专题01 绝对值中的四类最值模型（解析版）

专题01绝对值中的四类最值模型最值问题一直都是初中数学中的最难点，但也是高分的必须突破点，而绝对值中的最值模型是初中学生第一次接触最值类问题，该类最值模型解题的主要依据是绝对值的几何意义或代数意义。本专题就绝对值中的四种最值模型进行梳理及对应试题分析，方便大家掌握。绝对值的性质：①正数的绝对值是它本身，即；②0的绝对值是0，即；③负数的绝对值是它的相反数，即；④绝对值具有非负性，即。模型1.的最小值模型【模型解读】式子在时，取得最小值为。【最值原理】目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值：分类情况（的取值范围）图示取值情况当时无法确定当时的值为定值，即为当无法确定另解：也可用绝对值的代数意义（即分类讨论思想）完成绝对值的最值问题。例1．（2022·江苏·七年级期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与－1所对应的点之间的距离．（ⅰ）发现问题：代数式的最小值是多少？（ⅱ）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数－1、2、x，AB＝3∵的几何意义是线段PA与PB的长度之和，∴当点P在线段AB上时，PA＋PB＝3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA＋PB＞3∴的最小值是3请你根据上述自学材料，探究解决下列问题：(1)的最小值是______；(2)利用上述思想方法解不等式：；(3)当a为何值时，代数式的最小值是2【答案】(1)5(2)或(3)-2或-6【分析】（1）把原式转化看作是数轴上表示x的点与表示3与-2的点之间的距离最小值，进而问题可求解；（2）根据题意画出相应的图形，然后根据数轴可直接进行求解；（3）根据原式的最小值为2，得到表示4的点的左边和右边，且到4距离为2的点即可．【详解】（1）解：，表示到与到的距离之和，当点在线段上，，当点在点的左侧或点的右侧时，，的最小值是5；（2）解：如图所示，满足，表示到和1距离之和大于4的范围，当点在和1之间时，距离之和为4，不满足题意；当点在的左边或1的右边时，距离之和大于4，则范围为或；（3）解：当为或时，代数式为或，数轴上表示数2的点到表示数4的点的距离为，数轴上表示数6的点到表示数4的点的距离也为，因此当为或时，原式的最小值是．【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题及数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上两点之间的距离问题是解题的关键．例2．（2023·广东七年级课时练习）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为，当两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图（1）当A、B两点都不在原点时，①点A、B都在原点的右边，如图（2）；②点A、B都在原点的左边，如图（3）；③点A、B在原点的两边，如图（4）；总上，数轴上A、B两点之间的距离．回答下列问题（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是____，数轴上表示1和的两点之间的距离是____．（2）数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是_______，如果，那么x为_______．（3）当代数式取最小值时，相应的x的取值范围是_______．【答案】（1）3；4；（2）；1或；（3）．【分析】（1）直接根据数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．代入数值运用绝对值即可求任意两点间的距离；（2）直接根据数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．代入数值运用绝对值即可求任意两点间的距离；（3）代数式|x+1|+|x-1|表示数轴上一点到1、﹣1两点的距离的和，根据两点之间线段最短，进而得出答案．【详解】解：（1）数轴上表示2和4的两点之间的距离是|2﹣5|=3；数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是|1﹣（﹣3）|=4故答案为：3，4（2）数轴上x与-1的两点间的距离为|x-（-1）|=|x+1|，如果|AB|=2，则x+1=±2，解得x=1或-3；故答案为：|x+1|，1或-3；（3）∵代数式|x+1|+|x-1|表示数轴上一点到1、﹣1两点的距离的和，∴根据两点之间线段最短可以得到当-1≤x≤1时，代数式|x+1|+|x-1|的值最小，故答案为：-1≤x≤1．【点睛】本题主要考查了绝对值的几何意义，解题的关键在于能够准确读懂题意进行求解．变式1．（2022·浙江·七年级专题练习）的最小值为_________；此时取值范围是_________．【答案】6【分析】根据x的不同取值去绝对值计算即可；【详解】当时，，∵，∴；当时，；当时，，∵，∴；综上所述：的最小值为6，此时取值范围为．故答案是：6；．【点睛】本题主要考查了绝对值的应用，准确计算是解题的关键．变式2.（2022•思明区校级期末）同学们都知道|5﹣（﹣2）|表示5与（﹣2）之差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索：（1）求|5﹣（﹣2）|＝．（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7成立的整数是．（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．【分析】（1）直接去括号，再按照去绝对值的方法去绝对值就可以了．（2）要x的整数值可以进行分段计算，令x+5＝0或x﹣2＝0时，分为3段进行计算，最后确定x的值．（3）根据（2）方法去绝对值，分为3种情况去绝对值符号，计算三种不同情况的值，最后讨论得出最小值．