2024-2025学年高中数学第三章导数及其应用3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念学案新人教A版选修1-1

PAGE3．1变更率与导数3.1.1变更率问题3．1.2内容标准学科素养1.了解导数概念的实际背景．2.会求函数在某一点旁边的平均变更率．3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.利用数学抽象提升逻辑推理授课提示：对应学生用书第49页[基础相识]学问点一函数的平均变更率eq\a\vs4\al(预习教材P72－73，思索并完成以下问题)丰富多彩的变更率问题随处可见．导数探讨的问题就是变更率问题，那么，变更率和导数是怎样定义呢？(1)气球膨胀率气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)＝eq\f(4,3)πr3⇒r(V)＝eq\r(3,\f(3V,4π)).当空气容量V从0增加到1L时，气球半径增加了r(1)－r(0)≈0.62(dm)，气球的平均膨胀率为eq\f(r1－r0,1－0)≈0.62(dm/L)．类似地，当空气容量V从1L增加到2L时，气球半径增加了r(2)－r(1)≈0.16(dm)，气球的平均膨胀率为eq\f(r2－r1,2－1)≈0.16(dm/L)．当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少？提示：eq\f(rV2－rV1,V2－V1)(2)高台跳水在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.假如我们用运动员在某段时间内的平均速度eq\x\to(v)描述其运动状态，那么：求0≤t≤0.5和1≤t≤2这段时间内的eq\x\to(v).提示：在0≤t≤0.5这段时间里，eq\x\to(v)＝eq\f(h0.5－h0,0.5－0)＝4.05(m/s)；在1≤t≤2这段时间里，eq\x\to(v)＝eq\f(h2－h1,2－1)＝－8.2(m/s)．学问梳理函数的平均变更率对于函数y＝f(x)，给定自变量的两个值x1和x2，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，我们把式子eq\f(fx2－fx1,x2－x1)称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变更率．习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝x2－x1，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝f(x2)－f(x1)．于是，平均变更率可表示为eq\f(Δy,Δx).思索：视察函数y＝f(x)的图象(如图)，平均变更率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)表示什么？提示：过曲线上两点的割线的斜率．学问点二函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变更率eq\a\vs4\al(预习教材P74－75，思索并完成以下问题)在高台跳水运动中，计算运动员在0≤t≤eq\f(65,49)这段时间里的平均速度，并思索下面的问题：(1)运动员在这段时间里是静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？提示：(1)运动员在这段时间里不是静止的．(2)平均速度不能反映他在这段时间里的运动状态，须要用瞬时速度描述运动状态．把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，求从2s到(2＋Δt)s这段时间内平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(h2＋Δt－h2,Δt)＝－13.1－4.9Δt.我们发觉，当Δt趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值－13.1.从物理的角度看，时间间隔|Δt|无限变小时，平均速度eq\x\to(v)就无限趋近于t＝2时的瞬时速度．因此，运动员在t＝2时的瞬时速度是－13.1m/s.为了表述便利，我们用lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(Δt→0))eq\f(h2＋Δt－h2,Δt)＝－13.1表示“当t＝2，Δt趋近于0时，平均速度eq\x\to(v)趋近于确定值－13.1”．学问梳理瞬时变更率把式子：lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)叫做函数f(x)在x＝x0处的瞬时变更率．注：瞬时变更率是当自变量的变更量趋近于0时，平均变更率趋近的值，它刻画函数在某一点处变更的快慢．学问点三导数的概念学问梳理一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变更率是：lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).[自我检测]1．假如质点M按规律s＝3＋t2运动，则在时间段[2,2.1]中相应的平均速度是()A．4 B．4.1C．0.41 D．3答案：B2．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变更率是()A．－1 B．1C．2 D．－2答案：A3．设函数f(x)在点x0旁边有意义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则()A．f′(x)＝a B．f′(x)＝bC．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b答案：C授课提示：对应学生用书第51页探究一求函数的平均变更率[教材P75例1改编]将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，须要对原油进行冷却和加热．假如第xh时，原油的温度(单位：℃)为y＝f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．计算从2h到6h时，原油温度的平均变更率．解析：Δy＝f(6)－f(2)＝62－7×6＋15－22＋7×2－15＝4，Δx＝6－2＝4，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(4,4)＝1，∴从2h到6h原油温度的平均变更率为1.[例1]已知函数f(x)＝2x2＋3x－5.(1)求当x1＝4且Δx＝1时，函数增量Δy和平均变更率eq\f(Δy,Δx)；(2)求当x1＝4且Δx＝0.1时，函数增量Δy和平均变更率eq\f(Δy,Δx)；(3)若设x2＝x1＋Δx，分析(1)(2)问中的平均变更率的几何意义．[解析](1)Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1)＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－2xeq\o\al(2,1)－3x1＋5＝4x1Δx＋2(Δx)2＋3Δx.