专题07二次函数中的平移问题 （含2023年中考真题+2024年一模）（解析版）

专题07二次函数中的平移问题二次函数中的平移问题主要是点的平移和图形的平移：针对顶点式抛物线的平移规律是：“左加右减（括号内），上加下减”，同时保持a不变。1．（2023·上海·统考中考真题）在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段上，以点C为顶点的抛物线M：经过点B．(1)求点A，B的坐标；(2)求b，c的值；(3)平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结，且轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式．【答案】(1)，(2)，(3)或【分析】（1）根据题意，分别将，代入直线即可求得；（2）设，得到抛物线的顶点式为，将代入可求得，进而可得到抛物线解析式为，即可求得b，c；（3）根据题意，设，，根据平移的性质可得点，点向下平移的距离相同，即列式求得，，然后得到抛物线N解析式为：，将代入可得，即可得到答案．【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，y轴交于点B，当时，代入得：，故，当时，代入得：，故，（2）设，则可设抛物线的解析式为：，∵抛物线M经过点B，将代入得：，∵，∴，即，∴将代入，整理得：，故，；（3）如图：∵轴，点P在x轴上，∴设，，∵点C，B分别平移至点P，D，∴点，点向下平移的距离相同，∴，解得：，由（2）知，∴，∴抛物线N的函数解析式为：，将代入可得：，∴抛物线N的函数解析式为：或．【点睛】本题考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，求抛物线的解析式，平移的性质，二次函数的图象和性质等，解题的关键是根据的平移性质求出m和a的值．2．（2024上·上海徐汇·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，第二象限的点在抛物线上，点到两坐标轴的距离都是．(1)求该抛物线的表达式；(2)将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位后，所得新抛物线与轴交于点和点，已知，且，与轴负半轴交于点．①求的值；②设直线与上述新抛物线的对称轴的交点为，点是直线上位于点下方的一点，分别连接、，如果，求点的坐标．【答案】(1)(2)①；②【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，直角三角形的性质，熟练掌握相关的性质，是解答本题的关键．（1）利用待定系数法，求得，由此得到答案．（2）①根据题意得到，平移后的抛物线表达式为，根据已知条件，令，求出，得到答案．②先利用已知条件，求出点，点，由此得到轴，过点，作轴于点，得到，又，设，，由此得到答案．【详解】（1）解：根据题意得：点，点在抛物线上，，解得：，该抛物线的表达式为：．（2）①根据题意得：将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位后的表达式为：，令，解得：，，，解得：；②由①抛物线的表达式为：，其对称轴为，则点，当时，，即点，点、的纵坐标相同，轴，过点，作轴于点，由的坐标，得到，则，，设，，在中，，解得：，则点坐标为：．3．（2024上·上海长宁·九年级统考期末）已知抛物线．(1)用配方法把化为的形式，并写出该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)如果将该抛物线上下平移，得到新的抛物线经过点，求平移后的抛物线的顶点坐标．【答案】(1)该抛物线的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标为(2)【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键．（1）利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．（2）设平移后的抛物线解析式为，代入点，求得的值即可求解．【详解】（1）解：，∴该抛物线的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标为；（2）设平移后的抛物线解析式为，∵新的抛物线经过点，∴，解得，∴平移后的抛物线解析式为，∴平移后的抛物线的顶点坐标是．4．（2024上·上海宝山·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，将抛物线平移，使平移后的抛物线仍经过原点O，新抛物线的顶点为M（点M在第四象限），对称轴与抛物线交于点N，且．(1)求平移后抛物线的表达式；(2)如果点N平移后的对应点是点P，判断以点O、M、N、P为顶点的四边形的形状，并说明理由；(3)抛物线上的点A平移后的对应点是点B，，垂足为点C，如果是等腰三角形，求点A的坐标．【答案】(1)；(2)是正方形，理由见解析；(3)、、、．【分析】（1）由题意得，平移后的抛物线表达式为：，得到点M、N的坐标，进而求解；（2）由题意得到，，，，证明四边形是平行四边形，由，得到四边形是矩形，由，即可得出结论；（3）当时，列出等式即可求解；当或时，同理可解．