专题16平面直角坐标系（6个知识点5种题型3种中考考法）

专题16平面直角坐标系（6个知识点5种题型3种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.平面直角坐标系（重点）知识点2点的坐标（重点）知识点3.象限的划分和点的坐标的特征（重点）知识点4.轴对称变换后点的坐标的变化（重点）知识点5.用坐标表示平移（重点）知识点6.建立直角坐标系求点的坐标【方法二】实例探索法题型1.根据点的坐标特征确定点的坐标题型2.确定符合条件的点的位置题型3.建立适当的平面直角坐标系确定点的位置题型4.图形的平移及点的坐标的变化题型5.点的坐标变化的规律【方法三】仿真实战法考法1.点的坐标特征考法2.用坐标表示位置考法3.点的坐标变化与图形变化之间的关系【方法四】成果评定法【学习目标】理解平面直角坐标系的有关概念，会正确地画出平面直角坐标系。能结合具体情境建立适当的直角坐标系，会根据点的坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标。在同一直角坐标系中，探索图形位置的变化与点的坐标变化的关系。经历画平面直角坐标系、描点、连线、看图、求坐标等过程，增强数形结合的意识，提高分析问题和解决问题的能力。【知识导图】【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.平面直角坐标系（重点）在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1).注意：平面直角坐标系三要素：两条数轴、有公共原点、互相垂直.知识点2点的坐标（重点）平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点P的坐标，记作:P(a,b)，如图2.注意：（1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开．（2）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离.（3）对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．知识点3.象限的划分和点的坐标的特征（重点）建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图．注意：（1）坐标轴x轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何象限．（2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象限在右下方.【例1】（2023上·福建漳州·八年级福建省长泰县第一中学校考期中）若点在第二象限内，则b可以是（）A． B． C．0 D．1【答案】D【分析】根据点在第二象限内，横坐标小于零，纵坐标大于零即可判断．【详解】解：∵点在第二象限内，∴，∴b可以为1，故选：D．【点睛】本题考查了根据点的位置求点的坐标，解题关键在于能够熟记每个象限点的坐标特征．【变式1】（2023上·山西太原·八年级校联考期中）在平面直角坐标系中，点在第三象限内，则m的值可以是（

）A． B．0 C． D．3【答案】A【分析】本题考查了点的坐标，根据题意可得，然后进行计算即可解答．【详解】解：点在第三象限内，．故选：A．【变式2】（2023春·吉林长春·八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，试分别根据下列条件求出点的坐标（1）点在轴上．（2）到轴的距离为3，且在第四象限．（3）在第一、三象限角平分线上．（4）点在第一象限，则的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）根据点在轴上y为0，列式求解即可得到答案；（2）根据点到轴的距离是列式求解，并结合点在第四象限选择，即可得到答案；（3）根据一三象限角平分线上点横纵坐标相同列式求解即可得到答案；（4）根据第一象限点横纵坐标都大于0直接列不等式求解即可得到答案；（1）解：∵点在轴上，∴，解得：，此时点P为：；（2）解：∵到轴的距离为3，点在第四象限，∴，解得：，∴；（3）解：∵在第一、三象限角平分线上，∴，解得：，∴；（4）解：∵点在第一象限，∴，解得：；【点拨】本题考查平面内点坐标的特征：x轴上点y为0，y轴上点x为0，点到坐标轴的距离是另一坐标轴的绝对值，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．知识点4.轴对称变换后点的坐标的变化（重点）1.关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数；2.关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数；3.关于原点对称的点横、纵坐标分别互为相反数．【例2】（2023上·山西晋中·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，与点关于轴对称的点的坐标是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查关于轴的对称点的坐标特点，正确记忆横坐标纵坐标的变化规律是解题关键．根据平面直角坐标系中，关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变进行求解即可．【详解】解：点关于轴的对称点的坐标是．故选：A．【变式】（2023上·江苏淮安·八年级校联考期中）剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标为，则的值为（

