2024-2025学年高中数学第三章概率3模拟方法-概率的应用课时作业含解析北师大版必修3

PAGE第三章概率3模拟方法——概率的应用[课时作业][A组基础巩固]1．已知地铁列车每10min一班，在车站停1min，则乘客到达站台马上乘上车的概率是()A.eq\f(1,10) B.eq\f(1,9)C.eq\f(1,11) D.eq\f(1,8)答案：A2．一张方桌的图案如图所示，将一颗豆子随机扔到桌面上，假设豆子不落在线上，则豆子落在红色区域和落在黄色或绿色区域的概率分别是()A.eq\f(1,3)，eq\f(2,3) B.eq\f(1,3)，eq\f(1,6)C.eq\f(1,6)，eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)，eq\f(3,4)答案：A3．在区间[－π，π]内随机取两个实数，分别记为a，b，则使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点的概率为()A.eq\f(7,8) B.eq\f(3,4)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)解析：由题意，知点(a，b)在边长为2π的正方形边上及内部．要使函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点，需满意4a2＋4b2－4π≥0，即a2＋b2≥π，a2＋b2≥π表示以原点为圆心，eq\r(π)为半径的圆及其外部，如图中阴影部分所示，所以其面积为4π2－π2＝3π2，所以函数f(x)有零点的概率为eq\f(3π2,4π2)＝eq\f(3,4).答案：B4．在长为12cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形的面积大于20cm2的概率为()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(4,5)解析：设AC＝xcm，则BC＝(12－x)cm，若矩形的面积大于20cm2，则x(12－x)>20，解得2<x<10，故所求概率P＝eq\f(10－2,12)＝eq\f(2,3).答案：C5．广告法对插播广告时间有规定，某人对某台的电视节目作了长期的统计后得出结论，他随意时间打开电视机看该台节目，看不到广告的概率约为eq\f(9,10)，那么该台每小时约有________分钟广告．解析：这是一个与时间长度有关的几何概型，这个人看不到广告的概率约为eq\f(9,10)，则看到广告的概率约为eq\f(1,10)，故60×eq\f(1,10)＝6.答案：66．设不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2，,0≤y≤2))表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是________．解析：平面区域D的面积为4，到原点距离大于2的点位于图中阴影部分，其面积为4－π，所以所求概率为eq\f(4－π,4).答案：eq\f(4－π,4)7．如图所示，在平面直角坐标系内，任作一条射线OA，则射线OA落在阴影内的概率为________．解析：以O为起点的射线OA等可能地落在坐标系中，区域角度为360°，而射线OA落在阴影内的区域角度为60°，所以射线OA落在阴影内的概率是eq\f(60°,360°)＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)8．假设你在如图所示的图形上随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分(等腰三角形)的概率是________．解析：设圆的半径为R，则圆的面积为πR2，等腰三角形的面积为eq\f(1,2)×2R×R＝R2，∴所求概率为P＝eq\f(R2,πR2)＝eq\f(1,π).答案：eq\f(1,π)9．正方形ABCD的边长为1，在正方形内(包括边界)任取一点M，求：(1)△AMB的面积大于或等于eq\f(1,4)的概率；(2)求AM的长度不小于1的概率．解析：(1)如图1，取BC，AD的中点E、F，连接EF，当M在CEFD内运动时，△AMB面积大于eq\f(1,4)，由几何概率定义，P＝eq\f(S矩形CEFD,S正方形ABCD)＝eq\f(1,2).图1图2(2)如图2，以AB为半径作弧，M在阴影部分时，AM长度大于等于1，由几何概型的概率公式得P＝eq\f(S阴影,S正方形ABCD)＝1－eq\f(1,4)×π×12＝1－eq\f(π,4).10．在转盘嬉戏中，假设有三种颜色红、绿、蓝．在转盘停止时，假如指针指向红色为赢，绿色为平，蓝色为输，问若每种颜色被平均分成四块，不同颜色相间排列，要使赢的概率为eq\f(1,5)，输的概率为eq\f(1,3)，则每个绿色扇形的圆心角为多少度？(假设转盘停止位置都是等可能的)解析：由于转回旋转停止位置都是等可能的，并且位置是无限多的，所以符合几何概型的特点，问题转化为求圆盘角度或周长问题．因为赢的概率为eq\f(1,5)，所以红色所占角度为周角的eq\f(1,5)，即α1＝eq\f(360°,5)＝72°.同理，蓝色占周角的eq\f(1,3)，即α2＝eq\f(360°,3)＝120°，所以绿色所占角度α3＝360°－120°－72°＝168°.将α3分成四等份，得α3÷4＝168°÷4＝42°.即每个绿色扇形的圆心角为42°.[B组实力提升]1．已知事务“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为eq\f(1,2)，则eq\f(AD,AB)＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,4)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(7),4)解析：如图，由题意，知当点P在靠近点D的CD边的eq\f(1,4)分点时，EB＝AB(当点P超过点E向点D运动时，PB>AB)．设AB＝x，过点E作EF⊥AB于点F，则BF＝eq\f(3,4)x，在Rt△BFE中，EF2＝BE2－FB2＝AB2－FB2＝eq\f(7,16)x2，即EF＝eq\f(\r(7),4)x，所以eq\f(AD,AB)＝eq\f(\r(7),4).答案：D2．若k∈R且k∈[－1，2]，则k的值使得过点A(1，1)可以作两条直线与圆x2＋y2＋kx－2y－eq\f(5,4)k＝0相切的概率等于()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(3,4) D．不确定解析：这是长度型几何概型问题，套用几何概型的计算公式计算，依题意，点A应当在圆的外部，所以应有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(k2,4)＋1＋\f(5,4)k>0，,12＋12＋k－2－\f(5,4)k>0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k>－1或k<－4，,k<0.))又因为k∈[－1，2]，所以－1<k<0.因为k的取值区间的长度为3，而使得过A可以作两条直线与圆相切的k的取值区间的长度为1，由几何概型的计算公式得所求概率P＝eq\f(1,3).答案：B3．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．解析：圆柱的体积V圆柱＝π×12×2＝2π是试验的全部结果构成的区域体积．以O为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球＝eq\f(1,2)×eq\f(4π,3)×13＝eq\f(2π,3)，则构成事务“点P到点O的距离大于1”的区域体积为2π－eq\f(2π,3)＝eq\f(4π,3)，由几何概型的概率公式，得所求概率P＝eq\f(\f(4π,3),2π)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)4．已知|p|≤3，|q|≤3，点(p，q)匀称分布．(1)点M(x，y)的横、纵坐标由掷骰子确定，第一次确定横坐标，其次次确定纵坐标，求点M(x，y)落在上述区域的概率；(2)求方程x2＋2px－q2＋1＝0有两个实数根的概率．解析：(1)点M(x，y)的横、纵坐标由掷骰子确定，第一次确定横坐标，其次次确定纵坐标，共有36个不同的坐标，而落在已知区域的点M有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共9个．所以点M(x，y