专题08 圆中的最值模型之瓜豆原理（曲线轨迹）（解析版）

专题08圆中的最值模型之瓜豆原理（曲线轨迹）动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。【模型解读】模型1、运动轨迹为圆弧模型1-1.如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。模型1-2.如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。模型1-3.定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中）如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。模型1-4.定边对定角（或直角）模型1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧．如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。【模型原理】动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。例1．（2023.江苏九年级期中）如图，中，于点是半径为2的上一动点，连结，若是的中点，连结，则长的最大值为（）A．3 B． C．4 D．【答案】B【详解】解：如图，可知P在BA延长线与的交点时此时长的最大，证明如下：连接BP,∵,∴BD=DC,∵是的中点，∴DE//BP,,所以当BP的长最大时，长的最大，由题意可知P在BA延长线与的交点时BP的长最大此时长的最大，∵BC=6,AD=4,∴BD=DC=3,BA=5,∵的半径为2，即AP=2,∴BP=5+2=7,∴.故选：B.例2.（2023.广西九年级期中）如图，，点O在线段上，，的半径为1，点P是上一动点，以为一边作等边，则的最小值为_____．【答案】【详解】解：如图，在上方以为一边作等边，连接，和都是等边三角形，，，即，在和中，，，，点在以点为圆心，长为半径的圆上，如图，设与交于点，过点作于点，则，则当点与点重合时，取得最小值，最小值为，，，是等边三角形，，，，在中，，则，即的最小值为，故答案为：．例3．（2023·山东·九年级专题练习）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=12，以D为圆心，4为半径作⊙D，E为⊙D上一动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，使∠EAF=90°，tan∠AEF=，则点F与点C的最小距离为________．【答案】4【分析】如图，取AB的中点G，连接FG，FC，GC，由△FAG∽△EAD，推出FG：DE＝AF：AE＝1：3，因为DE＝4，可得FG＝，推出点F的运动轨迹是以G为圆心为半径的圆，再利用两点之间线段最短即可解决问题．【详解】解：如图，取AB的中点G，连接FG．FC．GC．∵∠EAF＝90°，tan∠AEF＝，∴＝，∵AB＝8，AG＝GB，∴AG＝GB＝4，∵AD＝12，∴，∴，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠EAF＝90°，∴∠FAG＝∠EAD，∴△FAG∽△EAD，∴FG：DE＝AF：AE＝1：3，∵DE＝4，∴FG＝，∴点F的运动轨迹是以G为圆心为半径的圆，∵GC＝，∴FC≥GC−FG，∴FC≥4，∴CF的最小值为4．故答案为：4．【点睛】本题考查了矩形，圆，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．例4．（2022·广西贵港·三模）如图，在△ABC中，，，，点D在AC边上，且，动点P在BC边上，将△PDC沿直线PD翻折，点C的对应点为E，则△AEB面积的最小值是（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】连接BD，作点C关于BD的对称点N，以点D为圆心，以DC为半径作，过点D作DM⊥AB于M，交于Q．根据勾股定理，相似三角形的判定定理和性质求出DM的长度，根据轴对称的性质求出QM的长度，根据点E的运动轨迹确定当点E与点Q重合时，点E到AB的距离最短为QM，再根据三角形面积公式求解即可．【详解】解：如下图所示，连接BD，作点C关于BD的对称点N，以点D为圆心，以DC为半径作，过点D作DM⊥AB于M，交于Q．∵，，，DM⊥AB于M，∴∠AMD=∠ACB，．∵∠MAD=∠CAB，AD=2，∴，DC=AC-AD=1．∴，DQ=DC=1．∴．∴．