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则唇长为七尺五寸时，对应的节气为

（）

A.春分、秋分B.雨水、处暑C.立春、立秋D.立冬、立夏

【答案】A

【解析】设从夏至开始到冬至，各节气的辱长分别为%,生，。3,…，

则夏至时暮长为《=15（寸）,冬至时暮长为=135（寸）,

因为每个节气号长损益相同，则｛4｝为等差数列，设公差为d,

所以《3=4+12d=15+12d=135,

解得d=10,

所以4=15+(〃-l)xl0=10〃+5,

由4t=75,得〃=7,

即唇长七尺五寸对应的节气为从夏至开始的第七个节气，即秋分;

设从冬至开始到夏至，每个节气的孱长为外，

则2=135+（〃-1）（一10）=-10〃+145,

由么二75,得〃=7,

即暮长七尺五寸对应的节气是从冬至开始的第七个节气，即春分.

所以唇长为七尺五寸时，对应的节气为春分和秋分.故选：A.

【典例2】1975年，考古工作者在湖南省云梦县睡虎地秦墓出土了大量记载秦法律令的竹

简，其中包括徭律一条.徭律是秦代关于徭役的法律，其中规定：服徭戍迟到处以申斥和

宽罚.失期二日到五日,停：六日到旬，黄一盾：过旬,资一甲.意思、是:退到2天以内

算正常，不处罚；迟到3〜5天，口头批评；迟到6~10日，罚一面盾牌；迟到10天以

上，罚一副甲胄.若有一队服徭役的农民从甲地出发前往乙地，甲、乙两地相距900里，

第一天行60里，以后每天都比前一天少行2里，要求18天内到达，则该队服徭役的农民

最可能受到的惩罚是（）.

A.无惩罚B.律C.赞一盾D.宽一甲

【答案】C

【解析】由题意知，每日行走的路程成等差数列，记为｛%｝，

因为首项为60,公差为-2,所以q=-2〃+62.

设从甲地到乙地用左天，则‘02—6%1=900,

2

即22—612+900=0,解得女=25或攵=36（舍），

即从甲地出发前往乙地所用的时间为25天，

因为要求18天到达，所以迟到了7天，

又因为迟到6〜10日，罚一面盾牌，故应费一盾.故选：C.

［典例3］已知数列｛4｝满足册+，〃金N’.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（2）设或二啦壬数列也｝的前n项和S”，求证：Sn<\.

a”

4

【答案】（1）^=Vn-Vn+T（/iGN）;（2）证明见解析.

（解析】（1）由y/nan+i=>Jn+2an,得"""=’〃工」,

an八

.4〃_>/3>/4>/5\fnJ.+1\[n,J.+1

••qa2%7了,正忑…G—2G—i——五一，

•:%=五,・,.可=而5/〃+l（〃wN”）.

,/口.yjn+\-y[nyjn-\-\-y/n11

（2）由（1）得包=二-------=iI=-r—7=>

an+1\Jn+1

；£=瓦+儿+…+几=土%味-木+…七-意=”』,

当TISN*时，・・・丁^>。，・・・S.vl,即证.

二、数学运算

数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养，主要表现

为：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果.在本章中，主要表现

在求等差、等比数列的特定项，公差（公比），前n项和，项数的运算中.

【典例4】在等比数列｛《,｝中，有％每=8的，数列帆｝是等差数列，且4=%，则

4十%等于（）

A.4B.8C.16D.24

【答案】C

【解析】•・•｛〃”｝是等比数列，・・・8〃9=。34,=〃；，4工0,所以。9=8,即

bq=佝=8,

・・・｛2）是等差数列,所以1+%=沟=16.

故选：C.

S\s

【典例5】设等比数列｛叫的前〃项和为s”，若谭=彳，则富=（）

1123

A.-B.-C.-D.一

2334

【答案】D

【解析】•・•｛/｝是等比数列，「.Ss,Sio-Ss，S|5-S|o也称等比数列，

51

10设Ss=2k、Sio=k,

%乙

k弘

则SLS5=-2,.•.九一九二，则九=?，

乙2

3k

.&_五_3.故选：D.

,,55-2A:-4

【典例6】设等差数列｛%｝的前n项和为S“，公差4>0且则S“取得最小值

时，n的值为（）

A.3B.4C.3或4D.4或5

【答案】C

【解析】由国=*,可得（4+%）（4—％）=0,

因为d>0,所以6-%工0,

所以％+%=0,所以2a4=0=>%=0.

