数列综合大题105题

数列综合大题105题

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一、解答题

1.已知数列｛xj满足：X1=l,xn=xn+1+ln(l+xn+l)(nGN*)

证明：当neN*时

(I)0<xn+l<xn;

xx

nn+l；

(II)2xnn++1l-xnn<2

(HI)—-TKX<--y

9n-In

2.已知数列｛an｝满足%=0,a2=2,an+2-2an+1+an=2,数列｛bn｝满足%=an+1-

(1)证明｛%｝是等差数列，并求｛a"的通项公式：

(2)设数列｛cn｝满足Q=2,cn+1=aCn+l,记［幻表示不超过x的最大整数，求不等式

［打打…+煮］>上一匕的解集.

3.已知数集/=…,册｝(1=V。2<•••<Q”九>2)具有性质P：对任意的々

(2<fc<n),3G；(l<i<j<几),使得以=%+卬成立.

(I)分别判断数集｛134｝与｛1,236｝是否具有性质P,并说明理由；

(II)求证an<2al+a2+...+an-i(n>2);

(III)若册=72,求数集4中所有元素的和的最小值.

4.已知数列｛。"｝满足的=3,且3a九+i=*一。九+4(九£N*).

(I)使用数学归纳法证明：an>3(ne/V)；

(H)证明：an+1>an(nG/V*)；

(III)设数歹U｛念｝的前〃项和为％,证明：i<Sn<l(n6N*).

5.已知数列｛时｝中,a±=2,a2=4,an+1+2an_1=3an(n>2).

(1)求证：数列｛5+i-aj是等比数列；

(2)求数列｛an｝的通项公式；

(3)设小=an-1,Sn=*+三■+…+丁詈一,若对任意neN*,有无2岁一2m恒成

02。3ftn^n+i3

立，求实数小的取值范围.

6.对于给定的正整数k,若数列｛a｝满足an_k+an_k+1+...an_1+an+1+...an+k_1+

an+k=2kan

对任意正整数k)总成立，则称数列｛4｝是“一心数列”.

(1)证明:等差数列｛a｝是“尸⑶数歹U”;

(2)若数列｛a〃｝既是"⑵数列"，又是“产⑶数列”,证明：｛aj是等差数列.

7.已知数列｛即｝的各项都小于1,欣+1-2即+1=W-即5eN*).

(1)求证：an+1<On(nEN*)；

(2)设数列｛an｝的前n项和为Sn,求证：A/vsnv*

(3)记%=------求证：bnW2V3.

On+1%

8.已知数列｛斯｝满足(1.)(1一J…(1一J=5neN*,Sn是数列｛an｝的前n项

的和.

(1)求数列｛an｝的通项公式；

(2)若ap,30,Sq成等差数列，18,Sq成等比数列，求正整数p,q的值；

(3)是否存在k€N*,使得+16为数列｛即｝中的项?若存在，求出所有满足

条件的k的值；若不存在，请说明理由.

9.己知函数f(x)=In%+m—2)(m6R).

(I)求函数f(x)的单调区间；

(II)若函数/(x)的最小值为T,meN*,数列｛%｝满足儿=1,bn+1=f(bn)+

3(n6N*),记5=［瓦］+［尻］+…+［%］，田表示不超过t的最大整数.证明：

yn

10.己知正项数列｛5｝满足%=2,a=2a--(nEN*).

nn+1an+i

证明：

(I)1<a九+1V

(II)谖+堵++a"1<n+

11.(题文)(江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试数学试题)已知等差

数列｛an｝和等比数列｛b,,｝均不是常数列，若ai=bi=l,且ai,2a2,4a4成等比数列,

4b2,2b3,b4成等差数列.

(1)求｛an｝和｛bn｝的通项公式；

(2)设m,n是正整数,若存在正整数i,j,k(i<j<k),使得ambj,amaManbk成等

试卷第2页，总23页

差数列，求m+n的最小值;

(3)令Cn=受记｛Cn｝的前n项和为Tn,七｝的前n项和为An.若数列｛pn｝满足pl=cl,

且对WnN2,nCN*,都有pn=『+AnCn，设｛pn｝的前n项和为Sn，求证：Sn<4+41nn.

1II(]、

12.已知无穷数列｛4｝的首项q=上，——=—。〃+—,neN”.