【解答】解：（1）原式＝|5+2|＝7故答案为：7；（2）令x+5＝0或x﹣2＝0时，则x＝﹣5或x＝2当x＜﹣5时，∴﹣（x+5）﹣（x﹣2）＝7，﹣x﹣5﹣x+2＝7，x＝5（范围内不成立）当﹣5＜x＜2时，∴（x+5）﹣（x﹣2）＝7，x+5﹣x+2＝7，7＝7，∴x＝﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1当x＞2时，∴（x+5）+（x﹣2）＝7，x+5+x﹣2＝7，2x＝4，x＝2，x＝2（范围内不成立）∴综上所述，符合条件的整数x有：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2；故答案为：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2；（3）由（2）的探索猜想，对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|有最小值为3．【点评】本题主要考查了去绝对值和数轴相联系的综合试题以及去绝对值的方法和去绝对值在数轴上的运用，难度较大，去绝对值的关键是确定绝对值里面的数的正负性．模型2.的最小值和最大值模型【模型解读】式子在时，取得最小值为；在时，取得最大值。【最值原理】目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的最大值和最小值：分类情况（的取值范围）图示取值情况当时的值为定值，即为—当时当的值为定值，即为例1.（2022·浙江·温州七年级月考）代数式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为a，最小值为b，下列说法正确的是（）A．a＝3，b＝0B．a＝0，b＝﹣3C．a＝3，b＝﹣3D．a＝3，b不存在【答案】C【分析】分三种情况：当x≥1时；当-2＜x＜1时；当x≤-2时；进行讨论可求代数式|x-1|-|x+2|的值，即可求出a与b的值．【详解】解：当x≥1时，|x﹣1|﹣|x+2|＝x﹣1﹣x﹣2＝﹣3；当﹣2＜x＜1时，|x﹣1|﹣|x+2|＝﹣（x﹣1）﹣（x+2）＝﹣2x﹣1；当x≤﹣2时，|x﹣1|﹣|x+2|＝﹣（x﹣1）+（x+2）＝3．∵代数式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为a，最小值为b，∴a＝3，b＝﹣3．故选：C．【点睛】考查了绝对值，如果用字母a表示有理数，则数a绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；③当a是零时，a的绝对值是零．注意分类思想的运用．例2．（2022秋·浙江·七年级专题练习）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣5，b，4．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm．（1）求数轴上点B所对应的数b；（2）点P是图1数轴上一点，P到A的距离是到B的距离的两倍，求点P所表示的数；（3）若点Q在数轴上表示的数为x，则|x+5|+|x﹣4|的最小值为，|x+5|﹣|x﹣4|的最大值为．【答案】（1）；（2）或；（3），【分析】（1）根据的距离求得单位为多少cm，再根据长度求得的距离即可求解；（2）设点表示的数为，求得P到A的距离和P到B的距离，列方程求解即可；（3）对点Q在数轴上表示的数x，分情况讨论求解即可．【详解】解：（1）根据题意得的距离为，的长度为，的长度为由此可知一个单位长度为则的距离为在的右边，∴数轴上点B所对应的数为；（2）设点表示的数为，则P到A的距离为，P到B的距离为由题意可得：，即或解得或故答案为或（3）当时，，∴当时，，∴当时，，∴综上所述的最小值为，的最大值为故答案为，【点睛】此题考查了数轴上的动点问题，涉及了数轴的定义，数轴上两点之间的距离，解题的关键是熟练掌握数轴的基本性质．变式1．（2022·上海七年级期中）代数式，当时，可化简为______；若代数式的最大值为与最小值为，则的值______．【答案】

3

-9【分析】当时，可得x-1＜0，x+2＜0，利用绝对值的性质即可化简，分别化简当时以及当x＞1时，根据当时，，求出a，b即可．【详解】解：当时，x-1＜0，x+2＜0，∴，当时，，当x＞1时，∵当时，，∴代数式的最大值为3，最小值为-3，∴a=3，b=-3，∴ab=-9，故答案为：3，-9．【点睛】本题主要考查了绝对值的化简，解题的关键是对x进行分类讨论，再化简代数式．变式2．（2022秋·贵州遵义·七年级校考阶段练习）已知在数轴上点，分别表示有理数，．(1)仔细阅读表格并对照数轴填空：8540，两点间的距离484(2)写出数轴到表示6和的点的距离之和为12的所有点所表示的整数（除6和外）；(3)若点表示的数为（除6和外），则在什么范围内时，的值总是一个固定值，并求出这个固定值；(4)若点表示的数为，直接写出的最大值；当点在什么位置时，的值最小？最小值多少？【答案】(1)填表见解析；(2)；(3)当，的值总是一个固定值，为；(4)的最大值为，当时，的值最小，最小值为3．【分析】（1）用较大的数减较小的数或作差加绝对值即可；（2）根据数轴上两点之间的距离为两点所表示的数的差的绝对值即可得到答案；（3）读懂表示到和的距离之和，该问需要进行分类讨论；（4）根据可表示为到表示和1的点的距离之差最大，根据表示到和的距离之和最小，即可求解．【详解】（1）解：填表如下：8540，两点间的距离484153.5（2）解：到表示6和的点的距离之和为12的点所表示的整数在和之间的整数有；；（3）解：根据的几何意义是，到的距离之和，如果值总是一个固定值，则，这个固定值为：；（4）解：当时，，当时，，当时，，故的最大值为；根据可表示为到表示1和的点的距离之和，根据两点之间，线段最短，即当时得到的值最小为3．【点睛】本题考查了数轴：数轴和绝对值的综合应用，数轴上两点之间的距离为两点所表示的数的差的绝对值．变式3．（2022·湖北武汉·七年级期中）我们知道，的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，一般地，点A，B在数轴上分别表示数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a-b|，请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题：（1）数轴上的数x与1所对应的点的距离为__，数x与-1所对应的点的距离为__；（2）求的最大值；（3）直接写出的最大值为______．【答案】（1）|x-1|，|x+1|；（2）2；（3）20【分析】（1）根据题意即可列式解答；（2）由x的取值范围分三种情况：①当x≤-1时，②当-1≤x≤1时，③当x≥1时，分别化简绝对值，再计算整式的值即可得到答案；（3）根据（2）得到规律，依次进行计算即可．