）

A．7 B． C．3 D．【答案】D【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点关于坐标轴对称的特征，“若两点关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变”，据此解答即可．【详解】解：∵点E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标为，∴，∴．故选：D知识点5.用坐标表示平移（重点）“横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减”【例3】（2023上·江苏南京·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，把点向上平移1个单位，再向左平移2个单位，得到的点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据向上平移纵坐标加，向左平移横坐标减求解即可．【详解】解：∵点向上平移1个单位，再向左平移2个单位，∴所得到的点的横坐标是，纵坐标是，∴所得点的坐标是．故选：B．【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化−平移，掌握平移的变化规律“横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减”是解答本题的关键．【变式】．（2023上·江苏徐州·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，将点向左平移2个单位长度，所得点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将点P的横坐标减去2，纵坐标不变即可．【详解】解：将点向左平移2个单位长度后所得点的坐标是，即．故选：D．【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化平移，关键是掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．知识点6.建立直角坐标系求点的坐标建立平面直角坐标系的基本思路（1）分析条件，选择适当的点作为原点；（2）过原点在两个互相垂直的方向上分别作出x轴和y轴；（3）确定正方向、单位长度。2.建立平面直角坐标系的基本方法（1）使图形中尽量多的点在坐标轴上；（2）以某条特殊线段所在的直线为x轴或y轴,如三角形的高、中线等；（3）以对称图形的对称轴为x轴或y轴；（4）以某个已知点为原点,使其坐标为(0，0)。注意：根据条件建立平面直角坐标系是确定点的坐标的必须过程，只有建立适当的平面直角坐标系的基础上，点的位置才能确定，这是数形结合的体现。【例4】（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）如图，学校体育节伞操表演时，小军位置用表示，小华位置用表示，那么小刚位置可以表示成（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，以小军为坐标原点建立平面直角坐标系解答即可．【详解】解：如图所示平面直角坐标系，

则小刚的位置可以表示为．故选：B．【点睛】本题考查了坐标确定位置，关键是建立平面直角坐标系．【变式】（2023上·广东河源·八年级校考期中）如图，如图所在的位置坐标为，所在的位置坐标为，那么所在位置坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知坐标判断出坐标系的位置，从而求出最终结果．本题主要考查了利用点的坐标确定坐标系的位置，根据已知得出原点的位置是解题的关键．【详解】解:士和相在同一直线上，且横坐标分别是坐标系位置如图所示炮所在的位置为：故选：D．【方法二】实例探索法题型1.根据点的坐标特征确定点的坐标1.（2023春·湖北孝感·七年级统考期中）已知线段平行于轴，且的长度为（在的右侧），若，则点的坐标为．【答案】【分析】轴，则点的纵坐标与点的纵坐标相同，的长度为（在的右侧），则点的横坐标为．解：如图所示．

因为轴，则点的纵坐标与点的纵坐标相同，均为．因为的长度为（在的右侧），则点的横坐标为．所以，点的坐标为．故答案为：．【点拨】本题主要考查平面直角坐标系中点的平移，能根据题意找到点的位置是解题的关键．题型2.确定符合条件的点的位置2.（2023春·江西新余·七年级新余四中校考期中）已知点，分别根据下列条件，求出点的坐标．（1）点的纵坐标比横坐标大3；（2）点到轴的距离为2，且在第四象限．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据题意列出，解方程即可求解；（2）根据题意列出，再根据点在第四象限，即可求解．（1）解：根据题意有：，∴，∴；（2）∵，∴或者，∴或者，∵点在第四象限，∴．【点拨】本题主要考查了坐标与图形，一元一次方程的应用等知识，根据题意列出一元一次方程，是解答本题的关键．题型3.建立适当的平面直角坐标系确定点的位置3.如图，网格格点上三点A、B、C在某平面直角坐标系中的坐标分别为、、，则下列判断错误的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据A、C两点在网格中的位置，求出，即可得B点坐标，再据此建立坐标系，表示出A点坐标，据此分别对各项进行判断即可．【详解】A、B、C在某平面直角坐标系中的坐标分别为、、由图可知，据此建立坐标系，可得，，所以，A、B、D正确，C错误故选：C．【点睛】本题考查了点与坐标，平面直角坐标系，熟练掌握知识点并能够运用数形结合的思想是解题的关键．4.（2023春·福建龙岩·七年级统考期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，三角形的顶点均在格点上．

