22.1.3二次函数y=ax²k的图象和性质（第1课时）（作业）（夯实基础能力提升）

22.1.3二次函数y=ax²+k的图象和性质（第1课时）（作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2022·全国·九年级课时练习）抛物线的开口方向是（

）A．向下 B．向上 C．向左 D．向右【答案】A【分析】根据时，二次函数图象开口向上，时，二次函数图象开口向下进行判断即可．【详解】解：∵∴抛物线的开口方向向下故选A．【点睛】本题考查了二次函数的图象．解题的关键在于明确当时，开口向上，当时，开口向下．2．（2022·全国·九年级课时练习）二次函数y＝2x2﹣1的图象的顶点坐标是（）A．（﹣1，0） B．（1，0） C．（0，1） D．（0，﹣1）【答案】D【分析】根据二次函数顶点式解析式，即可计算出二次函数顶点坐标为（0，﹣1）．【详解】解：二次函数y＝2x2﹣1的图象的顶点坐标是（0，﹣1）．故选：D．【点睛】本题主要考查的是二次函数的基本性质，利用顶点式求出顶点坐标，同时本题中的函数也是一个特殊函数，b=0，所以抛物线顶点在y轴上，将x=0，代入函数解析式得：y=1，也可以求出其顶点坐标为（0，﹣1）．3．（2022·辽宁大连·九年级期末）抛物线y=2x2+1的对称轴是（

）A．直线 B．直线 C．直线 D．直线【答案】C【分析】根据对称轴公式即可求解．【详解】∵，∴，∴对称轴．故选C．【点睛】本题考查二次函数的对称轴，掌握二次函数的对称轴为是解题关键．4．（2022·全国·九年级专题练习）抛物线的顶点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据的图象和性质判断即可；【详解】解：的对称轴为x=0，开口向上，y的最小值为4，顶点坐标为（0，4），故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握其图象特征是解题关键．5．（2022·全国·九年级课时练习）二次函数y＝﹣x2﹣4的图象经过的象限为（）A．第一象限、第四象限B．第二象限、第四象限C．第三象限、第四象限D．第一象限、第三象限、第四象限【答案】C【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向，顶点坐标及对称轴，进而求解．【详解】解：∵y＝﹣x2﹣4，∴抛物线对称轴为y轴，顶点坐标为（0，﹣4），开口向下，∴抛物线经过第三，四象限，故选：C．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．6．（2022·全国·九年级课时练习）已知点，均在抛物线上，下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【分析】利用二次函数的性质逐一判断即可．【详解】A.若，则，故本选项不符合题意；B.若，则，故本选项不符合题意；C.若，则，故本选项不符合题意；D.若，则，正确，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征及二次函数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．7．（2022·全国·九年级课时练习）如果二次函数的图象如图所示，那么一次函数的图象大致是（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】根据二次函数的图像，确定a，c的符号，然后根据一次函数性质确定图像的分布即可．【详解】∵抛物线的开口向下，∴a＜0；∵抛物线交于y轴正半轴，∴c＞0，∴的图像分布在第一，第二，第四象限，故选C．【点睛】本题考查了二次函数的图像，一次函数的图像，熟练掌握二次函数的图像与各系数之间的关系，一次函数中k，b与图像分布之间的关系是解题的关键．二、填空题8．（2022·全国·九年级课时练习）抛物线y=2x2+1的对称轴______．【答案】直线x=0（或y轴）【分析】根据抛物线的顶点式即可求得．【详解】解：∵抛物线y=2x2+1，∴抛物线开口向上，顶点坐标为（0，1），对称轴为y轴，即直线x=0，故答案为：直线x=0．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．即在y=a（xh）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．9．（2022·全国·九年级课时练习）二次函数有最_________值为__________．【答案】

