第12讲几何图形初步（原卷版）

第12讲几何图形初步考法一：图形的展开与折叠1．（2022·江苏徐州·统考中考真题）如图，已知骰子相对两面的点数之和为7，下列图形为该骰子表面展开图的是（

）A． B． C． D．2．（2022·江苏盐城·统考中考真题）正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“盐”字所在面相对的面上的汉字是（

）A．强 B．富 C．美 D．高3．（2022·江苏常州·统考中考真题）下列图形中，为圆柱的侧面展开图的是（

）A． B．C． D．4．（2022·江苏泰州·统考中考真题）如图为一个几何体的表面展开图，则该几何体是(

)A．三棱锥 B．四棱锥 C．四棱柱 D．圆锥5．（2022·江苏宿迁·统考中考真题）下列展开图中，是正方体展开图的是（

）A． B．C． D．1．点、线、面、体：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体也简称体；包围着体的是面,面有平的面和曲的面两种；面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种；线和线相交的地方形成点．从上面的描述中我们可以看出点、线、面、体之间的关系．此外，从运动的观点看：点动成线，线动成面，面动成体．2.展开与折叠：有些立体图形是由一些平面图形围成，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图．【拓展】(1)不是所有的立体图形都可以展成平面图形．例如，球便不能展成平面图形．(2)不同的立体图形可展成不同的平面图形；同一个立体图形，沿不同的棱剪开，也可得到不同的平面图．1．（2022·江苏盐城·校考三模）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“新”字所在面相对的面上的汉字是（）A．代 B．好 C．少 D．年2．（2022·江苏徐州·统考二模）如图，是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“文”字一面的相对面上的字是（

）A．强 B．富 C．文 D．主3．（2022·江苏南京·校联考一模）如图是一个三棱柱和它的侧面展开图，其中线段AB、EF、HI、DC分别表示这个三棱柱的侧棱，若AD＝16，HD＝4，则AE的长度可能是（）A．2 B．4 C．6 D．84．（2022·江苏泰州·统考二模）2022年2月4日至20日冬季奥运会在我国首都北京成功举行，如图是一个正方体的展开图，将它折叠成正方体后，“功”字的对面是（

）A．举 B．办 C．冬 D．奥5．（2022·江苏常州·统考二模）某几何体的表面展开图如图所示，这个几何体是（

）A．圆柱 B．长方体 C．四棱锥 D．五棱锥考法二：投影与视图1．（2022·江苏南通·统考中考真题）如图是5个相同的正方体搭成的立体图形，则它的主视图为（

）A． B． C． D．2．（2022·江苏扬州·统考中考真题）如图是某一几何体的主视图、左视图、俯视图，该几何体是（

）A．四棱柱 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱锥3．（2021·江苏淮安·统考中考真题）如图所示的几何体的俯视图是（

）A． B． C． D．4．（2021·江苏镇江·统考中考真题）如图所示，该几何体的俯视图是（

）A．正方形 B．长方形 C．三角形 D．圆5．（2021·江苏南通·统考中考真题）如图，根据三视图，这个立体图形的名称是（

）A．三棱柱 B．圆柱 C．三棱锥 D．圆锥1．投影：用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在平面叫做投影面．2．平行投影和中心投影：由平行光线形成的投影是平行投影；由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影．3．正投影：投影线垂直投影面产生的投影叫做正投影．4．物体的视图我们用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的叫做正面，正面下方的叫做水平面，右边的叫做侧面．一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图．5．画三视图的要求(1)位置的规定：主视图下方是俯视图，主视图右边是左视图．(2)长度的规定：长对正，高平齐，宽相等．1．（2020·江苏淮安·统考一模）下面是由几个小正方体搭成的几何体，则这个几何体的左视图为（

）．A． B． C． D．2．（2022·江苏淮安·淮阴中学新城校区校联考二模）下列四个几何体中，主视图为圆的是（）A． B．C． D．3．（2022·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考模拟预测）一个长方体的左视图、俯视图及相关数据如图所示，则其主视图的面积为（

）A． B． C． D．4．（2022·江苏苏州·苏州市振华中学校校考模拟预测）如图，是由个大小相同的正方体搭成的几何体，其左视图是（

）A． B． C． D．5．（2021·江苏无锡·统考一模）如图所示的几何体的俯视图是（

）A． B． C． D．考法三：线段1．（2021·江苏泰州·统考中考真题）互不重合的A、B、C三点在同一直线上，已知AC＝2a+1，BC＝a+4，AB＝3a，这三点的位置关系是（）A．点A在B、C两点之间 B．点B在A、C两点之间C．点C在A、B两点之间 D．无法确定2．（2021·江苏南京·统考中考真题）下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（

