3.43.5圆周角与圆心角的关系（B卷能力拓展）-2021-2022学年九年级数学下册分层练习（基础巩固＋能力拓展北师大版）

3.4—3.5圆周角与圆心角的关系学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________B卷（能力拓展）一、选择题1．（2021·浙江温州·九年级期末）如图，在四边形中，以为直径的恰好经过点，，交于点，已知平分，，，则的值为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】如图所示，连接OC，先证明△ADC∽△ACB，得到，则，，，，然后证明AD∥OC，得到△OCE∽△DAE，则．【详解】解：如图所示，连接OC∵AB是圆的直径，∴∠ACB=∠ADC=90°，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠CAB，∠DAB=2∠CAB，∴△ADC∽△ACB，∴，∴，∴，∴，又∵∠BOC=2∠CAB，∴∠BOC=∠DAB，∴AD∥OC，∴△OCE∽△DAE，∴，故选D．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，平行线的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．2．（2021—2022江苏溧水九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，C为半圆O的三等分点（靠近点A），P为⊙O上一动点．若D为AP的中点，则线段CD的最小值为（）A．－1 B．2 C．＋1 D．4【答案】A【分析】连接OD，以AO为直径作圆G，过G作GF⊥OC于F，求出OC＝OA＝2，求出OG、OF、CF长，根据勾股定理求出CG，再根据两点之间线段最短得出CD≥CGGD，再求出答案即可．【详解】解：∵直径AB＝4，∴CO＝AO＝2，连接OD，以AO为直径作圆G，过G作GF⊥OC于F，∵D为AP的中点，OD过O，∴OD⊥AP，即点D在⊙G上，GD＝OA＝1，∴OG＝1，∵点C为半圆O的三等分点（更靠近A点），∴∠AOC＝60°，∴∠FGO＝30°，∴OF＝OG＝，GF＝＝，∴CF＝OC﹣OF＝2﹣＝，由勾股定理得：CG＝＝＝，∵CD≥CGGD，∴CD≥1，∴CD的最小值是1，故选：A．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，点与圆的位置关系，三角形的三边关系定理等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键．3．（2021—2022江苏无锡市九年级月考）半径OA⊥弦BC于D，将⊙O沿着BC对折交AD于点E，，△ABE的面积为36，则OD的长为（）A．3 B． C．4 D．【答案】A【分析】连接BF，根据折叠的性质得到，，根据圆周角定理得到，根据余角的性质得到，连接OB，根据等腰三角形的性质得到，根据三角函数的定义设，则，求得，根据三角形的面积列方程即可得到结论．【详解】解：连接BF，