∵动点P在BC边上，△PDC沿直线PD翻折，点C的对应点为E，∴DE=DC=DN．∴点E在上移动．∴当点E与点Q重合时，点E到AB的距离最短为QM．∴△AEB面积的最小值为．故选：A．【点睛】本题考查勾股定理，相似三角形的判定定理和性质，轴对称的性质，三角形面积公式，综合应用这些知识点是解题关键．例5．（2021·山东威海·中考真题）如图，在正方形ABCD中，，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和AF交于点G，连接BG．若，则BG的最小值为__________________．【答案】．【分析】根据SAS证明△DEA≌△AFB，得∠ADE=∠BAF，再证明∠DGA=90°，进一步可得点G在以AD为直径的半圆上，且O，G，B三点共线时BG取得最小值．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC-∠DAE，AD=AB，∵AE=BF∴△DEA≌△AFB，∴∠DAF+∠BAF=∠DAB=90°，∠ADE+∠DAF=90°∴∠DGA=90°∴点G在以AD为直径的圆上移动，连接OB，OG，如图：∴在Rt△AOB中，∠OAB=90°∴OB=∵∴当且公当O，G，B三点共线时BG取得最小值．∴BG的最小值为：．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，三角形三边关系，圆周角定理等相关知识，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．例6．（2022秋·江苏南通·九年级校考阶段练习）如图，已知正方形的边长为2，若动点E满足，则线段长的最大值为．【答案】【分析】根据题意得出E是以为直径的圆上的一个动点，利用勾股定理可得答案．【详解】解：，∴点E在以为直径的圆上，如图所示，的最大值为，∵正方形的边长为2，，的最大值为，当点E在的下方时，的最大值也是，故答案为：．【点睛】本题主要考查了圆周角定理、圆的基本性质及正方形的性质，根据最大的弦是直径求得为的最大值是解题的关键．课后专项训练1．（2022·山东济南·一模）正方形ABCD中，AB=4，点E、F分别是CD、BC边上的动点，且始终满足DE=CF，DF、AE相交于点G.以AG为斜边在AG下方作等腰直角△AHG使得∠AHG=90°，连接BH．则BH的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先证明，从而，再根据，可求，可知点H的运动轨迹为以点M为圆心，MH为半径的圆，从而可求BH最小值．【详解】解：如图，取AD中点O，连接OG，以AO为斜边作等腰直角三角形AOM，则，在和中，，∴（SAS），∴，∵，∴，∴，是直角三角形，∴，∵为等腰直角三角形，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴点H的运动轨迹为以点M为圆心，MH为半径的圆，如图，连接BM，交圆M于，过点M作于点P，∵，，∴，∴为等腰直角三角形，∵，∴AP=MP==1，∴BP=4-1=3，在中，，∴．∴BH的最小值为．故选：C．【点睛】本题考查最短路径问题，解题的关键是准确构造辅助线，利用三角形相似以及点和圆的知识解决．2．（2023·广东汕头·校考一模）如图，的直径，点C为中点，弦经过点C，且．点F为上一动点，连接．于点G．若，在点F运动过程中，线段的长度的最小值为．

【答案】/【分析】如图，连接，，取的中点，由．可得在以R为圆心，为直径的圆上运动，（圆的一部分）当，O，G三点共线时，最小，再求解，，可得，，则，可得，从而可得答案．【详解】解：如图，连接，，取的中点，∵．∴在以R为圆心，为直径的圆上运动，（圆的一部分）当，O，G三点共线时，最小，

∵，点C为中点，∴，，∵，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查的是圆的基本性质，圆周角定理的应用，圆的确定，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，证明在以R为圆心，为直径的圆上运动是解本题的关键．3．（2023·安徽亳州·统考模拟预测）等腰直角中，，，点是平面内一点，，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，当填度数度时，可以取最大值，最大值等于．【答案】【分析】连接、．先证明，则，，点在以点为圆心，长为半径的圆周上运动，当、、在同一直线上上最长，据此解答即可．【详解】解：如图一，连接、．是等腰直角三角形，，，将绕点逆时针旋转得到，，，，，，．