专题04 圆中的重要模型-四点共圆模型（原卷版）

专题04圆中的重要模型-四点共圆模型四点共圆是初中数学的常考知识点，近年来，特别是四点共圆判定的题目出现频率较高。相对四点共圆性质的应用，四点共圆的判定往往难度较大，往往是填空题或选择题的压轴题，而计算题或选择中四点共圆模型的应用（特别是最值问题），通常能简化运算或证明的步骤，使问题变得简单。本文主要介绍四点共圆的四种重要模型。四点共圆：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。模型1、定点定长共圆模型（圆的定义）【模型解读】若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。这也是圆的基本定义，到定点的距离等于定长点的集合。条件：如图，平面内有五个点O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD，结论：A、B、C、D四点共圆（其中圆心为O）。例1．（2022·江苏·二模）如图，点为线段的中点，点到点的距离相等，若则的度数是例2．（2022·安徽合肥·校考一模）如图，O是的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接．下列结论不一定成立的是（）A．B．C．D．平分例3．（2022春·福建厦门·九年级校考阶段练习）如图，等腰三角形△ABC中，∠BAC=120°，AB=3．（1）求BC的长．（2）如图，点D在CA的延长线上，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，连EF．求EF的最小值．

例4．（2022·河北·唐山九年级阶段练习）如图所示，在四边形ABCD中，AB=AC=AD，∠BAC=26°，∠CAD=74°，则∠BCD=_______°，∠DBC_______°．模型2、定边对双直角共圆模型同侧型异侧型1）定边对双直角模型（同侧型）条件：若平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。2）定边对双直角模型（异侧型）条件：若平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆，其中AC为直径。例1．（2022秋·山西临汾·九年级统考期末）如图在四边形中，，若，则的值为（

）

A． B． C． D．例2．（2022春·山东国·九年级专题练习）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角．①若∠A＝40°，直接写出∠E的度数是；②求∠E与∠A的数量关系，并说明理由．（2）如图2，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E在BD的延长线上，连CE，若∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，求证：DA＝DE．例3．（2022春·山东九年级课时练习）如图，△ABC中，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E、F，M为BC的中点．（1）求证：ME=MF．（2）若∠A=50°，求∠FME的度数．例4．（2022·四川成都·统考二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点O为对角线AC的中点，点E在DC的延长线上且CE＝1.5，连接OE，过点O作OF⊥OE交CB延长线于点F，连接FE并延长交AC的延长线于点G，则＝．模型3、定边对定角共圆模型条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆．条件：如图2，AC、BD交于H，，结论：四点共圆.例1．（2023·黑龙江哈尔滨·九年级校联考阶段练习）如图，等边△ABC中，D在BC上，E在AC上，BD＝CE，连BE、AD交于F，T在EF上，且DT＝CE，AF＝50，TE＝16，则FT＝．例2．（2022秋·湖南长沙·九年级校考阶段练习）如图，已知中，，，，，过点作的垂线，与的延长线交于点，则的最大值为（

）A．4 B．5 C． D．例3．（2023·浙江绍兴·九年级校联考期中）如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=6．如图2，在底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC=∠ACD．如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABED．则BE的长是（

）A．1 B． C． D．例4．（2023·浙江·九年级假期作业）请阅读以下材料，完成相应任务．我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？李雷经过实践探究发现了如下结论：如果线段同侧两点（与线段在同一平面内）分别与线段两端点的连线所组成的夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆．下面是李雷证明上述命题的过程（不完整）．已知：如图1，点，是线段同侧两点，且．求证：点，，，四点共圆．证明：作的外接圆，假设点在外或在内．如图2，若点在外．设与交于点，连接，则（依据一），又（依据二），．．这与已知条件“”矛盾，故点在外不成立；如图3，若点在内，（请同学们补充完整省略的部分证明过程）综上所述，作的外接圆，点在上，即点，，，四点共圆．(1)填空：将材料中依据一、依据二补充完整；依据一：；依据二：．(2)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(3)填空：如图4，在四边形中，，对角线，交于点，为中点，若，，则．模型4、对角互补共圆模型条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆．条件：如图2，BA、CD的延长线交于P，，结论：A、B、C、D四点共圆.例1．（2022春·九年级课时练习）如图所示，正方形中，为对角线，点为上一点，过作，交于，求证：.例2．（2023·河南周口·校考三模）在中，，M是外一动点，满足，若，，，则的长度为．例3．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，，，点、分别是线段、射线上的动点，以为斜边向上作等腰，，连接，则的最小值为．

例4．（2023·河南南阳·校考三模）综合实践课上，刘老师介绍了四点共圆的判定定理：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆．在实际应用中，如果运用这个定理，往往可以让复杂的问题简单化，以下是小明同学对一道四边形问题的分析，请帮助他补充完整．

