数学层级训练：对数及其运算

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精3。2对数与对数函数3．2。1对数及其运算知识点一：对数的概念1．若对数log（x－1）(4x－5)有意义，则x的取值范围是A.eq\f(5，4)≤x〈2B.eq\f（5，2)〈x〈2C.eq\f（5，4）〈x<2或x〉2D．2≤x≤32．若logxeq\r（7，y)＝z，则A．y7＝xzB．y＝x7zC．y＝7xzD．y＝z7x3．lg10＋lg100＋lg1000等于A．10B．100C．1000D．6知识点二：积、商、幂的对数4．若a>0，a≠1，x〉0，y〉0，x〉y，下列式子中正确的个数是①logax·logay＝loga（x＋y)②logax－logay＝loga（x－y)③logaeq\f（x,y）＝logax÷logay④logaxy＝logax·logayA．0B．1C．2D．35．lg8＋3lg5的值为A．－3B．－1C．1D．36．若x·log34＝1,则4x＋4－x等于A.eq\f(10,3）B．6C。eq\f（8，3）D.eq\f（16，3)7．若lg（x－y）＋lg(x＋2y）＝lg2＋lgx＋lgy，则eq\f（x,y）＝__________。8．lg20＋log10025＝__________.知识点三：换底公式9．若logab·log3aA．a3B．a5C．35D．510．设log34·log48·log8m＝log411。eq\f(log23，log89）·eln1的值是__________．12．已知log189＝a,18b＝5，求log3645。（用含a,b的式子表示)能力点一：对数的运算13．计算2log525＋3log264－8log71等于A．14B．220C．8D．2214．若a>0且a≠1,则满足ax＝lg0。3的x值有A．0个B．1个C．3个D．无穷多个15．设5lgx＝25，则x的值为A．10B．±10C．100D．±10016．log（eq\r(2)－1）（3＋2eq\r(2)）＝__________。17．求eq\f（log5\r（2）·log79,log5\f（1,3）·log7\r（3，4)）＋log2(eq\r（3＋\r(5)）－eq\r（3－\r(5））)的值．18．化简：eq\f(lg3＋\f（2,5)lg9＋\f(3,5)lg\r（27)－lg\r(3），lg81－lg27).能力点二：对数与方程、对数与不等式的综合19．如果方程lg2x＋(lg2＋lg3）lgx＋lg2·lg3＝0的两根为lgx1、lgx2，那么x1·x2的值为A．lg2·lg3B．lg2＋lg3C。eq\f（1，6)D．－620．若log(1－x)(1＋x）2＝1，则x＝__________。21．如果eq\f（lgx＋lgy,lgx）＋eq\f（lgx＋lgy，lgy)＋eq\f（[lgx－y]2，lgx·lgy）＝0，求x，y及log2(xy）的值．22.比较a＝logeq\f(1,2）3，b＝(eq\f(1，3）)0.2,c＝2eq\f(1,3）的大小．23．已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z,2x＝py.（1）求p；(2)证明eq\f(1,z)－eq\f（1,x）＝eq\f(1,2y）.24．设logac,logbc是方程x2－3x＋1＝0的两根，求logeq\f(a,b)c的值．答案与解析基础巩固1．C2。B3.D4.A5．D原式＝lg8＋lg53＝lg(8×53）＝lg1000＝lg103＝3.6．A∵x＝eq\f（1，log34)＝log43,∴4x＋4－x＝4log43＋4－log43＝3＋eq\f(1,3）＝eq\f(10，3).7．28．2原式＝lg20＋log10252＝lg20＋lg5＝lg100＝lg102＝2.9．C由换底公式，得eq\f（lgb，lga)·eq\f(lga,lg3)＝eq\f（lgb，lg3)＝log3b＝5,∴b＝35。10．911.eq\f(3，2)12．解:∵18b＝5,∴b＝log185.∴log3645＝eq\f(log1845，log1836）＝eq\f(log185＋log189，log1818＋log182)＝eq\f(a＋b，1＋log1818－log189)＝eq\f（a＋b，2－a）。∴log3645＝eq\f(a＋b,2－a)。能力提升13．D14．A设lg0。3＝t,则10t＝0。3〈1.∵t<0,即ax<0，∴不存在x的值使ax＝lg0.3。15．C16．－2原式＝log(eq\r（2)－1)(eq\r（2）＋1)2＝2log(eq\r（2）－1）(eq\r(2)＋1)＝2log(eq\r(2）－1）eq\f(1,\r(2)－1)＝2log(eq\r（2）－1）（eq\r（2)－1)－1＝－2。17．解：原式＝eq\f（\f（1,2）·2log52·log73，－log53·\f（2,3）·log72)＋log4（eq\r（3＋\r（5))－eq\r(3－\r（5)))2＝(－eq\f（1，2）log32）·3log23＋log42＝－eq\f（3,2)＋eq\f(1，2)＝－1。18．解：方法一：原式＝eq\f(lg3＋\f（4，5)lg3＋\f（9，10)lg3－\f（1,2）lg3，4lg3－3lg3)＝eq\f(1＋\f（4，5)＋\f(9,10)－\f（1，2)lg3,4－3lg3）＝eq\f(11,5).方法二（逆用公式）：原式＝eq\f（lg3×9\f(2，5)×27\f（1，2)×\f（3，5)×3－\f(1,2），lg\f（81,27）)＝eq\f（lg3\f（11,5),lg3）＝eq\f(11，5）。19．C由已知,得lgx1＋lgx2＝－（lg2＋lg3）＝lgeq\f(1,6)。∴lgx1＋lgx2＝lgx1x2＝lgeq\f(1，6)。∴x1x2＝eq\f（1,6).20．－3x满足eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x≠－1，，1－x>0，,1－x≠1，,1＋x2＝1－x，）)解得x＝－3。21．解：去分母，得lgy（lgx＋lgy）＋lgx（lgx＋lgy）＋[lg（x－y)]2＝0，即（lgx＋lgy)2＋［lg(x－y)］2＝0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（lgx＋lgy＝0，，lgx－y＝0.）)∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（xy＝1，，x－y＝1.)）∴x，－y是方程t2－t－1＝0的两个实根．又x，y〉0，且x≠1，y≠1，x〉y，∴x＝eq\f（\r(5)＋1,2)，y＝eq\f(\r(5）－1，2）。∴log2（xy)＝log21＝0。22．解：由指数函数y＝(eq\f(1，3））x及y＝2x的性质可知,b＝（eq\f(1，3))0。2∈（0，1）,c＝2eq\f（1,3)∈(1，＋∞）,∴c〉b.由对数的定义知，（eq\f(1,2）)a＝3,由函数y＝(eq\f（1,2））x的性质知，a<0.综上知，c〉b〉a.拓展探究23．解:(1)设3x＝4y＝6z＝k（显然k〉0且k≠1），则x＝log3k,y＝log4k，z＝log6k。由2x＝py2log3k＝plog4k＝p·eq\f（log3k,log34),又log3k≠0，∴p＝2log34。（2)证明：eq\f（1，z）－eq\f（1，x）＝eq\f(1，log6k)－eq\f（1,log3k）＝logk6－logk3＝logk2＝eq\f（1，2）logk4＝eq\f(1,2y)。∴eq\f(1,z)－eq\f（1，x)＝eq\f(1，2y).24．解：∵logac，logbc是方程x2－3x＋1＝0的两根，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(logac＋logbc＝3，，logac·logbc＝1.))∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（\f（1，logca)＋\f(1，logcb）＝3，，l