，如图二，点在以点为圆心，长为半径的圆周上运动，当、、在同一直线上最长，，故答案为：；【点睛】本题考查旋转变换，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，点到圆上距离的最值问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．4．（2023春·广东深圳·九年级专题练习）如图，点G是内的一点，且，是等边三角形，若，则的最大值为．【答案】【分析】如图，作的外接圆，连接，，，过点作于点．说明，，，四点共圆，求出，利用三角形三边关系可得结论．【详解】解：如图，作的外接圆，连接，，，过点作于点．∵是等边三角形，∴，，∵，∴点在的外接圆上，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴的最大值为．故答案为：．【点睛】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形，圆的有关知识等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造辅助圆解决问题，属于中考常考题型．5．（2023·江苏泰州·九年级专题练习）如图，在矩形中，，，P为的中点，连接．在矩形外部找一点E，使得，则线段的最大值为．【答案】/【分析】以的中点O为圆心，为半径画圆，可得所画圆是的外接圆，弦右侧圆弧上任意一点E与构成的，使得四边形是圆内接四边形，，可得，连接并延长与圆的交点即为的最长距离，作于点H，是的中位线，，根据勾股定理求出和的值，进而可得的最大值．【详解】解：如图，以的中点O为圆心，为半径画圆，在矩形中，，，，∵，∴所画圆是的外接圆，弦右侧圆弧上任意一点E与构成的，使得四边形是圆内接四边形，∴，连接并延长与圆的交点即为的最长距离，作于点H，∴H是的中点，是的中位线，为的中点，，，，，，，．故答案为：【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，圆周角定理，最短路线问题，解决本题的关键是综合利用以上知识找到点E．6．（2022秋·北京东城·九年级校联考期末）如图，在中，，，，点是边的中点，将绕点C逆时针方向旋转得到，点是边上的一动点，则长度的最大值与最小值的差为．【答案】/【分析】由直角三角形的性质可得，由旋转的性质可得，可得，即点在以为圆心，为半径的圆上，则当点，点，点共线，且时，长度最小,当点与点重合，且点在的延长线上时，长度最大，然后求得最大值与最小值的差即可求解．【详解】解：，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，点是边的中点，，，点在以为圆心，为半径的圆上，如图，当点，点，点共线，且时，长度最小，，，最小值为．当点与点重合，且点在的延长线上时，长度最大，则最大值为长度的最大值与最小值的差为故答案为：．【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质、圆的基本认识，确定点的轨迹是本题的关键．7．（2022·贵州遵义·统考一模）如图，在正方形ABCD内有一点P，AD＝2，点M是AB的中点，且∠PMA＝2∠PAD．连接PD，则PD的最小值为．【答案】/【分析】过M作MK⊥AP于K，连接MD，由∠AMP＝2∠PAD，可得∠AMP＝2∠AMK，即知∠AMK＝∠PMK，从而△AKM≌△PKM（ASA），PM＝AMABAD＝1，可得点P的轨迹是以M为圆心，1为半径的半圆，故当M、P、D共线时，PD最小，PD的最小值为MD﹣1，在Rt△AMD中，MD，即可得答案．【详解】解：过M作MK⊥AP于K，连接MD，如图：∵∠PAD＝90°﹣∠MAK＝∠AMK，∠AMP＝2∠PAD，∴∠AMP＝2∠AMK，∴∠AMK＝∠PMK，∵MK＝MK，∠AKM＝∠PKM＝90°，∴△AKM≌△PKM（ASA），∴PM＝AMABAD＝1，∴点P的轨迹是以M为圆心，1为半径的半圆，当M、P、D共线时，PD最小，PD的最小值为MD﹣1，在Rt△AMD中，MD，∴PD最小为1，故答案为：1．【点睛】本题考查正方形中的动点问题，涉及三角形全等的判定与性质，解题的轨迹是求出P的轨迹是以M为圆心，1为半径的半圆．8．（2022·广东·测试·编辑教研五一模）如图，抛物线交轴于、两点在的左侧，交轴于点，点是线段的中点，点是线段上一个动点，沿折叠得，则线段的最小值是______．【答案】##【分析】先根据抛物线解析式求出点A，B，坐标，从而得出，，，再根据勾股定理求出的长度，然后根据翻折的性质得出在以为圆心，为半径的圆弧上运动，当，，在同一直线上时，最小；过点作，垂足为，由中位线定理得出，的长，然后由勾股定理求出，从而得出结论．