【详解】（1）由题意得到：数轴上的数x与1所对应的点的距离为，数x与-1所对应的点的距离为，故答案为：，；（2）表示x到1之间的距离，表示x到-1之间的距离，①当x≤-1时，=1-x，=-1-x，∴=（-1-x）-（1-x）=-2；②当-1≤x≤1时，=1-x，=x+1，∴=（x+1）-（1-x）=2x≤2；③当x≥1时，=x-1，=x+1，∴=（x+1）-（x-1）=2，∴的最大值为2（3）由（2）知：的最大值为2，由此可得：的最大值为4，的最大值是6，的最大值是8，∴的最大值是2+4+6+8=20【点睛】此题考查有理数的计算，绝对值的性质，数轴上两点间的距离公式．模型3.的最小值模型【模型解读及原理】①当两个绝对值相加：若已知，的最小值为，且数的点在数，的点的中间；②当三个绝对值相加：若已知，的最小值为，且此时=；③当有（奇数）个绝对值相加：且，则取中间数，即时，取得最小值；④当有（偶数）个绝对值相加：，且，则取中间段，即当时，取得最小值为：。例1.（2022·天津初一月考）若是有理数，则的最小值是________．【答案】509040【分析】首先判断出|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018|就是求数轴上某点到2、4、6、…、2018的距离和的最小值；然后根据某点在a、b两点之间时，该点到a、b的距离和最小，当点x在2与2018之间时，到2和2018距离和最小；当点在4与2016之间时，到4和2016距离和最小；…，所以当x=1010之间时，算式|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018的值最小，据此求出|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018|最小值是多少即可．【解析】根据绝对值得几何意义分析，知当x=1010时，算式|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018的值最小，最小值是：（2018﹣2）+（2016﹣4）+（2014﹣6）+…+（1010-1010）＝2016+2012+2008+…+0＝（2016+0）×505÷2＝2016×505÷2＝509040∴|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018|的最小值是509040．【点睛】此题主要考查了绝对值的几何意义：|x|表示数轴上表示x的点到原点之间的距离，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：|x-a|表示数轴上表示x的点到表示a的点之间的距离．例2．（2022秋·广西·七年级阶段练习）同学们都知道，表示2与的差的绝对值，实际上位可理解为在数轴上正数2对应的点与负数对应的点之间的距离，试探索：(1)；如果，则．(2)求的最小值，并求此时的取值范围；(3)由以上探索已知，则求的最大值与最小值；(4)由以上探索及猜想，计算的最小值．【答案】(1)3，3或(2)(3)最大值是，最小值是(4)1018081【分析】（1）根据绝对值的意义直接计算即可；（2）把理解为：在数轴上表示到和2的距离之和，根据两点间的距离公式，点在线段上，可得最小值，从而得结论；（3）先确定、的取值范围，再分类讨论．（4）观察已知条件可以发现，表示到的距离．要使题中式子取得最小值，则应该找出与最小数和最大数距离相等的的值，此时式子得出的值则为最小值．【详解】（1）解：，，或或故答案为：3，3或；（2）解：理解为：在数轴上表示到4与2的距离之和，当在2与4之间的线段上（即时，的值有最小值，最小值为，此时的取值范围为：．（3）解：因为，时，或，，时，或6．当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当，时，取最小值，此时当，时，取最大值，此时所以的最大值是，最小值是．（4）解：由已知条件可知，表示到的距离，只有当到1的距离等于到2018的距离时，式子取得最小值．当时，式子取得最小值，此时，．【点睛】本题考查了绝对值，读懂题目信息，理解绝对值的几何意义是解题的关键．变式1．（2022·江苏·七年级专题练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示3和1的两点之间的距离是；数轴上表示﹣3和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离可以表示为|m﹣n|．那么，数轴上表示数x与5两点之间的距离可以表示为，表示数y与﹣1两点之间的距离可以表示为．（2）如果表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，那么a＝；（3）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，求|a+4|+|a﹣2|的值；（4）当a＝时，|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是．【答案】（1）2，5，|x−5|，|y＋1|；（2）1或−5；（3）6（4）1，9【分析】（1）观察数轴可得答案；（2）如果表示数a和−2的两点之间的距离是3，那么那么|a−（−2）|＝3，化简绝对值即可得答案；（3）|a＋4|＋|a−2|表示数a与−4的距离与a和2的距离之和，若数轴上表示数a的点位于−4与2之间，则|a＋4|＋|a−2|的值等于2和−4之间的距离；（4）|a＋5|＋|a−1|＋|a−4|表示一点到−5，1，4三点的距离的和，据此找到中间点可解．【详解】解：（1）数轴上表示3和1的两点之间的距离是3−1＝2；数轴上表示−3和2两点之间的距离是2−（−3）＝5；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离可以表示为|m−n|．那么，数轴上表示数x与5两点之间的距离可以表示为|x−5|，表示数y与−1两点之间的距离可以表示为|y＋1|．故答案为：2，5，|x−5|，|y＋1|；（2）如果表示数a和−2的两点之间的距离是3，那么|a−（−2）|＝3∴|a＋2|＝3∴a＋2＝3或a＋2＝−3解得a＝1或a＝−5；故答案为：1或−5；（3）∵|a＋4|＋|a−2|表示数a与−4的距离与a和2的距离之和，若数轴上表示数a的点位于−4与2之间，则|a＋4|＋|a−2|的值等于2和−4之间的距离，等于6．