专题40 二次函数中的面积问题(解析版)

专题40二次函数中的面积问题【题型演练】一、单选题1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为．点P的坐标为，则△PMN的面积为（

）A．2 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根据二次函数对称轴公式和二次函数图象上点的坐标特征求出抛物线的解析式，并将解析式化为顶点式求出点M的坐标，然后利用三角形面积公式计算即可．【详解】解：∵抛物线的对称轴为x＝−3，点N（−1，1）是抛物线上的一点，∴，，解得：，，∴，∴，∵，，∴PN∥y轴，且PN＝1，∴△PMN的面积为：，故选：A．【点睛】本题考查了二次函数对称轴公式，二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数顶点坐标的求法，熟练掌握基础知识是解题的关键．2．（2022·湖北·汉川市实验中学九年级阶段练习）如图，抛物线与x轴只有一个公共点，与y轴交于点，虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移4个单位长度得抛物线，则图中两个阴影部分的面积和为（

）A．4 B．2 C．6 D．8【答案】D【分析】连接，根据二次函数图像的对称性把阴影图形的面积转化为平行四边形面积求解即可．【详解】设平移后的抛物线与对称轴所在的直线交于点M，连接．由题意可知，，∵∴，∵抛物线是轴对称图形，∴图中两个阴影部分的面积和即为四边形的面积，∵，，∴四边形为平行四边形，∴．故选D．【点睛】本题考查了二次函数图像的对称性和阴影面积的求法，解题的关键是根据二次函数图像的对称性转化阴影图形的面积．3．（2022·广东·江门市新会东方红中学二模）如图，抛物线的顶点为P，将抛物线向右平移3个单位后得到新的抛物线，其顶点记为M，设两条抛物线交于点C，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意过C作y轴的平行线，交PM于点H，交x轴于点D，进而依据两条抛物线交于点C，联立方程得出C，最后利用即可求出答案.【详解】解：如图过C作y轴的平行线，交PM于点H，交x轴于点D，由题意可得，平移后抛物线的解析式为：，∵P、M分别为两个抛物线的顶点，∴，，，∵两条抛物线交于点C，∴由，可得，∴，,∵//y轴，∴，即CH为的高，∴.故选：C.【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数平移的性质、灵活运用数形结合思维分析是解题的关键.4．（2019·浙江·瑞安市安阳实验中学九年级期中）如图，抛物线与轴交于A、B两点（A在B的左侧），与轴交于点C，点P是抛物线上位于轴上方的一点，连接AP、BP，分别以AP、BP为边向△ABP外部作正方形APED、BPFG，连接BD、AG．点P从点A运动到点B的过程中，△ABD与△ABG的面积和的变化情况是（

）A．先增大后减小 B．先减小后增大C．始终不变 D．一直增大【答案】C【分析】令求出AB的长，过点D作DM⊥x轴于M，过点P作PN⊥x轴于N，过点G作GQ⊥x轴于Q，利用一线三直角的全等模型证明，．从而利用三角形的面积公式得出，从而得解．【详解】解：令，解得：，∴，∴．过点D作DM⊥x轴于M，过点P作PN⊥x轴于N，过点G作GQ⊥x轴于Q，∵四边形APED是正方形，∴AD=PA，∠DAP=90°，∴，又∵DM⊥x轴，∴，∴，∵，，AD=PA，∴，∴．同理可得：．∵，∴∴△ABD与△ABG的面积和始终不变．故选：C．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，正方形的性质，二次函数图象与x轴的交点，三角形的面积公式等知识，涉及的模型是一线三直角的全等模型，构造全等模型得出，是解题的关键．5．（2021·贵州铜仁·三模）如图，抛物线与直线相交于，两点，点C是抛物线的顶点．下列结论正确的个数（

）（1）；（2）抛物线为：；（3）当时，代数式的值是负数；（4）△ABC的面积为6A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】A【分析】对于（1），根据两点之间距离公式判断即可；对于（2），根据待定系数法求出关系式判断即可；对于（3），先求出直线的关系式，将两个函数关系式联立，观察图象可得答案；对于（4），先求出抛物线的对称轴，进而求出点C，M的坐标，再将△ABC分成两个三角形，求出面积即可．【详解】.∵A（4，-3），B（0，5），∴．所以（1）正确；∵点A（4，-3），B（0，5）在抛物线y=-x2+ax+b的图象上，∴，解得，∴抛物线得关系式为y=-x2+2x+5．所以（2）正确；∵点A（4，-3），B（0，5）在直线y=kx+b的图象上，∴，解得，∴一次函数的关系式为y=-2x+5．将两个函数关系式联立，得②-①，得y2-y1=x2-4x，当0＜x＜4时，直线在抛物线的下方，可知y2＜y1，∴y2-y1＜0，即x2-4x＜0．