专题03二次函数中的图形运动-2023年中考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（专用）

专题03二次函数中的图形运动目录最新模考题热点题型归纳【题型一】平移运动【题型二】翻折运动【题型三】旋转运动【题型一】平移运动【典例分析】（2023黄浦区一模）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，y1），B（0，y2），C（l，y3），D（2，y4）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上．（1）当y1＝0，y2＝y3时，①求该抛物线的表达式；②将该抛物线向下平移2个单位，再向左平移m个单位后，所得的新抛物线经过点（1，0），求m的值；（2）若y2＝0，且y1、y3、y4中有且仅有一个值大于0，请结合抛物线的位置和图象特征，先写出一个满足条件的b的值，再求b的取值范围．【分析】（1）①根据y1＝0，y2＝y3，可得对称轴为x＝，求出b的值，再根据抛物线经过点A，求出c，从而得出抛物线解析式；②把①解析式化为顶点式，再根据平移变换得出新抛物线解析式，然后把（0，0）代入解析式即可求出m的值；（2）根据题意分对称轴在y轴左侧和右侧两种情况讨论即可．【解答】解：（1）①∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，y1），B（0，y2），C（l，y3），D（2，y4），且y1＝0，y2＝y3，∴B，C为对称点，对称轴为直线x＝﹣＝＝，∴b＝1，∴y＝﹣x2+x+c，把A（﹣1，0）代入y＝﹣x2+x+c得：﹣1﹣1+c＝0，解得c＝2，∴该抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+2；②∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，∴把该抛物线向下平移2个单位，再向左平移m个单位后，所得的新抛物线解析式为y＝﹣（x﹣+m）2+﹣2，∵新抛物线经过点（1，0），∴﹣（1﹣+m）2+＝0，解得m＝0或m＝﹣1；（2）当y2＝0时，抛物线过原点（0，0），且y1、y3、y4中有且仅有一个值大于0，当抛物线对称轴在y轴左侧时，且经过原点，即b＜0，此时y3＜0，y4＜0，如图：∴y1＞0，即当x＝﹣1时，y＞0，∴﹣1﹣b＞0，解得b＜﹣1；当抛物线对称轴在y轴右侧时即b＞0，且经过原点，此时，y1＜0，若想y1、y3、y4中有且仅有一个值大于0，必然是y3＞0，y4≤0，如图：∴，解得1＜b≤2，综上所述，b的取值范围为b＜﹣1或1＜b≤2．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特点、二次函数的增减性，熟练掌握二次函数图象上的点的坐标特点及二次函数的性质是解题的关键．【提分秘籍】

针对顶点式抛物线的平移规律是：“左加右减（括号内），上加下减”，同时保持a不变。【变式演练】1．（2022•奉贤区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A、B．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B，顶点为C．（1）求该抛物线的表达式；（2）将抛物线沿y轴向上平移，平移后所得新抛物线顶点为D，如果∠BDC＝∠OAB，求平移的距离；（3）设抛物线上点M的横坐标为m，将抛物线向左平移三个单位，如果点M的对应点Q落在△OAB内，求m的取值范围．【分析】（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式即可；（2）求出定点C的坐标，过点B作BH⊥CD于H，由题意得，平移后所得新抛物线的顶点D在抛物线的对称轴上，CD的长即平移的距离，根据∠BDC＝∠OAB，利用正切函数求出DH，可得D（，5），可求出CD的长，即可求解；（3）由抛物线的对称轴可得点B关于对称轴对称的点M′的坐标为（3，2），则将抛物线向左平移三个单位，点M′的对应点和点B重合，点A的对应点为（1，0），即可得出m的取值范围．