2an+l2(an)

(I)证明：

(II)记么匚”吧)7；为数列板｝的前〃项和，证明：对任意正整数〃，

向

T3

小6

13.已知数列｛见｝的前〃项和是S,,且S,+g%=l(〃eN)数列｛%｝是公差△不

3

等于o的等差数列，且满足：久=：%,b2,b5,仇4成等比数列.

⑴求数列｛叫、色｝的通项公式；

(2)设C"=an-bn,求数列｛1｝的前〃项和7；.

14.(本题满分15分)已知数列｛4｝满足％且a“+]=a“-a；(neN*)

(1)证明：(neN*)；

%

(2)设数列｛娼的前〃项和为S“，证明---<^<―-—(ne7V*).

<>2(〃+2)n2(〃+1)

15.若数列｛即｝是公差为2的等差数列，数列｛%｝满足九=1,&=2,且外儿+加=〃儿

(1)求数列｛aj，｛九｝的通项公式；

(2)设数列｛cn｝满足d=产，数列｛金｝的前n项和为及,若不等式(一1)-<〃+W

对一切恒成立，求实数4的取值范围.

16.设4>0,数列｛&J满足的=九即=痴丁，(n>2).

an_i+zn—z

(I)当;I=2时，求证：数列｛言｝为等差数列并求斯；

(II)证明：对于一切正整数n,an<^+1.

17.(14分)(2015•广东)数列｛a„｝满足：ai+2a?+…na0=4-42_,nGN'.

2n-1

(1)求a：,的值；

(2)求数列｛a„｝的前n项和Tn；

(3)令bFa„b,,=」21+(1+1+1+-+1)a„(n22),证明：数列(b』的前n项和S„

n23n

满足S,.<2+21nn.

18.已知数列｛册｝满足：an+1=(nEN)(其中e为自然对数的底数，

e=2.71828•••)

(I)证明：an+1>an(neN*)；

(II)设勾=1一M，是否存在实数M>0,使得瓦+b2+•­■+bn<M对任意nGN*成

立？若存在，求出M的一个值；若不存在，请说明理由.

19.已知数列｛a/、｛bn],其中，ar=数列｛an｝满足(n+1)%,=5—1)即-1，(兀2

2,neN*),数列｛%｝满足瓦=2,bn+1=2bn.

(1)求数列｛%｝，｛b｝的通项公式；

(2)是否存在自然数使得对于任意nG/V\n>2,有1+3+；+…+4<巴不恒成

比i>2bn4

立？若存在，求出m的最小值：

二一m为奇数

(3)若数列｛d｝满足d=政”,求数列｛%｝的前n项和〃.

乂内为偶数

20.已知数列｛《,｝的前〃项和S“满足：2s“=1—%.

(1)数列｛《,｝的通项公式；

1

(2)设么=—4-----%一,且数列｛d｝的前〃项和为7；,求证：Tn<­.

1+/1-4+13

21.已知数列｛a“｝满足q=1,an=—>2).

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(II)求证：对任意的〃eN*,都有

ZTX1^26\fn0

①-2^——---1---T<3；

%-a；

②'+,+,+.•.+，>红2,吐N*).

a.4+|an+2a*.%+1

22.已知Sn是数列｛斯｝的前n项和，的=3,且2Sn=an+1-3(nGN*).

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(1)求数列｛即｝的通项公式；

(2)对于正整数<j<k),已知2aj,6a"〃ak成等差数列，求正整数4,〃的值；

(3)设数列｛%｝前n项和是〃，且满足：对任意的正整数n,都有等式由垢+。2垢-1+

n+1

a3bn_2+…+M瓦=3-3n-3成立.求满足等式&=:的所有正整数n.

23.已知二次函数f(x)=3%2—2x,数列的前〃项和为右，点(zi,Sn)(n€N*)均在

函数y=f(x)的图象上.

(I)求数列｛即｝的通项公式；

(H)设7；是数列也｝的前〃项和，求使得7；〈三对所有的neN*都成立的

anan+l1。

最小正整数m.

24.已知等差数列｛an｝的前n项和为S.，若｛向｝为等差数列，且4=1.

