专题15.3分式（章节复习考点讲练）学生版

20232024学年人教版数学八年级上册同步专题热点难点专项练习专题15.3分式（章节复习+考点讲练）知识点01：分式的有关概念及性质1．分式一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.细节剖析:分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义.2.分式的基本性质

（M为不等于0的整式）.

3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简.知识点02：分式的运算1．约分利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.2．通分利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．3．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.（2）乘法运算，其中是整式，.两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算，其中是整式，.两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.（4）乘方运算分式的乘方，把分子、分母分别乘方。

4．零指数

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5.负整数指数

6.分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.知识点03：分式方程1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根增根.细节剖析:因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.知识点04：分式方程的应用

列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.【典例分析】（2016秋•戚墅堰区校级月考）不改变分式的值，把分子分母中各项系数化为整数，结果是．【思路点拨】根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式（或整式），分式的值不变，可得答案．【规范解答】解：式的值，把分子分母中各项系数化为整数，结果是，故答案为：．【考点评析】此题考查了分式的基本性质，关键是熟悉分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变的知识点．【变式训练11】（2023春•临漳县期末）若，则x应满足的条件是（）A．x≠0 B．x≠2 C．x≠0且x≠2 D．x≠0或x≠2【思路点拨】根据分式有意义的条件和分式的基本性质得出x≠0且x﹣2≠0，再求出答案即可．【规范解答】解：∵，∴x≠0且x﹣2≠0，∴x≠0且x≠2．故选：C．【考点评析】本题考查了分式有意义的条件和分式的基本性质，能熟练掌握分式有意义的条件（分式中分母B≠0）和分式的基本性质是解此题的关键．【变式训练12】（2022秋•南川区期末）若分式中的x和y都扩大到原来的2倍，那么分式的值（）A．扩大到原来的2倍 B．缩小到原来的 C．不变 D．缩小到原来的【变式训练13】（2022秋•张店区校级月考）不改变分式的值，把分式的分子、分母的系数都化为整数的结果是．【变式训练14】（2021秋•龙凤区期末）阅读下列解题过程，然后解题：题目：已知（a、b、c互不相等），求x+y+z的值．解：设，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a），∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，∴x+y+z＝0．依照上述方法解答下列问题：已知：，其中x+y+z≠0，求的值．【变式训练15】（2022秋•岳阳县校级月考）．①．【典例分析】（2023•雁峰区校级一模）试卷上一个正确的式子（+）÷★＝，被小颖同学不小心滴上墨汁，被墨汁遮住部分的代数式★为．．【思路点拨】根据已知分式得出被墨汁遮住部分的代数式是（+）÷，再根据分式的运算法则进行计算即可．【规范解答】解：∵（+）÷★＝，∴被墨汁遮住部分的代数式是：（+）÷，＝•＝•＝．故答案为：．【考点评析】本题考查了分式的混合运算，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．【变式训练21】（2022秋•仙居县期末）阳阳同学在复习老师已经批阅的作业本时，发现有一道填空题破了一个洞（如图所示），■表示破损的部分．则破损部分的式子可能是（）A． B． C． D．【变式训练22】（2023•张家口模拟）若分式□的运算结果为x（x≠0），则在“口”中添加的运算符号为（）A．+ B．﹣ C．+或÷ D．﹣或×【变式训练23】（2021秋•硚口区期末）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的正方形减去一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a﹣1）米的正方形，两块试验田的小麦都收获了m千克．则高的单位面积产量比低的单位面积产量多几分之几？多的这个值是．【变式训练24】（2023春•万州区月考）计算：（x+2y）（x﹣2y）﹣x（x+3y）；（2）．