当x1＝4且Δx＝1时，Δy＝4×4×1＋2＋3＝21，所以平均变更率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(21,1)＝21.(2)当x1＝4且Δx＝0.1时，Δy＝4×4×0.1＋0.02＋0.3＝1.92，所以平均变更率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(1.92,0.1)＝19.2.(3)在(1)中，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)＝eq\f(f5－f4,5－4)，它表示曲线上点P0(4,39)与P1(5,60)连线所在直线的斜率；在(2)中，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)＝eq\f(f4.1－f4,4.1－4)，它表示曲线上点P0(4,39)与P2(4.1,40.92)连线所在直线的斜率．方法技巧求平均变更率的主要步骤(1)先计算函数值的变更量Δy＝f(x2)－f(x1)．(2)再计算自变量的变更量Δx＝x2－x1.(3)得平均变更率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1).跟踪探究1.求函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变更率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变更率的值．解析：函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变更率为eq\f(fx0＋Δx－fx0,x0＋Δx－x0)＝eq\f([3x0＋Δx2＋2]－3x\o\al(2,0)＋2,Δx)＝eq\f(6x0·Δx＋3Δx2,Δx)＝6x0＋3Δx.当x0＝2，Δx＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变更率为6×2＋3×0.1＝12.3.探究二物体运动的瞬时速度[教材P79习题3.1A组2题]在高台跳水运动中，ts时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，求运动员在t＝1s时的瞬时速度，并说明此时的运动状况．解析：eq\f(Δh,Δt)＝eq\f(h1＋Δt－h1,Δt)＝－4.9Δt－3.3，所以h′(1)＝－3.3.这说明运动员在t＝1s旁边以每秒3.3m的速度下降．[例2]某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，则物体在t＝1s时的瞬时速度为________m/s.[解析]∵eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s1＋Δt－s1,Δt)＝eq\f(1＋Δt2＋1＋Δt＋1－12＋1＋1,Δt)＝3＋Δt，∴eq\o(lim,\s\up6(),\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\up6(),\s\do4(Δt→0))(3＋Δt)＝3.∴物体在t＝1处的瞬时变更率为3，即物体在t＝1s时的瞬时速度为3m/s.[答案]3方法技巧求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间变更量Δt和位移变更量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．(2)求平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt).(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，eq\f(Δs,Δt)无限趋近于的常数v即为瞬时速度．延长探究(1)若本例中的条件不变，试求物体的初速度．(2)若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9m解析：(1)求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度，∵eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s0＋Δt－s0,Δt)＝eq\f(0＋Δt2＋0＋Δt＋1－1,Δt)＝1＋Δt，∴lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(Δt→0))(1＋Δt)＝1.∴物体在t＝0处的瞬时变更率为1，即物体的初速度为1m/s.(2)设物体在t0时刻的瞬时速度为9eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(st0＋Δt－st0,Δt)＝(2t0＋1)＋Δt，lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(Δt→0))(2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1，则2t0＋1＝9，∴t0＝4.则物体在4s时的瞬时速度为9m/s.跟踪探究2.一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2s时的瞬时速度为8m/s，则常数a＝________.解析：质点M在t＝2时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变更率．∵质点M在t＝2旁边的平均变更率eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s2＋Δt－s2,Δt)＝eq\f(a2＋Δt2－4a,Δt)＝4a＋aΔt，∴lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝4a＝8，即a＝2.答案：2探究三求函数在某一点处的导数[例3](1)求函数f(x)＝3x2－2x在x＝1处的导数．[解析]∵Δy＝3(1＋Δx)2－2(1＋Δx)－(3×12－2×1)＝3(Δx)2＋4Δx，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(3Δx2＋4Δx,Δx)＝3Δx＋4，∴y′|x＝1＝lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))(3Δx＋4)＝4.(2)已知函数y＝ax－eq\f(1,x)在x＝1处的导数为2，求a的值．[解析]∵Δy＝a(1＋Δx)－eq\f(1,1＋Δx)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,1)))＝aΔx＋eq\f(Δx,1＋Δx)，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(aΔx＋\f(Δx,1＋Δx),Δx)＝a＋eq\f(1,1＋Δx)，∴lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,1＋Δx)))＝a＋1＝2，从而a＝1.方法技巧求函数y＝f(x)在点x0处的导数的三个步骤简称：一差，二比，三极限．跟踪探究3.求函数f(x)＝eq\r(x)在x＝1处的导数．解析：∵Δy