材料有限元分析课件-5

4.3.几何非线性4.3.1.问题的提出大位移和大变形使得研究对象的平衡方程(应力同体力的关系)与几何方程(应变同位移的关系)不满足线性特征。几何非线性：由物体内结点的大位移和大转动引起的非线性问题。大变形、大位移举例（板料弯曲）求解几何非线性问题的基本思路：增量分析法（1）完全Lagrange格式增量计算的参考点恒定。即，整个分析过程中参考位形保持不变。位形：分析对象的位置和形状。（2）更新Lagrange格式增量计算的参考点为上一步分析结果。设：物体内任一点P在t=0时刻的坐标为；与P相邻的点Q之坐标为。由于外力的作用，在t时刻，P、Q点的坐标分别为和。4.3.2.大变形下的应变和应力（1）应变度量如图，一物体在某种外力的作用下连续地改变其位形（物体中所有质点瞬时位置的集合称物体的构形或位形）。

从坐标变换的角度考虑，t=0和t=t两个时刻的点坐标之间存在如下关系(4-73)存在着唯一的逆变换分别对(4-73)和(4-74)进行微分令则(4-75)可表示为利用(4-77)可计算出时刻0和时刻t所对应的P、Q两点的距离(用平方表示)由此可得物体变形前后PQ线段长度的变化值(变形度量)或式中两种张量之间的关系ReturnP19为得到应变与位移的关系，特引入位移场或将(4-86)和(4-87)代入(4-81)和(4-82)，得(4-88)和(4-89)即为大变形情况下表示位移与应变之间关系的几何方程。讨论：位移量非常小，(4-88)和(4-89)的二次项可忽略不计，此时如果在大变形情况下则有用Green-Lagrange应变张量描述物体刚性转动时，其分量值保持恒定。客观张量：在连续介质力学中不随刚体运动的对称张量。（2）应力度量如图，表示当内力张量dT作用时，物体中的微元在不同时刻的变形情况。

为使变形前后的应力张量在数学上保持一致，有

Lagrange规定

Kirchhoff规定讨论：用Kirchhoff应力张量描述物体刚性转动时，其分量值保持恒定(客观张量)。

Jaumann应力速率张量(在进行非线性增量分析时需要)式中与Jaumann应力速率张量对应的应变速率张量4.3.3.几何非线性问题的表达格式（1）虚位移原理假设：时刻0和时刻t对应的位形点坐标和位移已经求得上述两式相减，得时刻位移增量它们与时刻 的点坐标和位移之间存在关系现用第一章介绍的虚功原理(方程)求解 的位形点坐标与位移(4-101)不能直接求解，因未知。（2）全Lagrange格式思路：(4-101)和(4-102)中的未知量均以时刻0的初值作为参考。具体做法： 引入综合Green-Lagrange应变张量表达式(4-81)和本节虚位移原理中介绍的几个公式，以及(4-104)，可得物体在时刻，其内部位形对应的与平衡方程等效的虚位移方程(参考于初始位形)可表示为Return22（3）更新的Lagrange格式思路：(4-101)和(4-102)中的未知量均以前一时刻t的位形作为参考，即以物体更新的位形作为参考。仿照全Lagrange格式的推导过程，可得与(4-108)比较，上式中的