【变式训练25】（2022秋•仙居县期末）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为am（a＞1）的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a﹣1）m的正方形，两块试验田收获了相同数量的小麦．（1）哪种小麦的单位面积产量高？请说明理由．（2）若“丰收1号”与“丰收2号”小麦单位面积产量之比为10：11，求a的值．【变式训练26】（2022秋•沙河市期末）下面是佳佳同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．＝①＝②＝x﹣1+2③＝x+1④（1）以上化简步骤，从第步开始出现错误；（2）请给出正确的解题过程．【典例精讲】（2022秋•曲靖期末）若，则的结果是（）A．23 B．25 C．27 D．29【思路点拨】将左右两边进行平方运算，然后化简求值即可．【规范解答】解：∵，∴，即，∴．故选：C．【考点评析】本题考查的是分式的化简求值及完全平方公式，能熟练掌握完全平方公式是解题的关键．【变式训练31】（2023•市中区校级模拟）若a＝﹣1，则的值为（）A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3【变式训练32】（2022秋•辛集市期末）如果＝．＝．【变式训练32】（2022秋•海淀区校级月考）已知＝，则y2+3y+x的值为．【变式训练33】（2021秋•长安区期末）如果a＝﹣，那么分式（1﹣）÷的值是．【变式训练34】（2023•鞍山）先化简，再求值：（+1），其中x＝4．【变式训练35】．（2023春•成县期末）先化简，然后在﹣2，﹣1，0，1中选择一个适当的数代入求值．【典例精讲】（2022秋•葫芦岛期末）勿忘草是多年生草本植物，它拥有世界上最小的花粉，勿忘草的花粉直径为0.000004米，数据0.000004用科学记数法表示为4×10﹣6．【思路点拨】绝对值小于1的利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【规范解答】解：0.000004＝4×10﹣6，故答案为：4×10﹣6．【考点评析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面0的个数所决定．【变式训练41】（2023春•平顶山期末）皮米是较小的长度单位，已知1皮米＝0.001纳米，1纳米＝10﹣9米，则1皮米等于（）A．10﹣13米 B．10﹣12米 C．10﹣11米 D．10﹣10米【变式训练42】（2023•高新区一模）华为使用了自主研发的海思麒麟芯片，目前最新的型号是麒麟990．芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求是体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的电力功耗，而麒麟990的晶体管栅极的宽度达到了0.000000007毫米，将数据0.000000007用科学记数法表示为（）A．7×10﹣8 B．7×10﹣9 C．0.7×10﹣8 D．0.7×10﹣9【变式训练43】（2022秋•铁岭县期末）目前我国新冠肺炎病例仍有发生，我们切不可以掉以轻心，要做好日常防护．科学研究表明，新冠病毒比细菌小很多，平均直径仅为0.000000098m．这个数0.000000098用科学记数法表示为．【变式训练44】科学家研究发现，水的一个分子的质量大约是3×10﹣26kg，10g水中大约有多少个水分子？通过进一步研究，科学家又发现，一个水分子是由两个氢原子和一个氧原子构成的．已知一个氧原子的质量约为2.665×10﹣26kg，求一个氢原子的质量．【典例精讲】（2023春•美兰区校级期中）计算：5﹣2＝，＝16．【思路点拨】根据负整数指数幂的运算法则进行计算即可．【规范解答】解：；．故答案为：；16．【考点评析】本题考查了整式的运算，解决本题的关键是能够熟练掌握负整数指数次幂的运算法则．注意：其中n为整数，a≠0．【变式训练51】（2023春•大埔县期末）计算的结果是（）A．﹣9 B． C． D．9【变式训练52】（2022秋•武昌区校级期末）设，b＝（﹣2）0，c＝（﹣3）2，则a、b、c的大小顺序是（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a【变式训练53】（2022秋•江口县校级月考）若代数式（3x+3）0+（2x﹣1）﹣2有意义，则x的取值范围是【变式训练54】（2023春•金沙县期末）计算：．【典例精讲】（2022•牡丹区二模）对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b＝，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3＝＝﹣．则方程x⊗（﹣2）＝﹣1的解是x＝5．【思路点拨】已知等式利用题中的新定义化简，求出解即可．【规范解答】解：根据题中的新定义化简得：＝﹣1，去分母得：1＝2﹣x+4，解得：x＝5，经检验x＝5是分式方程的解，故答案为：x＝5【考点评析】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．【变式训练61】（2023•高新区校级模拟）解分式方程时，去分母化为一元一次方程，正确的是（）A．x+2＝3 B．x﹣2＝3 C．x+2＝3（2x﹣1） D．x﹣2＝3（2x﹣1）【变式训练62】（2022秋•临西县期末）小明和小亮解答“解分式方程：”的过程如下，对他们的解答过程有以下判断，判断正确的是（）小明的解法：解：去分母，得2x+3＝1﹣（x﹣1），①去括号，得2x+3＝1﹣x+1，②移项，得2x+x＝1+1﹣3，③合并同类项，得3x＝﹣1，④系数化为1，得x＝﹣，⑤经检验x＝﹣是原分式方程的解．