(1)求数列｛%｝的通项公式;

(2)是否存在正整数几，使1+a九+S”24-a2n4-S2n,4+@4n+S4n成等比数列？

若存在，请求出这个等比数列；若不存在，请说明理由；

⑶若数列｛%｝满足%+1-％=普，瓦=3且对任意的neN*,都有勾<1,求正

整数k的最小值.

25.已知数列满足q=」，an+.=a一一-^―，数列，4巴J的前"项和为S”,

2〃(〃+1)[anJ

证明：当〃eN*时，

(1)0<an+1<a„；

(3)S>n—.

"2

26.(本题满分16分)本题共有3个小题.第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3

小题满分6分.

已知数列｛an｝与也｝满足an+l-an=2(bn+l-bn),HGN*.

(1)若2=3"+5,且q=l,求数列｛4｝的通项公式；

(2)设｛4｝的第％项是最大项，即a%>a,(〃eN*),求证：数列也,｝的第〃。项是

最大项；

+

(3)设q=2<0,hn=V(HGN),求;I的取值范围，使得｛4｝有最大值M与

最小值m,且一e(-2,2).

m

27.(题文)(题文)已知数列｛/｝,｛b｝，为数列｛%｝的前n项和,a2=4瓦,Sn=2ati—2,

2

nbn+1—(n+1)勾=n+n(n€N*).

(1)求数列｛a,J的通项公式；

(2)证明｛曰｝为等差数列.

学,几为奇数

(3)若数列｛5｝的通项公式为c=J，令匕=C2n_r+C2.Tn为｛匕｝的

n(4*为偶数n

前F项的和，求

28.已知数列｛《,｝的前〃项和为S,,,满足已=2%-1,neN"，数列也｝满足

nbn+i-(n+l)bn=n(n+l),〃eN*，且4=L

(1)求数列｛%｝和也｝的通项公式；

(2)若c.=凡•施，数列｛%｝的前〃项和为7；,对任意的〃eN：都有Tn<nS„-a,

求实数”的取值范围.

(3)是否存在正正数相，"，使仇，品，幻(〃>D成等差数列？若存在，求出所有满足

条件的根,〃；若不存在，请说明理由.

29.记无穷数列｛an｝的前n项中最大值为用小最小值为g，令b=强沪，数列｛即｝的

前n项和为4小数列｛%｝的前n项和为当.

(1)若数列｛每｝是首项为2,公比为2的等比数列，求取；

(2)若数列｛%｝是等差数列，试问数列｛即｝是否也一定是等差数列？若是，请证明；若

不是，请举例说明；

(3)若匕=2n-100n,求4…

30.已知每一项都是正数的数列｛a,,｝满足q=l,

12am

(1)用数学归纳法证明：见用<W“T；

(2)证明：

6

(3)记S“为数列｛I——端的前〃项和，证明：S“<6(”eN)

31.已知数列｛a“｝中，满足q=g,a“+i记S“为。”前n项和.

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(I)证明：an+i>an；

TT

(II)证明：a=cos-----r

"a

(川)证明：S„>n-27+7r-.

〃54

32.已知常数a*0,数列｛a“｝的前n项和为%，％=1且0n=^+a(n-l)

(1)求数列｛a"的通项公式；

(2)若％=3n+(-1尸。?1,且数列｛%｝是单调递增数列，求实数a的取值范围；

(3)若a=；，数列｛.｝满足：“对于任意给定的正整数鼠是否存在p,q6N*使

na”十

ck=cp-cq?若存在，求P，q的值(只要写出一组即可)；若不存在，说明理由―

33.数列4t：ai，a2,…、4)

满足：臼=I,a；,=成分+1—以=0或1(k=l,2,...,n_I).

对任意i,j,都存在s,t,使得为+q=as+%,其中i,j,s,td｛l,2,…，n｝且两

两不相等.

(I)若m=2,写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号；

①1,1,1,2,2,2；②1,1,1,1,2,2,2,2；③1,1,1,1,1,2,2,2,2

(II)记5=%+a2+…+a…若m=3,求S的最小值;

(III)若m=2018,求n的最小值.

34.已知数列｛斯｝的各项均为正数，记数列｛为｝的前n项和为5"，数列｛a7｝的前〃项和

为T”且37"=$〃2+25”，n£N*.