【详解】解：令，则，解得，，，，，，令，则，，，，为中点，，由沿折叠所得，，在以为圆心，为半径的圆弧上运动，当，，在同一直线上时，最小，过点作，垂足为，，，，，又，，故答案为：．【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，翻折变换、勾股定理以及求线段最小值等知识，关键是根据抛物线的性质求出，，的坐标．9．（2022·广东河源·二模）如图，已知，平面内点P到点O的距离为2，连接AP，若且，连接AB，BC，则线段BC的最小值为______．【答案】【分析】如图所示，延长PB到D使得PB=DB，先证明△APD是等边三角形，从而推出ABP=90°，∠BAP=30°，以AO为斜边在AC下方作Rt△AMO，使得∠MAO=30°，连接CM，过点M作MH⊥AC于H，解直角三角形得到，从而证明△AMB∽△AOP，得到，则，则点B在以M为圆心，以为半径的圆上，当M、B、C三点共线时，即点B在点的位置时，BC有最小值，据此求解即可．【详解】解：如图所示，延长PB到D使得PB=DB，∵，∴，又∵∠APB=60°，∴△APD是等边三角形，∵B为PD的中点，∴AB⊥DP，即∠ABP=90°，∴∠BAP=30°，以AO为斜边在AC下方作Rt△AMO，使得∠MAO=30°，连接CM，过点M作MH⊥AC于H，∴，同理可得，∵∠OAM=30°=∠PAB，∴∠BAM=∠PAO，又∵，∴△AMB∽△AOP，∴，∵点P到点O的距离为2，即OP=2，∴，∴点B在以M为圆心，以为半径的圆上，连接CM交圆M（半径为）于，∴当M、B、C三点共线时，即点B在点的位置时，BC有最小值，∵AC=2AO=8，∴AO=4，∴，∴，，∴，∴，∴，∴BC的最小值为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理，圆外一点到圆上一点的最值问题，解题的关键在于能够熟练掌握瓜豆模型即证明点B在以M为圆心，半径为的圆上运动．10．（2020·江苏连云港市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的与轴的正半轴交于点，点是上一动点，点为弦的中点，直线与轴、轴分别交于点、，则面积的最小值为________．【答案】2【分析】如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．先证明点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．求出MN，当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小．【详解】解：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．∵AC=CB，AM=OM，∴MC=OB=1，∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．∵直线y=x-3与x轴、y轴分别交于点D、E，∴D（4，0），E（0，-3），∴OD=4，OE=3，∴，∵∠MDN=∠ODE，∠MND=∠DOE，∴△DNM∽△DOE，∴，∴，∴，当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小，△C′DE的面积最小值，故答案为2．【点睛】本题考查三角形的中位线定理，三角形的面积，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题，属于中考常考题型．11．（2022·重庆·九年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，D是BC上一动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，过点E作EF⊥AB交BC于点F，则CF的最大值是________．【答案】【分析】如图，取AC的中点O，连接OE，OF，延长FE交AB于T．证明OE＝AC＝1，推出点E的在以O为圆心，1为半径的圆上运动，推出当FT与⊙O相切时，CF的值最大．【详解】解：如图，取AC的中点O，连接OE，OF，延长FE交AB于T．