实际问题与一元二次方程（几何问题和数字问题）（导学案）-九年级数学上册同步备课系列

学习目标1.根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程。2.通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识。思维导图引入新课【提问】回顾列方程解决实际问题的基本步骤?【提问】计算下列图形面积?新知探究【问题】要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？【提问1】本题要解决什么问题？【提问2】上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是多少？如何表示？【提问3】本题中的等量关系是什么？你能解决这个问题吗?【问题】如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面问题？请你试一试。【提问4】中央矩形的长与宽还可以怎么表示？你能解决这个问题吗?【问题】如图,在一块长为92m,宽为60m的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽都相等,水渠把耕地分成面积均为885m2的6块小矩形，水渠应挖多宽？【提问1】你能用几种方法表示水渠的面积？【提问2】你能解决这个问题吗?典例分析例1等腰梯形的面积为160cm2，上底比高多4cm，下底比上底多16cm，求这个梯形的高。[针对训练]1.如图，准备在一块长为30米，宽为24米的长方形花圃内修建四条宽度相等，且与各边垂直的小路，四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，若四条小路所占面积为80平方米，则小路的宽度为_____米．2.如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为18m，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长35m，围成长方形的养鸡场四周不能有空隙．（1）要围成养鸡场的面积为150m2，则养鸡场的长和宽各为多少？（2）围成养鸡场的面积能否达到200m2？请说明理由．探究新知【问题】通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄。【提问】你能将题干内容转化为数学语言吗？【提问2】本题中的等量关系是什么？你能解决这个问题吗?【问题】一个两位数的个位数字与十位数字的和为9，并且个位数字与十位数字的平方和为45，求这个两位数.典例分析典例2一个两位数是一个一位数的平方，把这个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数，比把这个一位数放在这个两位数的右边所成的三位数大252，求这个两位数．1两个连续奇数的积为255，若设其中较小的奇数为x，则可列方程为_________________，这两个数分别为_______________．[能力提升]1．第十四届国际数学教育大会（ICME—14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745，八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字，八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×(1)八进制数3747换算成十进制数是______；(2)小华设计了一个n进制数234，换算成十进制数是193，求n的值．2阅读材料，回答下列问题：反序数：有这样一对数，一个数的数字排列完全颠倒过来变成另一个数，简单的说，就是顺序相反的两个数，我们把这样的一对数称为“反序数”，比如：12的反序数是21，456的反序数是654．用方程知识解决问题：若一个两位数，其十位上的数字比个位上的数字大3，这个两位数与其反序数之积为1300，求这个两位数．3如图，某中学课外兴趣小组准备围建一个矩形花园ABCD，其中一边靠墙，另外三边用总长为60m的篱笆围成，与墙平行的一边BC上要预留2m宽的入口（如图中MN所示，不用篱笆），已知墙长为28m．(1)当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米；(2)能否围成500平方米的矩形花园?若能求出BC长；若不能，说明理由．直击中考1．（2022·江苏泰州真题）如图，在长为50m，宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？2．（2021·山西省真题）2021年7日1日建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）．课堂小结【参考答案】新知探究【问题】要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？【提问1】本题要解决什么问题？（几何问题）【提问2】上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是多少？如何表示？（封面的长宽之比是9∶7，中央的矩形的长宽之比也应是9∶7。设中央的矩形的长和宽分别是9acm和7acm，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是：12(27-9a):12【提问3】本题中的等量关系是什么？你能解决这个问题吗?等量关系:中央矩形的长×设上、下边衬的宽均为9ycm，左、右边衬的宽均为7ycm，由题意得(27-18y)(21-14y)=34×解方程得y1=6+33所以9y=1.8cm，7y=1.4cm答：上、下边衬的宽度为1.8cm，左、右边衬的宽度为1.4cm【问题】如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面问题？请你试一试。【提问4】中央矩形的长与宽还可以怎么表示？你能解决这个问题吗?设正中央的矩形长和宽分别为9xcm，7xcm由题意得9x×7x=34则x1=33故上、下边衬的宽度为27−9x2左、右边衬的宽度为21−7x2答：上、下边衬的宽度为1.8cm，左、右边衬的宽度为1.4cm【问题】如图,在一块长为92m,宽为60m的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽都相等,水渠把耕地分成面积均为885m2的6块小矩形，水渠应挖多宽？