因为d>0,所以｛q｝是递增数列，所以4V4〈生<4=0<%<4<…，

显然前3项和或前4项和最小.故选：C

53

【典例7】在数列中，4=1,a2=2,对V〃eN,，%+2=]4+1-5，则

02021=（）

（、2）197^x2020za\2021

B.21-1C.2（-1D.2--1

【答案】C

【解析】由4+2=|q33

5%得%+2一%+1=5（4出一外）

3

二•数列｛凡+1一。〃｝是以外-4=1为首项，彳为公比的等比数列,

a

4=(#(〃£*)

,当〃N2时，an=(an-an_x)+(aH_｛-4_2)+…+(/—/)+(出一%)+4

n-2、〃一30

闫飞）+,.・I+1

J1-1

3+，

2

2仁XW-1

-1

2)

3

经检验，〃=1时成立.「.4=2（5）1—1

..%021-1,故选：C.

【典例8]已知数列｛q｝的前n项和为S”,q=:，对任意的〃tN*都有

2

f=5+2)%,则S202L()

201920202021n1010

AA.-----B.-----C.D.----

2020202120221011

【答案】c

【解析】数列｛。〃｝满足4=：,

对任意的nGN*都有〃=（〃+2）为+],

则有〃(〃+1)/=5+1)(〃+2)%_1,可得数列｛〃5+1)4｝为常数列,

有〃(〃+l)4“=2q,得+得%=.(〃+i)

11

又由%=罚=7«+1

所以％=「；+；-卜••12021

-----=1故选：C

20212022-----20222022

【典例9】【多选】已知数列｛4｝的前〃项和为Sn=33〃-〃2,则下列说法正确的是

()

A.4=34-2〃B.儿为S”的最小值

C・同+同+…+同=272D.同+同+…+%|=450

【答案】AC

【解析】4=E=33-1=32,

22

an=Sn-5„_,=33n-n-33(/1-1)+(n-1)=34-2/?(/?>2),

对于〃=1也成立，

所以凡=34-2〃，故A正确；

当〃<17时，4>0,当n=17时an=O,当〃>17时，an<0,

・•.S”只有最大值，没有最小值，故B错误；

2

因为当〃<17时，>0,闻H------i-|a16|=SI6=33xl6-16=17x16=272,

故C正确：

同+同+-,+|/|=56+(-47-49--------60)

2

=2516-530=2X272-(33X30-30)

=544-90=454,故D错误.故选：AC.

三、逻辑推理

逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养，主要表现为：掌握

推理基本形式和规则，发现问题和提出问题，探索和表述论证过程，理解命题体系，有逻

辑地表达与交流.本章主要表现求数列的通项公式，在等差，等比数列判定、数列求和及

数列开放题运用等方面.

【典例10】【多选】已知数列｛〃〃｝的前〃项和S”满足S〃+1+S“=4(〃+1)2,下列说法正

确的是()

A.若首项4=1,则数列｛〃”｝的奇数项成等差数列

B.若首项4=1,则数列｛4｝的偶数项成等差数列

C.若首项4=1,则$5=477

D.若首项4=〃，若对任意〃EN*，见＜。的恒成立，则。的取值范围是(3,5)

【答案】BCD

(解析】由S»|+S〃=4(〃+1)2①得S〃+S〃T=4*(〃22)②，

①一②可得4+1+q=4(〃+1)2-4/=8〃+4=4(2〃+1)(〃22)③，

所以=4(2〃-④,

③一④可得=8(n＞3),

因此数列｛4｝从第三项开始，奇数项成等差，偶数项也成等差；

若％=1,即则$2十S]—4(1十1)2,即勺I2%=16,所以叼=14；

由S3+02=4(2+1)2得%+2S2=36,则6=6；

由5+53=4(3+1)2得/+253=64,则%=22；

所以〃3-4=5工8,a4-a2=8,

因此数列｛4｝的奇数项不成等差数列，偶数项成等差数列，即A错，B正确；

止匕时S]5=4+(%+织+…+415)+(4+〃4+…+〃14)

7x(7-l)/IF7x(7-l)/I

=1+la.+——----x8+7a＞+——-----x8=477,即C正确；

2J2

因为43MsM7,…，。2"+1成公差为8的等差数列，。2，。4，。8,…，。2"也成公差为8的等差数

列；

为使对任意〃£N*，an＜〃“+[恒成立，

只需“＜生＜%＜。4，

若q=〃，由Sz+S=4(1+1)2=16,则。2=16-2a；由S3+S2=4(2+1『=36,可

得％=36-2s2=4+2。；由S4+S3=4(3+17=64得。4二的一2§3=24-2。

所以。＜16—2。＜4+2。V24—2。，解得3＜。＜5,即D正确.故选：BCD.

