2024-2025学年初中数学九年级上册（华师版）教案 第23章图形的相似23.4中位线

第23章图形的相似23.4中位线教学目标1.理解三角形中位线的定义，掌握三角形中位线的性质定理，并能利用它解决简单的问题.2.理解三角形重心的定义，掌握三角形重心的性质.教学重难点重点：掌握中位线及其性质定理.难点：能综合运用已经学过的知识解决有关中位线的问题.教学过程复习巩固三角形的中线：三角形的一个顶点与它对边中心的连线叫做三角形的中线.导入新课【问题1】活动1（学生交流，教师点评）如图，在池塘外选三点A、B、C，连结AB、AC、BC，分别找出AC和BC的中点D、E，并且连结，如果测量出DE的长度为10米，也就能知道AB的距离了.同学们知道AB是多少米吗？为什么？教师引出课题：23.4中位线探究新知探究点一三角形的中位线【问题2】活动2（小组讨论，师生互学）请同学们按要求画图：在任意△ABC中，取AB、AC的中点D、E，连结DE.总结：思考：1.一个三角形有几条中位线？【答案】3条2.三角形中位线与三角形中线有什么区别？【答案】端点不同.探究点二三角形中位线的性质【问题3】 活动3（小组讨论，师生互学）如图，DE是△ABC的中位线，DE与BC有怎样的关系？度量一下你手中的三角形，看看是否有同样的结论？并用文字表述这一结论.猜想结论：位置关系是DE∥BC.数量关系是DE＝BC.结论：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.符号语言表示为：如图，已知D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点.求证：DE∥BC，DE＝BC.如何证明你的猜想？【证明】如图所示，延长DE到点F，使EF＝DE.连结AF、CF、DC.∵AE＝EC，DE＝EF，∴四边形ADCF是平行四边形.∴CF∥AD，CF＝AD.∴CF∥BD，CF＝BD.∴四边形BCFD是平行四边形.∴DF∥BC，DF＝BC，∴DE∥BC，DE＝BC.活动4典例讲解（师生互动）例1如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，如果△ADE的周长是10，求△ABC的周长.【探索思路】（引发学生思考）求△ABC的周长，就要求出△ABC三边的长度，如何根据已知三角形的周长找到所求三角形的边长？∵D、E分别是AB、AC的中点，∴AD＝eq\f(1,2)AB，AE＝eq\f(1,2)AC，DE＝eq\f(1,2)BC，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝2AD+2AE+2DE＝2（AD+AE+DE）＝2×10＝20.【题后总结】（学生总结，老师点评）此题主要是利用根据线段的中点和三角形的中位线定理解决问题.方法总结：三角形中位线定理为证明平行关系提供了新的依据，并为证明一条线段是另一条线段的2倍或提供了一个新的方法.【即学即练】（师生互动）1.求证：顺次连结四边形四条边的中点所得的四边形是平行四边形.已知：在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.【证明】连结AC.∵H，G分别是AD，CD的中点，∴HG是△ADC的中位线，∴HG∥AC，HG＝AC.同理EF∥AC，EF＝AC，∴HG∥EF，HG＝EF，∴四边形EFGH是平行四边形.探究点三三角形的重心及其性质【问题4】 活动5（教师引导，师生互学）例2如图，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于点G.求证：.证明:连结ED.∵D、E分别是边BC、AB的中点，∴DE∥AC，∴△ACG∽△DEG，∴∴提示：如果在上图中，取AC的中点F，假设BC与AD交于G′，如图，那么我们同理可得，所以有，即两图中的点G与G′是重合的.【总结】于是我们有以下结论：三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的.活动6（小组讨论，教师点评）典例讲解（师生互动）例3【探索思路】（引发学生思考）BD＝DC，AE＝EB→确定点O是△ABC的重心→确定AO与已知DO的数量关系→得出结论.∵BD＝DC，AE＝EB，AD与CE相交于点O，∴O是△ABC的重心，∴AO＝2DO＝2×2＝4（cm）.【即学即练】2.如图，在△ABC中，D是△ABC的重心，连结AD并延长交BC于点E，若BC＝6，则EC＝（）A.2B.2.5C.3D.3.5【解析】∵D是△ABC的重心，∴AE是BC边的中线，即E是BC的中点.又∵BC＝6，∴EC＝BC＝3.【答案】C课堂练习1.如图，点D，E，F分别是△ABC三条边AB，AC，BC的中点，连结DE，DF，EF，则图中平行四边形的个数是（）A.0B.1C.2D.32.如图，DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F，则下列结论正确的是（）A.EF＝CFB.EF＝DEC.CF＜BDD.EF＞DE3.