(I)求3的值；

(II)求数列｛an｝的通项公式；

(田)若k,tGN”,且Si,Sk-S\,St—5k成等比数列，求k和t的值.

35.(本小题满分14分)已知数列｛a“｝的各项均为正数，b-n(\+—)"a(neN),e

nnn+

为自然对数的底数.

(I)求函数/(x)=l+x-e*的单调区间，并比较(1+与与e的大小；

n

(II)计算区，退,也务，由此推测计算姓也的公式，并给出证明；

%aia2a｝a2a3a]a2•­•an

(Hl)令…a/，数列｛4｝，｛g｝的前"项和分别记为S.，，,，证明：7；<eS..

36.数列｛七｝满足：%=1,x,,+|=%+：,n&N*

(I)判断X,与2的大小关系，并证明你的结论;

(II)求证:|玉—2|+|%2—2|+…+|X”—<2.

37.设数列｛册｝,｛%｝满足加+i=%+%匕—a2.

(1)若瓦=2,数列｛时｝的前n项和Sn=n2,求数列｛%｝的通项公式；

(2)若即=af3i<0),且瓦=3a1，

①试用％和71表示九；

②若多<0,对任意的ij£N*,试用的表示d-与的最大值.

38.已知数列｛斯｝的前n项和为Sn,2^+a2=a3,且对任意的nWN*,n》2都有

2nSn+i-(2n+5)5n+Sn_i=r%。

(1)若%70,a2=3ax,求r的值；

(2)数列｛与｝能否是等比数列？说明理由；

(3)当r=l时，求证：数列｛aQ是等差数列。

39.已知｛a“｝,｛%｝都是各项为正数的数列，且%=1,瓦=&.对任意的正整数〃，

2

都有的,bn,an_i成等差数列,bn,代工，bn+i成等比数列.

(1)求数列｛aj和｛%｝的通项公式；

(2)若存在p>0,使得集合M=｛川a。2即“，neN*｝恰有一个元素，求实数，的取

值范围.

40.已知数列｛a“｝是递增的等比数列，满足的=4,且是。2、。4的等差中项，数列｛“｝

满足勾+i=bn+l,其前n项和为5,且S2+S6=a4.

(1)求数列｛5｝,｛%｝的通项公式;

(2)数列｛an｝的前n项和为%,若不等式川og式7；+4)-Abn+7>3n对一切neN*恒

成立，求实数;I的取值范围.

41.已知正项数列｛《,｝的前〃项和为S”，对任意〃eN*,点(a“,S”)都在函数

/(X)=；x2+gx的图像上.

(I)求数列｛%｝的首项4和通项公式M；

⑴)若数列也｝满足log2d=n+log2(2a“—1乂〃eN*),求数列也｝的前几项和7；；

(III)已知数列｛c“｝满足c“=图t9——!一若对任意〃eN*,存在

(一6anan+｝

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“°G~W，使得G+G+--+C"V,f(x)-a成立，求实数。的取值范围.

42.己知数列｛aj,其中neN*.

(1)若｛an｝满足cin+1-=q"T(q>0,neN*).

①当q=2,且%=1时，求&4的值：

②若存在互不相等的正整数r,s,t,满足2s=r+t,且与《$，&成等差数列，求q的值.

(2)设数列｛%｝的前n项和为%,数列｛%｝的前n项和为cn,cn=bn+2-3,neN*,

若的=1,a2-2.且la"1-anan+2|<k恒成立，求k的最小值.

43.已知数列｛%｝,也卜满足q=2,4=4,且2"=a“+a“+|,a；I+l=bnbn+l.

(1)求。2，。3，。4及1也，“；

(2)猜想｛4｝,也“｝的通项公式，并证明你的结论；

(3)证明：对所有的〃eN*,幺•冬•…・的％<0sin-p1.

瓦4%-/+%《2坛-1

44.已知数列｛即｝中的=1,前n项和为Sn,若对任意的笃eN",均有方=an+k-k(fc

是常数，且k€N*)成立，则称数列｛aj为“H(k)数列”.