3

【典例11】在①S〃=w/-如+15£N*，&为常数），②47=a〃+d5wN*,d为常

数），③〃用=94（4>O/£N’,夕为常数）这三个条件中任选一个，补充到下面问题中,

若问题中的数列存在，求数列一^|（〃的前10项和；若问题中的数列不存在,

l^A+iJ

说明理由.

问题：是否存在数列｛q｝（〃£M）,其前〃项和为S“，且％=1,6=4,?

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】答案见解析

[a.=S.,

【解析】如果选择①，由《二。

[a3=S3-S29

1=3-火+1

即|4

27

4=——3k-3+2k

4

,3

k=—

解得，4

k=--

4

该方程组无解,

所以该数列不存在.

如果选择②6用=%eN\d为常数），即数列｛4｝为等差数列,

由。[=1,。3=4,可得公差4=乌——

22

―11121111115

4%%%4。%31/a2a2a3a10%J8

如果选择③〃"产qan（q>0,nwN*,q为常数），即数列｛q｝为等比数歹ij,

由4=1,%=4,可得公比q=〃=2,

111/c、

所以-----+------=-(n>2]t

凡％%凡4

11112，1、

所以数列〈-----卜是首项为：，公比为一的等比数列，所以其前10项和为彳1-加.

H

^A+J24314J

【典例12】设数列｛4｝,｛2｝是公比不相等的两个等比数列，数列｛%｝满足

%=%+2，〃wN二

(1)若%=2",2=3",是否存在常数3使得数列｛。田一总〃｝为等比数列?若存在，求

女的值；若不存在，说明理由；

(2)证明：｛qj不是等比数列.

【答案】(1)存在,&=2或攵=3：(2)证明见解析.

【解析】(1)由题意知，若数列｛。同一品〃｝为等比数列，

则有(c»「Sj=(c”+2-kC")(q「S-),其中〃N2且"N"

将g=2〃+3"代入上式，得

[2)+3rt+,-k(2n+3")]2=[2*2+3*2-2(2"+i+3,,+,)]•〔2”+3“一%"7+)],

即[(2-Q2"+(3-⑥3〃了=[(2-攵)27+(3-左)3>[•[(2-k)T-'+(3-Ar)3n-,],

整理得」(2-2)(3-女>2〃­3"=0,解得2=2或k=3.

6

(2)设数列｛约｝,｛〃｝的公比分别为且〃国工0,4口产0,

则q=qp""+丽”'，

为证｛%｝不是等比数列，只需证c；/。・。3，

事实上c；=(%p+ba)?=a；p?+2%apq+b；q2,

qq=3+4)•(qp2+bd)=Wp2+幽(p2+q2)+b；q2,

由于〃工4,故d>2pq，又力曲工0,从而c；wq・C3，

所以｛cj不是等比数列.

【典例13]已知｛〃“｝是等差数列，｛"｝是递增的等比数列且前〃和为S”，

24=伪=2,4+4=10,_________.在①打弓么也成等差数列，②S“=2””+4

（4为常数）这两个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下面问题的解答

（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）.

（1）求数列｛4｝和仇｝的通项公式；

（2）求数列｛4+"｝的前〃项和

2

【答案】条件选择见解析；（1）%=几，b=T；（2）r2M+l-2+—+-.

n”22

【解析】选①解：

（1）设等差数列｛%｝的公差为d,

,:24=2,4+/=1°，.•2々1+8d=10,a[=1,d=T,

an=l+（n-l）xl=n.

（5、

由题意知4=2,2・-by=b2+b4t得54=也+2么，

14z

2

设等比数列也｝的公比为45b,q=2b2+2b2q,即2g2-5q+2=0,

解得4=2,或4二相由数列也｝为递增等比数列可知夕二g不合题意，

所以｛2｝是一个以2为首项，2为公比的等比数列.