∵将⊙O沿BC对折交AD于点E，

∴，，∵AF是⊙O的直径，

∴∠ABF=90°，

∴∠A+∠F=90°，

∵半径OA⊥弦BC于点D，

∴∠F+∠FBD=90°，

∴∠EBD=∠FBD=∠A，

∴∠ABE=90°2∠A，连接OB，

∵OA=OB，

∴∠A=∠ABO，

∴∠ABO=∠DBE，

∴∠ABE=∠OBD，

∵tan∠ABE=，

∴tan∠OBD=，

设OD=x，则BD=4x，则，

∵，

∴，

∵△ABE的面积为，

解得：x=3，

∴OD=3，

故选：A．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．4．（2021·湖北青山·中考一模）如图，是半⊙的直径，点是弧的中点，D为弧BC的中点，连接，于点．则（）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】连接，，，在上取一点，使得，连接．证明，，可得结论．【详解】解：如图，连接，BC、．∵是直径，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∵∴．∵，∴．∴．∴．在上取一点，使得，连接．设，则．∵，∴．∴．∴．∴．故选：C【点睛】本题考查圆圆周角定理及推论、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟知上述的定理或推论是解题的基础，根据题目特征，在EA上取点T，构造出两个特殊三角形和是解题的关键．5．（2021—2022浙江宁波九年级期中）如图，⊙O的直径AB＝5，弦AC＝3，点D是劣弧BC上的动点，CE⊥DC交AD于点E，则OE的最小值是（）A． B． C．2－ D．－1【答案】A【分析】先根据题意找到点E的运动轨迹是在的外接圆（以P为圆心，AP为半径）上，由此可得点E在OP与P的交点处时，OE取得最小值，再利用相似三角形的判定与性质求解即可．【详解】解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AB＝5，AC＝3，∴，∴的大小和形状是唯一的，设∠B＝α，∵∠D与∠B都是弧AC所对的圆周角，∴∠D＝∠B＝α，∵CE⊥DC，∴∠DCE＝90°，∴∠AEC＝∠DCE＋∠D＝90°＋α，∴∠AEC的度数为定值90°＋α，∴如图，点E在的外接圆（以P为圆心，AP为半径）上，如图，连接OP，OC，当点E在OP与⊙P的交点处时，OE取得最小值，如图，在优弧AC上取一点Q，连接OC，AQ，CQ，∵∠AEC＝90°＋α，∴∠Q＝180°－∠AEC＝90°－α，∴∠APC＝2∠Q＝180°－2α，∵PA＝PC，∴∠PAC＝∠PCA＝＝α，∵∠ACB＝90°，∠B＝α，∴∠BAC＝90°－∠B＝90°－α，∴∠OAP＝∠BAC＋∠PAC＝90°，∵PA＝PC，OA＝OC，∴OP垂直平分AC，∴OP⊥AC，又∵BC⊥AC，∴，∴∠AOP＝∠B，∵∠AOP＝∠B，∠OAP＝∠ACB，∴，∴，∵直径AB＝5，∴半径OA＝，∴，解得：，，∴，∴，∴OE的最小值为，故选：A．【点睛】本题考查了圆周角定理，直径的性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，找到点E的运动轨迹是解决本题的关键．6．（2021·安徽义安·中考二模）如图，的半径为2，定点在上，动点，也在上，且满足，为的中点，则点，在圆上运动的过程中线段的最大值为（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】连接OA、OB、AB、OC、OP，取OB的中点M，连接CM、AM，根据圆周角定理得出∠AOB=60°，从而得出△AOB是等边三角形，再利用勾股定理得出AM的长，利用三角形中位线定理得出CM的长，当A、M、C共线时，AC最大即可得出答案【详解】解：连接OA、OB、AB、OC、OP，取OB的中点M，连接CM、AM，∵，∴∠AOB=60°，∵OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴OA=OB=AB=2，∴AM⊥BC,∴，∵为的中点，OB的中点M，∴，∵AC＜AM+CM,当A、M、C共线时，AC最大，∴的最大值=，故选：B【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定、三角形中位线定理、圆周角定理等知识，添加辅助线得出当A、M、C共线时，AC最大是解题的关键．二、填空题7．（2021—2022福建厦门九年级期中）如图，在中，，点A为动点，在点A运动的过程中始终有，则面积的最大值为______．【答案】【分析】作三角形ABC的外接圆O，过点A作AM⊥BC于M，由弦BC已经确定，则要使得△ABC的面积最大，只要AM的值最大即可，即当AM过圆心O时，AM有最大值，由此求解即可．【详解】解：如图所示，作三角形ABC的外接圆O，过点A作CM⊥BC于M，∵弦BC已经确定，∴要使得△ABC的面积最大，只要AM的值最大即可，如图所示，当AM过圆心O时，AM有最大值，∵AM⊥BC，CM过点O，∴，∵∠BAC=45°，∴∠BOC=90°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=45°，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定解题的关键在于确定什么时候AM的值最大．8．（2021·河北平泉·九年级期末）如图，平面直角坐标系中，经过点A（8，0），O（0，0），B（0，6），点P关于x轴的对称点是P1，点D是上的一点．（1）∠ADB=___°；（2）当点D到弦OB的距离最大时，直线DP1与x轴的交点坐标为___．【答案】90°；（，0）；【分析】（1）连接AB、AD、BD，利用圆周角定理：90度的圆周角所对的弦是直径，即可得到答案；（2）由题意，先求出点D和点P1的坐标，然后利用待定系数法求出解析式，令，即可求出点C的坐标．【详解】解：（1）连接AB、AD、BD，如图：∵经过点A（8，0），O（0，0），B（0，6），又∵∠AOB=90°，∴AB是直径，AB=，∴∠ADB=90°；故答案为：90°．（2）由（1）可知，点P是AB的中点，∵A（8，0），B（0，6），∴点P的坐标为（4，3），∵点P关于x轴的对称点是P1，∴P1的坐标为（4，），∵当点D到弦OB的距离最大时，即作DE⊥OB，点P在DE上，如图：连接DP1，与x轴交点为C；∵，此时，点D的坐标为（9，3）；设直线DP1为，则把点（4，）和点（9，3）代入，得，解得，∴；令，则，解得：；∴直线DP1与x轴的交点坐标为（，0）；故答案为：（，0）；【点睛】本题考查了圆周角定理，轴对称的性质，勾股定理求线段的长度，以及待定系数法求直线的解析式，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题．