第2章《有理数及其运算》（原卷版）

20222023学年北师大版数学七年级上册章节考点精讲精练第2章《有理数及其运算》知识互联网知识互联网知识导航知识导航知识点01:有理数的相关概念1．有理数的分类：（1）按定义分类：（2）按性质分类：细节剖析：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用：作用举例表示数的性质0是自然数、是有理数表示没有3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示表示某种状态表示冰点表示正数与负数的界点0非正非负，是一个中性数2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线．细节剖析：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如．（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．细节剖析：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．（3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负．4．绝对值：（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．数a的绝对值记作．（2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．知识点02:有理数的运算1．法则：（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即ab=a+(b)．（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0)．（5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0．(6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．细节剖析：“奇负偶正”口诀的应用：（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如：，．2．运算律：（1）交换律:①加法交换律:a+b=b+a；②乘法交换律:ab=ba；（2）结合律:①加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；②乘法结合律：（ab）c=a(bc)（3）分配律：a(b+c)=ab+ac知识点03:有理数的大小比较比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3)作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法．知识点04:科学记数法把一个大于10的数表示成的形式（其中1≤，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200000=．考点提优练考点提优练考点01：数轴1．（2022•路南区三模）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣5，b，4，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm．则数轴上点B所对应的数b为（）A．3 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣32．（2022春•泗水县期末）如图，有一个直径为1个单位长度的圆片，把圆片上的点放在数轴上﹣1处，然后将圆片沿数轴向右滚动一周，点A到达点A'位置，则点A'表示的数是（）A．﹣π+1 B． C．π+1 D．π﹣13．（2021秋•济源期末）已知A，B，C是数轴上的三个点．点A，B表示的数分别是1，3，如图所示，若BC＝AB，则点C表示的数是．4．（2021秋•东阳市期末）数轴上的三个点，若其中一个点与其它两个点的距离满足2倍关系，则称该点是其它两个点的“友好点”，这三点满足“友好关系”．已知点A、B表示的数分别为﹣2、1，点C为数轴上一动点．（1）当点C在线段AB上，点A是B、C两点的“友好点”时，点C表示的数为；（2）若点C从点B出发，沿BA方向运动到点M，在运动过程中有4个时刻使A、B、C三点满足“友好关系”，设点M表示的数为m，则m的范围是．5．（2022秋•射阳县月考）数轴上有A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“关联点”．（1）若点A表示数﹣2，点B表示数1，下列各数﹣1，2，4，6所对应的点分别是C1，C2，C3，C4，其中是点A，B的“关联点”的是；（2）点A表示数﹣10，点B表示数15，P为数轴上一个动点：①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“关联点”，求此时点P表示的数；②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，请直接写出此时点P表示的数．6．（2021秋•连州市期末）如图所示，在数轴上点A，B，C表示的数为﹣2，0，6．点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点C之间的距离表示为AC．（1）求AB、AC的长；（2）点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒3个单位长度和4个单位长度的速度向右运动．请问：BC﹣AB的值是否随着运动时间t的变化而变化？若不变，请求其值；若变化，请说明理由并判断是否有最值，若有求其最值．考点02：绝对值7．（2021秋•海门市校级月考）设abc≠0，且a+b+c＝0，则+++的值可能是（）A．0 B．±1 C．±2 D．0或±28．（2021秋•椒江区期末）如图，a，b是数轴上的两个有理数，下面说法中正确的是（）A．a＞b B．b＞a C．|a|＞|b| D．|b|＞|a|9．（2021秋•绵竹市期末）代数式|x+1009|+|x+506|+|x﹣1012|的最小值是．10．（2021秋•碑林区校级期末）已知a，b，c的位置如图，化简：|2a﹣b|+|b+c|﹣|a﹣c|＝．11．（2022秋•宜兴市月考）阅读下列材料：|x|＝，即当x＜0时，＝﹣1．用这个结论可以解决下面问题：（1）已知a，b是有理数，当ab＞0时，求的值；（2）已知a，b，c是有理数，当abc＞0时，求的值；（3）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求的值．12．（2021秋•太康县期末）已知|x|＝3，|y|＝7．（1）若x＜y，求x+y的值；（2）若xy＜0，求x﹣y的值．考点03：有理数的乘方13．（2022春•柯桥区期末）如图，小明在3×3的方格纸上写了九个式子（其中的n是正整数），每行的三个式子的和自上而下分别记为A1，A2，A3，每列的三个式子的和自左至右分别记为B1，B2，B3，其中值可以等于732的是（）A．A1 B．