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A，B，∴A（4，0），B（0，2），抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，可得，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，∴C（，），对称轴为x＝，过点B作BH⊥CD于H，由题意得，平移后所得新抛物线的顶点D在抛物线的对称轴上，CD的长即平移的距离，∵∠BDC＝∠OAB，∴tan∠BDC＝tan∠OAB，∴，∴DH＝2BH，∵BH⊥CD，对称轴为x＝，∴BH＝，∴DH＝3，∵B（0，2），∴H（，2），∴D（，5），∵C（，），∴CD＝5﹣＝，∴平移的距离为；（3）如图，∵B（0，2），对称轴为x＝，∴点B关于对称轴对称的点M′的坐标为（3，2），∴将抛物线向左平移三个单位，点M′的对应点和点B重合，∵将抛物线向左平移三个单位，点A（4，0）的对应点为（1，0），∴3＜m＜4时，点M的对应点Q落在△OAB内，∴m的取值范围为3＜m＜4．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，配方法求顶点式，抛物线的平移，锐角三角函数等知识，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．2．（2022•静安区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知点A坐标是（2，4），点B在x轴上，OB＝AB（如图所示），二次函数的图象经过点O、A、B三点，顶点为D．（1）求点B与点D的坐标；（2）求二次函数图象的对称轴与线段AB的交点E的坐标；（3）二次函数的图象经过平移后，点A落在原二次函数图象的对称轴上，点D落在线段AB上，求图象平移后得到的二次函数解析式．【分析】（1）设B（m，0），由OB＝AB，可求B（5，0），设二次函数解析式为y＝ax（x﹣5），将（2，4）代入可求函数的解析式，从而求D点坐标；（2）求出直线AB解析式为y＝﹣x+，令x＝得y＝﹣×+＝，求得E（，）；（3）由A点的变化可知A点向右平移个单位，则D（，）向右平移个单位后点的横坐标为3，再由平移后的D点在线段AB上，从而求出平移后D点坐标为（3，），可得平移后的函数解析式为y＝﹣（x﹣3）2+．【解答】解：（1）设B（m，0），∵A坐标是（2，4），OB＝AB，∴m2＝（m﹣2）2+（0﹣4）2，解得m＝5，∴B（5，0），设二次函数解析式为y＝ax（x﹣5），将（2，4）代入得：﹣6a＝4，解得a＝﹣，∴y＝﹣x（x﹣5）＝﹣（x﹣）2+，∴顶点D（，）；（2）由（1）知二次函数图象的对称轴是直线x＝，设直线AB解析式为y＝kx+b，将A（2，4），B（5，0）代入得：，解得，∴直线AB解析式为y＝﹣x+，令x＝得y＝﹣×+＝，∴E（，）；（3）∵二次函数图象的对称轴是直线x＝，∴A点向右平移个单位，∴D（，）也向右平移个单位后点的横坐标为3，∵平移后的D点在线段AB上，∴平移后D点坐标为（3，），∴平移后的函数解析式为y＝﹣（x﹣3）2+．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象的平移的性质是解题的关键．3．（2022•宝山区二模）已知抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）经过点A（1，0）、B（2，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）将抛物线向左平移m个单位（m＞2），平移后点A、B、C的对应点分别记作A1、B1、C1，过点C1作C1D⊥x轴，垂足为点D，点E在y轴负半轴上，使得以O、E、B1为顶点的三角形与△A1C1D相似，①求点E的坐标；（用含m的代数式表示）②如果平移后的抛物线上存在点F，使得四边形A1FEB1为平行四边形，求m的值．【分析】（1）将点A（1，0）、B（2，0）代入y＝ax2+bx﹣2，即可求解；（2）①分别求出A1（1﹣m，0），B1、（2﹣m，0），C1（﹣m，﹣2），D（﹣m，0），设E（0，y），由题意可知要使三角形相似，只需∠OB1E＝∠DC1A1或∠OB1E＝∠C1A1D，当∠OB1E＝∠DC1A1，tan∠OB1E＝tan∠DC1A1＝，＝则，求出E（0，1﹣m）；当∠OB1E＝∠C1A1D，则＝2，求出E（0，4﹣2m）；②设F（x，y），当E（0，1﹣m）时，由题意可知四边形A1E为平行四边形的对角线，可得，再由y＝﹣（x﹣+m）2+，求出m＝2（舍）或m＝；同理当E（0，4﹣2m）时，求得m＝5．