(1)若数列｛a"｝为“"(1)数列”,求数列也“｝的前n项和Sn；

(2)若数列｛即｝为“"(2)数列”，且为整数，试问：是否存在数列｛斯｝，使得睇-

an-iOn+il<40对一切n>2,n£N*恒成立？如果存在，求出这样数列｛6｝的的所有

可能值，如果不存在，请说明理由；

n-k

(3)若数列｛斯｝为"H(k)数列"，且%=a2=••-=ak=1,证明：厮+2上>(l+^).

45.已知各项为正的数列｛a“｝满足：q=l,4+1=甘冷

(1)求。2，%，。4；

(2)证明：(4用一2)(。〃-2)<0(〃㊂N*)；

(3)记数列｛|«„-2|)｛|«„-2｝的前〃项和为S“，求证：

46.在数列｛4｝中，4=2,4T=21l+"a”.

(1)求数列｛%｝的通项公式:

2n

(2)设。“=上，数列也｝的前〃项的和为S,,试求数列由“一S,J的最小值；

an

7/7+11

(3)求证：当〃22时，Sv.>.

212

47.己知平面直角坐标系xOy,在x轴的正半轴上，依次取点4,&，勺，…45GN*),

并在第一象限内的抛物线y2=|乂上依次取点与，B2,B3,Bn(n6N*),使得△

Ak-iBkAkdeN*)都为等边三角形，其中4。为坐标原点，设第〃个三角形的边长为/(>)•

⑴求/(I),/(2),并猜想〃n)(不要求证明)；

7n

⑵令an=9/(n)-8,记兀为数列SC中落在区间(9,92刃内的项的个数，设数列｛〃｝的

前m项和为Sm，试问是否存在实数2,使得22<Sm对任意mGN*恒成立？若存在，求

出;I的取值范围；若不存在，说明理由；

⑶已知数列｛九｝满足：比=号,b»i=与小二/T』,数列｛%｝满足：0=1,7+1=

求证：bn<f(品)<cn.

48.设等差数列｛4｝的公差为&,等差数列｛2｝的公差为4，记

cn=max｛4一q〃也一&〃，…仇一4,〃｝

(〃=1,2,3…)，其中max｛%,，X2,…演｝表示无口々,…天这s个数中最大的数

(1)若4=2”,勿=4〃—2,求q,C2，C3的值，并猜想数列c”的通项公式(不必证明)

II11.2”

(2)设a=-n,b=-n+2,若不等式------1-------1---F-----<-----对不小于2

C2-2C3-2C„-2n

的一切自然数n都成立，求4的取值范围

⑶试探究当无穷数列｛c,｝为等差数列时，4、4应满足的条件并证明你的结论

49.已知y=f(x)是R上的奇函数，=,且对任意

xw(_e,O),=都成立.

⑴求/［一；)、/［一；)的值；

⑵设%=求数列｛q｝的递推公式和通项公式;

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⑶记(=qa“+。吗T+。3。"-2+…+a,Mi，求lim41•2*的值.

…Tn

nban-i

50.(14分)(2011•广东)设b>0,数歹U｛an｝满足ai=b,an=-------------(n>2)

an-l+n-l

(1)求数列｛aj的通项公式；

n+l

(2)证明：对于一切正整数n,2an<b+l.

51.已知数列｛4｝满足上：q=l,。“+|=如：-2a“+3+b(neN*).

(1)若1=1,证明：数列｛(4—1)"是等差数列;

⑵若停=一1,判断数列｛%“_]｝的单调性并说明理由;

、3〃+4

(3)若u力=-1,求证：q+/+・•・+%〃_[V--------.

6

52.设数列｛q｝的前”项和为S“，且满足'-+」一=4为常数.

S,,a„+\

(1)是否存在数列｛%｝,使得4=()?若存在，写出一个满足要求的数列；若不存在，

说明理由.

(2)当4=1时，求证：---1------>1.

a”4+i

1Q

(3)当4=—时，求证：当"23时，0<44—.

2"3

53.已知数列｛%｝的各项为正数，其前〃项和为S,满足S,=(忙，设

bn=10-a〃(〃£N).

(1)求证：数列｛%｝是等差数列，并求｛%｝的通项公式；

(2)设数列｛2｝的前〃项和为7；,求7；的最大值.

(3)设数列｛%｝的通项公式为q,=W,问：是否存在正整数大，使得

。C29Cm(加之3,成等差数列？若存在，求出片和力的值；若不存在，

请说明理由.