B1 C．A2 D．B314．（2021秋•无为市期末）下列各式结果相等的是（）A．﹣22与（﹣2）2 B．﹣12022与（﹣1）2021 C．（）2与 D．﹣（﹣3）与﹣|﹣3|15．（2021秋•单县期末）一根1m长的绳子，第一次剪去绳子的，第二次剪去剩下绳子的，如此剪下去，第100次剪完后剩下绳子的长度是（）A． B． C． D．16．（2021秋•上思县期末）将一张长方形的纸对折，可得到一条折痕，继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到15条折痕，如果对折n次，可以得到条折痕．17．（2016秋•海淀区校级期中）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题，在第七章“盈不足”中有这样一个问题：“今有蒲生一日，长三尺；莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”其意思是“有蒲和莞两种植物，蒲第一日长了3尺，莞第一日长了1尺，以后蒲每日生长的长度是前一日的一半，莞每日生长的长度是前一日的2倍，问几日蒲、莞上涨的长度相等．”请计算出第三日后，蒲、莞的长度相差为尺．18．（2022•新华区校级一模）（1）将下列计算的结果直接写成幂的形式：2÷2÷2＝（）1；2÷2÷2÷2＝；＝；（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）＝；（2）一般地，把n个a（a为有理数且a≠0，n为正整数）相除的结果记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．计算：aⓝ＝＝（其中a≠0，n为正整数）．请你尝试用文字概括归纳aⓝ的运算结果：一个非零有理数的圈n次方等于；（3）计算：24÷（﹣）⑤+（﹣27）×3④．19．（2022春•攸县期末）如果10b＝n，那么b为n的劳格数，记为b＝d（n），由定义可知：10b＝n与b＝d（n）所表示的b，n两个量之间具有同一关系．（1）根据劳格数的定义，计算d（10）和d（10﹣2）的值；（2）若m，n为正数，则d（m•n）＝d（m）+d（n），d（）＝d（m）﹣d（n）．根据运算性质，填空：＝（a为正数）；若d（2）＝0.3010，则d（4）＝，d（5）＝，d（0.08）＝．（3）若表中与数x对应的劳格数d（x）有且仅有两个是错误的，请找出错误的劳格数，并将其改正过来．x1.5356891227d（x）3a﹣b+c2a﹣ba+c1+a﹣b﹣c3﹣3a﹣3c4a﹣2b3﹣b﹣2c6a﹣3b20．（2020秋•海安市月考）已知M（1）＝﹣2，M（2）＝（﹣2）×（﹣2），M（3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…，（n为正整数）．（1）求2M（2018）+M（2019）的值．（2）猜想2M（n）与M（n+1）的关系并说明理由．21．（2021秋•红花岗区校级月考）某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据am＝b，知道a、m可以求b的值．如果知道a、b，可以求m的值吗？他们为此进行了研究，规定：若am＝b，那么T（a，b）＝m．例如34＝81，那么T（3，81）＝4．（1）填空：T（2，64）＝；（2）计算：T（3，27）+T（﹣2，﹣32）；（3）探索T（2，3）+T（2，7）与T（2，21）的大小关系，并说明理由．考点04：有理数的混合运算22．（2022•工业园区校级自主招生）数整数部分的个位数是（）A．1 B．2 C．3 D．以上都不是23．（2021秋•确山县期末）定义运算“@”的运算法则为：x@y＝xy﹣y，如：3@2＝3×2﹣2＝4．那么（﹣3）@（﹣2）的运算结果是（）A．8 B．﹣3 C．4 D．﹣424．（2021秋•栖霞市期末）在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁，四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的同学是（）甲：9﹣32÷8＝0÷8＝0乙：24﹣（4×32）＝24﹣4×6＝0丙：（36﹣12）÷＝36×﹣12×＝16丁：（﹣3）2÷×3＝9÷1＝9A．甲 B．乙 C．丙 D．丁25．（2022•闵行区校级开学）用简便方法计算24×32×53+326×0.1256×（﹣0.25）5+（）100×（）99＝．26．（2022•镇海区校级模拟）定义一种新运算（a，b），若ac＝b，则（a，b）＝c，例（2，8）＝3，（3，81）＝4．已知（4，8）+（4，7）＝（4，x），则x的值为．27．（2021秋•北仑区期末）“转化”是一种解决问题的常用策略，有时画图可以帮助我们找到转化的方法．例如借助图①，可以把算式1+3+5+7+9+11转化为62＝36．请你观察图②，可以把算式转化为．28．（2022•黄冈开学）计算：（1）；（2）；（3）；（4）（﹣2）2×3+（﹣3）3÷9．29．（2021秋•巫溪县期末）我们规定：求若干个相同的不为零的有理数的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”．一般地，把记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．（1）直接写出计算结果：2③＝，（﹣3）④＝，＝．（2）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，请尝试把有理数的除方运算转化为乘方运算，归纳如下：一个非零有理数的圈n次方等于．（3）计算．30．（2021秋•双牌县期末）求若干个相同的不为零的有理数的除法运算叫做除方．如：2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记做2③，读作“2的圈3次方”（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记做（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”．一般地，把（a≠0）记做aⓝ，读作“a的圈n次方”．（1）直接写出计算结果：（﹣）③＝，（﹣3）④＝，2⑤＝．（2）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，请尝试将有理数的除方运算转化为乘方运算，归纳如下：一个非零有理数的圈n次方等于．（3）计算：24÷23+（﹣8）×2③．考点05：近似数和有效数字31．（2021秋•姚安县校级月考）对0.08049用四舍五入法取近似值，精确到0.001的是（）A．0.08 B．0.081 C．0.0805 D．0.08032．（2022•萧山区二模）2019年11月，联合国教科文组织正式宜布，将每年的3月14日定为“国际数学日”．国际数学日之所以定在3月14日，是因为“3.14”是圆周率数值最接近的数字．将圆周率“π”用四舍五入法取近似值3.14，是精确到（）A．个位 B．十分位 C．百分位 D．千分位33．（2020秋•北仑区期中）把a精确到百分位得到的近似数是5.28，则a的取值范围是（）A．5.275＜a＜5