【解答】解：（1）将点A（1，0）、B（2，0）代入y＝ax2+bx﹣2，∴，解得，∴y＝﹣x2+3x﹣2；（2）①y＝﹣x2+3x﹣2＝﹣（x﹣）2+，平移先后抛物线解析式为y＝﹣（x﹣+m）2+，令x＝0，则y＝﹣2，∴C（0，﹣2），平移后A1（1﹣m，0），B1、（2﹣m，0），C1（﹣m，﹣2），∵C1D⊥x轴，∴D（﹣m，0），∴OB1＝m﹣2，C1D＝2，A1D＝1，设E（0，y），∴OE＝﹣y，∵∠B1OE＝90°，∠C1DA1＝90°，∴∠OB1E＝∠DC1A1或∠OB1E＝∠C1A1D，当∠OB1E＝∠DC1A1，∴tan∠OB1E＝＝，tan∠DC1A1＝＝，∴＝，∴y＝1﹣m，∴E（0，1﹣m）；当∠OB1E＝∠C1A1D，∴＝2，∴y＝4﹣2m，∴E（0，4﹣2m）；综上所述：E点坐标为（0，1﹣m）或（0，4﹣2m）；②设F（x，y），当E（0，1﹣m）时，∵四边形A1FEB1为平行四边形，∴四边形A1E为平行四边形的对角线，∴，∴x＝﹣1，∵平移先后抛物线解析式为y＝﹣（x﹣+m）2+，∴y＝（﹣+m）2+，∴1﹣m＝﹣（﹣+m）2+，解得m＝2（舍）或m＝，当m＝时，y＝﹣，F（﹣1，﹣），∴m＝；当E（0，4﹣2m）时，∵四边形A1FEB1为平行四边形，∴四边形A1E为平行四边形的对角线，∴，∴x＝﹣1，∵平移先后抛物线解析式为y＝﹣（x﹣+m）2+，∴y＝（﹣+m）2+，∴4﹣2m＝﹣（﹣+m）2+，∴m＝5或m＝2（舍）；综上所述：m＝或m＝5．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，抛物线平移的性质，平行四边形的性质是解题的关键．4．（2022年普陀区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝﹣x+1交于点A（m，0），B（﹣3，n），与y轴交于点C，联结AC．（1）求m、n的值和抛物线的表达式；（2）点D在抛物线y＝x2+bx+c的对称轴上，当∠ACD＝90°时，求点D的坐标；（3）将△AOC平移，平移后点A仍在抛物线上，记作点P，此时点C恰好落在直线AB上，求点P的坐标．【分析】（1）利用待定系数法求出A，B两点坐标即可解决问题．（2）过点D作DH⊥y轴于点H，由直角三角形的性质得出tan∠ACO＝tan∠CDH，则，可列出方程求出CH的长，则可得出答案；（3）设P（t，），得出N（t﹣3，），由点N在直线AB上可得出t的值，则可得出答案．【解答】解：（1）将A（m，0）代入y＝﹣x+1，解得m＝3，∴A（3，0），将B（﹣3，n）代入y＝﹣x+1，解得n＝2，∴B（﹣3，﹣2），把A（3，0），B（﹣3，2）代入y＝x2+bx+c中，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2．（2）如图1，过点D作DH⊥y轴于点H，∵抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2．∴抛物线的对称轴为x＝﹣＝，∴DH＝，∵∠ACD＝90°，∴∠ACO+∠DCH＝90°，又∵∠DCH+∠CDH＝90°，∴∠ACO＝∠CDH，∴tan∠ACO＝tan∠CDH，∴，由（1）可知OA＝3，OC＝2，∴，∴CH＝，∴D（，﹣）；（3）如图2，若平移后的三角形为△PMN，则MN＝OC＝2，PM＝OA＝3，设P（t，t﹣2），∴N（t﹣3，t﹣2﹣2），∵点N在直线y＝﹣x+1上，∴（t﹣3）+1，∴t＝3或t＝﹣3，∴P（3，4﹣）或P（﹣3，4+）．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，平移的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会利用参数构建方程确定点的坐标．5．（2022年金山区一模）已知：抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，1）和B（1，4），顶点为点P，抛物线的对称轴与x轴相交于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）求∠PAQ的度数；（3）把抛物线向上或者向下平移，点B平移到点C的位置，如果BQ＝CP，求平移后的抛物线解析式．