54.对于九(ri€N*)个实数构成的集合E=…,en｝,记%=%+?2+…+%・

已知由n个正整数构成的集合A=｛alta2,(由<a2<<••<an,n>3)满足：对于

任意不大于2的正整数机，均存在集合人的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于

m.

(1)试求的,的值；

(2)求证：“的,。?，…,厮成等差数列”的充要条件是“SA=：兀5+1)”；

(3)若£=2018,求证：九的最小值为11；并求九取最小值时，an的最大值.

55.设各项均为正数的数列｛册｝的前n项和为Sn,且%=1,a^=Sn+Sn_1(nG/V*,

n(n+i)

n>2),数列｛b｝满足瓦•b2••…bn=(n6N*).

(1)求数列｛%｝、｛为｝的通项公式;

(2)设/=------,7；是｛〃｝的前n项和，求正整数m,使得对任意的n€N*,

均有7>Tn；

(3)设B=[x\x=的瓦+k2b2H--+knbn,且x>0,其中k16…,%G｛-1,1｝｝(nGN*,

n>2),求集合B中所有元素的和.

56.56.若数列A：q,a2,…，an(w>3)中qGN*(1«iW〃)且对任

意的2W左4+J+&T>24恒成立，则称数列A为“U-数列”.

(1)若数列1,x,y,7为“U-数列”，写出所有可能的x、y；

(2)若“U-数列”A：q,a2,…，中，q=l,=2017,求"的

最大值；

(3)设他为给定的偶数，对所有可能的“U-数列”A：%,4,…，4,,

记加=max｛qM2,…，其中max｛%,马,…，须｝表示玉，x2,…，工这s个

数中最大的数，求M的最小值.

57.数列q,4，…,可是正整数1,2,…，〃的任一排列，且同时满足以下两个条件：

①q=l；②当"22时，\at-«,-+1|2(z=1,2,•••,/!-1).

记这样的数列个数为/(〃).

⑴写出〃2)J(3),〃4)的值；

(II)证明"2018)不能被4整除.

58.已知集合4=｛x\x=2n4-l,n6N*｝,B=｛x\x=2n~1,nGN*｝,C=4U8.对于

数列｛an｝,%=1,且对于任意九N2,nEN*,有an=min｛%E.记％为

试卷第12页，总23页

数列｛斯｝的前几项和.

(I)写出。7，。8的值;

(H)数列｛斯｝中，对于任意neN*,存在%€N*,使a%=2n-1,求数列｛&｝的通项公

式；

(III)数列｛an｝中,对于任意neN*,存在keN*,有%+i=2n+1.求使得品+i>27ak+1

成立的k的最小值.

ii9

59.已知数列｛a“｝满足q=上，——+—=(—

aa

2n+\n

(D求证：数列,一(―1)"\(〃eN")是等比数列；

4)

⑵设a=」(〃GN*),求数列也｝的前〃项和S,,；

⑶设c“=-2"a"a”+1,数列｛c.｝的前〃项和为7；,求证：(其中”wN*).

60.(本小题满分12分)设各项均为正数的等比数列｛q｝中，4+。3=1。,%+%=40.

ba

n=log2n

(1)求数列｛d｝的通项公式；

h、

(2)右q=1,cn+[=%+'■，求证：cn<3；

an

111k

(3)是否存在正整数Z,使得——+-----+……+------对任意正整数〃均

bn+1bn+2hn+n10

成立？若存在，求出火的最大值，若不存在，说明理由.

61.(本题满分14分)已知数列｛a"满足即=；,‘吐、一一二=0,n6N*.

2an+1-lan-l

(1)求证：数列｛」;｝是等差数列；

(2)设%=皿一1，数列｛%｝的前n项之和为又，求证：S<：.

an

n4

62-数列｛%｝中，4=1，。“=〃"%-2.

(1)证明：a„<an+］；

(2)证明：a„a„+l>2«+1；

(3)设a=十，证明：2<2〈石(〃22).

63.已知数列｛a,,｝的各项均为非负数，其前〃项和为S“，且对任意的〃eN”,

都有凡+个宥邑

⑴若q=l,%05=2。17，求处的最大值；

(2)若对任意〃eN*,都有S.41,求证：OWa“-怎+|«-^——

64.设数列｛a“｝的前n项和为Sn,已知%=a2=1,bn=n-Sn+(n+2)an,数列｛%｝

是公差为d的等差数列，nEN*.