9．（2021—2022广东惠州一中期中）如图，是的直径，，是的半径，，点在上，，点是半径上的一个动点，则的最小值为_______．【答案】【分析】根据题意，连接，交于点，连接，，根据已知条件和圆周角定理求得，进而勾股定理求得，即可求得答案【详解】连接，交于点，连接，，点是半径上的一个动点，的最小值为的长，，在中的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了圆周角定理，弧长与圆心角的关系，线段和最短问题，轴对称的性质，是解题的关键．10．如图，为半圆弧的中点，为弧上任意一点，且与交于点，连接．若，则的最小值为_________【答案】【分析】设半圆弧所在圆的圆心为，连接，分别过点作的垂线，两垂线交于点，延长至点，使得，连接，先根据正方形的判定与性质可得，从而可得，再根据圆周角定理可得，从而可得，然后判断出点四点共圆，且所在圆的圆心为点，由此可得，最后根据三角形的三边关系定理、两点之间线段最短求出最小值即可得．【详解】解：如图，设半圆弧所在圆的圆心为，连接，分别过点作的垂线，两垂线交于点，延长至点，使得，连接，为半圆弧的中点，，又，四边形是正方形，，在中，，，，是等腰直角三角形，，由圆周角定理得：，，即，，，又，点四点共圆，且所在圆的圆心为点，，由三角形的三边关系定理、两点之间线段最短得：，即，当且仅当点共线时，等号成立，则的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、圆周角定理、圆心角定理等知识点，通过作辅助线，构造出点四点共圆是解题关键．11．如图，CD为⊙O的直径，AB为⊙O中长度为定值的弦，AB＜CD．作AE⊥CD于E，连接AC，BC，BE．下列四个结论中：①O到AB的距离为定值；②BE＝BC；③当OE＝AE时，∠ABC＝67.5°或22.5°；④∠BAE+2∠ACD为定值．正确的是___．（填所有正确的序号）【答案】①④【分析】对于①：过O点作OH垂直AB，由垂径定理即可求解；对于②：举反例，当A、B、E三点共线时，即：CD⊥AB时，此时BE＜BC，；对于③由OE＝AE时△AOE为等腰直角三角形，得到∠AOE=45°，进而得到∠AOC=180°45°=135°，再由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求解；对于④：由已知得到∠ACD=∠DAE，进而得到∠BAE+2∠ACD=∠DCB+∠ACD=∠ACB，由AB为定弦即可求解．【详解】解：对于①：过O点做OH⊥AB于H点，如下图所示：由垂径定理可知：，由于AB为⊙O中长度为定值的弦，∴AH为定值，且圆O确定后其半径也为定值，∴必为定值，故①正确；对于②：当A、B、E三点共线时，即：CD⊥AB时，此时BE＜BC，故②错误；对于③：当OE＝AE时，连接OA，由已知条件AE⊥CD可知，△AOE为等腰直角三角形，此时E点在以AO的中点为为圆心，为半径的圆上，如上左图所示：当E点位于AO下方时，此时∠AOE=45°，∠AOC=180°45°=135°，∴，当E点位于AO上方时，如上右图所示，此时∠AOE=45°，∠AOC=180°45°=135°，∴，故③错误；对于④：连接AO、AD，如下图所示，∵CD为圆O的直径，∴∠CAD=90°，∴∠ACD+∠ADC=90°，又∠DAE+∠ADC=90°，∴∠ACD=∠DAE，由同弧所对的圆周角相等可知，∠DAB=∠DCB，∴∠BAE+2∠ACD=(∠BAE+∠ACD)+∠ACD=(∠BAE+∠DAE)+∠ACD=∠DAB+∠ACD=∠DCB+∠ACD=∠ACB，∵AB为定值，∴∠ACB为定值，∴∠BAE+2∠ACD为定值，故④正确；故答案为：①④．【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角等于圆心角的一半、垂径定理、等腰直角三角形的性质等，熟练掌握圆周角定理及其推论是解决本类题的关键．三、解答题12．（2021—2022湖南师大附中九年级开学考试）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，D是劣弧的中点BD交AC于点E．（1）若，求．（1）求证：AD2＝DE•DB．（2）若BC＝5，CD＝，求DE的长．【答案】（1）；（2）见解析；（3）【分析】（1）根据BC是⊙O的直径，可得∠CAB=90°，进而可得∠ABC=60°，由D是劣弧的中点，可得，可得∠DAC=30°，利用特殊角三角函数值即可；（2）先证明△ABD∽△EAD，再运用相似三角形性质即可；（3）由D是劣弧的中点，得AD=DC，再运用（2）的结论即可．【详解】（1）解：∵BC是⊙O的直径∴∠CAB＝90°∵∴∠ABC＝90°30°=60°∵D是劣弧的中点，得，∴∠ABD＝∠DAC=30°∴=（2）证明：由（1）得∠ABD＝∠DAC，又∵∠ADB＝∠EDA，∴△ABD∽△EAD，∴AD2＝DE•DB；（3）解：由D是劣弧的中点，得AD＝DC，则DC2＝DE•DB∵CB是直径，∴△BCD是直角三角形．∴BD＝，由DC2＝DE•DB得，（）2＝2DE，解得：DE＝．【点睛】本题考查了圆的性质，直径所对的圆周角为直角，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，将乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过相似三角形的性质得出是解题关键．13．（2021—2022黑龙江哈尔滨市九年级月考）已知AB、CD为的两条弦，．（1）如图1，求证弧弧BD；（2）如图2，连接AC、BC、OA、BD，弦BC与半径OA相交于点G，延长AO交CD于点E，连接BE，使，若，求证：四边形ABEC为菱形；（3）在（2）的条件下，CH与相切于点C，连接CO并延长交BE于点F，延长BE交CH于点H，，，求CH长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【分析】（1）直接根据同圆中，相等的圆周角所对的弧相等可得结论；（2）根据圆周角定理，以及等腰三角形的性质可得，即可得出四边形为平行四边形，根据对角线垂直的平行四边形为菱形可得结论；（3）延长交于,连接，过作于点，设，根据勾股定理相似三角形的性质求出的值，即可得出，根据锐角三角函数可得结果．【详解】解：（1）连接,