【分析】（1）先将点A和点B代入抛物线解析式，求得b与c的值，然后得到抛物线的解析式；（2）先求得顶点P的坐标，然后求得点Q的坐标，最后得到∠PAQ的度数；（3）分情况讨论，①向上平移，②向下平移，然后利用两点间的距离公式求得PC和BQ的长度，然后列出方程求得平移的距离，最后求得到平移后的解析式．【解答】解：（1）将点A（0，1）和点B（1，4）代入y＝﹣x2+bx+c得，，解得：，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+4x+1．（2）∵y＝﹣x2+4x+1＝﹣（x﹣2）2+5，∴顶点P的坐标是（2，5），对称轴为直线x＝2，∴点Q的坐标为（2，0），∵A（0，1），∴，，PQ＝5，∴PA2+QA2＝PQ2，∴∠PAQ＝90°．（3）∵B（1，4），Q（2，0），∴BQ＝，①当点B向上平移a个单位时，C′（1，4+a），∵P（2，5），∴PC′＝＝，解得：a＝5或a＝﹣3（舍），∴抛物线向上平移5个单位，∴平移后的抛物线解析式是y＝﹣x2+4x+6；②当点B向下平移a个单位时，C′′（1，4﹣a），∵P（2，5），∴PC′′＝＝，解得：a＝3或a＝﹣5（舍），∴抛物线向下平移3个单位，∴平移后的抛物线解析式是y＝﹣x2+4x﹣2；综上所述，平移后的抛物线解析式是y＝﹣x2+4x+6或y＝﹣x2+4x﹣2．【点评】本题考查了二次函数的解析式、抛物线的顶点式、勾股定理，解题的关键是会用两点间的距离公式求得线段BQ和CP的长度．6.【2021年静安区二模】（本题满分12分，其中第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（2）小题3分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（5，0）（如图），经过点A的抛物线与y轴相交于点B，顶点为点C．求此抛物线表达式与顶点C的坐标；求∠ABC的正弦值；将此抛物线向上平移，所得新抛物线顶点为D，且△DCA与△ABC相似，求平移后的新抛物线的表达式．（第（第24题图）AOxy24．解：（1）∵抛物线经过点A（5，0），∴． （1分）∴． （1分）∴抛物线表达式为，顶点C的坐标为（）． （2分）（2）设抛物线的对称轴与x轴、AB分别相交于点E、F，点E（3，0）．∵点B（0，5），∴OA=OB=5,AB＝，∠OAB=45°，∴EF=AE=2，CF=6． （1分）∴． （2分）过点A作AH⊥BC，垂足为H，∵BC=，∴． （1分）∴．∴． （1分）（3）∵，∴Rt△AEC∽Rt△AHB，∴∠ACE=∠ABC．∵△DCA与△ABC相似，∴或． （1分）∴或．∴CD=或CD=6． （1分）∵抛物线和y轴的交点向上平移的距离与顶点平移的距离相同，∴平移后的抛物线的表达式为或． （1分）7.【2021年长宁二模】如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣x+c经过点A（1，0）、B（3，0），且与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如果将抛物线向左平移m（m＞0）个单位长度，联结AC、BC，当抛物线与△ABC的三边有且只有一个公共点时，求m的值；（3）如果点P是抛物线上一动点，且在点B的右侧，联结PC，直线PA交y轴于点E，当∠PCE＝∠PEC时，求点P的坐标．【答案】（1）；（2）m＝4；（3）【解析】【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）当抛物线与△ABC的三边有且只有一个公共点时，则抛物线过点C（0，4），即可求解；（3）求出直线PA的表达式，得到点E的坐标为（0，−t＋4），由∠PCE＝∠PEC，则点P在CE的中垂线上，进而求解．【详解】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，解得故抛物线的表达式为；（2）令x=0，y=4∴C（0，4）当抛物线与△ABC的三边有且只有一个公共点时，则抛物线过点C（0，4）由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝2，则平移后抛物线再过点C时，m＝4；（3）设点P的坐标为（t，)，设直线PA的表达式为y＝kx+b，代入A、P坐标得，解得，∴直线PA的表达式为y＝（）x，令x=0，y=故点E的坐标为（0，﹣t+4），而点C（0，4），∵∠PCE＝∠PEC，则点P在CE的中垂线上，由中点公式得：yP＝（yC+yE），即＝（t+4），解得t＝1（舍去）或，故点P的坐标为．