(1)求d的值；

(2)求数列｛即｝的通项公式;

22n+1

「+

(3)求证：(的•…的)•⑸•52・$3•…Sn)<1)("+2).

65.已知两个无穷数列｛%｝和也｝的前〃项和分别为S“，Tn,q=l,S2=4,

对任意的〃eN*,都有3s,用=2s“+S“+2+/.

(1)求数列｛a,,｝的通项公式;

⑵若｛〃｝为等差数列，对任意的〃eN*,都有S“>7；.证明：an>bn；

(3)若也｝为等比数列，4=%,(=%，求满足eN*)

2T+3a

an=ak的〃值.

2

(bn)+Sn+22

66.若数列｛%｝满足|%用一%J=1=-neN*,/?>2),称数列｛%｝

为E数列，记S“为其前九项和.

(I)写出一个满足q=%=0,且§5>0的E数列｛%｝；

(11)若4=2,H=2017,证明：若E数列｛%｝是递增数列，则《,=2018；反之，

若a“=2018,则E数歹ij｛4｝是递增数列；

(III)对任意给定的整数〃(〃22),是否存在首项为。的E数列｛%｝,使得S“=0?

如果存在，写出一个满足条件的E数列｛4｝；如果不存在，说明理由.

67.对于无穷数列｛。“｝,记T=｛x|x=%-q,i</｝,若数列｛4｝满足：“存在fwT,

试卷第14页，总23页

使得只要4“一%=「(根,ZeN”且加>左)，必有凤加一%+1=f"，则称数列｛4｝具

有性质尸(/).

(I)若数列｛4｝满足勺=｛]；判断数列｛4｝是否具有性质尸(2)?是否具

有性质P(4)?

(II)求证：“T是有限集”是“数列的｝具有性质P(O)”的必要不充分条件；

(III)已知｛4｝是各项为正整数的数列，且｛4｝既具有性质尸(2),又具有性质尸(5),

求证:存在整数N,使得诙,即+1，许+2,…，诙+*，…是等差数列.

68.已知数列版j中，：蜘=]再血=

1*11

(I)求证：普2/是等比数列，并求的通项公式璃,;

取司

(II)数列强J满足献,=啰'-既'%，数列良J的前n项和为鼠，若不等式

求.氨的取值范围。

69.已知数列｛时｝满足an+i=210n+c+2\-\an+c|,c为正常数.

(1)求证：对于一切nGN*,an+]-an>c恒成立；

(2)若数列｛an｝为等差数列，求的的取值范围.

fc

70.我们称满足:an+1-k=(-l)(an-«n)(new*)的数列｛即｝为“k级梦数列”.

(1)若｛册｝是“1级梦数列"且的=2.求:1---和-------的值；

。2一1°3一104-1々3一1

(2)若｛a九｝是“1级梦数列”且满足1<%V：，—+—+4—--=2,求@2018—4al

2ala2a2017

的最小值；

(3)若是“0级梦数列”且的=点设数列｛若｝的前几项和为Sn.证明：就万^7-

(neN*).

2(n+l)

71.已知数列｛%｝的前〃项和为S“，且4=：，4用=等％.

(1)求｛%｝的通项公式；

(2)设迤=邨-胤:谡的戴，若灯氮黑缸叫亘成立，求实数4的取值范围；

“=3乳”M糜的施3寸/«-<F<"11

⑶设"喙小霞，纵是数列缸K的前〃项和，证明4f..

72.数列｛的｝满足即+1=2册一与_1对任意的nN2,n€N*恒成立，S.为其前n项的和，

且。4=4』=36.

(1)求数列｛即｝的通项即；

a

(2)数列｛匕｝满足+b2a2n-3T----4^>k2n+i-2k+…+―同=3(2"-1)—2an,

其中k=1,2,…，n,n6N*.

①证明：数列｛%｝为等比数列；

②求集合｛(m,p)"=誓,m,peN*｝.