.•."=2x21=2”

（2）由（1）知%+a=〃+2”,

.•.7；=（l+2i）+（2+22）+（3+23）+…+（及+2”）,

Tn=（1+2+3+...+〃）+（21+2?+2,+...+2"）,

.+।2（1-2〃）

一”-—2-1-2

选②解:

(1)设等差数列{%}的公差为d,

,.•2q=2,a2+a8=10,/.2a}+8J=10,/.a{-1,d=1,

an=l+(n-l)xl=/?.

令〃=1,则S[=2*+/l,.•.&=5=4+4=2,.\2=-2,

M+,

...Sw=2-2

当〃N2时，bn=S,-Sn_.=(2“T-2)-(2”-2)=2〃

当〃=1时，4=2也满足上式.

a=2〃

(2)由(1)知。“+a=〃+2",

123,,

.-.7；=(1+2)+(2+2)+(3+2)+...+(H+2),

二7；=(1+2+3+…+〃)+()+2?+23+…+2"),

〃(1+〃)巧,“2向-2+^+4

〃21-2,22

四、数学建模

数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问

题的素养，主要表现在：发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解

决问题，在本章主要表现在数列的的实际应用问题中.

【典例14]“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载增最早用数学方法计算出半音

比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依

次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都

等于啦.若第一个单音的频率为f,则第六个单音的频率为()

A.版/B.而fC,狂于D.旧

【答案】B

【解析】由题意知，十三个单音的频率构成等比数列{4},公比为与伤，

二.第六个单音的频率.炉=0声/.故选：B.

【典例15]某公司自2020年起，每年投入的设备升级资金为500万元，预计自2020年起

80（n-l）,/i<5

11

（2020年为第1年），因为设备升级，第年可新增的盈利%二、0G0（1_06”-5）〃>6

（单位：万元），求：

（1）第几年起，当年新增盈利超过当年设备升级资金；

（2）第几年起，累计新增盈利总额超过累计设备升级资金总额.

【答案】（1）第7年；（2）第12年.

【解析】（1）当"W5时，a,f=80（n-l）>500,解得〃>7.25,即〃28,不成立，

当〃之6时，q=1000（1-0.6〃7）>500,即0.6〃-5Vo.5，0.6”T随着〃的增大而减小，

当〃=6时，0.66-5=0.6v0.5不成立，当〃=7时，OS,、=0.36<0.5成立,

故第7年起，当年新增盈利超过当年设备升级资金；

（2）当〃=5时，累计新增盈利总额

S5=a]+a2+a3+a4+a5=0+80+160+240+320=800<500x5,

可得所求〃超过5,

6QQ（1Q6）

当〃之6时，5=SS+1OOO（??-5）--,>500/7,

整理得〃+3x0.6"-5>11.4，由于3x0.6"T随着n的增大而减小

又当〃=11时，11+3乂0.6"-5<11.4，故不成立,

当〃=12时，12+3x0.635>1].4，故成立，

故从第12年起，累计新增盈利总额超过累计设备升级资金总额.

高中数学选择性必修二《第四章数列》单元检测试卷（一）

注意事项:

本试卷满分150分，考试时间12分钟，试题共22题.答卷前，考生务必用0.5亳米黑色

签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的)

1.已知数列｛为｝的前4项依次为2,6,12,20,则数列｛4｝的通项公式可能是

()

n

A.an=4n-2B.an=2+2(n-l)

2M-1

C.an=n+nD.an=3+2/7-1

【答案】C

【解析】对于A,%=10工12,故A错误.

对于B,q=16+6=22w20,故B错误.

2222

对于C,=I+1=2,=2+2=6,a3=3+3=12,a4=4+4=20,

故C正确.

对于D,《=9+5=14012,故D错误.故选：C.

2.已知｛4｝,｛〃｝均为等差数列，且4+々=1，4+4=3,则%)2O+HO2O=()

A.4043B.4041C.4039D.4037

【答案】C

【解析】数列｛为+或｝是以1为首项，2为公差的等差数列

「•4020+仇020=1+2019x2=4039故选：C.

3.在等比数列｛4｝中，已知/一%=4,%=2,则公比q=()

A.土!B.±2C.D.2

22

【答案】D

a,a4-a,a=42

【解析】由《%，解得夕=2,4=一故选：D

*_%=27

4.中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十二斤绵，赠分八子做盘

缠，次第每人多十六，要将第八数来言”.题意是：把992斤绵分给8个儿子作盘缠，按

照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多16斤绵，那么第8个儿子分到

的绵是（）

A.174斤B.184斤C.180斤D.181斤

【答案】C

【解析】设第8个儿子分到的绵是片,第9-〃个儿子分到的绵是%，则｛4｝构成以外为

首项，-16为公比的等比数列

(-16)=992,解得q=180故选：C

2

5.设S“为等比数列｛%｝的前〃项和，若〃“>0,ax=-t\<2,则等比数列｛凡｝的

公比的取值范围是（）

A.B.4c・qD.