∵∠ACB＝90°，AB＝4，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，AC＝AB＝2，∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°，∵AO＝OC＝1，∴OE＝AC＝1，∴点E在以O为圆心，1为半径的圆上运动，∴当FT与⊙O相切时，CF的值最大，∵直线CF，直线EF都是⊙O的切线，∴FC＝FE，∴∠FCE＝∠FEC，∵∠CAE+∠ACE＝90°，∠ACE+∠ECF＝90°，∴∠CAE＝∠FCE，∵∠CEF+∠AET＝90°，∠AET+∠EAT＝90°，∴∠FEC＝∠EAT，∴∠CAE＝∠EAT＝30°，∵CF＝FE，OC＝OE，∴OF⊥EC，∵AD⊥CE，∵OF∥AD，∴∠COF＝∠CAD＝30°，∴CF＝OC•tan30°＝，∴CF的最大值为．故答案为：．【点睛】本题主要考查直角三角形30°角的性质，直线与圆的位置关系，线段的垂直平分线的性质等知识，解决本题的关键是发现点E在以O为圆心，1为半径的圆上运动，推出当FT与⊙O相切时，CF的值最大．12．（2022·广东东莞·一模）如图，在正方形中，，E是对角线的中点，点F为所在直线上方一点，连接，若，则长的最大值为．【答案】/【分析】以为边在正方形内作等边三角形，以O为圆心作，在圆上取点F，则，如图所示，则当点F是过点E的直径的端点时，取最大值，此时，于点H，据此求解即可．【详解】解：以为边在正方形内作等边三角形，以O为圆心作，在圆上取点F，则，如图所示：当点F是过点E的直径的端点时，取最大值，此时，于点H．∵，∴．在等腰直角三角形中，．∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，圆周角定理，正方形的性质，勾股定理等等，正确确定点F的运动轨迹是解题的关键．13．（2023·天津九年级期中）如图，⊙O的直径AB为2，C为⊙O上的一个定点，∠ABC＝30°，动点P从A出发，沿半圆弧向B点运动（点P与点C在直径AB的异侧），当P点到达B点时运动停止，在运动过程中，过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于点D，连接AD，则线段AD的最大值为_________．【答案】##【分析】由同弦等角可知点D在以BC为弦的⊙O′（红弧线）上运动，从而构造辅助圆，故当A、O′、D共线时，AD的值最大．求出此时AD的值即可解决问题．【详解】解：∵AB是直径，∠ABC＝30°，AB＝2，∴∠ACB＝90°，∠CAB＝∠P＝60°，，，∵在Rt△PCD中，∠PCD＝90°，∠P＝60°，∴∠PDC＝30°，∴点D在以BC为弦的⊙O′（红弧线）上运动，∴当A、O′、D共线时，AD的值最大．如图，连接CO′、BO′，∵∠BO′C＝2∠CDB＝60°，O′C＝O′B，∴△O′BC是等边三角形，∴,∠CBO′＝60°，∵∠ABC＝30°，∴∠ABO′＝90°，∴，∴,∴线段AD的最大值为．故答案为：．【点睛】本题考查圆周角定理、含30°角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考常考题型．14．（2023·浙江九年级课时练习）如图1，在中，，以点B为圆心，半径作圆．点Р为上的动点，连接，作，使点落在直线的上方，且满足，连接．（1）求的度数，并证明；（2）若点P在上时，①在图2中画出；②连接，求的长；（3）点P在运动过程中，是否有最大值或最小值？若有，请直接写出取得最大值或最小值时的度数；若没有，请说明理由．【答案】（1）；证明见解析；（2）①见解析；②；（3）取得最大值时，；取得最小值时，．【分析】（1）利用锐角三角函数求出即可；先判断出，再判断出，即可得出结论；（2）①利用垂直和线段的关系即可画出图形；②先求出，进而得出，再利用相似求出，即可得出结论；（3）先求出是定值，判断出点在以点为圆心，1为半径的圆上，即可得出结论．【详解】解：（1）①∵在中，，，，；②，，，，，，，，；（2）①如图1所示；②如图2，连接，由（1）知，，，，，，，点在上，，；又∵，∴在中，，，根据勾股定理得，；（3）由（1）知，，，，是定值，点是在以点为圆心，半径为的圆上，①如图3，点在的延长线上，此时，取得最大值，，，，取得最大值时，；②如图4，点在线段上时，取得最小值，，，取得最小值时，．【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，直角三角形的判定和性质，圆的性质，判断出是解本题的关键．15．（2023·陕西西安·校考模拟预测）问题提出（1）如图1，内接于，，，则的半径为．问题探究（2）如图2，已知矩形，，，是矩形内一点，且，连接，求的最小值．解决问题（3）如图3，小乐家有一个四边形菜地，他打算种植油菜花，为了提高产量，他计划改造四边形菜地，在改造的过程中始终要满足米，，，且，求改造后四边形菜地面积的最大值．