专题04一元二次方程单元综合提高专练-2021-2022学年八年级数学专题训练

专题04一元二次方程单元综合提高专练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．方程的根是（）A．=0，=5 B．=0，=5C．==0 D．==5【答案】A【解析】x25x=0x（x5）=0则x1=5，x2=0．故选A.2．关于的一元二次方程的一个根是，则的值（）A．2 B．2 C．2或2 D．0【答案】A【分析】代入求解即可，注意二次项系数不为0.【详解】因为0是方程的根，所以a2–4=0，又因为a2，所以a=–2.【点睛】二次项系数不为0是易错点.3．一元二次方程x2－9＝3－x的根是()A．3 B．－4 C．3和－4 D．3和4【答案】C【详解】先利用平方差将方程进行因式分解得:,再将方程等号左边的式子移到等号右边得:再对方程利用提公因式法进行因式分解得:解得:x1＝，x2＝3,因此正确选项是C.4．关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，且，则的取值范围是（）A． B．且C． D．且【答案】B【详解】试题分析：且故选B．考点：1、根的判别式；2、根与系数的关系．5．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y＝﹣x的图象如图所示，则方程ax2+（b+）x+c＝0（a≠0）的两根之和（）A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定【答案】C【分析】设的两根为x1，x2，由二次函数的图象可知，；设方程的两根为m，n，再根据根与系数的关系即可得出结论．【详解】解：设的两根为x1，x2，∵由二次函数的图象可知，，．设方程的两根为m，n，则.故选C．【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键．6．方程的解是，，则方程的解是（）A．， B．， C．，D．【答案】B【分析】根据方程a（x＋m）2＋b＝0的解是x1＝−2，x2＝1，可知方程a（x＋m＋2）2＋b＝0的解比方程a（x＋m）2＋b＝0的解小2，从而可以得到方程a（x＋m＋2）2＋b＝0的解．【详解】方程的解是，，方程的两个解是，，故选：B．【点睛】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，求出所求方程的解．二、填空题7．一元二次方程有实数根，则的取值范围为____．【答案】【分析】根据根的判别式求解即可．【详解】∵一元二次方程有实数根∴解得故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程根的问题，掌握根的判别式是解题的关键．8．方程x2﹣5x﹣6=0的解是_____．【答案】6，1【解析】试题解析：故答案为9．某农场的粮食产量在两年内从2000吨增加到2420吨，若设平均每年增产的百分率为，则所列方程为_____.【答案】【分析】此题是平均增长率问题，一般用一次增长后的量增长前的量增长率），参照本题，如果设平均每年增产的百分率为，根据“粮食产量在两年内从2000吨增加到2420”，即可得出方程．【详解】解：设平均每年增产的百分率为；第一年粮食的产量为：；第二年粮食的产量为：；依题意，可列方程：；故答案为：．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10．若某个一元二次方程的两个实数根分别为﹣2、1，则这个方程可以是_____．（写出一个即可）【答案】x2+x﹣2＝0（答案不唯一）【分析】根据根与系数的关系即可写出一个符合的方程．【详解】解：因为﹣2+1＝﹣1，﹣2×1＝﹣2，所以这个一元二次方程可以是x2+x﹣2＝0，故答案为：x2+x﹣2＝0（答案不唯一）．【点睛】此题考查的是根据两根构造一元二次方程，掌握根与系数的关系是解决此题的关键．11．已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，将△ABE沿AE向上折叠，使B点落在AD上的F点．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=_____．【答案】【分析】根据折叠性质得到AB=AF=1，再根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可解答．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=1由折叠的性质得：AB=AF=1，∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，∴，即，整理，得：，解得：,由题意得：，故答案为：．