（4）|a＋5|＋|a−1|＋|a−4|表示一点到−5，1，4三点的距离的和，∴当a＝1时，该式的值最小，最小值为6＋0＋3＝9．∴当a＝1时，|a＋5|＋|a−1|＋|a−4|的值最小，最小值是9．故答案为：1，9．【点睛】本题考查了数轴在两点间的距离及绝对值化简中的应用，明确数轴上两点间的距离及绝对值之间的关系，是解题的关键．变式2．（2022秋·浙江金华·七年级校联考期中）【定义新知】我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题：(1)式子在数轴上的几何意义是________________________，若，则x的值为_________；(2)当|取最小值时，x可以取整数_________；(3)当x=_________时，的值最小，最小值为_________；【解决问题】(4)如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧5km，右侧1km，右侧3km．A小区有居民人，B居民区有居民人，C居民区有居民人．现因防疫需要，需要在该公路上建一个核酸检测实验室P，用于接收这3个小区的全员核酸样本．若核酸样本的运输和包装成本为每千米1元/千份，那么实验室P建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？【答案】(1)数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离；或；(2)，，，0,1；(3)，7；(4)实验室P建在点B处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是元．【分析】（1）结合题意直接可以得出在数轴上的几何意义，表示数轴上与有理数的点之间的距离等于6的点，结合数轴找到点即可；（2）表示数轴上x到与x到1的距离之和最小，x应该在与1之间的线段上，找到满足条件的点即可；（3）表示数轴上x到、x到与x到1的距离之和最小，x应该在与1之间的线段上，当是，x到、x到与x到1的距离之和最小，（4）A、B、C在数轴上分别表示，1,3，P表示x，使总运输和包装成本最低即最小，分析在点B处才能使总运输和包装成本最低．【详解】（1）解：由题意可知，式子在数轴上的几何意义是：数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离；表示数轴上与有理数的点之间的距离等于6的点，由数轴可知为：或，故答案为：数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离；或，（2）表示数轴上x到与x到1的距离之和最小，所以x应该在与1之间的线段上，所以x可以取整数，，，0,1故答案为：，，，0,1（3）表示数轴上x到、x到与x到1的距离之和最小，所以x应该在与1之间的线段上，且当是，x到、x到与x到1的距离之和最小，最小值为到1的距离为7；故答案为：，7；（4）A、B、C在数轴上分别表示，1,3，P表示x，使总运输和包装成本最低即最小，x在1时，最小；x在1与3之间的线段上最小所以x在1时最小，最小值为所以实验室P建在点B处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是元．【点睛】本题考查了绝对值的几何意义、距离之和的最小值以及实际应用；熟练掌握绝对值的几何意义、数形结合是解题的关键．变式3．（2022秋·浙江·七年级校联考阶段练习）我们知道，|a|可以理解为|a﹣0|，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|，反过来，式子|a﹣b|的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题：（一）数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是．（二）数轴上点A用数a表示，（1）若|a﹣3|＝5，那么a的值是．（2）当|a+2|+|a﹣3|＝5时，这样的整数a有个．（3）|a﹣3|+|a+2022|最小值是．（4）3|a﹣3|+|a+2022|+|a+3|最小值是．（5）|3a+3|+|a+4|+|4a-8|最小值是．【答案】（一）11；（二）（1）8或；（2）6；（3）2025；（4）2031；（5）15．【分析】（一）根据数轴上两点间的距离公式求解可得；（二）（1）利用绝对值的意义知，然后分别求解可得；（2）的几何意义是表示数轴上到表示和表示3的点的距离之和是5的点的坐标，据此可得；（3）表示数轴上到表示3与表示的点距离之和，求其最小值即可；（4）表示数轴上到表示，，3，3，3的点的距离的和，根据两点间线段最短和绝对值的几何意义可知，当a取最中间（或两个）数时即当时值最小，然后去掉绝对值符号计算求解；（5）表示数轴上到表示，，，，2，2，2，2的点的距离的和，当或时值最小，然后去绝对值求解即可．【详解】（一）解：数轴上表示数-8的点和表示数3的点之间的距离是=11；故答案为：11．（二）（1）解：，，或，故答案为8或．（2）解：的意义是表示数轴上到表示和表示3的点的距离之和是5的点的坐标，，是整数，共6个；故答案为：6．（3）解：表示数轴上到表示3与表示的点距离之和，当时，有最小值，最小值为：=2025；故答案为：2025．（4）解：表示数轴上到表示，，3，3，3的点的距离的和，当时，取最小值，即最小值==2025+6=2031，故答案为：2031．（5）解：表示数轴上到表示，，，，2，2，2，2的点的距离的和，当时有最小值，即最小值==15，故答案为：15．【点睛】此题考查绝对值的性质，熟练掌握绝对值的意义和性质，逐步探索变化规律是解题的关键．模型4.绝对值的最值的其他应用例1．（2023·重庆沙坪坝·校考一模）在多项式中，除首尾项a、外，其余各项都可闪退，闪退项的前面部分和其后面部分都加上绝对值，并用减号连接，则称此为“闪减操作”．每种“闪减操作”可以闪退的项数分别为一项，两项，三项．“闪减操作”只针对多项式进行．例如：“闪减操作”为，与同时“闪减操作”为，…，下列说法：①存在对两种不同的“闪减操作”后的式子作差，结果不含与e相关的项；②若每种操作只闪退一项，则对三种不同“闪减操作”的结果进行去绝对值，共有8种不同的结果；③若可以闪退的三项，，满足：，则的最小值为．