所以（3）正确；抛物线y=-x2+2x+5的对称轴是，当x=1时，y=-1+2+5=6，∴C（1，6）．当x=1时，y=-2+5=3，∴M（1，3），则CM=3，∴S△ABC=S△BCM+S△ACM==6．所以（4）正确．正确的有4个．故选：A．【点睛】这是一道关于二次函数的综合问题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数的关系式，二次函数图象的性质，两点之间的距离公式，三角形面积的求法等．6．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，点A是抛物线图象在第一象限内的一个动点，且点A的横坐标大于1，点E的坐标是（0，1），过点A作AB轴交抛物线于点B，过A、B作直线AE、BE分别交轴于点D、C，设阴影部分的面积为，点A的横坐标为，则关于的函数关系式为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意可知，，E（0，1），得出，再由阴影部分的面积为即可得解．【详解】解：由题意可知，，，E（0，1），，又AB轴，且过A、B作直线AE、BE分别交轴于点D、C，所以由；故选：C．【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，坐标系中三角形面积求法，利用点的坐标表示线段的长度是解题关键．7．（2020·浙江台州·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣4x与x轴交于O，A两点，点B为x轴上一点且AB＝3，将AB绕点A逆时针旋转45°得到AC，使得点C恰好落在抛物线上，点P为抛物线上一点，连接AP，PC，PC⊥AC，则△PAC的面积为（）A．9 B． C． D．3【答案】D【分析】（1）先求出点A坐标，再根据三角函数求出点C坐标，进而得到△CAN、△CMP为等腰直角三角形，设PM＝CM＝m，求出点P坐标，进而求出PC长，根据直角三角形面积公式即可求解【详解】解:把y=0代入函数y＝﹣x2﹣4x，得﹣x2﹣4x＝0，解得，故点A（﹣4，0），过点C作y轴的平行线交过点P与x轴的平行线于点M，交x轴于点N，在Rt△ACN中，CN＝AC•sin∠CAB＝ABsin45°＝×＝3＝AN，故点C（﹣1，3），∵∠CAN＝45°，则△ACN为等腰直角三角形，∵PC⊥AC，∴∠PCM＝45°，∴△CMP为等腰直角三角形，设PM＝CM＝m，则点P（﹣1﹣m，3+m），将点P的坐标代入y＝﹣x2﹣4x并解得：m＝0（舍去）或1，故点P的坐标为（﹣2，4），由点P、C的坐标得：，则△PAC的面积＝×AC•PC＝×3×＝3，故选：D【点睛】本题为二次函数综合题，考查了二次函数、三角函数、勾股定理等知识，根据题意添加辅助线构造直角三角形是解题关键．8．（2020·浙江杭州·九年级专题练习）如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，顶点坐标为．则与的面积之比是（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求出C和D点坐标，然后根据三角形面积公式，可知S△ABC：S△ABD=BC边上的高之比，进而即可求解．【详解】∵，∴C点坐标为(0，−2)，D点坐标为(−1，−)，∵△ABC与△ABD的底相同，高线长分别为2和，∴S△ABC：S△ABD=2：=．故选B．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与平面几何的综合，掌握二次函数图象的顶点坐标以及与y轴交点坐标的求法，是解题的关键．9．（2022·浙江温州·九年级期中）如图，抛物线与x轴交于点A，B两点，与y轴负半轴交于点C，其顶点为M，点D，E分别是的中点，若与的面积比为9∶10，则c的值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意可得，，由点D是的中点，与的面积比为9∶10，得到，由中点坐标公式得，，，M为顶点，求得点M的横坐标，代入解析式，由纵坐标相等得到关于c的方程，解之即可得到答案．【详解】解：由题意可得，，，∵点D是的中点，∴，∵与的面积比为9∶10，∴，∴，∵E是的中点，∴由中点坐标公式得，，当时，，∴，∴，∵，，∴，∵M为顶点，∴，将代入得，，解得，故选：C【点睛】此题考查了二次函数的面积综合题，求得是解题的关键．10．（2021·河南省淮滨县第一中学九年级期末）如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B，交y轴于点C，点D在该函数第四象限内的图象上，若的面积为，则点D的横坐标是（