【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、相似多边形的性质、解一元二次方程，熟记一元二次方程的求根公式法，掌握折叠性质和相似性质，能列出比例式是解答的关键．12．已知x=4是一元二次方程x2－x+m=0的一个根，则m=________．【答案】12【解析】【分析】根据一元二次方程根的定义，把x=4代入原方程得到关于m的方程，解方程即可得.【详解】把x=4代入方程x2－x+m=0得，164+m=0，解得：m=12，故答案为12.【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，比较简单，是一个基础的题目.13．已知（m﹣1）x2﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，则实数m的取值范围是_____【答案】m≠1【解析】【分析】根据一元二次方程的定义即可求出答案．【详解】由题意可知：m−1≠0，∴m≠1，故答案为：m≠1，【点睛】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义，本题属于基础题型．14．已知实数a、b满足(a2+b2)22(a2+b2)=8,则a2+b2为______．【答案】4【分析】设y=a2+b2，把原方程化为关于y的一元二次方程，求出方程的解得到y的值，即为a2+b2的值．【详解】设y=a2+b2，原方程化为y22y8=0，即（y4）（y+2）=0，可得y4=0或y+2=0，解得：y1=4，y2=2，∵a2+b2≥0，∴a2+b2=4．故答案为4．【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，解题时一定要注意a2+b2的值为非负数．15．为了利用配方法解方程x2－6x－6=0，我们可移项得___________，方程两边都加上_________，得_____________，化为___________.解此方程得x1=_________，x2=_________.【答案】x2－6x=69x2－6x+9=15(x－3)2=153+3－【分析】根据题文一步步解，最后求方程的两个解.【详解】解：x2－6x－6=0，x2－6x=6，x2－6x+9=6+9，x2－6x+9=15，(x－3)2=15，(x－3)=，x1=3+x2=3－【点睛】本题考查配方法，解题的关键是按部就班，一步步计算.16．若方程3x210x+m=0有两个同号不等的实数根，则m的取值范围是___________【答案】0<m<.【解析】【分析】方程3x210x+m=0有两个同号不等的实数根的条件是判别式△＞0，且x•x＞0，据此即可得到关于m的不等式，求出m的取值范围．【详解】∵a=3，b=−10，c=m，又∵方程有两不相等的实数根，∴△=b2−4ac=100−12m>0，∴m<，又∵两根同号，∴x•x=>0，∴m>0，∴0<m<.故答案为：0<m<.【点睛】此题考查根的判别式，解题关键在于掌握计算公式.17．用一条长30cm的绳子围成一个面积为60cm2的长方形，设长方形的长为xcm，则可列方程为_____．【答案】x（15﹣x）＝60．【分析】根据长方形的周长可以用x表示宽的值，然后根据面积公式即可列出方程．【详解】解：设长方形的长为xcm，则宽为（15﹣x）cm，根据面积为60cm2可得：x（15﹣x）＝60，故答案为x（15﹣x）＝60．【点睛】此题考查了一元二次方程的运用，要掌握运用长方形的面积计算公式S=ab来解题的方法．18．已知m、n是关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两个不相等的实数根，且m2+mn+n2＝3，则q的取值范围是_____．【答案】q＜1【分析】先由韦达定理得出m+n＝﹣p，mn＝q，代入到m2+mn+n2＝（m+n）2﹣mn＝3，可得p2＝q+3，再结合△＝p2﹣4q＞0知q+3﹣4q＞0，解之可得答案．【详解】解：∵m、n是关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两个不相等的实数根，∴m+n＝﹣p，mn＝q，∵m2+mn+n2＝3，∴（m+n）2﹣mn＝3，则（﹣p）2﹣q＝3，即p2﹣q＝3，∴p2＝q+3，又△＝p2﹣4q＞0，∴q+3﹣4q＞0，解得q＜1，故答案为：q＜1．【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，及一元二次方程根的判别式．三、解答题19．解方程时，我们将作为一个整体，设，则原方程化为．解得．当时，，解得或．当时，，解得或．