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】①根据“闪减操作”的定义，举出符合条件的式子进行验证即可；②先根据“闪减操作”的定义进行运算，再分类讨论去绝对值，即可判断；③根据“闪减操作”的定义和绝对值的几何意义，求出，，的最小值，即可得出结论．【详解】①“闪减操作”后的式子为，“闪减操作”后的式子为，对这两个式子作差，得：，结果不含与e相关的项，故①正确；②若每种操作只闪退一项，共有三种不同“闪减操作”：“闪减操作”结果为，当时，，当时，，当时，，当时，，“闪减操作”结果为，当时，，当时，，当时，，当时，，“闪减操作”结果为，当时，，当时，，当时，，当时，，共有12种不同的结果，故②错误；③∵，在数轴上表示点与和的距离之和，∴当距离取最小值时，的最小值为，同理：，在数轴上表示点与和的距离之和，∴当距离取最小值时，的最小值为，，在数轴上表示点与和的距离之和，∴当距离取最小值时，的最小值为，∴当，，都取最小值时，，此时，的最小值为，故③正确；故选C．【点睛】本题主要考查了新定义运算，绝对值的几何意义，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．变式1．（2022秋·湖南郴州·七年级校联考期末）对于有理数，，，，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如，则，则2和3关于1的“美好关联数”为3．(1)和5关于2的“美好关联数”为______；(2)若和2关于3的“美好关联数”为4，求的值；(3)若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，…，和的“美好关联数”为1，…．①的最小值为______；②的值为______．【答案】(1)8(2)或；(3)①1；②840【分析】（1）认真读懂题意，利用新定义计算即可；（2）利用新定义计算求未知数x；（3）①读懂题意寻找规律，利用规律计算；②由①得到的规律写出含有绝对值的等式，一一分析到2、4、6、8、．．．40的距离和为1的时候两点表示的数的和的最小值，最后得出最小值．【详解】（1）解：，故答案为：8；（2）解：∵x和2关于3的“美好关联数”为4，∴，∴，解得或；（3）解：①∵和关于1的“美好关联数”为1，∴，∴在数轴上可以看作数到1的距离与数到1的距离和为1，∴只有当时，有最小值1，故答案为：1；②由题意可知：，的最小值；，的最小值；，的最小值；，的最小值；，的最小值；∴的最小值：．故答案为：840．【点睛】本题考查了绝对值的应用，解题的关键是掌握绝对值的意义，数轴上点与点的距离．变式2．（2022·重庆渝北·七年级校考期中）阅读下列材料：一般地，我们把按一定顺序排列的三个数x1，x2，x3，叫做数列x1，x2，x3，计算：|x1|，，，我们把计算结果的最小值称为数列x1，x2，x3的价值．例如，对于数列2，﹣1，3，因为|2|＝2，＝，＝．所以数列2，﹣1，3的价值为，改变这三个数的顺序按照上述方法可计算出其它数列的价值．比如，数列﹣1，2，3的价值为；数列3，﹣1，2的价值为1，通过计算，发现：对于“2，﹣1，3”这三个数，按照不同的排列顺序可得到不同的数列，这些数列的价值的最小值为．根据以上材料，解答下列问题：(1)求数列﹣2，7，1的价值；(2)由“﹣2，7，1”这三个数按照不同的顺序排列共有多少种不同的数列，写出这些数列，并求出它们的价值的最小值和最大值；(3)将2，﹣7，a（a＞1）这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的价值的最小值为1，请直接写出a的值．【答案】(1)2(2)最小值是，最大值是2(3)2或9【分析】（1）根据新定义，即可求解；（2）根据题意可得由“﹣2，7，1”这三个数按照不同的顺序排列的数列有6种，然后分别求出每个数列的价值，即可求解；（3）根据题意可得或或，且a＞1，可得a＝5或9或2或8，然后根据这些数列的价值的最小值为1，即可求解．【详解】（1）解：∵|﹣2|＝2，，＝2，∴数列﹣2，7，1的价值为2；（2）解：由“﹣2，7，1”这三个数按照不同的顺序排列的数列有6种，具体如下：数列﹣2，7，1；数列﹣2，1，7；数列7，﹣2，1；数列7，1，﹣2；数列1，7，﹣2；数列1，﹣2，7；由（1）知数列﹣2，7，1的价值是2；∵|﹣2|＝2，，，∴数列﹣2，1，7的价值是；同理可求：数列7，﹣2，1的价值是2；数列7，1，﹣2的价值是2；数列1，7，﹣2的价值是1；数列1，﹣2，7的价值是；综上可知，这些数列的价值的最小值是，最大值是2；（3）解：若这些数列的价值的最小值为1，则或或，且a＞1，解得：a＝5或9或2或8，当a＝5时，，∴a＝5不符合，舍去；当a＝8时，则，∴a＝8，不符合，舍去；综上，a的值为2或9．【点睛】本题主要考查了绝对值的应用，理解新定义，利用分类讨论思想解答是解题的关键．变式3．（2022秋·成都市七年级专题练习）数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．数轴上表示数的点与表示数的点距离记作，如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数3的点的距离．根据以上材料回答一列问题：(1)若，则______．若，则_____．(2)若，则能取到的最小值是______，最大值是______．(3)当，求的最大值和最小值．【答案】(1)0；或0；(2)；；(3)最大值是15；最小值是；【分析】（1）根据绝对值表示的意义和中点计算方法得出答案；（2）根据数轴的定义和绝对值的意义进行计算，即可得到答案；（3）由绝对值意义和数轴的定义，先求出，，，然后分解求出最大值和最小值即可【详解】（1）解：∵表示数轴上表示x的点到表示1和1的距离相等，∴到1和1距离相等的点表示的数为：；∵，表示数轴上表示x的点到表示和1的距离的和等于5，∴或；故答案为：0；或0；（2）解：∵，表示数轴上表示x的点到表示和1的距离的和等于4，又∵，∴能取到的数在和1之间，即，∴能取到的最小值是，最大值是；故答案为：；；（3）解：根据题意，∵，，，∴，∵，∴，，，∴，，，∴当，，时，有最大值，∴最大值为：；∴当，，时，有最小值，∴最小值为：；【点睛】本题考查了绝对值意义、最值、数轴、两点间的距离及相反数的知识，综合的知识点较多，难度一般，注意理解绝对值的几何意义是关键．课后专项训练1．（2022·江苏扬州·七年级校联考期中）设，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】表示在数轴上，数到，，的距离之和，则可知当时，取得最小值为，则问题随之得解.