）．A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】此题根据题意先求出B，C两点坐标，再根据的面积为，利用分割法表示出面积表达式，结合二次函数联立方程求解即可．【详解】解：解方程解得：，则A、B的坐标是(-1，0)和(3，0)，又，∴C的坐标是(0，-3)设D的坐标为（a，b），作DM⊥AB于M，如图：则，又D在抛物线上，∴，联立方程解得：a=，b=，∴点D的横坐标是故选：B．【点睛】此题考查二次函数问题中根据图形面积求坐标，根据图像性质找出相关坐标，并利用割补法表示面积是关键，计算量较大．11．（2018·山东济南·三模）如图，抛物线与坐标轴交于两点，与轴交于点．，如果直线平分四边形的面积，那么的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设直线交x轴于点E，交线段CD于点F，利用一次函数函数图象上点的坐标特征及二次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B、C、D、E、F的坐标，由直线平分四边形OBDC的面积，可得出关于k的分式方程，解出k值后经检验后即可得出结论．【详解】设直线交x轴于点E，交线段CD于点F，如图所示，∵抛物线与坐标轴交于A，B两点，与y轴交于点C，∴点A(-1，0)，点B(3，0)，点C(0，)，当时，有，解得：，∴点D(2，)，∴CD＝2，∵直线交x轴于点E，交线段CD于点F，∴点E(，0)，点F(，)，∵直线平分四边形OBDC的面积，∴，解得：，经检验，是原方程的解，符合题意．故答案为：B．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征以及梯形的面积，由直线平分四边形OBDC的面积，找出关于k的分式方程是解题的关键．二、填空题12．（2022·北京市师达中学九年级阶段练习）已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，则的面积为_____．【答案】8【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点、、的坐标，再利用三角形的面积公式即可求出的面积．【详解】解：当时，，点的坐标为；当时，有，解得：，，点的坐标为，点的坐标为，（假设点在点的左侧），，．故答案为：8．【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用二次函数图象上点的坐标特征求出点、、的坐标是解题的关键．13．（2022·安徽合肥·九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线（a<0）的顶点为A，与抛物线交于x轴上方的点B．（1）点B的横坐标是___________（2）过点B作平行于x轴的直线，分别与两条抛物线的另一个交点为D，C，连结AD，AC，OC，OD，则四边形ACOD的面积为___________

【答案】

12【分析】（1）抛物线是由抛物线向右平移3个单位得到的，B点横坐标为两条对称轴距离的一半，即可得解；（2）利用四边形的面积＝，进行计算即可．【详解】解：（1）的对称轴为：；对称轴为：，由图象得：抛物线是由抛物线向右平移3个单位得到的，B点横坐标为两条对称轴距离的一半，∴B点横坐标为：；（2）由题意得：，，∴四边形ACOD的面积＝．【点睛】本题考查二次函数的平移，图象和性质．熟练掌握二次函数的图象和性质，从图象中获取有效信息是解题的关键．14．（2022·重庆一中九年级阶段练习）如图，已知A（1，1），B（3，9）是抛物线y＝上的两点，在y轴上有一动点P，当△PAB的周长最小时，则此时△PAB的面积为_____．【答案】6【分析】根据抛物线y＝的性质，作出B关于y轴的对称点，连接交y轴于P，点P即为所求，再求出△PAB的面积即可．【详解】解：如图，作出B关于y轴的对称点，则⊥y轴于点H，连接交y轴于P，则点P就是使△PAB的周长最小时的位置．∵抛物线y＝的对称轴是y轴，B、关于y轴对称，∴点P在抛物线y＝上，且，∴，∴此时△PAB的周长最小，∵B（3，9），∴（﹣3，9），∴＝6，点H的坐标是（0，9），∵A（1，1），∴点A到的距离为9－1＝8，设直线A的直线方程为y＝kx+b，把点A和点的坐标代入后得到，∴，解得，∴直线A的解析式为y＝﹣2x+3，当x＝0时，y＝3，∴P点的坐标为（0，3）,∴PH＝OH－OP＝6，此时，即△PAB的面积为6，故答案为：6．【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，二次函数图象上的点的坐标特征以及待定系数法求解析式，作出B的对称点是本题的关键．15．（2022·福建·莆田擢英中学九年级阶段练习）如图，已知A，B，C是函数图象上的动点，且三点的横坐标依次为，，．小华用软件GeoGebra对△ABC的几何特征进行了探究，发现△ABC的面积是个定值，则这个定值为__________．