（1）请建立合适的平面直角坐标系，使点A，B的坐标分别为和，并写出点C的坐标为__________；（2）求三角形的面积．【答案】（1）见分析，；（2）【分析】（1）根据点A，B的坐标即可确定平面直角坐标系，即可求解；（2）将补成长方形，即可求解．（1）解：如图

由上图得：．故答案：．（2）解：如图，

将补成如上图的长方形，．【点拨】本题主要考查了建立适当的平面直角坐标系，并会找出点的坐标，用割补法求格点三角形的面积，掌握面积求法是解题的关键．题型4.图形的平移及点的坐标的变化5．（2022上·江苏扬州·八年级校考阶段练习）在直角坐标系中，已知点，点是点关于轴的对称点，将点向右平移4个单位得到点，则点的坐标是．【答案】【分析】根据点是点关于轴的对称点，求出，再根据点的平移规律“左减右加，上加下减”求出点R的坐标．【详解】解：∵，点是点关于轴的对称点，∴，∵将点向右平移4个单位得到点，∴．故答案为：【点睛】本题考查点关于坐标轴对称的特征，点的平移规律，解题的关键是掌握点关于坐标轴对称的特征，点的平移规律．6．（2023下·江苏泰州·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，把点向左平移3个单位得到点，则的值为．【答案】【分析】根据横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减即可得出答案．【详解】∵把点向左平移3个单位得到点，∴．∴．∴．故答案是．【点睛】本题主要考查了坐标系中点的平移规律，平移中点的坐标规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，熟知点的坐标平移规律是解题的关键．7．（2023上·江苏泰州·八年级校考期中）如图，三个顶点的坐标分别为．

(1)请画出关于x轴成轴对称的图形；(2)若经过平移后得到，其中点的坐标是，则点的坐标是_____________．(3)若轴于点E，在x轴上存在点P，使，请在坐标系中找出点P的位置（保留作图痕迹），并写出点P的坐标是___________．【答案】(1)图见详解(2)(3)图见详解，【分析】（1）根据题意作即可；（2）图形的平移即点的平移，根据点A向下平移1个单位，再向左平移5各单位即得到即可得到C的对应点；（3）作B关于x轴的对称点，连接与x轴的交点即点P，此时，即可求点P坐标；【详解】（1）如图，即为所求；

（2）经过平移后得到，∴对应点为，即将点A向下平移1个单位，再向左平移5各单位即得到，∴将向下平移1个单位，再向左平移5各单位得．故答案为：．（3）如图，作B关于x轴的对称点，连接与x轴的交点即点P，此时；∴．故答案为：．

【点睛】本题主要考查坐标与图形—平移，正确理解题意画出平移后图形是解题的关键．题型5.点的坐标变化的规律8．（2023上·广东深圳·八年级校考期中）如图，在直角坐标系中，边长为2的等边三角形的一条边在x轴的正半轴上，O为坐标原点，将沿x轴正方向依次向右移动4个单位（即……），依次得，……则顶点的坐标是【答案】【分析】此题考查了点的坐标变化规律，等边三角形的性质，根据题意得出前几个点的坐标，总结出一般变化规律是解题的关键．【详解】解：过点作x轴的垂线，垂足为B，∵为等边三角形，轴，∴根据勾股定理可得：，∴，∵，∴，，同理可得：，，，∵，∴由向右平移个单位长度得到，∴，故答案为：．