【详解】∵表示在数轴上，数到，，的距离之和，且设该值为a，结合数轴可知：当数x在1的左侧，此时a的值必然大于2；当数x在3的右侧，此时a的值也必然大于2；当数x在1和3之间时，此时数x到1和3距离之和为定值2，此时若数x与数2重合，即数x到数2距离为0，则a的值取最小，为2；即当时，取得最小值，为，∴，∴，∴，即，∴的最大值为．故选：．【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，理解表示在数轴上数到，，的距离之和，是解答本题的关键．2．（2022秋·浙江杭州·七年级校考阶段练习）学习了数轴与绝对值知识后，我们知道：数轴上表示数m与数n的两点之间的距离为，则：①表示的实际意义是_____．②的最小值是_____．③的最小值是_____．【答案】表示数x与数1的两点之间的距离24【分析】①根据数轴上两点的距离公式求解即可；②根据绝对值的几何意义对原式进行化简，可得当时有最小值；③根据绝对值的几何意义对原式进行化简，可得当时有最小值．【详解】解：①表示的实际意义是表示数x与数1的两点之间的距离；故答案为：表示数x与数1的两点之间的距离；②分类讨论：1）当时，，∴当时，有最小值3；2）当时，，∴当x=2时，有最小值2；3）当时，，此时最小值大于2；4）当时，，此时最小值大于3；综上可知，当时，且最小值为2；故答案为：2；③根据的几何意义，可表示x到数轴上1，2，3和4的距离之和．于是可分以下五个情况讨论：1）当时，；2）当时；3）当时，；4）当时，；5）当时，；综上所述，当时，有最小值4，故答案为：4．【点睛】本题考查在数轴上表示数，数轴上两点之间的距离，绝对值的化简．掌握数轴上两点之间的距离的求法和绝对值的几何意义是解题的关键．3．（2022秋·重庆沙坪坝·七年级重庆南开中学校考期中）已知为任意有理数，则的最小值为______．【答案】【分析】表示到距离加上倍到的距离再加上倍到的距离，由此可得在，，，的范围内分别求代数式的值，比较即可求解．【详解】解：当时，；当时，；当时，；当时，；故答案为：【点睛】本题考查了数轴和绝对值的性质，理解数轴上两点间的距离是解题的关键．4．（2023春·安徽合肥·七年级统考期末）若不等式对一切数x都成立，则a的取值范围是______．【答案】【分析】根据绝对值的几何意义，表示数轴上两点间的距离，即可得到答案．【详解】解：由题意可得，表示点x到，，，四点间距离的和，∴当x在和之间是距离和最小，最小值为，∴,故答案为．【点睛】本题考查绝对值的几何意义：表示数轴上两点间的距离，利用数形结合的思想是解题关键．5．（2023·江苏·七年级专题练习）设﹣1≤x≤3，则|x﹣3|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之和为__．【答案】8.5．【分析】先根据-1≤x≤3，确定x-3与x+2的符号，再对x的符号进行讨论即可．【详解】∵﹣1≤x≤3，当﹣1≤x≤0时，|x﹣3|﹣|x|+|x+2|＝3﹣x+x+x+2＝+5，最大值为5，最小值为4.5；当0≤x≤3时，|x﹣3|﹣|x|+|x+2|＝3﹣x﹣x+x+2＝﹣+5，最大值为5，最小值为3.5，∴最大值与最小值之和为8.5；故答案为：8.5．【点睛】本题考查绝对值的化简，掌握求绝对值的法则以及分类讨论的思想方法，是解题的关键．6．（2022秋·江苏苏州·七年级校考阶段练习）阅读下列内容：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作．数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数3的点的距离．根据以上材料回答下列问题：(1)数轴上表示5与两点之间的距离是_______．(2)数轴上表示x与的两点之间的距离可以表示为_______．(3)同理表示数轴上有理数x所对应的点到和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得，这样的整数是_______．(4)由以上探索猜想对于任何有理数x，的最小值是_______．(5)当a＝_______时，的值最小，最小值是_______．【答案】(1)7(2)(3)，，，，0，1(4)4(5)3，10【分析】（1）根据两点间距离的求法直接求解即可；（2）根据两点间距离的求法直接写出即可；（3）由题意可知，再由x是整数，求出符合条件的a的值即可；（4）根据绝对值的几何意义可知当时，的最小值是4；（5）根据绝对值的几何意义可知当a=3时，的值最小是10．【详解】（1）解：表示5与两点之间的距离是，故答案为：7；（2）解：表示x与的两点之间的距离是，故答案为：；（3）解：∵，当时，，当时，，当时，，∴，∵x是整数，∴x的值是，，，，0，1，故答案为：，，，，0，1；（4）解：表示数轴上有理数x所对应的点到2和6所对应的点的距离之和，当时，，当时，，当时，，∴当时，的最小值是4，故答案为：4；（5）表示数轴上有理数x所对应的点到、3、4所对应的点的距离之和，当时，；当时，，∴；当时，，当时，，∴；当时，；∴当a=3时，的值最小是10，故答案为：3，10．【点睛】本题考查数轴与实数，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的意义是解题关键．7．（2022秋·辽宁大连·七年级统考阶段练习）综合与实践：问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：点在数轴上分别表示有理数两点之间的距离表示为，在数轴上两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题：（1）数轴上表示1和7两点之间的距离是__________；数轴上表示3和的两点之间的距离是__________；独立思考：（2）数轴上表示x和的两点之间的距离表示为__________；（3）试用数轴探究：当时m的值为__________．实践探究：利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究：（4）利用数轴求出的最小值，并写出此时x可取哪些整数值？（5）当的值最小时，m的值为__________（直接写出答案即可）．【答案】（1）；（2）；（3）5或；（4）；（5）9【分析】（1）用大数减小数便可求得两点的距离；（2）根据定义用代数式表示；（3）分两种情况：点在2的左边；点在2的右边；分别列式计算便可；（4）确定与1的距离加上与4的距离之和最小时，的取舍范围，再在该范围内求整数；（5）表示数轴上某点到表示、9、16三点的距离之和，依此即可求解．