【答案】1【分析】作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，求得A、B、C的坐标，即可求得AD=（a+1）2=a2+2a+1，BE=a2，CF=（a-1）2=a2-2a+1，然后根据S△ABC=S梯形ADFC-S梯形ADEB-S梯形BEFC求得△ABC的面积是定值1．【详解】解：如图，作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，∵A，B，C三点的横坐标依次为a+1，a，a-1，∴AD=（a+1）2=a2+2a+1，BE=a2，CF=（a-1）2=a2-2a+1，∴S△ABC=S梯形ADFC-S梯形ADEB-S梯形BEFC=（a2+2a+1+a2-2a+1）×2-（a2+2a+1+a2）×1-（a2+a2-2a+1）×1=1；∴△ABC的面积是个定值，这个定值为1．故答案为：1．【点睛】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，梯形的性质以及梯形的面积．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．三、解答题16．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校九年级阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点、点，与y轴交于点，点坐标为，连接，若．(1)求抛物线的解析式；(2)点为第一象限抛物线上一点，连接，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数解析式：【答案】(1)(2)【分析】（1）根据点坐标为，求得点的坐标，然后待定系数法求解析式即可求解；（2）令函数解析式中，求得点的坐标，进而根据三角形面积公式即可求解．【详解】（1）解：∵点坐标为，，∴，，∴，将点，，代入得，解得，∴；（2）解：由，令，即，解得：，∴，∴，依题意，点的横坐标为，的面积为，则，，即．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，求抛物线与坐标轴交点问题，已知正切求边长，掌握以上知识是解题的关键．17．（2023·吉林省第二实验学校九年级阶段练习）如图，地物线与x轴交于两点，与y轴交于点．(1)求出该地物线的函数关系式；(2)点P是抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为．直接写出的面积的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）设抛物线解析式为，把点代入即可求解；（2）设，根据即可求出与m的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：设抛物线解析式为，∵抛物线与y轴交于点，∴，∴，∴抛物线解析式为；（2）设，连接，∴，∴∵，∴函数有最大值，当时，面积最大为．【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知函数关系式的求法与面积问题的求解．18．（2021·新疆·乌鲁木齐市第十五中学九年级期中）已知拋物线与轴交于，两点，与轴交于点．(1)求抛物线的表达式．(2)连接，，求．(3)拋物线上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)，，或【分析】（1）把，两点坐标代入解析式即可求解；（2）先求出C点坐标，即可得到，（3）根据求出，代入解析式即可求解．【详解】（1）解：把，两点代入中，得，解得，∴抛物线的表达式为；（2）解：当时，，即，∴，∵，，∴，，∴，∴，即所求面积为6；（3）解：∵，∴，∵，∴，把代入抛物线表达式得：，解得；把代入抛物线表达式得：，解得；综述所述，点的坐标为或或或．【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知待定系数法及三角形的面积公式的应用．19．（2022·广东·江东镇初级中学九年级期中）如图，已知二次函数的图象经过点A(2，0)，B(0，-6)两点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．【答案】(1)(2)6【分析】（1）将点A及点B的坐标代入即可得出b、c的值，继而可得出二次函数解析式；（2）根据（1）求得的解析式，可得出对称轴，也可得出AC的长度，根据可得出答案．【详解】（1）解：（1）将点A（2，0）、B（0，−6）代入得：，解得：，故这个二次函数的解析式为：．（2）∵二次函数的解析式为：，∴二次函数的对称轴为x＝4，∴（4，0），B（0，−6）∴OC＝4，，∵点A（2，0），∴AC＝2，故．【点睛】此题考查了二次函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、三角形的面积，要注意掌握点的坐标与线段长度之间的转换．20．