【答案】（1）；（2）；（3）改造后四边形菜地面积的最大值为24平方米【分析】（1）作的直径，连接，利用圆周角定理，直角三角形的边角关系定理求得直径的长，则结论可求；（2）利用（1）的条件可得：点在以为弦，所对的圆周角为的圆上运动，设该圆的圆心为，作出，连接，，，与交于点，则当点于点重合时，取得最小值；过点作于点，则，过点作于点，则四边形为矩形，利用垂径定理和矩形的性质得到，的长，再利用勾股定理解答即可得出结论；（3）连接，利用等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质可得：点在以为直径的圆上运动，设，则，，利用三角形的面积公式求得四边形的面积，再利用非负数的性质解答即可得出结论．【详解】解：（1）作的直径，连接，如图，为的直径，，，，．在中，，，的半径为．故答案为：；（2），点在以为弦，所对的圆周角为的圆上运动，设该圆的圆心为，作出，连接，，，与交于点，如图，则当点于点重合时，取得最小值．由（1）知：的半径为，．，，，，．过点作于点，则，过点作于点，则四边形为矩形，，．，，，，的最小值；（3）连接，如图，，且，，，，点在以为直径的圆上运动．设，则，，，，．，，，的最大值为64，当且仅当时，当时，取得最大值为64，改造后四边形菜地面积的最大值．答：改造后四边形菜地面积的最大值为24平方米．【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，直角三角形的边角关系定理，矩形的性质，函数的极值，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键．16．（2023·河北廊坊·统考二模）已知如图，是腰长为4的等腰直角三角形，，以A为圆心，2为半径作半圆A，交所在直线于点M，N．点E是半圆A上仟意一点．连接，把绕点B顺时针旋转90°到的位置，连接，．(1)求证：；(2)当与半圆A相切时，求弧的长；(3)直接写出面积的最大值．【答案】(1)见解析(2)(3)4【分析】（1）根据旋转性质，结合已知，证明，得到，证明即可．（2）根据切线的性质，三角函数，求得，代入弧长公式计算即可．（3）根据题意，得点D在以点C为圆心，以2为半径的半圆上运动，当时，的高取得最大值，此时也取得最大值．【详解】（1）∵是等腰直角三角形，，∴．由旋转可得，∴，∴，∵，∴．（2）∵与半圆A相切，∴，∵，∴，∴，∴．（3）根据题意，得点D在以点C为圆心，以2为半径的半圆上运动，过点D作于点Q，∴，当时，的高取得最大值，此时也取得最大值．∴．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，特殊角的三角函数，弧长公式，圆的最值，熟练掌握特殊角的三角函数，弧长公式，圆的最值是解题的关键．17．（2022秋·吉林长春·九年级校考阶段练习）在一次数学探究活动中，张老师设计了一份活动单：已知线段，使用作图工具作．尝试操作后思考：这样的点唯一吗？点的位置有什么特征？你有什么感悟？某学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点、除外），……小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图①）．(1)小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．①该弧所在圆的半径长为___________；②面积的最大值为___________；(2)经过对比发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图①所示的弓形外部，我们记为，请你利用图①证明．(3)请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图②，已知矩形的边长，，点在直线的左侧，且，则线段长的最小值为___________．【答案】(1)①6；②(2)证明见解析(3)【分析】（1）①设O为圆心，连接，则由圆周角定理可得为等边三角形，从而可得该弧所在圆的半径；②过点O作的垂线，垂足为E，延长交圆于点D，以为底，则当与重合时，的面积最大，求出，根据三角形面积公式计算即可；（2）设交圆于点，连接，则由同弧所对的圆周角相等有，再由三角形外角的性质即可得到所证的结果；（3）作等腰,使,以为圆心，为半径作圆，则点在圆弧上，连接交于,此时最小,过作于于，根据，得在Rt中,,可得,，,根据勾股定理可得从而可得的最小值．【详解】（1）解：①设为圆心,连接,,又,是等边三角形,,即半径为6故答案为：6②过点作的垂线，垂足为，延长交圆于点，则当与重合时，的面积最大，,由勾股定理得：的最大面积为故答案为：（2）解：如图,设交圆于点，连接，点在圆上，,即（3）解：如图,