专题52 图形折叠中的等腰三角形存在性问题(原卷版)

专题52图形折叠中的等腰三角形存在性问题【题型演练】一、解答题1．对于面积为S的三角形和直线l，将该三角形沿直线l折叠，重合部分的图形面积记为，定义为该三角形关于直线l的对称度．如图，将面积为S的ABC沿直线l折叠，重合部分的图形为，将的面积记为，则称为ABC关于直线l的对称度．在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，B(－3，0)，C(3，0)．（1）过点M(m，0)作垂直于x轴的直线，①当时，ABC关于直线的对称度的值是：②若ABC关于直线的对称度为1，则m的值是．（2）过点N(0，n)作垂直于y轴的直线，求△ABC关于直线的对称度的最大值．（3）点P(－4，0)满足，点Q的坐标为(t，0)，若存在直线，使得APQ关于该直线的对称度为1，写出所有满足题意的整数t的值．2．如图1，在中，，，D为AC的中点，E为边AB上一动点，连接DE，将沿DE翻折，点A落在AC上方点F处，连接EF，CF．(1)判断∠1与∠2是否相等并说明理由；(2)若与以点C，D，F为顶点的三角形全等，求出的度数：(3)翻折后，当和的重叠部分为等腰三角形时，直接写出的度数．3．数学兴趣小组开展实践探究活动，将三角形ABC纸片沿某条直线折叠，使其中一个角的顶点落在一边上．在△ABC中，AB＝9，BC＝6．(1)如图1，若∠ACB＝90°，将△ABC沿CM折叠，使点B与边AB上的点N重合，求BM的长(2)如图2，若∠ACB＝2∠A，将△ABC沿CM折叠，使点B与边AC上的点N重合，①求AC的长；②若O是AC的中点，P为线段ON上的一个动点，将△APM沿PM折叠得到△A′PM，与相交于点，则的取值范围为．4．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．(1)如图1，D为线段BC上一点，点C关于AD的对称点C恰好落在AB边上，求CD的长；(2)如图2，E为线段AB上一点，沿CE翻折△CBE得到△CEB′，若EB′∥AC，求证：AE＝AC；(3)如图3，D为线段BC上一点，点C关于AD的对称为点C′，是否存在异于图1的情况的C′、B、D为顶点的三角形为直角三角形，若存在，请直接写出BC′长；若不存在，请说明理由．5．如图1，已知直线y=﹣2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC．(1)求点A、C的坐标；(2)将△ABC对折，使得点A的与点C重合，折痕交AB于点D，求直线CD的解析式（图2）；(3)在y轴上是否存在一点P（不与C重合），使得是等腰三角形，若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．问题背景折纸是一种将纸张折成各种不同形状的艺术活动，折纸大约起源于公元1世纪或者2世纪时的中国，6世纪时传入日本，再经由日本传到全世界，折纸与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支．今天折纸被应用于世界各地，其中比较著名的是日本筑波大学的芳贺和夫发现的折纸几何三定理，它已成为折纸几何学的基本定理．芳贺折纸第一定理的操作过程及内容如下：第一步：如图1，将正方形纸片ABCD对折，使点A与点D重合，点B与点C重合．再将正方形ABCD展开，得到折痕EF；第二步：将正方形纸片的右下角向上翻折，使点C与点E重合，边BC翻折至的位置，得到折痕MN，与AB交于点P．则点P为AB的三等分点，即．问题解决如图1，若正方形ABCD的边长是2．(1)CM的长为______；(2)请通过计算AP的长度，说明点P是AB的三等分点．类比探究(3)将长方形纸片按问题背景中的操作过程进行折叠，如图2，若折出的点P也为AB的三等分点，请直接写出的值．7．综合与实践在数学综合实践课上，老师让同学们探究等腰直角三角形中的折叠问题．问题情境：如图，在中，，，点D在边AB上运动，点E在边BC上运动．探究发现：(1)如图2，当沿DE折叠，点B落在边AC的点处，且时，发现四边形是菱形．请证明；探究拓广：(2)如图3，奇异小组同学的折叠方法是沿DE折叠，点B落在点处，延长交AC于点F，，点G在边BC上运动，沿FG折叠使点C落在线段的中点处，求线段DF的长；探究应用：(3)沿DE折叠，点B的对应点恰好落在边AC的三等分点处，请借助图1探究，并直接写出BD的长．8．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，在四边形OABC中，顶点A（0，2），，，且点B在第一象限，△OAB是等边三角形．(1)如图①，求点B的坐标；(2)如图②，将四边形OABC沿直线EF折叠，使点A与点C重合，求点E，F的坐标；(3)如图③，若将四边形OABC沿直线EF折叠，使，设点A对折后所对应的点为，△AEF与四边形EOBF的重叠面积为S，设点E的坐标为（0，m）（0＜m＜1），请直接写出S与m的函数关系式．9．如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，点P在直线OA上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为O′．