（2021·新疆·乌鲁木齐市第五十四中学九年级阶段练习）如图，已知直线y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D．(1)点A的坐标为，点B的坐标为．(2)①求抛物线的解析式；②点M是抛物线在第二象限图象上的动点，是否存在点M，使得△MAB的面积最大?若存在，请求这个最大值并求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形？直接写出所有符合条件的t值．【答案】(1)（﹣3，0），（0，3）；(2)①，②存在，△MAB的面积最大为，此时，(3)当t为3或4±或4秒时，以P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形【分析】（1）y＝x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝﹣3，即可求解；（2）①B的坐标为：（0，3），故c＝3，将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝﹣2，即可求解；②过点作轴，交于点，设，则，求得，根据二次函数的性质求得最大值，以及的值，从而求得的坐标；（3）根据题意可得，进而勾股定理分别求得，分PC＝PB、BC＝PC、BC＝PB，三种情况，分别解方程求解即可．【详解】（1）解：y＝x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝－3，故点A、B的坐标分别为：（﹣3，0），（0，3）；故答案为：（﹣3，0），（0，3）；（2）①B的坐标为：（0，3），∴将点A的坐标（﹣3，0）代入抛物线表达式得：，解得：b＝﹣2，∴抛物线的解析式为；②如图，过点作轴，交于点，设，则∴∴当时，取得最大值，为此时∴（3）令中y＝0，则＝﹣（x﹣1）（x+3）＝0，解得：x＝1或，∴C（1，0）．∵，∴D（﹣1，4），∵点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，∴．∵，，∴，，．①当PC＝PB时，即解得：t＝3；②当BC＝PC时，解得：t＝4±；③当BC＝PB时，解得：t＝4或﹣2（舍去负值）综上可知：当t为3或4±或4秒时，以P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、面积问题、两点间的距离公式以及勾股定理等，解题关键是熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、两点间的距离公式以及勾股定理．21．（2022·山东淄博·九年级期中）如图，抛物线与直线交于点，．点D是抛物线上A，B两点间的一个动点（不与点A，B重合），直线与y轴平行，交直线于点C，连接．(1)求抛物线的解忻式；(2)设点D的横坐标为m，的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出当S取最大值时的点C的坐标；(3)点D为抛物线的顶点，点P是抛物线上的动点，点Q是直线上的动点．当以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，求出点Q的坐标．【答案】(1)(2)，(3)或或或【分析】（1）待定系数法求解析式即可；（2）利用，进行求解即可；（3）分为平行四边形的边，和为平行四边形的对角线，两种情况进行讨论，利用平行四边形的性质，进行求解即可．【详解】（1）抛物线与直线交于点，，，解得：，∴抛物线的解析式；（2）如图，过点B作于点．设直线的解析式为：，则：，解得：，∴，∵点D的横坐标为m，轴，∴点C的坐标是，点D的纵坐标是，∴，，，∴当时，取最大值，此时；（3）假设存在这样的点P、Q，使以点P，Q，C，D为顶点的四边形为平行四边形．∵，点D是抛物线的顶点，轴，∴，，①当为平行四边形的边时，设，则：如图，当在点上方时：解得，或(舍去），∴；当在点下方时：，解得：或，∴或；②当为平行四边形的对角线时，过点作于点，过点作于点，则．设，则，，，由得，解得，或(舍去），∴综上：或或或时，点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形．【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．22．（2022·山东济南·九年级期中）如图，已知抛物线与x轴交于，，与y轴交于点C．(1)求c、t的值；(2)若点P是抛物线第一象限内的一个动点，且满足，求点P坐标．【答案】(1)，(2)【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线表达式即可求出c的值，令即可求出t的值；（2）设点P的纵坐标为n，根据列出方程求出n的值，再将n的值代入抛物线表达式，求出横坐标即可．【详解】（1）解：将代入得：，∴，令，解得：，，∴即．（2）设点P的纵坐标为n，其中，∵∴∴∵，∴，即，∴．