大

5【分析】根据开口方向向下得到有最大值，根据对称轴为y轴得到当x=0时，y最大为5．【详解】解：由可知：，开口向下，∴二次函数有最大值，又其对称轴为y轴，∴当x=0时，y最大为5，故答案为：大，5．【点睛】本题考查二次函数的性质，属于基础题，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键．10．（2022·全国·九年级课时练习）写出一个开口向上，顶点在y轴的负半轴上的抛物线的解析式：______．【答案】（答案不唯一）【分析】根据二次函数的性质，抛物线开口向下a＞0，与y轴负半轴由交点c<0，然后写出即可．【详解】解：开口向上，并且与y轴交点在y轴负半轴，∴抛物线的表达式可以是：y＝x2﹣1．故答案为y＝x2﹣1（答案不唯一）．【点睛】本题考查了二次函数的性质，开放型题目，主要利用了抛物线的开口方向与y轴的交点得到解析式．11．（2022·江苏宿迁·九年级期末）二次函数y＝（m2+1）x2﹣1的图象开口方向是__________（填“向上”或“向下”）．【答案】向上【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数图象的开口方向．【详解】解：二次函数y=（m2+1）x21中，k=m2+1＞0，∴该函数图象开口向上，故答案为：向上．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．12．（2022·全国·九年级专题练习）若点，在抛物线上，则，的大小关系为：_________（填“>”，“=”或“<”）．【答案】＜【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可得出y1，y2的值，比较后即可得出结论．【详解】解：∵若点A(−1，y1)，B(2，y2)在抛物线y=2x2+m上，y1=2×（1）2+m=2+m，y2=2×22+m=8+m，∵2+m＜8+m，∴y1﹤y2．故答案为：＜．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征求出y1，y2的值是解题的关键．13．（2021·浙江·杭州市西溪中学三模）抛物线y＝2x2﹣3的顶点坐标是___．【答案】（0，3）【分析】直接由抛物线解析式即可求得答案．【详解】解：∵抛物线y=2x23，∴抛物线顶点坐标为（0，3），故答案为：（0，3）．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（xh）2+k中，顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h．14．（2022·全国·九年级课时练习）若点A（1，m）和B（2，n）在二次函数y=x2+20图象上，则m______n（填大小关系）【答案】＞【分析】抛物线开口向下，且对称轴为y轴，根据二次函数的性质即可判定．【详解】解：∵二次函数的解析式为y=x2+20，∴该抛物线开口向下，对称轴为y轴，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，∵点A（1，m）和B（2，n）在二次函数y=x2+20图象上，1＞2，∴m＞n．故答案为：＞．【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能求出对称轴和根据二次函数的性质求出正确答案是解此题的关键．三、解答题15．（2022·全国·九年级课时练习）二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象经过点A（1，1），B（2，5），（1）求函数y=ax2+c的表达式．（2）若点C(2,m),D（n,7）也在函数的图象上，求点C的坐标；点D的坐标．【答案】（1）y=2x23；（2）C（5，2）；D（，7）或（，7）．试题分析：（1）将A与B坐标代入二次函数解析式求出a与c的值，即可确定出二次函数解析式；（2）将C与D坐标代入二次函数解析式求出m与n的值，确定出C与D坐标即可．【详解】解：（1）将A（1，1），B（2，5）代入y=ax2+c得：，解得：，则二次函数解析式为y=2x23；（2）将x=2，y=m代入二次函数解析式得：y=m=5，即C（5，2）；将x=n，y=7代入二次函数解析式得：7=2n23，即n=±，即D（，7）或（，7）．【点睛】考点：1.待定系数法求二次函数解析式；2.二次函数图象上点的坐标特征．16．（2022·全国·九年级课时练习）已知抛物线过点和点．（1）求这个函数的关系式；（2）写出当为何值时，函数随的增大而增大．【答案】（1）；（2）当时，函数随的增大而增大【分析】（1）根据待定系数法即可求解；（2）求出对称轴，根据二次函数的图像与性质即可求解．【详解】解：（1）∵抛物线过点和点，，解得∴这个函数得关系式为：．（2）∵二次函数开口向下，对称轴为x=0，∴当时，函数随的增大而增大．【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法的运用．17．（2022·全国·九年级课时练习）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2+2ax（0＜a＜3）上，其中x1＜x2．（1）求抛物线的对称轴；（2）若A（﹣2，y1），B（0，y2），直接写出y1，y2的大小关系；（3）若x1+x2＝1﹣a，比较y1，y2的大小，并说明理由．【答案】（1）x=1；（2）=；（3）<．【分析】（1）根据对称轴与系数的关系可以直接求得对称轴为：x==1；（2）利用对称轴到点的距离进行判定y值即可；（3）利用作差法，将表示出来，再进行判断正负，据此判断大小即可．【详解】解：（1）由题意得：对称轴x==1；（2）∵0＜a＜3，∴抛物线开口向上，又∵对称轴x=1，∴，∴A、B两点到对称轴的距离相等，即：=（3）由题意得：====∵0＜a＜3，x1＜x2∴<0，即：<．【点睛】本题主要考查二次函数中系数的运用，以及比较函数值的大小，熟练掌握二次函数的基础运算是解题的关键．18．（2022·全国·九年级专题练习）已知：二次函数y＝x2﹣1．(1)写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；(2)画出它的图象．【答案】(1)抛物线的开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，﹣1）．(2)图像见解析．【分析】（1）根据二次函数y=a(xh)2+k，当a>0时开口向上；顶点式可直接求得其顶点坐标为(h，k)及对称轴x=h；（2）可分别求得抛物线顶点坐标以及抛物线与x轴、y轴的交点坐标，利用描点法可画出函数图象．(1)解：（1）∵二次函数y＝x2﹣1，∴抛物线的开口方向向上，顶点坐标为（0，﹣1），对称轴为y轴；(2)解：在y＝x2﹣1中，令y＝0可得x2﹣1=0．解得x＝﹣1或1，所以抛物线与x轴的交点坐标为(1，0)和(1，0)；令x＝0可得y＝﹣1，所以抛物线与y轴的交点坐标为(0，1)；又∵顶点坐标为（0，﹣1），对称轴为y轴，再求出关于对称轴对称的两个点，将上述点列表如下：x21012y＝x2﹣130103描点可画出其图象如图所示：【点睛】本题考察了二次函数的开口方向、对称轴以及顶点坐标．以及二次函数抛物线的画法．解题的关键是把二次函数的一般式化为顶点式．描点画图的时候找到关键的几个点，如：与x轴的交点与y轴的交点以及顶点的坐标．19．（2022·全国·九年级课时练习）初三年级某班成立了数学学习兴趣小组，该数学兴趣小组对函数的图象和性质进行探究，过程如下，请你补充完整．(1)函数的自变量x的取值范围是______；(2)①列表：下表是x，y的几组对应值，其中______，______；x…012…y…30m1n03…②描点：根据表中的数值描点，请补充描出点，；③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整．(3)下列关于该函数的说法，错误的是（

