专题01 平行线中的拐点模型之猪蹄模型（M型）与锯齿模型（原卷版）

专题01平行线中的拐点模型之猪蹄模型（M型）与锯齿模型平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（猪蹄模型（M型）与锯齿模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。通用解法：见拐点作平行线；基本思路：和差拆分与等角转化。模型1：猪蹄模型（M型）与锯齿模型【模型解读】图1图2图3如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN.如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2.如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.【模型证明】（1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM，∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．（2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，（3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1例1．（2023下·湖北武汉·七年级统考期末）如图，若，，，则的度数为（

）

A． B． C． D．例2．（2023·广东深圳·校考模拟预测）“绿水青山，就是金山银山”在两个景区之间建立上的一段观光索道如图所示，索道支撑架均为互相平行（），且每两个支撑架之间的索道均是直的，若，，则（）A． B． C． D．例3．（2023下·辽宁大连·七年级统考期末）如图，∠BCD＝70°，AB∥DE，则∠α与∠β满足（）A．∠α+∠β＝110° B．∠α+∠β＝70° C．∠β﹣∠α＝70° D．∠α+∠β＝90°例4．（2023下·广东广州·七年级校考期中）如图，，：：：：：：，若，则

例5．（2023下·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，已知，和分别平分和，若，则．

例6．（2023下·浙江温州·七年级校联考期中）如图，已知，点，分别在，上，点，在两条平行线，之间，与的平分线交于点．若，，则的度数为（

）．A． B． C． D．例7．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）已知：如图，，的平分线与的平分线交于点M，，，，则．例8．（2023下·上海·七年级校考期中）已知，直线AB∥CD。（1）如图（1），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．若∠A=140°，∠C=150°，则∠AGC的度数是多少？（2）如图（2），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．∠A=x°，∠C=y°，则∠AGC的度数是多少？（3）如图（3），写出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之间有何关系？直接写出结论．例9．（2023下·四川成都·七年级成都实外校考期中）已知，直线与直线，分别交于点F，E，点H在直线上．(1)如图1，点P在线段上，求证：；(2)如图2，平分，点P为线段上一点，且平分．若，求的度数；(3)如图3，平分，当H在直线上运动（不与点F重合）时，平分交于点N，于点Q，探究与的关系，并证明你的结论．

课后专项训练1．（2023上·河南新乡·八年级校考阶段练习）如图，已知，的直角顶点落在直线上，点落在直线上，若，，则的度数为（

）

A． B． C． D．2．（2023下·山东淄博·九年级校考期中）如图，直线，，为直角，则的度数（

）

A．65° B．75° C．115° D．135°3．（2022上·重庆沙坪坝·九年级校考期中）如图所示，已知，点在线段上（不与点、点重合），连接，若，．则的值为（）

A． B． C． D．4．（2023上·重庆北碚·九年级西南大学附中校考阶段练习）如图，，，，判断与的大小关系（

）

A． B． C． D．不能确定5．（2023下·河南焦作·七年级统考期末）若，则，，的度数之比可能为（）

A． B． C． D．6．（2023下·河北邢台·九年级统考开学考试）已知表示两幢大楼，现从点分别对点进行观测，俯角分别为和，若点在同一条直线上，则的度数为（

）

A． B． C． D．7．（2023下·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，于C，E是上一点，，，，，则与与之间的数量关系为(

)A．B．C．D．8．（2023下·上海徐汇·七年级统考期末）如图，已知船在观测站的北偏东方向上，且在观测站的北偏西方向上，那么的度数是．

9．（2023下·河南周口·七年级期中）如图，，，若，则．10．（2023下·山东枣庄·七年级校考期中）如图，直线，，则．

11．（2023下·河北廊坊·七年级校考期中）如图，，，，则．

12．（2023下·湖北武汉·七年级统考期末）如图，，平分，，，则．13．（2023下·辽宁大连·七年级统考期末）如图，将一块含的直角三角尺按如图所示的方式放置，其中点，分别在直线，上，若，，则°．

14．（2023下·四川成都·七年级统考期末）如图，直线，的平分线交直线于点D，若，则的度数为．

15．（2023上·四川成都·八年级校考期末）太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多物品都与如图所示的曲线有关、如图，从点O照射到曲线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出．图中如果，，则，．16．（2023下·湖南湘西·七年级校联考期中）如图，于点C，E是上一点，，，平分，平分，若，则的度数为．

17．（2023下·湖北武汉·七年级统考期中）完成下面的证明：如图所示，，求证：．证明：过E作，∵，∴_____________（_________），∴_______（_______）．∵（已作），∴_______（_______）．又∵______，∴．18．（2023·成都市·九年级专题练习）在图中，若，又得到什么结论？19．（2023下·贵州遵义·七年级校考阶段练习）已知：如图，已知，，求证：(1)(2)

20．（2022下·江西九江·七年级统考期末）解答(1)如图1，平分，平分，且．请判断与的位置关系，并说明理由．(2)如图2，且，当直角顶点移动时，写出与的数量关系，并说明理由．(3)如图3，，为线段上定点，为射线上一动点（不与点重合），当点在射线上运动时，与有何数量关系？写出结论，并加以说明．

21．（2023下·广东中山·七年级校联考期中）已知：直线，点、分别在直线，上，点为平面内一点．(1)如图1，猜想，，的数量关系并说明理由．(2)利用（）的结论解决问题：如图2，已知，平分，平分，，求的度数．

22．（2023下·福建莆田·七年级统考期中）如图，，是位于，之间的一点，现作如下操作：第一次操作：分别作和的平分线，交点为．第二次操作：分别作和的平分线，交点为．第三次操作：分别作和的平分线，交点为．第次操作，分别作和的平分线，交点为．

(1)如图1，若，，求的度数．(2)如图2，试探究与之间的数量关系，并说明理由．(3)若，直接写出的度数（用含a的式子表示）．23．（2023下·四川成都·七年级校考期中）如图1，已知直线，线段在直线a上运动，C为直线b上一定点，D为直线a，b之间一定点，E为直线b上C点右侧一点．（本题中的角均为小于的角）

(1)当线段运动到图2位置时，若与互余，求的度数；(2)在线段在直线a上运动过程中，请直接写出，和之间的数量关系；(3)当线段运动到如图3所示的位置时，的平分线交直线a于点F，G为直线a上点A左侧一点，且，求证：．24．（2023下·安徽滁州·七年级统考期末）已知AB∥CD，线段EF分别与AB，CD相交于点E，F．（1）请在横线上填上合适的内容，完成下面的解答：如图1，当点P在线段EF上时，已知∠A＝35°，∠C＝62°，求∠APC的度数；解：过点P作直线PH∥AB，所以∠A＝∠APH，依据是；因为AB