令，解得，（舍）故．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的相关知识，会用待定系数法求解函数的表达式．23．（2022·河南洛阳·二模）如图，抛物线的图象与轴交于，两点，（点在点的左边），与轴交于点．(1)直接写出，，的坐标；(2)点为线段上一点（点与点，点不重合），过点作轴的垂线，与直线交于点，与抛物线交于点，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，若点在点的左侧，当矩形的周长最大时，求的面积．【答案】(1)，，(2)【分析】（1）通过解析式即可得出点坐标，令，解方程得出方程的解，即可求得、的坐标；（2）设点横坐标为，则，，矩形的周长，将配方，根据二次函数的性质，即可得出的值，然后求得直线的解析式，把代入可以求得三角形的边长，从而求得三角形的面积．【详解】（1）由抛物线可知点，令，则，解得或，点，，；（2）由抛物线可知，对称轴为直线，设点的横坐标为，则，，矩形的周长，当时矩形的周长最大．点，，设直线，代入得，解得，直线的函数表达式为，当时，，则点，，，的面积．【点睛】此题主要考查了求抛物线与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，三角形的面积公式，解本题的关键是求出矩形的周长为．24．（2022·全国·九年级专题练习）如图，二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于C点，已知点，点．(1)求抛物线的函数解析式；(2)若点M是线段下方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值以及此时点M的坐标．【答案】(1)(2)点，面积最大值是4【分析】（1）将点A、点C的坐标代入抛物线的解析式得到关于的二元一次方程组，求得的值，从而可求得抛物线的解析式；（2）过点M作，垂足为交于点D．先求得直线的解析式，设点M的坐标为．则点D的坐标为，用含a的式子表示出的面积，依据配方法可求得面积的最大值以及此时点M的坐标．【详解】（1）将、点代入抛物线的解析式得：解得：∴抛物线的解析式为．（2）如图所示：过点M作，垂足为交于点D．令得：，解得：，．∴．设的解析式为．∵将代入得：，解得：，，∴抛物线的解析式为．设点M的坐标为．则点D的坐标为．∵，∴．∴．∴当时，的面积有最大值，的面积的最大值为4．∵将代入得：，∴点，面积最大值是4．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、配方法求二次函数的最值，列出的面积与a的函数关系式是解题的关键．25．（2020·新疆农业大学附属中学九年级阶段练习）已知抛物线（b、c为常数），若此抛物线与某直线相交于，两点，与y轴交于点N，其顶点为D(1)求抛物线的函数解析式和顶点D的坐标；(2)若点P是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点P的坐标；(3)点为抛物线上的一个动点，H关于y轴的对称点为，当点落在第二象限内，且取得最小值时，求n的值【答案】(1)；D（1，4）(2)S△APC最大；P（，）(3)【分析】（1）将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式可求得b，c的值，从而得到抛物线的解析式，在配成顶点式即可；（2）设直线的解析式为．将点A和点C的坐标代入可求得的值，从而得到直线的解析式；设点P的坐标，进而表示出，进而得出，即可得出结论；（3）用n表示出的坐标，从而表示出，利用二次函数的性质可求得其最大值时n的值．【详解】（1）∵将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：．∴抛物线的解析式为．∴∴抛物线的顶点坐标为，（2）设直线的解析式为．∵将点A和点C的坐标代入得，解得．∴直线的解析式为．如图，设点，∴，∴＝，∴，∴当m时，，，∴P（，）；（3）∵落在第二象限内，H关于y轴的对称点为∴点在第一象限，即n＞0，t＞0．∵抛物线的顶点坐标为（1，4），∴，∵在抛物线上，∴，∴，∵，，∴＝＝＝＝；∴当t时，有最小值，即有最小值，∴，解得或，∵，∴不合题意，舍去，∴n的值为．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查的了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、轴对称路径最短、关于原点对称的点的坐标，难度较大，综合性较强．26．（2022·甘肃·嘉峪关市明珠学校一模）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知，．(1)求抛物线的表达式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)点E