【详解】（1）解：由题意得，平移后的抛物线表达式为：，则点M的坐标为：，当时，，即点，则，解得：（舍去）或，则平移后的抛物线表达式为：；（2）解：四边形是正方形，根据题意可得，，，，记与交于点G，则，∴，，，，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是矩形，∵，∴四边形是正方形；（3）解：设，，，可得，，，①，，即，解得，（舍去0），；②，，解得，，或；③，，解得，；综上，点A的坐标是、、、．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到正方形的性质、图象的平移，等腰三角形存在问题等，分类求解是解题的关键．5．（2024上·上海黄浦·九年级统考期末）如图，直线与轴、轴分别交于点．对称轴为直线的抛物线经过点，其与轴的另一交点为．(1)求该抛物线的表达式；(2)将该抛物线平移，使其顶点在线段上点处，得到新抛物线，其与直线的另一个交点为．①如果抛物线经过点，且与轴的另一交点为，求线段的长；②试问：的面积是否随点在线段上的位置变化而变化?如果变化，请说明理由；如果不变，请求出面积．【答案】(1)；(2)①；②的面积不变，的面积为2．【分析】（1）先求得，，利用抛物线的对称性求得，设抛物线的表达式为，利用待定系数法即可求解；（2）①；②联立求得，利用待定系数法求得直线的解析式为，作轴交直线于点，求得，利用三角形的面积公式，列式计算即可求解．【详解】（1）解：令，则；令，则，解得；∴，，∵对称轴为直线，其与轴的另一交点为，∴，设抛物线的表达式为，把代入，得，解得，∴抛物线的表达式为；（2）解：①根据题意设新抛物线的顶点坐标为，则新抛物线的解析式为，∵抛物线经过点，∴，解得（舍去）或，当时，新抛物线的解析式为，令，则，解得或；∴与轴的另一交点为；∴；②的面积不变，∵新抛物线的解析式为，联立得，整理得，解得或；∴，设直线的解析式为，∴，解得，∴直线的解析式为，作轴交直线于点，则点，∴，∴的面积不变，的面积为2．【点睛】本题考查的是二次函数的综合运用，利用待定系数法求解函数解析式，坐标与图形面积，二次函数图象的平移，掌握以上基础知识是解本题的关键．6．（2024上·上海浦东新·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点、点，顶点为点C，抛物线M的对称轴交x轴于点D．(1)求抛物线M的表达式和点C的坐标；(2)点P在x轴上，当与相似时，求点P坐标；(3)将抛物线M向下平移个单位，得到抛物线N，抛物线N的顶点为点E，再把点C绕点E顺时针旋转得到点F．当点F在抛物线N上时，求t的值．【答案】(1)，点(2)或(3)【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）当时，则，即，即可求解；当时，同理可解；（3）根据图像平移和旋转求出点，代入函数解析式求解即可．【详解】（1）解：由题意得：，解得：，则抛物线的表达式为：，∵∴顶点；（2）解：由（1）知，，又∵抛物线M的对称轴交x轴于点D，∴点，∵、，，，∴、、、，，又∵与相似，∴点O与点C对应，当时，则，即，解得：，即点；当时，则，即，解得：，则点；综上，点的坐标为：或；（3）解：如图，过点作交于点，则，设平移后的抛物线表达式为：，则，在等腰中，，则，则点，将点的坐标代入函数表达式得：，解得：（舍去）或，故．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的平移，旋转的性质，二次函数图象性质，相似三角形的判定性质等知识，分类求解是解题的关键．7．（2024·上海杨浦·统考一模）已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为，且．(1)求抛物线的表达式；(2)点是线段上一点，如果，求点的坐标；(3)在第（2）小题的条件下，将该抛物线向左平移，点平移至点处，过点作直线，垂足为点，如果，求平移后抛物线的表达式．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）设点的横坐标为，点的横坐标为，根据对称轴，，列式，利用根与系数关系计算确定值即可．（2）过点作于点，交右侧的的延长线于点，交左侧的的延长线于点，利用三角形全等，确定坐标，后根据解析式交点确定所求坐标即可．（3）设抛物线向左平移了个单位，则点，过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交过点和轴的平行线于点，证明，根据相似三角形的性质得出即可求解．【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为，且，∴，解得，∴，解得，故抛物线的解析式为．（2）过点作于点，交右侧的的延长线于点，∵，∴，过点作轴于点，∴∵，∴，∴，∵抛物线的解析式为，，∴，，∴∴，设的解析式为，的解析式为∴，解得∴的解析式为，的解析式为，∴，解得，故；（3）∵，点,设抛物线向左平移了个单位，则点，过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交过点和轴的平行线于点，由（2）知，直线的表达式为：，设∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，，，∴，解得：，∴．【点睛】本题为考查了二次函数综合运用，三角形全等和相似、解直角三角形、图象平移等，正确作辅助线是解题的关键．8．（2024上·上海静安·九年级统考期末）在平面直角坐标系中（如图），已知点、、、在同一个二次函数的图像上．