73.各项均为非负整数的数列｛%｝同时满足下列条件：

①(mwN*)；②4V”一12)；③〃是4+4—+凡的因数

(1)当加=5时，写出数列｛%｝的前五项；

(II)若数列｛%｝的前三项互不相等，且3时，％为常数，求m的值：

(III)求证：对任意正整数m,存在正整数M,使得〃2/时，。“为常数.

74.已知函数/(x)=需，数列｛%｝满足%=l,an+i=/(J,7iCN*.

(1)求数列｛即｝的通项公式；

(2)令%=」一(n>2),仄=3,Sn=瓦+b2+••,+%，若又<W"对一切neN*成

0n-1%2

立，求最小正整数m.

75.已知a为实数，数列｛an｝满足臼=a,an+1=伫一:>爹:(ne7*).

1—Qn十％UnSJ

(1)当。=0.2和a=7时，分别写出数列｛an｝的前5项；

(II)证明：当a>3时，存在正整数m,使得0<a,nS2；

(III)当0WaW1时，是否存在实数a及正整数n,使得数列｛an｝的前rt项和%=2019?

若存在，求出实数a及正整数n的值；若不存在，请说明理由.

76.已知等差数列｛an｝的前n项和为S“，S7=49,a,和出的等差中项为2.

(1)求a„及S„；

1117

(2)证明：当n22时，有一+—+...+—<一.

H邑S.4

试卷第16页，总23页

77.(本小题满分12分)我们把一系列向量q"=1,2,3,…按次序排成一列，称之

为向量列，记作怎｝,已知向量列怎｝满足：=(1,1)，

—1,

an=(%,%)=-U„_l-+yn-\)(H>2).

(1)证明：数列是等比数列；

2

一一.n

(2)设。"表示向量％,与a,-间的夹角，若b,=—»,对于任意正整数〃，不等式

+,—F/—>a(a+2)恒成立，求实数a的范围

⑶设%=|Zl40g2同，问数列匕｝中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若

不存在，请说明理由

78.已知数列A=｛4，%,…Q"｝(lWq<&<…<4,〃之2)具有性质产：对任意i,

,/(l<z<j<n),a,•力与也两数至少有一个属于A.

ai

(1)分别判断数集｛1,3,4｝与｛1,2,3,6｝是否具有性质P,并说明理由.

(II)求证：q=1.

(111)求证：—V-1-Tf-------fLTT=an•

n

+2”・3"-2(〃22,〃eN*)

已知数列｛“"｝中,a=1%?=lan-\

79.4\且〃一1

(1)求的值及数列｛4｝的通项公式；

“尸匚腿”)彷,$

(2)令a"，数列的前〃项和为试比较''与〃的大小；

(3)令%=4也(〃wN*),数列，-2°"-」的前〃项和为7；,求证：对任意〃wN*,

〃+119-1)J

都有7；<2.

80.已知数列｛a“｝的前〃项和为5“=3",数列也｝满足4=—1,%=2+2〃—1

(neN*).

⑴求数列｛%｝的通项公式；

⑵求数列｛〃｝的通项公式；

(3)—4--4--4-........+'的值.

々Ah5bn

81.设歌是数列阿冬的前阳项和，啕=3,.<=褥J,魏-士谥延缴.

\如

(1)求&$的通项;

(2)设球=善二，求数列蹈遗的前糜项和鼠.

n.11

82.设｛qj是各项均不相等的数列，S“为它的前〃项和，满足

2na“+i=S“+1(〃eN+,/leR).

(1)若q=l,且％,外，生成等差数列，求4的值；

(2)若｛为｝的各项均不相等，问当且仅当a为何值时，生，%，……，勺，……成等

差数列？试说明理由.

n

83.已知数列｛an｝的前n项和满足Sn=2an+(-l),nN1.

(1)求数列的通项公式；

(2)证明：对任意的整数zn>4,都有三+二+…+工<2

的am8

.2

84'数列｛。"｝中,4=5,4+|=。25+](〃eM)

(I)求证：an+l<an；

(H)记数列｛q｝的前〃项和为S,,,求证：S„<1.

85.已知数列｛a,J的前〃项和为S,(〃eN"),且满足4+S“=2〃+1.

(1)求证：数列■,-2｝是等比数列，并求数列｛凡｝的通项公式；

(2)求证：」一+二!一+•.•+-,—<-.

2axa22a2a32"〃+]3

86.(本小题满分15分