⑥小亮的解法：解：去分母，得2x+3＝x﹣（x﹣1），①去括号，得2x+3＝x﹣x+1，②移项，得2x＝﹣3+1，③合并同类项，得2x＝﹣2，④系数化为1，得x＝﹣1，⑤经检验x＝﹣1是原分式方程的解．⑥A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确 C．两人都正确 D．两人都错误【变式训练63】（2023春•天长市校级月考）在实数范围内定义运算“※”；m※n＝，请解决下列问题：（1）3※2＝；（2）若（x﹣1）※，则2A﹣B＝．【变式训练64】（2023春•襄汾县月考）已知分式方程，由于印刷问题，有一个数“▲”看不清楚．（1）若“▲”表示的数为6，求分式方程的解；（2）小华说“我看到答案是原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“▲”代表的数．【变式训练65】（2023春•成县期末）解分式方程．（2）．【典例精讲】（2022秋•港北区期中）如果用换元法解分式方程，并设，那么原方程可化为（）A． B． C． D．y+【思路点拨】设，则＝，再把方程变形求解．【规范解答】解：设，原方程可化为：y﹣+3＝0，故选：B．【考点评析】本题考查了换元法解分式方程，转换思想是解题的关键．【变式训练71】（2022秋•仁寿县校级月考）若，则＝（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2【变式训练72】（2022秋•青浦区校级期末）解分式方程+＝时，设＝y，则原方程化为关于y的整式方程是．【变式训练73】（2022秋•华容区期末）阅读下面材料，解答后面的问题．解方程：﹣＝0．解：设y＝，则原方程化为：y﹣＝0，方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0，解得：y1＝2，y2＝﹣2．经检验：y1＝2，y2＝﹣2都是方程y﹣＝0的解．当y＝2时，＝2，解得：x＝﹣1；当y＝﹣2时，＝﹣2，解得：x＝．经检验：x1＝﹣1或x2＝都是原分式方程的解．∴原分式方程的解为x1＝﹣1或x2＝．上述这种解分式方程的方法称为换元法．问题：若在方程﹣＝0中，设y＝，则原方程可化为：（2）若在方程﹣＝0中，设y＝，则原方程可化为：（3）模仿上述换元法解方程：﹣﹣1＝0．【典例精讲】（2023春•清江浦区期末）若关于x的分式方程＝有增根，则实数m的值是5．【思路点拨】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根得到x﹣1＝0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．【规范解答】解：去分母得：3x+2＝m，由分式方程有增根，得到x﹣1＝0，即x＝1，把x＝1代入整式方程得：3+2＝m，解得：m＝5，故答案为：5．【考点评析】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【变式训练81】（2023春•上城区期末）若关于x的分式方程有增根，则常数m的值是（）A．3 B．5 C．﹣3 D．﹣5【变式训练82】（2023春•莲池区校级期末）若关于x的分式方程＝2有增根，则增根是（）A．0 B．﹣1 C．2 D．3【变式训练83】（2023春•皇姑区期末）若关于x的方程＝+2产生增根，那么m的值是．【变式训练84】（2023春•濉溪县校级月考）已知关于x的方程．（1）当k＝1时，求该方程的解；（2）若方程有增根，求k的值．【变式训练85】（2023春•和平区校级期中）关于x的分式方程．（1）若方程的增根为x＝2，求m的值；（2）若方程有增根，求m的值；（3）若方程无解，求m的值．【典例精讲】（2022秋•张店区期中）通过对《分式与分式方程》一章的学习，我们知道用分式方程解决实际问题的一般步骤：请根据所给分式方程，联系生活实际，编写一个能通过列出此分式方程进行解决的实际问题：（某工厂安排甲、乙两人分别生产1400个零件的任务，乙每天生产的零件个数是甲每天生产的零件个数的2.8倍，且乙比甲提前9天完成任务，求甲、乙每天各生产多少个零件？（答案不唯一）．（要求题目完整，题意清楚，不要求解方程）【思路点拨】由分式方程里面的数量关系编写题目即可．【规范解答】解：某工厂安排甲、乙两人分别生产1400个零件的任务，乙每天生产的零件个数是甲每天生产的零件个数的2.8倍，且乙比甲提前9天完成任务，求甲、乙每天各生产多少个零件？故答案为：某工厂安排甲、乙两人分别生产1400个零件的任务，乙每天生产的零件个数是甲每天生产的零件个数的2.8倍，且乙比甲提前9天完成任务，求甲、乙每天各生产多少个零件？【考点评析】此题主要考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确编写符合题意的分式方程是解题的关键．【变式训练91】（2022秋•河北期末）某市为解决冬季取暖问题需铺设一条长3500米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，实际施工时“…”，设实际每天铺设管道x米，则可得方程，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应补为（）A．每天比原计划多铺设10米，结果提前15天完成 B．每天比原计划少铺设10米，结果延期15天完成 C．每天比原计划少铺设15米，结果延期10天完成 D．每天比原计划多铺设15米，结果提前10天完成【变式训练92】（2021秋•曹县期末）甲、乙两人同时分别从A，B两地沿同一条公