【详解】解：（1）数轴上表示1和7两点之间的距离是：；数轴上表示3和的两点之间的距离是，故答案为：6；5；（2）数轴上表示和的两点之间的距离表示为，故答案为：；（3）表示数的点与表示数2的点距离为3，当表示数的点在2的左边时，，当表示数的点在2的右边时，，所以或5，故答案为：或5；（4）表示数轴上和1两点之间的距离，表示数轴上和4两点之间的距离，当且仅当时，两距离之和最小，可取的整数有：1，2，3，4．（5）表示数轴上和两点之间的距离，表示数轴上和9两点之间的距离，表示数轴上和16两点之间的距离，当且仅当时，距离之和最小，当的值最小时，的值为9．故答案为：9．【点睛】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．8．（2022秋·陕西西安·七年级校考阶段练习）阅读绝对值拓展材料：表示数a在数轴上的对应点与原点的距离，如：表示5和0在数轴上对应的两点之间的距离，类似的有：表示5和在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，有理数a、b在数轴上对应的点为A、B，那么A、B之间的距离可表示为．回答下列问题：(1)数轴上表示1和的两点之间的距离是．数轴上表示x和的两点A和B之间的距离可表示为．(2)可以理解为数轴上表示x和的两点之间的距离，可以理解为数轴上表示x的点到表示和这两点的距离之和．(3)借助数轴，的最小值是，达到最小值时，x可取哪些整数，请直接写出所有答案．(4)的最小值是，达到最小值时，x可取哪些整数，请直接写出所有答案．【答案】(1)4；(2)2；2，8(3)6；2，3，4，5，6，7，8(4)6；5【分析】（1）根据题意，可以解答本题；（2）根据题意，可以解答本题；（3）确定x与2的距离加上x与8的距离之和最小时，x的取舍范围，再在该范围内求整数；（4）表示数轴上某点到表示2、5、8三点的距离之和，依此即可求解．【详解】（1）解：数轴上表示1和的两点之间的距离是；数轴上表示x和的两点A和B之间的距离可表示为．故答案为：4；；（2）解：可以理解为数轴上表示x和2的两点之间的距离；可以理解为数轴上表示x的点到表示2和8这两点的距离之和．故答案为：2；2，8；（3）解：∵表示数轴上x和2两点之间的距离，表示数轴上x和8两点之间的距离，当且仅当时，两距离之和最小，最小值是：，∴x可取的整数有：2，3，4，5，6，7，8．故答案为：6；2，3，4，5，6，7，8；（4）解：∵表示数轴上x和2两点之间的距离，表示数轴上x和8两点之间的距离，表示数轴上x和5两点之间的距离，∴当且仅当时，距离之和最小，最小值为∴当的值最小时，x的值为5．故答案为：6；5．【点睛】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间距离的表示是解题的关键．9．（2022秋·全国·七年级期末）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a，c满足以下关系式：，．(1)a=______；c=______；(2)若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则点C与数______表示的点重合；(3)若点P为数轴上一动点，其对应的数为x，当代数式取得最小值时，此时x=______，最小值为______．【答案】(1)，9(2)(3)1，12【分析】（1）根据非负数的性质求解即可；（2）先求出AB的中点表示的数，由此即可得到答案；（3）分图3-1，图3-2，图3-3，图3-4四种情况讨论求解即可．【详解】（1）解：∵，，，∴，∴，故答案为：-3；9；（2）解：∵点A表示的数为-3，点B表示的数为1，∴AB中点表示的数为-1，∴点C到AB中点的距离为10，∴点C与数-1-10=-11表示的点重合，故答案为：-11；（3）解：由题意得，∴代数式的值即为点P到A、B、C三点的距离和，如图3-1所示，当点P在A点左侧时如图3-2所示，当点P在线段AB上时，如图3-3所示，当点P在线段BC上时，如图3-4所示，当点P在C点右侧时，∴综上所述，当P与B点重合时，．【点睛】本题考查了非负性的性质，绝对值的几何意义，数轴上两点的距离，用数轴表示有理数等等，熟知相关知识是解题的关键．10．（2022秋·全国·七年级专题练习）（1）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a，b，A、B两点之间的距离表示为|AB|，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图甲，|AB|﹣|OB|＝|b|＝|a﹣b|；当A、B两点都不在原点时，①如图乙，点A、B都在原点的右边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；②如图丙，点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝|a﹣b|；③如图丁，点A、B在原点的两边，|AB|＝|OA|+|OB|＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝|a﹣b|．综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a﹣b|．（2）回答下列问题：①数轴上表示2和﹣5的两点之间的距离是，数轴上表示x和﹣1的两点分别是点A和B，则A，B之间的距离是，如果|AB|＝2，那么x＝．②当|x+1|+|x﹣2|取最小值时，令T＝|x2﹣3|﹣2，则T的最大值＝；当|x+1|﹣|x﹣2|取最大值时，x的取值范围为；当|x+1|+|x﹣2|＝5时，x的值为．③求代数式|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣19|的最小值．【答案】①7，|x+1|，﹣3或1；②1，x2，﹣2或3；③90【分析】①根据两点间的距离公式可求数轴上表示2和-5的两点之间的距离，同理也求数轴上表示x和-1的两点之间的距离，再根据两点间的距离公式列出方程可求x；②求|x+1|+|x﹣2|的取最小值时，意思是x到-1的距离与到2的距离之和最小，那么x应在-1和2之间的线段上，x取0，因此T最大为1，当|x+1|+|x﹣2|取最大值以及|x+1|+|x﹣2|＝5时，可分x<-1，-1≤x≤2，x>2三类情况列式进行讨论；③根据材料当x到1的距离等于x到19的距离时，代数式|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣19|取最小值，代入计算即可得出结果．