2024-2025学年初中数学九年级上册（华师版）教案 第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法（第2课时）

第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法第2课时配方法教学目标1.理解配方法解一元二次方程的含义.2.掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤.教学重难点重点：用配方法解一元二次方程.难点：把一元二次方程通过配方转化为(x±h)2＝k(k≥0)的形式.教学过程复习巩固一般地，对于形如x2＝a(a≥0)的方程，根据平方根的意义，可解得x＝-a，这种解一元二次方程的方法叫做导入新课【问题1】活动1（学生交流，教师点评）【3min反馈】1.(1)x2+6x+＝(x+)2；(2)x2-x+＝(x-)2；(3)4x2+4x+＝(2x+)2.【答案】（1）93（2）eq\f(1,4)（3）11教师总结并引出课题：22.2一元二次方程的解法第2课时配方法探究新知探究点一配方法【思考】对于形如x2+ax的式子如何配成完全平方式？【归纳】像这样，通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.【提示】配方法是将方程转化为（x+h)2＝k(k≥0）的形式的方法.探究点二用配方法解一元二次方程【问题2】活动2（学生交流，教师点评）怎样解方程x2+6x+4＝0？把方程变成(x+h)2＝k（k≥0）的形式.x2+6x+4＝0，移项，得x2+6x＝-4，两边都加上9，得x2+6x+9＝-4+9，配方，得(x+3)2＝5，再利用直接开平方法，得x+3＝5或x+3＝-5x1用配方法解一元二次方程的步骤：化1：把二次项系数化为1；移项：把常数项移到方程的右边；配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；变形：将方程化成(x+h)2＝k(k≥0)的形式；开方：根据平方根的意义，方程两边开平方；求解：解一元一次方程；定解：写出原方程的解.【注意】在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是在二次项系数为1的前提下进行的.【提示】把方程化为（x+h)2＝k(k≥0)的形式，将一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程求解.活动3（师生互动）例1利用配方法解下列方程:(1)x2-4x-12＝0；(2)22x2+4x-6＝0.【探索思路】(引发学生思考)用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？【解答】(1)原方程可化为x2-4x＝12.配方，得x2-4x+4＝16，即(x-2)2＝16.直接开平方，得x-2＝±4，所以x1＝-2，x2＝6.(2)移项，得22x2+4x＝6.两边同除以22，得x2+x＝.配方，得x2+x+＝+，即＝.直接开平方，得x+eq\f(1,11)＝±eq\f(\r(34),11)，所以x1＝，x2＝.【注意】方程的二次项系数不是1时，先将方程各项除以二次项系数.【题后总结】(学生总结，老师点评)用配方法解一元二次方程，把原方程化为(x±h)2＝k的形式.若k≥0，则利用直接开平方法求解；若k<0，则原方程无实数根.活动4（师生互动即学即练（自主完成）用配方法解下列方程：(1)x2+6x+1＝0；(2)2x2-3x+＝0.【答案】(1)x1＝2-3，x2＝-2-3.(2)x1＝，x2＝.【题后总结】(学生总结，老师点评)把这两个小题通过配方后，利用直接开平方法求出方程的解.活动5（师生互动）例2试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2-4k+5的值必定大于零.【解】k2-4k+5＝k2-4k+4+1＝（k-2）2+1.因为(k-2)2≥0，所以（k-2）2+1≥1.所以不论k取何实数，k2-4k+5的值必定大于零.【题后总结】(学生总结，老师点评)已知代数式是一个关于x的二次三项式且含有一次项，在求它的最值时，通常用配方法将原代数式变形为一个完全平方式加一个常数的形式，再根据一个数的平方是非负数求出原代数式的最值.课堂练习1.将二次三项式x2-4x+1配方后得（）A.(x-2)2+3B.(x-2)2-3C.(x+2)2+3D.(x+2)2-32.已知x2-8x+15＝0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（）A.x2-8x+（-4）2＝31B.x2-8x+（-4）2＝1C.x2+8x+42＝1D.x2-4x+4＝-113.用配方法解一元二次方程x2+4x-5＝0，此方程可变形为（A.x+22＝9C.x+22＝14.如果mx2+2（3-2m）x+3m-2＝0（m≠0）的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于（）A.1B.-1C.1或9D.-1或95.用配方法解下列方程：(1)x2+12x＝-9；(2)-x2+4x-3＝0.6.应用配方法求最值.(1)2x2-4x+5的最小值；(2)-3x2+12x-16的最大值.参考答案1.B2.B3.A4.C5.【解】(1)配方（两边同时加上36），得x2+2•x•6+62＝-9+62，即（x+6）2＝27.直接开平方，得x+6＝±33所以x1＝-6+33,（2）原方程可化为x2-4x+3＝0.配方，得（x-2）2＝1，所以x-2＝±1，所以x1＝1，x2＝3.6.【解】（1）2x2-4x+5＝2(x-1)2+3,所以当x＝1时，有最小值，为3.（2）-3x2+12x-16＝-3(x-2)2-4,所以当x＝2时,有最大值，为-4.课堂小结(学生总结，老师点评)配方法布置作业教材第27页练习题，第36页习题22.2第1题板书设计课题第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法