∵，∴,∴；（2）∵，∴,即,∴,∵，∴,∴,∴,∵，∴四边形为平行四边形，∵，即,∴四边形ABEC为菱形；（3）延长交于,连接，过作于点，

∴,,∵,设，∴，∴，∵四边形ABEC为菱形，∴，∴，∵,∴,即，解得：，∴,∵,∴,∴,∵,∴，∴,解得：．【点睛】本题考查了圆周角定理，菱形的判定与性质，平行线分线段成比例定理等知识点，熟知性质定理是解本题的关键．14．（2021·福建·重庆实验外国语学校模拟预测）已知四边形内接于，．（1）如图1，求证：点到两边的距离相等；（2）如图2，已知与相交于点，为的直径．①求证：；②若，，求的长．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②【分析】（1）连接，由等弦对等弧，等弧对等角得，即可得证；（2）①由，得到，由直径所对的圆周角是直角，可推得；过点作，交延长线于点，根据角的关系证明，又由，得到，进一步等量代换得，即可得证；（2）②由第一小问知，，设，则，由条件求出BD的值，建立等量关系，分别求出DE的值，再证明，根据相似三角形线段成比例得，代入相关数值求解即可．【详解】证明：（1）如图1，连接，，，，点到两边的距离相等；（2）①，，为直径，，，如图2，过点作，交延长线于点，，，又由（1）知：，，，，，，②如图，由（2）①得：，则，设，则，为直径，，，，，解得：，，，又，，，，，，．【点睛】本题考查三角形的相似的性质和判定，等弦对等弧，等弧对等角，平行线分线段成比例等相关知识点，牢记知识点是解题关键．15．（2021·黑龙江平房·中考三模）已知：内接于，，于点，连接．（1）如图，求证：；（2）如图，延长交于点，连接，若，求证：；（3）如图，在（2）的条件下，若，，求线段的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）．【分析】（1）如图，连接OC，根据等腰三角形的性质可得，根据可得，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的性质可得，根据三角形内角和可得，即可得结论；（2）如图，连接，过点作于点，根据垂径定理可得，根据圆周角定理可得，利用角的和差关系可得，根据等腰三角形的性质可得，根据圆周角定理可得，利用AAS可证明，根据全等三角形的性质可得，进而可得结论；（3）延长交于点，过点作于点，交于点，连接，设，根据圆周角定理及等腰三角形的性质可得，即可得出，利用SAS可证明，根据全等三角形的性质可得，，，进而可得，可得，根据三角形内角和可得，即可得出，根据等腰三角形的性质可得，设，则，，利用ASA可证明，可得，根据直角三角形两锐角互余的关系可得，利用ASA可证明，可得，利用勾股定理列方程求出m的值即可得答案．【详解】（1）连接，∵，∴，∵，∴，∴，∵∠BAC和∠BOC