(1)请从中选择适当的点坐标，求二次函数解析式；(2)如果射线平分，交轴于点，①现将抛物线沿对称轴向下平移，顶点落在线段的点处，求此时抛物线顶点的坐标；②如果点在射线上，当与相似时，请求点的坐标．【答案】(1)(2)①

②，【分析】（1）把解析式设为交点式，再把代入解析式中求解即可；（2）①过点E作于H，由角平分线的性质得到．利用勾股定理求出，进而利用等面积法求出，则，求出直线解析式为，再求出对称轴为直线，由此即可求出；②先求出，设，则，，分当时，当时，两种情况根据相似三角形的性质建立方程求解即可．【详解】（1）解：设二次函数解析式为，把代入中得：，解得，∴二次函数解析式为；（2）解：①过点E作于H，∵射线平分，，∴，∵、，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，设直线解析式为，∴，∴，∴直线解析式为，∵二次函数解析式为，∴对称轴为直线，在中，当时，，∴；

②∵，∴，设，∴，，当时，则，∴，∴，∴，解得或（舍去），∴；当时，则，∴，∴，解得或（舍去），；综上所述，或．【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质，一次函数与几何综合等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．9．（2024上·上海青浦·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点和点，与轴交于点．

(1)求、的值和点的坐标；(2)点为抛物线上一点（不与点重合），当时，求点的坐标；(3)在（）的条件下，平移该抛物线，使其顶点在射线上，设平移后的抛物线的顶点为点，当与相似时，求平移后的抛物线的表达式．【答案】(1)，，，(2)；(3)．【分析】（）由待定系数法即可求解；（）证明，则直线的表达式为，即可求解；（）当与相似时，证明，得到，则

，即可求解；本题考查了二次函数综合运用，涉及到三角形相似、一次函数的图象和性质等，解题的关键是熟练掌握知识点的应用．【详解】（1）由题意得:，解得：，当时，，则，（2）由（）得：∴抛物线解析式为，