（1）若AP＝AB，则点P到直线AB的距离是；（2）若点O′恰好落在直线AB上，求△OBP的面积；（3）将线段PB绕点P顺时针旋转45°得到线段PC，直线PC与直线AB的交点为Q，在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得△PBQ为等腰三角形？若存在，请直接写出OP的长；若不存在，请说明理由．10．定义：若a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2＝2c2，则称△ABC为“方倍三角形”．（1）对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是．A．①一定是“方倍三角形”B．②一定是“方倍三角形”C．①②都一定是“方倍三角形”D．①②都一定不是“方倍三角形”（2）若Rt△ABC是“方倍三角形”，且斜边AB＝，则该三角形的面积为；（3）如图，△ABC中，∠ABC＝120°，∠ACB＝45°，P为AC边上一点，将△ABP沿直线BP进行折叠，点A落在点D处，连接CD，AD．若△ABD为“方倍三角形”，且AP＝，求△PDC的面积．11．如图1，在中，，，为边上的中线．（1）求的长；（2）动点的速度为，运动时间为秒．①如图2，当点从点开始沿边向点移动时，若是以为腰的等腰三角形，请你求出所有满足条件的的值．②如图3，当点从点开始沿边向点移动时，将沿直线对折，点的对称点为，当与重叠部分为直角三角形时，请直接写出的值为_________12．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（5，0），以原点O为圆心、3为半径作⊙O，⊙O与x轴交于点B、C．点P从点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴运动，运动时间为t（s）．连结AP，将△OAP沿AP翻折，得到△APQ．（1）当△OAQ为等边三角形时，请直接写出P点坐标；（2）若△ABQ为直角三角形时，请求出t的值；（3）求△APQ有一边所在直线与⊙O相切时，请直接写出t的值．13．（1）操作发现：如图①，在RtABC中，∠C＝2∠B＝90°，点D是BC上一点，沿AD折叠ADC，使得点C恰好落在AB上的点E处，请写出AB、AC、CD之间的关系？并说明理由．（2）问题解决：如图②，若（1）中∠C≠90°，其他条件不变，请猜想AB、AC、CD之间的关系，并证明你的结论；（3）类比探究：如图③，在四边形ABCD中，∠B＝120°，∠D＝90°，AB＝BC，AD＝BC，连接AC，点E是CD上一点，沿AE折叠，使得点D正好落在AC上的点F处，若BC＝3，求出DE的长．14．我们知道平行四边形有很多性质,现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中还有更多的结论．【发现与证明】中，，将沿翻折至，连结．结论1：与重叠部分的图形是等腰三角形．结论2：；……(1)请利用图1证明结论1或结论2；【应用与探究】在中，已知，将沿翻折至，连结．(2)如图，若，，则_____，_____；(3)已知，当长为多少时，是直角三角形？请直接写出答案15．如图，在平行四边形纸片ABCD中，AD＝6cm，将纸片沿对角线BD对折，边AB的对应边BF与CD边交于点E，此时△BCE恰为等边三角形．（1）求AB的长度；（2）重叠部分的面积为；（3）将线段BC沿射线BA方向移动，平移后的线段记作B'C'，请直接写出B'F+C'F的最小值．16．定义：有三个角相等的四边形叫做三等角四边形．（1）在三等角四边形中，，则的取值范围为_______；（2）如图，折叠平行四边形，使得顶点分别落在边上的点处，折痕为．求证：四边形为三等角四边形；（3）如图，在三等角四边形中，，若，，，则的长度为_______．17．综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为，为的中点，连接，，试猜想与的数量关系，并加以证明；独立思考：（1）请解答老师提出的问题；实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将沿着（为的中点）所在直线折叠，如图②，点的对应点为，连接并延长交于点，请判断与的数量关系，并加以证明；问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将沿过点的直线折叠，如图③，点A的对应点为，使于点，折痕交于点，连接，交于点．该小组提出一个问题：若此的面积为20，边长，，求图中阴影部分（四边形）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．18．综合与实践在一次综合实践活动课上，数学王老师给每位同学各发了一张正方形纸片，要求同学们仅通过折纸的方法来确定该正方形一边上的一个三等分点．“启航”小组的同学在经过一番思考和讨论交流后，进行了如下的操作：第一步：如图1，将正方形纸片ABCD的一条边AD对折，使点A和点D重合，得到AD的中点E，然后展开铺平；第二步：如图2，将CD边沿CE翻折到CF的位置；第三步：如图3，再将BC沿过点C的直线翻折，使点B和点F重合，折痕与AB边交于点G．他们认为：该点G就是AB边的一个三等分点．(1)试证明上面的结