高中数学第一章解三角形1.2应用举例二导学案新人教A版必修5

1.2应用举例（二）教学目标1.会运用测仰角(或俯角)解决一些有关底部不行到达的物体高度测量的问题.2.会用测方位角解决立体几何中求高度问题.3.进一步培育学习数学、应用数学的意识．教学过程一、创设情景老师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《1.2应用举例（二）》课件测量“天塔”高度的问题，与大家共享自己对此类问题解决方法的了解。通过举例说明和相互沟通，做好老师对学生的活动的梳理引导，并赐予主动评价.二、自主学习1.如图，AB是底部B不行到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，假如能测出点C，D间的距离m和由C点，D点视察A的仰角，怎样求建筑物高度AB？(已知测角仪器的高是h)提示：在△ACD中，eq\f(AC,sinβ)＝eq\f(m,sinα－β.)所以AC＝eq\f(msinβ,sinα－β)，在Rt△AEC中，AE＝ACsinα，AB＝AE＋h.2.如图，一辆汽车在一条水平的马路上向正西行驶，到A处时测得马路北侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，怎样求此山的高度CD?提示：先在△ABC中，用正弦定理求BC＝eq\f(5sin15°,sin10°)，再在Rt△DBC中求DC＝BCtan8°.二、合作探究探究点1：测量仰角(或俯角)求高度问题例1如图所示，D，C，B在地平面同始终线上，DC＝10m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于()A．10m B．5eq\r(3)mC．5(eq\r(3)－1)m D．5(eq\r(3)＋1)mD[设AB＝xm，则BC＝xm.∴BD＝(10＋x)m.∴tan∠ADB＝eq\f(AB,DB)＝eq\f(x,10＋x)＝eq\f(\r(3),3).解得x＝5(eq\r(3)＋1)m.所以A点离地面的高AB等于5(eq\r(3)＋1)m.]名师点评：(1)底部可到达，此类问题可干脆构造直角三角形．(2)底部不行到达，但仍在同一与地面垂直的平面内，此类问题中两次观测点和所测垂线段的垂足在同一条直线上，观测者始终向“目标物”前进．例2如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α＝54°40′，在塔底C处测得A处的俯角β＝50°1′.已知铁塔BC部分的高为27.3m，求出山高CD.(精确到1m)解在△ABC中，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠BAD＝α.依据正弦定理，eq\f(BC,sinα－β)＝eq\f(AB,sin90°＋β)，所以AB＝eq\f(BCsin90°＋β,sinα－β)＝eq\f(BCcosβ,sinα－β).解Rt△ABD，得BD＝ABsin∠BAD＝eq\f(BCcosβsinα,sinα－β).将测量数据代入上式，得BD＝eq\f(27.3cos50°1′sin54°40′,sin54°40′－50°1′)＝eq\f(27.3cos50°1′sin54°40′,sin4°39′)≈176.5(m)．CD＝BD－BC≈176.5－27.3≈149(m)．答山的高度约为149m.名师点评：利用正弦、余弦定理来解决实际问题时，要从所给的实际背景中，进行加工、提炼，抓住本质，抽象出数学模型，使之转化为解三角形问题．探究点2：测量方位角求高度问题例3如图所示，A、B是水平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD.解由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.因此只需在△ABD中求出AD即可，在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，由eq\f(AB,sin15°)＝eq\f(AD,sin45°)，得AD＝eq\f(AB·sin45°,sin15°)＝eq\f(800×\f(\r(2),2),\f(\r(6)－\r(2),4))＝800(eq\r(3)＋1)(m)．即山的高度为800(eq\r(3)＋1)m.名师点评：此类问题特点：底部不行到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决方法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题．四、当堂检测1．一架飞机在海拔8000m的高度飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是30°和45°，则这个海岛的宽度为________m．(精确到0.1m)2．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________________．3．为测量某塔的高度，在A，B两点进行测量的数据如图所示，求塔的高度．提示：1．5856.42.20eq\r(3)米，eq\f(40,3)eq\r(3)米3．解在△ABT中，∠ATB＝21.4°－18.6°＝2.8°，∠ABT＝90°＋18.6°，AB＝15(m)．依据正弦定理，eq\f(15,sin2.8°)＝eq\f(AT,cos18.6°)，AT＝eq\f(15×cos18.6°,sin2.8°).塔的高度为AT×sin21.4°＝eq\f(15×cos18.6°,sin2.8°)×sin21.4°≈106.19(m)．五、课堂小结本节课我们学习过哪些学问内容?1．在探讨三角形时，敏捷依据两个定理可以找寻到多种解决问题的方案，但有些过程较繁琐，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式．2．测量底部不行到达的建筑物的高度问题．由于底部不行到达，这类问题不能干脆用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．六、课例点评解三角形的应用是数学联系实际的良好素材，但是，一般状况