）A．函数图象是轴对称图形；B．当时，函数值y随自变量x的增大而增大；C．函数值y都是非负数；D．若函数图象经过点与，则(4)点与在函数图象上，且，则a与b的大小关系是______．【答案】(1)取任意实数(2)；；图象见解析(3)B(4)【分析】（1）根据解析式直接可得答案；（2）①把代入解析式可得m的值，同理可得n的值；②根据m、n的值描点即可；③用平滑的曲线顺次连接各点即得图象；（3）观察函数图象，逐项判断即可得答案；（4）由可得，即知．(1)解：函数的自变量x的取值范围是x取任意实数；故答案为：x取任意实数；(2)当时，，当时，，故答案为：，；②补充点如图：③用平滑的曲线顺次连接各点，把图象补充完整如上图；(3)根据函数图象可知：函数图象是轴对称图形，故A正确，不符合题意；当时，y随x的增大而减小，故B不正确，符合题意，函数值y都是非负数；故C正确，不符合题意；若函数图象经过点与，则；故D正确，不符合题意，故答案为：B；(4)∵，∴，∴，∴，而，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查二次函数的图象；掌握描点法画函数图象的方法，数形结合解题是关键．【能力提升】一、单选题1．（2022·湖北荆门·中考真题）抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，则下列结论正确的是(

)A．0≤x1＜x2 B．x2＜x1≤0C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D．以上都不对【答案】D【分析】根据二次函数图象及性质，即可判定．【详解】∵抛物线y＝x2+3开口向上，在其图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且y1＜y2，∴|x1|＜|x2|，∴0≤x1＜x2，或x2＜x1≤0，或x2＞0，x1≤0且x2+x1＞0，或x2＜0，x1＞0且x2+x1＜0，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握和运用二次函数的图象及性质是解决本题的关键．2．（2022·广东·佛山市华英学校三模）如图，将两个等腰直角三角形如图摆放，D为AB边的中点，E、F分别在腰AC、BC上（异于端点），当△MND绕着D点旋转时，设DE+DF=x，AB=10，△CEF的面积为y，则y与x之间的函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】连接CD，易证△CED≌△BFD，则四边形CEDF的面积=×S△ACB，DE=DF，S△EDF=×（x）2，于是△CEF的面积y=四边形CEDF的面积S△EDF，根据函数关系式即可作出判断．【详解】解：连接CD，∵△ABC是等腰直角三角形，D为AB边的中点，∴∠ECD=∠B=45°，CD=AD=BD，∠CDB=90°，∵∠MDN=90°，∴∠EDC=∠FDB，在△CED和△BFD中，，∴△CED≌△BFD（ASA），∴四边形CEDF的面积=S△ACB=S△CDB=×BD2=×52=，DE=DF，∵DE+DF=x，∴S△EDF=×（x）2=x2，∴△CEF的面积y=四边形CEDF的面积S△EDF=x2(5)，图象是一段开口向下的抛物线，观察四个选项，只有选项D符合题意，故选：D．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，证明△CED≌△BFD，求出二次函数的解析式是解此题的关键．3．（2022·全国·九年级）函数y＝ax－a和（a为常数，且），在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】先根据的顶点坐标为判断A，B不符合题意，再由C，D中的二次函数的图象判断则从而可得答案．【详解】解：由的顶点坐标为故A，B不符合题意；由C，D中二次函数的图象可得：函数y＝ax－a过一，二，四象限，故C符合题意，D不符合题意，故选C【点睛】本题考查的是一次函数与二次函数的图象共存的问题，掌握“一次函数与二次函数的图象与性质”是解本题的关键．4．（2022·内蒙古·包头市第二十九中学三模）下列命题中，假命题是（