由点、的坐标知，轴，由点、的坐标知，，则直线的表达式为：，联立得：，解得：（舍去）或，∴时，，则点；（3）由点、的坐标得直线的表达式为：，故设点，由点、、、的坐标得，，，，当与相似时，∵，，则，∴，则，即，即，解得：，则点，则抛物线的表达式为：．10．（2024上·上海松江·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，抛物线的图像经过原点、点，此抛物线的对称轴与x轴交于点C，顶点为B．(1)求抛物线的对称轴；(2)如果该抛物线与x轴负半轴的交点为D，且的正切值为2，求a的值；(3)将这条抛物线平移，平移后，原抛物线上的点A、B分别对应新抛物线上的点E、P．联结，如果点P在y轴上，轴，且，求新抛物线的表达式．【答案】(1)直线(2)(3)【分析】该题主要考查了二次函数综合，涉及知识点主要有解直角三角形，二次函数的图象和性质，全等三角形的性质和判断，函数平移等知识点，解题的关键是掌握以上知识点；（1）将、代入解析式再求解即可；（2）过A作轴，根据求解即可；（3）由（1）算出，，再根据点P在y轴上，轴，作轴于K，得出证明得出，又结合平移得出，在中，由列方程解出，即可求解；【详解】（1）过，又过，∴，∴的对称轴为直线，（2）由（1）知，，∴，过A作轴，，，（3）由（1）得，，∴，对称轴为直线，故，点P在y轴上，轴，作轴于K，设交y轴于L，，∴又又，，∴，又由平移知，∴，∴，又在中，，∴，或，，，∴二次函数解析式为，∴为，∴新抛物线解析式为11．（2024上·上海金山·九年级统考期末）已知：在平面直角坐标系中，抛物线过点、、．(1)求抛物线的表达式和顶点的坐标；(2)点在抛物线对称轴上，，求点的坐标；(3)抛物线的对称轴和轴相交于点，把抛物线平移，得到新抛物线的顶点为点，，的延长线交原抛物线为，，求新抛物线的表达式．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）利用待定系数法解得该抛物线解析式，并将其转化为顶点式，即可确定点的坐标；（2）设点，根据勾股定理可得，，，在中，由勾股定理可得，然后代入求值，即可获得答案；（3）首先过点作于点，根据等腰三角形“三线合一”的性质确定点为中点，易得；过点作轴于点，证明，由全等三角形的性质可得，，易知点的横坐标为，进而确定点，点，然后根据平移的性质，即可获得答案．【详解】（1）解：将点、、代入抛物线，可得，解得，∴该抛物线的表达式为，又∵，∴顶点的坐标为；（2）如下图，根据题意，点在抛物线对称轴上，，设点，∵，，∴，，，在中，由勾股定理可得，即，解得，∴点的坐标为；（3）如下图，∵原抛物线，∴其对称轴为，∴，∵新抛物线的顶点为点，，过点作于点，则，即点为中点，∵，，∴，∴，过点作轴于点，∵，，，∴，∴，，∴点的横坐标为，∴，∴，∴，∴，∵把原抛物线平移，得到新抛物线，∴新抛物线解析式为．【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、利用二次函数解决几何问题、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题．1．（2023上·上海嘉定·九年级统考期末）已知平面直角坐标系，抛物线经过点和两点.(1)求抛物线的表达式；(2)如果将这个抛物线向右平移个单位，得到新抛物线经过点，求的值.【答案】(1)(2)【分析】本题考查了二次函数的解析式求解以及二次函数的平移，注意计算的准确性即可．（1）将点和代入即可求解；（2）由（1）得，设平移后的抛物线表达式为，将点代入即可求解．【详解】（1）解：将点和代入得：解得∴抛物线的表达式是：.（2）解：由（1）配方得：根据题意可设平移后的抛物线表达式为∵经过点；∴解得：，∵∴.2．（2023上·上海浦东新·九年级校考阶段练习）已知抛物线如图所示，请结合图像中所给信息完成以下问题：