【答案】A

【解析】设等比数列｛4｝的公比为《，

因为凡>0，4=g，S”<2,所以Ovqvl,

<2=]g”-4+4夕<0=g”3+4q<0,因为Ovgvl,

T-q"q

所以有一3+4q<0=—3+4q<，,

因为0<qvl,所以Ovq"vl,

因此要想一3+4q<g"对于〃wN*恒成立，只需一3+49WOnqW二，而Ovqvl,

4

3

所以0<夕工己.故选：A

4

Sn—\

6.设等差数列伍“｝前〃项和为S,,等差数列｛〃』前〃项和为7；,若才=—.则

Tn〃+1

)

A24

B.一

35D-7

【答案】B

Snn-1£9-14

【解析】因为U=F，所以

T“n+\

因为s.是等差数列｛%｝前〃项和，Tn是等差数列｛2｝前〃项和,

所以品=%1抖=%，…弘?=9初

Sq49a544

则不"=£=有：，7~=7»故选：B.

7；59b§b55

7.在等差数列｛4｝中，q=-114=-5.记7；=44…。〃5=1，2,…），则数列｛1｝

（）

A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项

C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项

【答案】C

【解析】依题意可得公差d=4U=£^J=2,

4-13

所以当时，an<0,当〃27时，见之0,

因为7；=-11<0,7；=-llx(-9)=99>0,T；=-llx(-9)x(-7)=-693<0,

7；=-llx(-9)x(-7)x(-5)=3465>0,Ts=3465x(-3)=-10395<0,

7；=-I0395x(-l)=l0395>0,

-T„,…a』

又当〃N6时，(344a5%…，且=ai=2w-11>1»

lna\ai''ann+

即［川NT；,所以当〃之6时，数列｛，,｝单调递增，

所以数列｛4｝无最大项，数列｛1｝有最小项（=-10395.故选：C

8.已知数列｛4｝的前n项和S”=2""-2,若\/〃£>1*,%4«4+S2“恒成立，则实数

力的最大值是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【解析】因为数列｛4｝的前n项却Sn=2向一2,

当〃之2时，册=S-z=（2”“-2）-（2”-2）=2”；

当〃=1时，q=S[=2?-2=2满足上式，

所以。“=2〃（〃wN）,

4+S

又W，eN*，《4+$2”恒成立，所以V〃eN*,—恒成立;

=事=4+2*2二空出口叫工,

“an2〃TT

则%一2=（2"+2+/_＞卜+|+晟）=2向-泉＞0对任意〃£N*，显然都成立,

2

所以"单调递增，

因此（a）min=^.=22+|=5,即士区的最小值为5，

2a〃

所以4W5,即实数；I的最大值是5.故选：C

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，

有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0

分）

9.等差数列｛4｝的公差为d,前〃项和为S“，当首项q和d变化时，4+6+43是一

个定值，则下列各数也为定值的有（）

A.%B./C.5[$D.S]6

【答案】BC

【解析】由等差中项的性质可得的+仆+43=3%为定值，则人为定值，

515="（a；%）=154为定值，但516=16"=8a+%）不是定值.

故选：BC.

10.若数列｛%｝对任意〃N2（〃wN）满足（〃〃一《1-2）伍〃一2〃“_1）=0,下面选项中关

于数列｛4｝的命题正确的是（）

A.｛%｝可以是等差数列B.｛%｝可以是等比数列

C.｛an｝可以既是等差又是等比数列D.｛alt｝可以既不是等差又不是等比数列

【答案】ABD

【解析】因为（%-%-2）（勺-21）=0,

所以见一-2=0或%-2an_=0,

即：。〃-4I=2或/=2%_

①当4HoM小=0时，｛勺｝是等差数列或是等比数列.