）A．1，1，1 B．1，1，8 C．1，2，2 D．2，2，23．（2014·江苏徐州·统考中考真题）点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为﹣3、1，若BC=2，则AC等于_____．4．（2020·江苏淮安·统考中考真题）如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为、、，测得，，千米，求、两点间的距离．（参考数据：，，结果精确到1千米）．5．（2021·江苏南京·统考中考真题）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？（1）如图①，圆锥的母线长为，B为母线的中点，点A在底面圆周上，的长为．在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）．（2）图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成．O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上．设圆锥的母线长为l，圆柱的高为h．①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为________（用含l，h的代数式表示）．②设的长为a，点B在母线上，．圆柱的侧面展开图如图④所示，在图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路．1.概念：直线上两点和它们之间的部分叫做线段．2.表示方法：（1）线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如图所示，记作：线段AB或线段BA．（2）线段也可用一个小写英文字母来表示。3.“作一条线段等于已知线段”的两种方法：（1）用圆规作一条线段等于已知线段。（2）用刻度尺作一条线段等于已知线段．例如：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段．4.基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短．【拓展】（1）线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可以比较长短．（2）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离．（3）线段的比较：①度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短．②叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．5.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如图所示，点C是线段AB的中点，则，或AB＝2AC＝2BC．1．（2018·江苏南通·校联考一模）如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，边于，点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（

）A． B． C． D．2．（2022·江苏常州·校考二模）如图，矩形中，点E在边上，，动点P从点A出发，沿运动到B停止，过点E作垂直交射线于点F，如果M是线段的中点，那么P在运动的过程中，点M运动的路线长为（

）A．5 B．5.5 C．4 D．4.53．（2022·江苏苏州·统考一模）如图，在中，，，，点是边上的一动点．，将绕点按逆时针方向旋转，点是边的中点，则长度的最小值为______．4．（2022·江苏连云港·东海实验中学校考三模）如图，四个村庄坐落在矩形ABCD的四个顶点上，公里，公里，现在要设立两个车站E，F，则的最小值为______公里．5．（2022·江苏宿迁·统考二模）如图，四边形是平行四边形，，是对角线的三等分点，连接，，证明：．考法四：角1．（2022·江苏苏州·统考中考真题）如图，直线AB与CD相交于点O，，，则的度数是（

）A．25° B．30° C．40° D．50°2．（2022·江苏连云港·统考中考真题）已知∠A的补角是60°，则_________．3．（2019·江苏常州·统考中考真题）如果∠α=35°，那么∠α的余角等于__________°．4．（2013·江苏徐州·中考真题）若∠α=50°，则它的余角是_____°．5．（2014·江苏常州·统考中考真题）若∠=30°，则∠的余角等于_______度，的值为_______.1.角的定义：（1）有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．（2）角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．【拓展】（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．（2）平角与周角：如射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．2.角的画法（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．3.角的比较与运算（1）角度制及其换算：角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制。1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．（2）角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．（3）角的和、差关系如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1＋∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB∠2．4.角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB．5.余角、补角（1）余角与补角：一般地，如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角，简称互余，其中一个角叫做另一个角的余角．类似地，如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的补角．（2）性质：同角（等角）的余角相等．同角（等角）的补角相等．【拓展】(1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关．(2)一个锐角的补角比它的余角大90°．6.对顶角：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角．(1)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.(2)只有两条直线相交时，才能产生对顶角．两条直线相交时，除了产生对顶角外，还会产生邻补角，邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边，另一边互为反向延长线.（3）性质：对顶角相等．7.方位角：在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．【拓展】（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示；（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”；（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向；（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．8.钟表上有关角问题钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题。1．（2023·江苏盐城·校考一模）已知，则的补角_____．2．（2022·江苏淮安·模拟预测）如图，一艘轮船由海平面上地出发向南偏西的方向行驶海里到达地，再由地向北偏西的方向行驶海里到达地，则、两地相距___________海里．3．（2022·江苏南京·南师附中树人学校校考二模）如图，在平行四边形中，，的平分线分别交AD于点E，F．若，，则BE的长为____．（用含a，b的代数式表示）．4．（2022·江苏苏州·苏州中学校考二模）（1）已知∠α=35°19′，则∠α的余角等于______；（2）已知∠β的补角为120°37′46″，∠β=______°．5．（2022·江苏泰州·统考二模）的余角是______．一、单选题1．（2023春·江苏苏州·九年级苏州高新区实验初级中学校考开学考试）已知线段cm，点C是直线上一点，cm，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度是（

）A．12cm B．8cm C．10cm