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为（）A.6B.5C.4D.34.顺次连结菱形四条边的中点所得的四边形一定是（）A.菱形B.矩形C.正方形D.梯形5.如图，已知等边△ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面四个结论：①DE＝1；②△CDE∽△CAB；③△CDE的面积与四边形ABED的面积之比为1∶3；④.其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个6.如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为（）A.8B.10C.12D.16）A.3cmB.26C.24cmD.658.如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，点N为BC的中点，AM平分∠BAC，CM⊥AM，垂足为点M，延长CM交AB于点D，求MN的长.9.如图，点G是△ABC的重心，GE∥AB交BC于点E，GF∥AC交BC于点F，若△GEF的周长是2，求△ABC的周长.10.如图，E为平行四边形ABCD中DC边的延长线上一点，且CE＝DC，连结AE，分别交BC、BD于点F、G，连结AC交BD于O，连结OF，判断AB与OF的位置关系和大小关系，并证明你的结论.参考答案1.D【解析】利用“中位线平行于第三边”并结合平行四边形的判定定理即可得到DBFE，DFCE，DFEA，共3个.2.B【解析】：∵DE是△ABC的中位线，∴E为AC中点，∴AE＝EC.∵CF∥BD，∴∠ADE＝∠F.又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴EF＝DE.3.D【解析】∵在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，∴BC＝＝＝6.又∵DE垂直平分AC，∴DE⊥AD，AD＝DC.又BC⊥AC，∴DE∥BC，∴AE＝EB，∴DE是△ACB的中位线，∴DE＝BC＝3.4.B【解析】如图，四边形ABCD是菱形，∵E，F，G，H分别是边AB，AD，DC，CB的中点，∴EF∥BD，HG∥BD，EH∥AC，FG∥AC，∴四边形EHGF是平行四边形.又AC⊥BD，∴EH⊥HG，∴四边形EHGF是矩形.5.D【解析】由三角形中位线定理得DE＝AB＝×2＝1，故结论①正确；又DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，故结论②正确；由相似三角形的性质得S△CDE∶S△CAB＝∴S△CDE∶S四边形ABED＝1∶3又∵S△CDE∶S△ABC＝1∶4，∴6.D【解析】∵点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，∴DE∥AC，EF∥AB，DE＝AC＝5，EF＝AB＝3，∴四边形ADEF是平行四边形，∴AD＝EF，DE＝AF，∴四边形ADEF的周长为2（DE+EF）＝2×（5+3）＝16，故选D.7.B【解析】如图，∵点D，E，F分别是△ABC的三边的中点，DE＝3cm，DF＝4cm，EF＝6cm，∴DE＝AC，DF＝BC，EF＝AB，∴AC+BC+AB＝2（DE+DF+EF）＝2×（3+4+6）＝26（cm），故选B.8.∵AM平分∠BAC，CM⊥AM，∴AD＝AC＝3，DM＝CM.∵N为BC的中点，∴BN＝CN，∴MN为△BCD的中位线，∴MN＝BD＝（AB-AD）＝（5-3）＝1.9.∵G是△ABC的重心，∴＝.∵GE∥AB，∴△DGE∽△DAB，∴eq\f(GE,AB)＝eq\f(DE,DB)＝eq\f(GD,DA)＝，∴AB＝3GE，DB＝3ED.同理可得AC＝3GF，DC＝3DF，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝3GE+3GF+3EF＝3（GE+GF+EF）＝3×2＝6.10.【解】AB＝2OF，AB∥OF.证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，OA＝OC.∴∠BAF＝∠CEF，∠ABF＝∠ECF.∵CE＝DC，在ABCD中，CD＝AB，∴AB＝CE.在△ABF和△ECF中，∴△ABF≌△ECF（ASA），∴BF＝CF.∵OA＝OC，∴OF是△ABC的中位线，∴AB＝2OF，AB∥OF.课堂小结（学生总结，老师点评）1.三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2.三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.3.三角形的重心：三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三