特殊情况分析：(1)如图1，正方形中，点为对角线上一个动点，连接，将射线绕点顺时针旋转的度数，交直线于点．小明的思考如下：连接，∵，，∴，（依据1）∵，∴，∴点共圆，∴，，（依据2）∴，∴．（依据3）填空：①依据1应为___________，②依据2应为___________，③依据3应为___________；一般结论探究：(2)将图1中的正方形改为菱形，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，若成立，请仅以图2的形式证明，若不成立，请说明理由；结论拓展延伸：(3)如图2，若，，当为直角三角形时，请直接写出线段的长．课后专项训练1．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在四边形中，，以为腰作等腰直角三角形，顶点恰好落在边上，若，则的长是（

）

A． B． C．2 D．12．（2021·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在中，，AB=AC=5，点在上，且，点E是AB上的动点，连结，点，G分别是BC，DE的中点，连接，，当AG=FG时，线段长为（

）A． B． C． D．43．（2023·山东威海·统考二模）如图，等边的边长为4，点F在内运动，运动过程始终保持，则线段长度的最大值与最小值的差约为（

）

A． B．2 C． D．4．（2023春·安徽安庆·九年级统考期末）如图，在中，，于点F，于点E，交于点O，点D是的中点，连接，，，下列结论：①；②；③；④；⑤为等边三角形．正确结论个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．55．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边重合（），其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线从处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点E，第20秒时点E在量角器上运动路径长是．

6．（2023春·江苏·八年级期末）如图，在菱形中，，P为上一动点，于点Q，则的最小值为．

7．（2023·江苏淮安·统考三模）如图，将矩形的边绕点A逆时针旋转得到，连接，过点D作的垂线，垂足E在线段上，连接．若，，则的度数为．

8．（2022·浙江九年级课时练习）如图所示，在平行四边形中，点为，的垂直平分线的交点，若，求.9．（2022·贵州遵义·统考中考真题）探究与实践“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．提出问题：如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上．探究展示：如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，则（依据1）点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）点，在点，，所确定的上（依据2）点，，，四点在同一个圆上(1)反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？依据1：__________；依据2：__________．(2)图3，在四边形中，，，则的度数为__________．(3)拓展探究：如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，．①求证：，，，四点共圆；②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．10．（2022春·广东九年级课时练习）阅读以下材料，并完成相应的任务：西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）．数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理．如图1，已知内接于⊙O，点P在⊙O上（不与点A、B、C重合），过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F求证：点D，E，F在同一条直线上以下是他们的证明过程：如图1，连接PB，PC，DE，EF，取PC的中点Q，连接QE，QF，则（依据1），∴E，F，P，C四点共圆．∴（依据2）．又∵，∴．∵，∴B，D，P，E四点共圆．∴（依据3）．∵，∴（依据4）．∴点D，E，F在同一条直线上．任务：(1)填空：①依据1指的的是中点的定义及______；②依据2指的是______；③依据3指的是______；④依据4指的是______．(2)善于思考的小英发现当点P是的中点时，．请你利用图2证明该结论的正确性．11．（2022春·九年级课时练习）如图1，ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，过点C任作一条直线CD，将线段BC沿直线CD翻折得线段CE，直线AE交直线CD于点F．直线BE交直线CD于G点．(1)小智同学通过思考推得当点E在AB上方时，∠AEB的角度是不变的，请按小智的思路帮助小智完成以下推理过程：∵AC＝BC＝EC，∴A、B、E三点在以C为圆心以AC为半径的圆上，∴∠AEB＝∠ACB，（填写数量关系）∴∠AEB＝°．(2)如图2，连接BF，求证A、B、F、C四点共圆；(3)线段AE最大值为，若取BC的中点M，则线段MF的最小值为．12．（2023春·广东广州·八年级统考期末）已知，如图①，在中，，，点E为上的一动点，连接，过点C作于点H，以为腰作等腰直角连接．

(1)求证：四边形为正方形；(2)如图②，当D，H，G三点共线时，求的值；(3)求的最小值．13．（2023春·重庆南岸·八年级校考期末）已知：菱形的对角线交于点，以为斜边构造等腰，连接．

(1)如图1，若，，求的面积．(2)如图2，延长交于点，过点作于点，过点作于点，与交于点，且．求证：．14．（2023春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）问题提出

如图1，点E为等腰内一点，，，将绕着点A逆时针旋转得到，求证：．尝试应用

如图2，点D为等腰外一点，，，过点A的直线分别交的延长线和的延长线于点N，M，求证：．问题拓展

如图3，中，，点D，E分别在边，上，，，交于点H．若，，直接写出的长度（用含a，b的式子）．15．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考期末）综合与实践“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继