所以，原方程的解为．模仿材料中解方程的方法，求方程的解．【答案】x1=3，x2=1，x3=x4=1．【分析】设x2+2x=m，用m代替方程中的x2+2x，然后解关于m的一元二次方程，然后再来求关于x的一元二次方程．【详解】解：设x2+2x=m，则m22m3=0，∴（m3）（m+1）=0，∴m3=0或m+1=0，解得m=3或m=1，当m=3时，x2+2x=3，即x2+2x3=0，∴（x+3）（x1）=0，则x+3=0或x1=0，解得x1=3，x2=1；当m=1时，x2+2x=1，即x2+2x+1=0，∴（x+1）2=0，解得x3=x4=1；综上，原方程的解为x1=3，x2=1，x3=x4=1．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．20．2014年初，某市开始实施“旧物循环计划”，为旧物品二次利用提供了公益平台，到2014年底，全年回收旧物3万件，随着宣传力度的加大，2016年底全年回收旧物已经达6.75万件，若每年回收旧物的增长率相同．（1）求每年回收旧物的增长率；（2）按着这样的增长速度，请预测2017年全年回收旧物能超过10万件吗？【答案】（1）50%．（2）10万件．【解析】试题分析：（1）本题考查的是平均增长率问题，设年平均增长率为x，根据题意列出方程即可；（2）根据第一问的平均增长率，求出2017年回收旧物的件数，进行比较即可.试题解析：（1）设年平均增长率为x，根据题意得3（1+x）2=6.75．解得x1=0.5，x2=﹣2.5（舍去），答：平均增长率为50%．（2）6.75×（1+50%）=10.125万件＞10万件．∴2017年全年回收旧物能超过10万件．21．已知关于的一元二次方程．（1）当时，求方程的根；（2）如果方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．【答案】（1）;（2）.【分析】（1）将代入方程中，再解方程即可；

（2）根据方程根的情况可得到方程根的判别式的取值范围，即m的取值范围.【详解】解：（1）把m=0代入方程中，得：∴原方程的根为.（2）∵方程有两个不相等的实数根，∴.∴.∴.∴m的取值范围为.【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0⇔方程没有实数根．

也考查了一元二次方程的解法．22．利用配方法证明代数式－10x2+7x－4的值恒小于0．由上述结论，你能否写出三个二次三项式，其值恒大于0，且二次项系数分别是l、2、3．【答案】见解析【解析】【分析】利用配方法可把10x2+7x4分成一个负的完全平方式加上一个负数的形式，从而可确定此代数式必小于0．要求举的例子恒大于0，可使所举的例子能写成一个完全平方式加上一个正数的形式即可．【详解】．∴．∴即：−10x2+7x−4<0，∴代数式−10x2+7x−4的值恒小于0.举例：①x2+2x+2,②2x2−4x+8,③3x2+6x+8.【点睛】考查配方法的应用，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键.23．已知：当x=2时，二次三项式x2﹣2mx+4的值等于﹣4．当x为何值时，这个二次三项式的值是﹣1？【答案】x1=1，x2=5．【分析】试题分析：根据一元二次方程的解的定义将x=2x2﹣2mx+4=﹣4，列出关于m的方程，通过解方程求得m的值；然后将m的值代入关于x的方程x2﹣6x+4=﹣1，再通过解该方程求得x的值即可．【详解】试题解析：由题意得4﹣4m+4=﹣4，即3﹣m=0，解得m=3；∴x2﹣6x+4=﹣1，∴（x﹣1）（x﹣5）=0，得x1=1，x2=5．考点：解一元二次方程因式分解法；一元二次方程的解．24．为迎接旅游节，某宾馆将总面积为6000平方米的房屋装修改造成普通客房（每间26平方米）和高级客房（每间36平方米）共100间及其他功能用房若干间，要求客房面积不低于总面积的50%，又不超过总面积的60%（1）求最多能改造成普通客房多少间（2）在（1）的情况下，旅游节期间，普通客房以每间每天100元的价格全部租出，高级客房每天租出的间数y（间）与其价格x（元/间）之间的关系如图所示试问：该宾馆一天的最高客房收入能达到12000元吗？若能，求出此时高级客房的价格；若不能，请说明理由【答案】（1）最多可改造成普通客房间（2）该宾馆一在最高客房收入不能达到12000元【解析】试题分析：（1）设改造成的普通客房为间（为正整数），则解此不等式组，得，，最多可改造成普通客房间（2）由图象，得与之间的函数关系为由题意，设每天的客房收入为元，则=即高级客房租出的间数最多为40间，即，由二次函数的性质，知时，有最大值为11600元，该宾馆一在最高客房收入不能达到12000元考点：二次函数点评：本题考查二次函数，解答本题需要考生