【方法三】仿真实战法考法1.点的坐标特征1．（2023•盐城）在平面直角坐标系中，点A（1，2）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据点A（1，2）横坐标和纵坐标的符号即可判断点A所在的象限．【解答】解：∵点A（1，2）的横坐标和纵坐标均为正数，∴点A（1，2）在第一象限．故选：A．【点评】此题主要考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中，点的坐标的特征是解答此题的关键．考法2.用坐标表示位置2．（2023•连云港）画一条水平数轴，以原点O为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，过原点O按逆时针方向依次画出与正半轴的角度分别为30°、60°、90°、120°、…、330°的射线，这样就建立了“圆”坐标系．如图，在建立的“圆”坐标系内，我们可以将点A、B、C的坐标分别表示为A（6，60°）、B（5，180°）、C（4，330°），则点D的坐标可以表示为．【分析】在该坐标系中，某点的坐标用两个参数来描述：一个是该点与原点的距离，另一个是原点与该点所在的射线与x轴正半轴之间的夹角．【解答】解：∵点D与圆心的距离为3，射线OD与x轴正方向之间的夹角为150°，∴点D的坐标为（3，150°）．故答案为：（3，150°）．【点评】该题较简单，主要考查在不同坐标系中点的表示方法．考法3.点的坐标变化与图形变化之间的关系3．（2022•百色）如图，在△ABC中，点A（3，1），B（1，2），将△ABC向左平移2个单位，再向上平移1个单位，则点B的对应点B′的坐标为（）A．（3，1） B．（3，3） C．（﹣1，1） D．（﹣1，3）【分析】根据平移与图形的变化规律进行计算即可．【解答】解：根据平移与图形变化的规律可知，将△ABC向左平移2个单位，再向上平移1个单位，其图形上的对应点B′的横坐标减少2，纵坐标增加1，由于点B（1，2），所以平移后的对应点B′的坐标为（﹣1，3），故选：D．【点评】本题考查坐标与图形变化，掌握平移前后对应点坐标的变化规律是正确判断的关键．4．（2023•海南）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为（6，0），将△ABO绕着点B顺时针旋转60°，得到△DBC，则点C的坐标是（）A．（3，3） B．（3，3） C．（6，3） D．（3，6）【分析】作CM⊥x轴于M，再利用旋转的性质求出BC＝OB＝6，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BM，利用勾股定理列式求出CM，然后求出点C的横坐标，再写出点C的坐标即可．【解答】解：作CM⊥x轴于M，∵点B的坐标为（6，0），∴BC＝OB＝6，∵∠OBC＝60°，∴BM＝，CM＝＝3，∴OM＝OB﹣BM＝6﹣3＝3，∴C（3，3）．故选：B．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，解直角三角形，求出OM、CM的长度是解题的关键．【方法四】成果评定法一、单选题1．（2023下·江苏扬州·八年级校考期中）点到x轴的距离是（

）A．3 B．4 C．5 D．7【答案】B【分析】本题考查点到坐标轴的距离，根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，解答即可．【详解】解：∵点，∴点到y轴的距离是，故选：B．2．（2023上·江苏·八年级校考周测）点在直角坐标系中的坐标是，则点到轴和轴的距离分别是（）A．， B．， C．， D．，【答案】B【分析】本题考查的是点的坐标的几何意义，用到的知识点为：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值．根据纵坐标的绝对值为点K到x轴的距离；横坐标的绝对值为点K到y轴的距离，解答即可．【详解】解：点K到x轴的距离为，到y轴的距离为．故选：B．3．（2023上·江苏徐州·八年级校考期中）在平面直角坐标系中，点一定在（）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限【答案】A【分析】本题考查了坐标的特点，根据平方数非负数判断出纵坐标是正数，然后根据各象限内点的坐标特征解答．【详解】解：，，点在第四象限．故选：A．4．（2023上·江苏泰州·八年级统考期中）在平面内有A、B两点，以相同的单位长度建立不同的直角坐标系，若以点A为坐标原点，点B的坐标为(a，b)；若以点B为坐标原点，则点A的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，结合以点为坐标原点，点与点的横坐标相反，纵坐标相反，即可得到最终结果；本题主要考查了坐标系点的坐标的变化，解题的关键是掌握坐标系中，点的坐标的变化规律．【详解】解：两点坐标差为：以点为坐标原点，点与点的横坐标相反，纵坐标相反故选：B．5．（2023上·江苏淮安·八年级校联考期中）在平面直角坐标系中，若点在第四象限，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，根据“第四象限”得到关于x的不等式组，即可求解．【详解】解：∵点在第四象限，∴，解得：，∴x的取值范围在数轴上表示为