【详解】解：①数轴上表示2和﹣5的两点之间的距离是|2﹣（﹣5）|＝7，数轴上表示x和﹣1的两点分别是点A和B，则A，B之间的距离是|x+1|，如果|AB|＝2，那么x+1＝±2，x＝﹣3或1．②当|x+1|+|x﹣2|取最小值时，x的取值范围是﹣1≤x≤2，T＝|x2﹣3|﹣2，当T要取最大值时，|x2﹣3|取最大值，，，|x2﹣3|最大值为3，因此T的最大值是1．当|x+1|﹣|x﹣2|取最大值时，可分x＜﹣1，﹣1≤x≤2，x＞2三类情况进行讨论，当x＜﹣1时，原式＝﹣x﹣1+x﹣2＝﹣3．当﹣1≤x≤2时，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1．当x＞2时，原式＝x+1﹣x+2＝3．∴当|x+1|﹣|x﹣2|取最大值时，x的取值范围为x2．当|x+1|+|x﹣2|＝5时，可分x＜﹣1，﹣1≤x≤2，x＞2三类情况进行讨论，当x＜﹣1时，方程可化为﹣x﹣1﹣x+2＝5，解得x＝﹣2．当﹣1≤x≤2时，方程可化为x+1+2﹣x＝3．当x＞2时，方程可化为x+1+x﹣2＝5，解得x＝3．综上x的值为﹣2或3．③根据材料当x到1的距离等于x到19的距离时，可知x＝10时，代数式|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣19|取最小值，最小值为9+8+7+．．．+1+0+1+2+3+．．．+9，＝（1+2+3+．．．+9）×2，＝×2，＝90．故答案为：①7，|x+1|，﹣3或1；②1，x2，﹣2或3；③90．【点睛】本题考查了数轴、绝对值等，比较综合，涉及的核心知识点为：数轴上两点间的距离＝两个数之差的绝对值．11．（2022秋·浙江·七年级期末）阅读绝对值拓展材料：表示数a在数轴上的对应点与原点的距离如：表示5在数轴上的对应点到原点的距离而，即表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离，类似的，有：表示5、在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为．回答下列问题：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示1和的两点之间的距离是；（2）数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是，如果A、B两点之间的距离为2，那么．（3）可以理解为数轴上表示x和的两点之间的距离．（4）可以理解为数轴上表示x的点到表示和这两点的距离之和．可以理解为数轴上表示x的点到表示和这两点的距离之和．（5）最小值是，的最小值是．【答案】（1）3，4；（2）|x+1|，x=1或-3；（3）-2；（4）2，3，-2，1；（5）1，3【分析】（1）根据两点之间的距离公式计算即可；（2）根据两点之间的距离公式计算即可；（3）根据绝对值的意义可得；（4）根据绝对值的意义可得；（5）分别得出和的意义，再根据数轴的性质可得．【详解】解：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是3，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是4；（2）数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是|x+1|，如果|AB|=2，即|x+1|=2，∴x=1或-3；（3）|x+2|可以理解为数轴上表示x和-2的两点之间的距离；（4）|x-2|+|x-3|可以理解为数轴上表示x的点到表示2和3这两点的距离之和，|x+2|+|x-1|可以理解为数轴上表示x的点到表示-2和1这两点的距离之和；（5）由（4）可知：当x在2和3之间时，|x-2|+|x-3|最小值是1，当x在-2和1之间时，|x+2|+|x-1|的最小值是3．【点睛】本题考查的是绝对值的问题，涉及到数轴应用问题，只要理解绝对值含义和数轴上表示数值的关系（如：|x+2|表示x与-2的距离），即可求解．12．（2023·江苏·七年级假期作业）【定义新知】我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．请根据数轴解决以下问题：(1)式子在数轴上的意义是；(2)当取最小值时，x可以取整数；(3)最大值为；(4)的最小值为；【解决问题】(5)如图，一条笔直的公路边有四个居民区A、B、C、D和市民广场O，居民区A、B、C、D分别位于市民广场左侧，左侧，右侧，右侧．现需要在该公路边上建一个便民服务点P，那么这个便民服务点P建在何处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短？最短路程是多少？试说明理由．【答案】(1)数轴上表示有理数x的点与表示有理数－2的点之间的距离(2)-1，0，1，2，3(3)4(4)7(5)便民服务点P建在点B或点C处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短，最短距离是【分析】（1）根据题意即可得出结论；（2）的最小值表示有理数x的点到的点的距离与表示x的点到3的点的距离之和，x应该在和3之间的线段上，即可求出结果；（3）根据的几何意义是表示x的点到的距离减去x到3的距离，可得时取得最大值，即可求出结果；（4）的几何意义是表示x的点到的点和到的点和到1的点的距离之和，由题意即可求出结果；（5）设便民服务点P在数轴上表示x的点处，由题意可得点P到各点的距离之和即，求出最小值即可．【详解】（1）解：由题意可知，式子在数轴上的意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离；故答案为：数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离．（2）解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示有理数x到的距离与x到3的距离之和，∴当时，取最小值，即当x可以取整数，0，1，2，3；故答案为：，0，1，2，3．（3）解：的几何意义是表示x的点到的点的距离减去