）A．顺次连接对角线相等的四边形的四边中点所成的四边形为菱形．B．平行四边形对角线互相平分．C．已知二次函数，当时，y随x的增大而增大．D．若，则．【答案】C【分析】利用菱形的判定方法、平行四边形的性质、二次函数的性质及二次根式的知识分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、顺次连接对角线相等的四边形的四边中点所成的四边形为菱形，正确，是真命题，不符合题意；B、平行四边形对角线互相平分，正确，是真命题，不符合题意；C、二次函数y=x2+1，当x＜0时，y随x的增大而减小，故错误，是假命题，符合题意；D、若，则a≥0，正确，是真命题，不符合题意．故选C．【点睛】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解菱形的判定方法、平行四边形的性质、二次函数的性质及二次根式的知识．二、填空题5．（2022·江苏南京·一模）如图，“爱心”图案是由函数的部分图像与其关于直线的对称图形组成．点A是直线上方“爱心”图案上的任意一点，点B是其对称点．若，则点A的坐标是______．【答案】或【分析】根据对称性表示出A，B两点的坐标，利用勾股定理列式求解即可．【详解】∵A，B关于直线对称，∴设，则，如图所示，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴或（舍），∴，∵在上，∴，即，整理得：，解得，，当时，，当时，，∴点A的坐标为或；故答案是或．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用及对称点的表示，解题的关键是设点的坐标，表示出AB的长度．6．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知P是函数y1图象上的动点，当点P在x轴上方时，作PH⊥x轴于点H，连接PO．小华用几何画板软件对PO，PH的数量关系进行了探讨，发现PO﹣PH是个定值，则这个定值为_____．【答案】2【分析】设p(x，x21)，则OH=|x|，PH=|x21|，因点P在x轴上方，所以x21>0，由勾股定理求得OP=x2+1，即可求得OPPH=2，得出答案．【详解】解：设p(x，x21)，则OH=|x|，PH=|x21|，当点P在x轴上方时，∴x21>0,∴PH=|x21|=x21，在Rt△OHP中，由勾股定理，得OP2=OH2+PH2=x2+(x21)2=(x2+1)2，∴OP=x2+1，∴OPPH=（x2+1）（x21）=2，故答案为：2．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，利用坐标求线段长度是解题的关键．三、解答题7．（2022·江苏苏州·一模）在平面直角坐标系中，对于点和．给出如下定义：如果，那么称点为点的“变换点”．例如点（1，2）的“变换点”为点（1，2），点（－1，2）的“变换点”为点（－1，－2）．(1)在点（4，0），（2，5），（－1，－1），（－3，5）中，的“变换点”在函数的图象上；(2)如果一次函数图象上点的“变换点”是，求点的坐标；(3)如果点在函数的图象上，其“变换点”的纵坐标的取值范围是，结合图象写出实数的取值范围．【答案】(1)和(2)点(3)【分析】（1）先求出每个点的“变换点”坐标，然后看是否满足一次函数解析式即可；（2）分当时和当时，两种情况讨论求解即可；（3）先画出“变换点”的函数图象，结合函数图象求解即可．(1)解：由题意得点（4，0），（2，5），（－1，－1），（－3，5）的变换点分别为（4，0）、（2，5）、（1，1）、（3，5），当时，，∴点（4，0）不在函数的图象上，同理可得点（2，5）、（3、5）在函数的图象上，点（1、1）不在函数的图象上，∴和的“变换点”在函数的图象上；(2)解：由题意得当时，点，则，解得：（舍去）；当时，点，则，解得：，∴点；(3)解：如右图所示为“变换点”函数图象：从函数图象看，“变换点”Q的纵坐标的取值范围是，而，函数图象只需要找到最大值（直线）与最小值（直线）直线从大于等于0开始运动，直到与有交点结束，都符合要求，∴，解得：（舍去负值），观察图象可知满足条件的a的取值范围为：