．故选：A6．（2023上·浙江金华·八年级统考阶段练习）如图，在中，，是的平分线．若分别是和上的动点，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意可以把关于对称到的点，如此的最小值问题即变为与线段上某一点的最短距离问题，最后根据垂线段最短的原理得解．【详解】解：如图，作关于的对称点，则，连接，过点作于点，所以、、三点共线时，，此时有可能取得最小值，当垂直于即移到位置时，的长度最小，的最小值即为的长度，，，即的最小值为．故选：B．【点睛】本题考查了轴对称最短路径问题，垂线段最短，通过轴对称把线段和最小的问题转化为线段外一点到线段某点连线段最短问题是解题关键．7．（2023上·江苏泰州·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，点P在第一象限内，且纵坐标为4．若点P关于直线的对称点恰好落在x轴的正半轴上，则点的横坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据，可得；连接，交直线与点，连接，由轴对称的性质可得垂直平分，根据垂直平分线的性质可得，再证明，由全等三角形的性质可得；设，则，，由勾股定理可得，解得，即可确定点的横坐标．【详解】解：∵，，∴，连接，交直线与点，连接，如下图，∵点与点关于直线对称，∴，且，∴，∵点在第一象限内，且纵坐标为4，∴轴，∴，又∵，，∴，∴，设，则，∴，∴，∴在中，，即，解得，∴，∴点的横坐标为．故选：C．【点睛】本题主要考查了坐标与图形、三角形全等的判定和性质、轴对称的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．8．（2023上·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，四边形中，，在上分别找一点M、N，使周长最小时，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】作点A关于的对称点，关于的对称点，根据轴对称确定最短路线问题，连接与的交点即为所求的点M、N，利用三角形的内角和定理列式求出，再根据轴对称的性质和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，然后计算即可得解．【详解】解：如图，作点A关于的对称点，关于的对称点，

连接与的交点即为所求的点M、N，∵，∴，由轴对称的性质得：，∴．故选：D．【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，轴对称的性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，确定出点M、N的位置是解题的关键，要注意整体思想的利用．9．（2023上·安徽滁州·八年级校考阶段练习）如图，平面直角坐标系中，已知点，，，，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度按逆时针方向沿长方形的边做环绕运动；另一动点Q从点C出发，以每秒3个单位长度的速度按顺时针方向沿长方形的边做环绕运动，则第2023次相遇点的坐标是（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为3和2，以及P、Q的速度和是5，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．【详解】解：由题意得：，，∴矩形的周长为，由题意，经过1秒时，P、Q在点处相遇，接下来P、Q两点走的路程和是10的倍数时，两点相遇，相邻两次相遇间隔时间为秒，∴第二次相遇点是的中点，第三次相遇点是，第四次相遇点是，第五次相遇点是，第六次相遇点是……，由此发现，每五次相遇点重合一次，∵，∴第2023次相遇点的坐标与第三次相遇点的坐标重合，即故选：C．【点睛】此题主要考查了规律型：点的坐标、行程问题中的相遇问题，通过计算发现规律就可以解决问题．10．（2023上·江苏·八年级校考周测）直角坐标系中，点．点B在轴上，且是等腰三角形，则满足条件的点B共有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定和坐标与图形的性质，先根据点的坐标为计算的长，再以为底边和腰分类讨论，可确定点的坐标有4个．用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．【详解】解：如图，

点坐标为，，①以为底边时，点坐标为，；②以为腰时，，，，综上，点的坐标为或或或，共4个．故选：C．二、填空题11．（2022上·江苏南通·八年级南通市新桥中学校考阶段练习）平面直角坐标系中，已知点A坐标为，OA长为，点B在x轴上，且三角形为等腰三角形，则B点坐标为．