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、中垂线的性质、图形的平移等，有一定的综合性，难度适中．8．（2021·上海普陀区·九年级一模）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与轴交于点，顶点的坐标为．（1）直接写出点的坐标，并求抛物线的表达式；（2）设点在轴上，且，直线与抛物线的另一个交点为点．①求点、的坐标；②将抛物线沿着射线的方向平移；平移后的抛物线顶点仍在线段上；点的对应点为点．设线段与轴的交点为点，如果与相似，求点的坐标．【答案】（1），；（2）①，；②坐标为【分析】（1）根据抛物线与轴的交点是当x=0时，求y的值即可，根据顶点坐标设顶点式：，再将点代入即可求解；（2）①根据，先求出C的坐标，根据待定系数法求出直线AC的解析式，联立直线与抛物线即可得D点坐标；②先根据待定系数法求出直线BD的解析式，根据相似的性质即可求解．【详解】解：（1）当x=0时，y=1∴．∵顶点，将代入得：1=4a1解得：a=（2）如图：设直线AB的解析为:y=kx+1，将B(2,1)代入得:1=2k+1解得：k=1∴y=x+1当y=0时，x=1∴Q(1,0)故△AOQ是等腰直角三角形∴∠BAO=45°①或（舍），②，设，，，，1）若，2）若．此时点横向移动距离大于点最大横向移动距离（舍）综上，点坐标为．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象及性质，以及相似三角形的性质，熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合讨论交点是解题的关键．【题型二】翻折运动【典例分析】（2022•金山区二模）已知：在直角坐标系中直线y＝﹣x+4与x轴、y轴相交于点A、B，抛物线y＝﹣+bx+c经过点A和点B．（1）求抛物线的解析式；（2）如果直线AB与抛物线的对称轴相交于点C，求OC的长；（3）P是线段OA上一点，过点P作直线AB的平行线，与y轴相交于点Q，把△OPQ沿直线PQ翻折，点O的对应点是点D，如果点D在抛物线上，求点P的坐标．【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出抛物线的对称轴为直线x＝1，再求出点C的坐标，即可得出结论；（3）设点P的坐标为（t，0），先得出四边形DPOQ为矩形，再得出四边形DPOQ为正方形，最后得出点D的坐标，列出方程求解即可．【解答】解：（1）直线y＝﹣x+4与x轴、y轴相交于点A、B，∴A（4，0）、B（0，4），代入抛物线得：，∴b＝1，c＝4，∴抛物线的解析式为：．（2）由＝，可得抛物线的对称轴为直线x＝1，当x＝1时，y＝﹣x+4＝3，∴C（1，3），∴．（3）如图，设点P的坐标为（t，0），∵AO＝BO＝4，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∵PQ∥AB，∴∠OPQ＝∠OQP＝45°，∴∠DPO＝∠DQO＝90°，又∠POQ＝90°，∴四边形DPOQ为矩形，∵OP＝OQ，∴四边形DPOQ为正方形，∴DP＝DQ＝OP＝t，∴四边形DPOQ为正方形，∴D（t，t），∴，解得：，（不合题意，舍去），∴点P是坐标为：（，0）．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式，正确画出图象是解题的关键．【提分秘籍】当抛物线关于x轴、y轴翻折时，开口方向、顶点坐标、解析式又会如何变化呢？

让我们先来观察下翻折变换后函数图像的变化：

通过观察图像，我们发现：当图像关于y轴翻折时，开口方向不变，顶点横坐标变为相反数，顶点纵坐标不变；当图像关于x轴翻折时，开口方向改变，顶点横坐标不变，顶点纵坐标互为相反数。