【提问1】你能用几种方法表示水渠的面积？1.设水渠宽为xm，将所有耕地的面积拼在一起，变成一个新的矩形，它的长为(92–2x)m,宽(60-x)m.新矩形的面积为5310m2。（利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理）2.设水渠宽为xm，水渠的总面积为92x+2×60x-2x2，耕地总面积-水渠面积=5310m2。【提问2】你能解决这个问题吗?解法1：设水渠的宽应挖xm.(92-2x)（60-x）=6×885解得x1=105(舍去），x2=1答：水渠应挖1米宽解法2：设水渠的宽应挖xm.92×60-92x-2×60x+2x2=6×885解得x1=105(舍去），x2=1答：水渠应挖1米宽典例分析例1等腰梯形的面积为160cm2，上底比高多4cm，下底比上底多16cm，求这个梯形的高。解：设这个梯形的高为xcm，则上底为(x+4)cm，下底为(x+20)cm.根据题意得12整理，得x2+12x-160=0解得x1=8,x2=－20(不合题意，舍去)答：这个梯形的高为8cm.[针对训练]1.如图，准备在一块长为30米，宽为24米的长方形花圃内修建四条宽度相等，且与各边垂直的小路，四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，若四条小路所占面积为80平方米，则小路的宽度为___1.25__米．2.如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为18m，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长35m，围成长方形的养鸡场四周不能有空隙．（1）要围成养鸡场的面积为150m2，则养鸡场的长和宽各为多少？（2）围成养鸡场的面积能否达到200m2？请说明理由．解：1）设养鸡场的宽为xm，根据题意得：x（35﹣2x）＝150，解得：x1＝10，x2＝7.5，当x1＝10时，35﹣2x＝15＜18，当x2＝7.5时35﹣2x＝20＞18，（舍去），则养鸡场的宽是10m，长为15m．2）设养鸡场的宽为xm，根据题意得：x（35﹣2x）＝200，整理得：2x2﹣35x+200＝0，△＝（﹣35）2﹣4×2×200＝1225﹣1600＝﹣375＜0，因为方程没有实数根，所以围成养鸡场的面积不能达到200m2。探究新知【问题】通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄。【提问】你能将题干内容转化为数学语言吗？周瑜三十岁当东吴都督，去世时的年龄是两位数（不小于30岁），十位数字比个位数字小三，个位数字的平方等于他去世时的年龄。【提问2】本题中的等量关系是什么？你能解决这个问题吗?等量关系：周瑜去世时的年龄=年龄个位数字的平方。【详解】解：设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x−3，依题意得：10x−3解得x1=5，当x=5时，25<30，（不合题意，舍去），当x=6时，36>30（符合题意），答：周瑜去世时的年龄为36岁。【问题】一个两位数的个位数字与十位数字的和为9，并且个位数字与十位数字的平方和为45，求这个两位数.【详解】设个位数字为x，则十位数字为9−x.得x1=3∴这个两位数为36或63.典例分析典例2一个两位数是一个一位数的平方，把这个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数，比把这个一位数放在这个两位数的右边所成的三位数大252，求这个两位数．【详解】设一位数为x，则两位数为x2则根据题意可得：100x+x2整理得：x2分解得：x−4x−7解得：x1=4，答：这个两位数为16或49．1两个连续奇数的积为255，若设其中较小的奇数为x，则可列方程为________xx+2=255_________，这两个数分别为______−17,−15或15,17____[能力提升]1．第十四届国际数学教育大会（ICME—14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745，八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字，八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×(1)八进制数3747换算成十进制数是______；(2)小华设计了一个n进制数234，换算成十进制数是193，求n的值．【详解】（1）3×（2）由题意，得2n解得n1=9，2阅读材料，回答下列问题：反序数：有这样一对数，一个数的数字排列完全颠倒过来变成另一个数，简单的说，就是顺序相反的两个数，我们把这样的一对数称为“反序数”，比如：12的反序数是21，456的反序数是654．用方程知识解决问题：若一个两位数，其十位上的数字比个位上的数字大3，这个两位数与其反序数之积为1300，求这个两位数．【详解】解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为x+3，根据题意得：10x+3∴10x+30+x10x+x+3=1300，即∴121x∴x解得x=2或x=−5（舍去），∴10x+3∴这个两位数为52．3如图，某中学课外兴趣小组准备围建一个矩形花园ABCD，其中一边靠墙，另外三边用总长为60m的篱笆围成，与墙平行的一边BC上要预留2m宽的入口（如图中MN所示，不用篱笆），已知墙长为28m．(1)当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米；(2)能否围成500平方米的矩形花园?若能求出BC长；若不能，说明理由．【详解】（1）设矩形花园BC的长为x米，则其宽为12（60﹣x+2依题意列方程得：12（60﹣x+2）x＝300，解这个方程得：x1＝12，x2＝50，∵28＜50，∴x2＝50（不合题意，舍去），∴x＝12．答：当矩形的长BC为12米时，矩形花园的面积为300平方米；（2）设矩形花园BC的长为x米，则其宽为12（60﹣x+2）米，依题意列方程得：12（60﹣x+2）x＝△＝622﹣4000＝﹣156＜0，则该方程无解，即不能围成500平方米的矩形花园．答：不能围成500平方米的矩形花园．直击中考1．（2022·江苏泰州真题）如图，在长为50m，宽为38m的矩形地