②%=0或4-=0时，（％）可以既不是等差又不是等比数列，故选ABD

11.设｛%｝是公比为2的等比数列，下列四个选项中是正确的命题有（）

A.〈，是公比为g的等比数列B.｛%“｝是公比为4的等比数列

C.｛26｝是公比为4的等比数列D.｛《4+J是公比为2的等比数列

【答案】AB

【解析】由于数列｛4｝是公比为2的等比数列，则对任意的〃wN”，。“工0,且公比为

对于A选项，与>=&=，=：,即数列，口-1是公比为!的等比数列，A选项正确;

±《向q?IqJ2

对于B选项，^-=<72=4,跳数列｛的“｝是公比为4的等比数列，B选项正确；

对于C选项，合2。"=4=2,即数列｛%“｝是公比为2的等比数列，C选项错误；

对于D选项，&必乜=4±1=42=4,即数列｛。加向｝是公比为4的等比数列，D选项

错误.故选：AB.

12.设为数列｛〃“｝的前〃项和，若芥（〃wN+）等于一个非零常数，则称数列｛q｝为

”和等比数列”.下列命题正确的是（）.

A.等差数列可能为“和等比数列”

B.等比数列可能为“和等比数列”

C.非等差等比数列不可能为“和等比数列”

D.若正项数列｛〃“｝是公比为4的等比数列，且数列｛In4｝是“和等比数列”，则4=。；

【答案】ABD

【解析】若等差数列的公差为0,则.=眄=2是非零常数，则此数列为“和等比数

S〃na｝

歹『'，A对

若等比数列的公比为1,则称网^=2是非零常数，则此数列为“和等比数列”，B

S”叫

对

若数列｛凡｝满足勺=<八…则黄=1是非零常数，它既不是等差数列又不是等比数

[0,77>2七

列，但它是“和等比数列”，C错

正项数列｛/｝是公比为4的等比数列，・・・凡=囚尸,

w-1

则Inan=ln（4]4"T）=InaA+ln（^）=In4-（w—1）In<7

故数列｛InaJ是首项为In4,公差为In4的等差数列，又数列｛Inq｝是“和等比数

列”，

2n[ln%+In4+(2n-l)lnq\

则—=---------------------------

Sn[\n4+In4+(〃-1)Inq]

2

_2[21nq+(2〃-l)lnq]_2+2n\nq-2+2Ing

21n4+(〃-l)lnq2｝nai-\nq+n\nq2Inq-Ing।

n

又2+21n4-Ing[为非零常数，则21n4-lng=o,即21n4=ln4,即

+In夕n

n

q=a：,D对故选：ABD.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上)

13.已知等比数列｛4｝的前〃项司5”=3向+4,则《+4=.

【答案】3

【解析】2时，a“=S〃—S“T=(3"”+/i)—(3〃+/l)=2x3”，

又4=S1=9+；l,数列｛%｝等比数列，

4二殳,即其=”，解得力=一3.

%a29+218

+4=3.故答案为：3.

14.设数列｛4｝中，4=2,%八=〃“+〃，则通项an=.

【答案】耳(〃2-〃+4)

【解析】因为4+1=。〃+〃，所以%+]-4=〃，

则《一q=1；

生一4=2；

凡一%="1・

各式相加可得4-4=1+2…1=一〃(〃-1),

2

所以二〃〃〃

q3(.1)+4(.1)+2=g(〃2-〃+4),

故答案为：-〃+4).

2

15.数列｛4｝满足：4=；,al+a2+...+an=nan,则数列｛4｝的通项公式

【答案】力

【解析】因为q+。2+…+。”=/•4①;

当〃之2时，4+4+.-+。”马-1)②;

①减②得4=.6-5-1)2.4_1,即(九2Tq=(”1)2%,所以

(刀一1)(刀+1)♦%=(刀一1户4_|，所以("+i)q=(〃T)q_i，所以

a,1a.2a,3

所以丁=5,[="点=不

〃+1

a.a.a.a„123n-\an21

以■•••---=-X-X-X•••X-----------所以丁而可，又展所以

a4=

4a2%n-\345n+l

111

〃,广而而'当〃=1时巴=而可也成立'所以凡=而可

1

故答案为：砺而

16.数列｛%｝的前〃项和为S”，定义血｝的“优值”为兄=4+四+…+2”4,现

n

己知｛4｝的“优值"”〃=2〃，则。”=,S.=.

【答案】n+\二-----L

2

【解析】由题意4+2%+…+2*%"=〃-2",

，〃N2时，4+2a2-----^2"2%_]=(n-1),2"1,

两式相减得：2'1凡=〃-2”-5-1)-2"7=5+1)-21,afl=n+l,

又q=2,满足=n+l,

,an=n+l,

〃(2+〃+l)