因此归纳如下表格：【变式演练】1．（2022•崇明区二模）如图．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．点M为线段OB上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交直线BC于点F，交抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）当以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似时，求线段EF的长度；（3）如果将△ECF沿直线CE翻折，点F恰好落在y轴上点N处，求点N的坐标．【分析】（1）根据点A的坐标和对称轴可得关于a、c的方程组，解方程组可得答案；（2）首先利用点B、C的坐标可得直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，则∠MBF＝∠FBM＝∠CFE＝45°，设F（m，﹣m+3），则E（m，﹣m2+2m+3），表示出EF和CF的长度，再根据相似三角形的判定与性质，从而解决问题；（3）根据平行线的性质和翻折的性质可得CF＝EF，从而得出m的方程，即可解决问题．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，所以，所求的抛物线的解析式是：y＝﹣x2+2x+3；（2）由题意得：B（3，0），C（0，3），∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，∴∠MBF＝∠FBM＝∠CFE＝45°，设F（m，﹣m+3），则E（m，﹣m2+2m+3），∴，当以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似时，①若，则，∴或m＝0（舍去），∴，②若，则，∴或m＝0（舍去），∴，∴EF＝或；（3）∵△CEN是由△CEF沿直线CE翻折而得，∴CN＝CF，∠NCE＝∠ECF，∵NC∥EF，∴∠NCE＝∠CEF，∴∠ECF＝∠CEF，∴CF＝EF，∵，解得：（舍去），∴，所以，N的的坐标是．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，翻折的性质，一元二次方程等知识，熟练掌握平行线与角平分线得出等腰三角形是解决问题（3）的关键．【题型三】旋转运动【典例分析】（2023徐汇区一模）如图，二次函数y＝+bx+c的图象交坐标轴于点A（4，0），B（0，﹣2），点P为x轴上一动点．（1）求二次函数y＝+bx+c的表达式；（2）将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PD，若D恰好在抛物线上，求点D的坐标；（3）过点P作PQ⊥x轴分别交直线AB，抛物线于点Q，C，连接AC．若以点B、Q、C为顶点的三角形与△APQ相似，直接写出点P的坐标．【分析】（1）将A（4，0），B（0，﹣2），代入y＝+bx+c，即可求解；（2）设P（t，0），过点D作x轴垂线交于点N，可证明△PND≌△BOP（AAS），则D（t+2，﹣t），将D点代入抛物线解析式得﹣t＝（t+2+3）（t+2﹣4），求得D（3，﹣1）或D（﹣8，10）；（3）根据∠ADC＝90°，∠ACD＝∠BCP，可知相似存在两种情况：①当∠CBP＝90°时，待定系数法求得直线BC的解析式，解方程组得到P点的坐标；②当∠CPB＝90°时，如图2，则B和P是对称点，可得P的纵坐标为﹣2，代入抛物线的解析式可得结论；【解答】解：（1）将A（4，0），B（0，﹣2），代入y＝+bx+c得，解得，∴二次函数y＝+bx+c的表达式y＝x2﹣x﹣2；（2）当x＝0时，y＝x2﹣x﹣2＝﹣2，∴OB＝2，设P（t，0），如图2，过点D作x轴垂线交于点N，∵∠BPD＝90°，∴∠OPB+∠NPD＝90°，∠OPB+∠OBP＝90°，∴∠NPD＝∠OBP，在△PND和△BOP中，，∴△PND≌△BOP（AAS），∴OP＝ND，BO＝PN，∴D（t+2，﹣t），∴﹣t＝（t+2+3）（t+2﹣4），解得t＝1或t＝﹣10，∴D（3，﹣1）或D（﹣8，10）；（3）设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴设直线AB的解析式为y＝x﹣2，∵PC∥y轴，∴∠APQ＝90°，∵∠AQP＝∠BQC，∴以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，存在两种情况：①当∠CBQ＝90°时，设P（x，0），则C（x，x2﹣x﹣2），Q（x，x﹣2），∵∠APQ＝∠CBQ＝90°，∠AQP＝∠CQB，∴△APQ∽△CBQ，∵BC⊥AB，∴设直线BC的解析式为y＝ax+c，∴a＝﹣2，c＝﹣2，∴直线BC的解析式为y＝﹣2x﹣2，解得，或（不合题意舍去），∴P（﹣11，0）；（②当∠BCQ＝90°时，则B和C是关于对称轴的对称点，当y＝﹣2时，x2﹣x﹣2＝﹣2，∴x1＝0（舍），x2＝1，∴P（1，0）；综上，