(1)求抛物线的表达式：(2)若该抛物线经过一次平移后过原点，请写出一种平移方法，并写出平移后得到的新抛物线的表达式．【答案】(1)(2)将抛物线向下平移个单位，【分析】（1）由题意可设抛物线的解析式为，把代入上式，即可求解；（2）把抛物线表达式化为一般式，根据平移的性质即可求解．【详解】（1）解：由题意可得，抛物线过点∴设抛物线的解析式为：，把代入，可得，解得：，抛物线的解析式为：；（2）由（1）得，将抛物线向下平移个单位，得，得到该抛物线经过一次平移后过原点，3．（2022·上海·统考中考真题）已知：经过点，．(1)求函数解析式；(2)平移抛物线使得新顶点为（m＞0）．①倘若，且在的右侧，两抛物线都上升，求的取值范围；②在原抛物线上，新抛物线与轴交于，时，求点坐标．【答案】(1)(2)①k≥2②P的坐标为（2，3）【分析】（1）把，代入，求解即可；（2）①由，得顶点坐标为(0，-3)，即点B是原抛物线的顶点，由平移得抛物线向右平移了m个单位，根据，求得m=2，在的右侧，两抛物线都上升，根据抛物线的性质即可求出k取值范围；②把P（m，n）代入，得n=，则P（m，），从而求得新抛物线解析式为：y=(x-m)2+n=x2-mx+m2-3，则Q(0，m2-3)，从而可求得BQ=m2，BP2=，PQ2=，即可得出BP=PQ，过点P作PC⊥y轴于C，则PC=|m|，根据等腰三角形的性质可得BC=BQ=m2，∠BPC=∠BPQ=×120°=60°，再根据tan∠BPC=tan60°=，即可求出m值，从而求出点P坐标．【详解】（1）解：把，代入，得，解得：，∴函数解析式为：；（2）解：①∵，∴顶点坐标为(0，-3)，即点B是原抛物线的顶点，∵平移抛物线使得新顶点为（m＞0）．∴抛物线向右平移了m个单位，∴，∴m=2，∴平移抛物线对称轴为直线x=2，开口向上，∵在的右侧，两抛物线都上升，又∵原抛物线对称轴为y轴，开口向上，∴k≥2，②把P（m，n）代入，得n=，∴P（m，）根据题意，得新抛物线解析式为：y=(x-m)2+n=x2-mx+m2-3，∴Q(0，m2-3)，∵B（0，-3），∴BQ=m2，BP2=，PQ2=，∴BP=PQ，如图，过点P作PC⊥y轴于C，则PC=|m|，∵BP=PQ，PC⊥BQ，∴BC=BQ=m2，∠BPC=∠BPQ=×120°=60°，∴tan∠BPC=tan60°=，解得：m=±2（舍去负数），∴n==3，故P的坐标为（2，3）.【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，抛物线的平移，抛物线的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，本题属抛物线综合题目，属中考常考试题目，难度一般．4．（2023上·上海普陀·九年级统考阶段练习）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线经过和，与轴的另一个交点为．

(1)求该抛物线的表达式及顶点的坐标；(2)将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移（）个单位后得到的新抛物线与轴交于点，新抛物线的顶点为；①求新抛物线的表达式及顶点的坐标；②点是新抛物线对称轴上的一点，当与相似时，求点的坐标．【答案】(1)，(2)①，；②或【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质，二次函数图象的平移，相似三角形的性质．（1）把点和代入函数中，即可求出a、c的值，从而得到该抛物线的表达式，根据二次函数的性质即可得到抛物线顶点M的坐标．（2）①根据平移可得新抛物线的表达式为，把点代入即可求出m的值，进而得到顶点坐标．②把代入函数，可求得抛物线与轴的另一个交点C的坐标，根据点A，B，C的坐标可求出的三边，，的长．根据新抛物线的表达式可得对称轴为，从而设点N的坐标为，根据点，，，可得到三边，，的长．若与相似，根据相似三角形的对应边成比例，分情况讨论，构造方程即可求解．【详解】（1）∵抛物线经过和，∴，解得，∴抛物线的表达式为，∵，∴抛物线的顶点M坐标为．（2）①∵将抛物线右平移2个单位，再向下平移（）个单位，得到新的抛物线，∴新抛物线的表达式为，∵新抛物线与轴交于点，∴，解得，∴∴新抛物线的表达式为，顶点坐标为．②

把代入函数，得，解得，，∴抛物线与轴的另一个交点C的坐标为，∵，，，∴，，，∵新抛物线的对称轴为，点N是该对称轴上的一点，∴设点N的坐标为，∵，，，∴，，，若与相似，则有以下情况：①，即，解得：，∴点N的坐标为；②，即，该方程组无解；③，即，该方程组无解；④，即，该方程组无解；⑤，即，解得：，∴点N的坐标为；⑥，即，该方程组无解．综上所述，点N的坐标为或．5．