【答案】或或或【分析】分情况讨论，当、、时，画出图形，利用坐标与图形的性质求解即可．【详解】解：如图，分情况讨论，

当时，点坐标为；当时，点坐标为，当时，点坐标为或，综上，B点坐标为或或或．故答案为：或或或．【点睛】本题考查了坐标与图形，等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质并准确识图是解题的关键．12．（2023上·江苏泰州·八年级统考期中）已知点在第四象限，则整数的值为．【答案】2【分析】根据第四项限内点的横坐标大于零，纵坐标小于零，可得不等式组，根据解不等式组，即可得出结果；本题主要考查的是点的坐标与解一元一次不等式组，正确得出不等式组是解答此题的关键．【详解】解：点在第四象限解得：即：为整数故答案为：2．13．（2023上·江苏淮安·八年级校联考期中）在平面直角坐标系中，已知点，点，其中为实数．当的值为时，线段取得最小值．【答案】/【分析】本题考查了坐标与图形及勾股定理以及完全平方公式，根据勾股定理求解即可．【详解】解：∵点，点，∴,∴当时，线段取得最小值，故答案为：．14．（2023上·江苏·八年级校考周测）已知点，直线轴，且，则点N的坐标是【答案】或/或【分析】本题考查了平面直角坐标系，根据平行于y的直线上的点横坐标相同，然后分情况讨论即可．熟知平行于y的直线上的点横坐标相同是解本题的关键．【详解】解：∵，轴，∴点N的纵坐标为2，∵，∴点N的横坐标为或，∴点N的坐标为或，故答案为：或．15．（2023上·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，中，，，是边上的中线且，是上的动点，是边上的动点，则的最小值为【答案】【分析】作关于的对称点，连接交于，连接，过作于，根据三线合一定理求出的长和，根据三角形面积公式求出，根据对称性求出，根据垂线段最短得出，即可得出答案．【详解】解：作关于的对称点，连接交于，连接，过作于，，，是边上的中线，，，平分，在上，在中，，，，关于的对称点，，，根据垂线段最短得出：，即，即的最小值是，故答案为：．【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，关键是画出符合条件的图形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．16．（2023上·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，中，，，，平分，如果、分别为、上的动点，那么的最小值是．

【答案】【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，勾股定理；过点作于点，交于点，过点作于，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值．【详解】解：，，，过点作于点，交于点，过点作于，

平分，，，，，此时取最小值．，，即．即的最小值为．故答案为：．17．（2023上·江苏南京·八年级校考阶段练习）如图，，点P为内一点，且，分别作出P点关于、的对称点M、N，连接，则．

【答案】6【分析】根据轴对称的性质得出，，推出，进而求出为等边三角形，即可求解．【详解】解：∵P点关于、的对称点M、N，∴，，∵，∴，∴，∴为等边三角形，∴，故答案为：6．

【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确画出辅助线，构造等边三角形．18．（2023上·江苏南京·八年级统考期中）如图，在中，，，，点M、N分别为上的动点，则的最小值为．【答案】【分析】本题考查轴对称最短路线问题，三角形三边关系，勾股定理以及三角形面积计算等知识．作A关于的对称点D，连接，推出，，由三角形三边关系得到，当时，长最小，由勾股定理求出，由三角形面积公式得到的面积，即可求出得到的最小值是．【详解】解：作A关于的对称点D，连接，∴，∵，∴，当时，长最小，∵，∴∵的面积，∴，∴，∴的最小值是．故答案为：．三、解答题19．（2023上·江苏南京·八年级校考阶段练习）如图，在已知的平面直角坐标系中，的顶点都在正方形网格的格点上．

(1)画出关于轴对称的图形，并写出的坐标．(2)请用无刻度直尺，在轴上找一点，使它到两点的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）(3)请在轴上画出点，使周长最小．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接，并写出坐标即可；（2）利用勾股定理和勾股定理的逆定理可证明是等腰直角三角形，再由三角形三条中线交于一点，找出边中线所在的直线，则由三线合一定理可知该直线垂直平分，则该直线与y轴的交点即为所求；（3）连接交x轴于点Q，点Q即为所求．【详解】（1）解：如图所示，即为所求，∴；（2）解：如图所示，点P即为所求；（3）解：如图所示，点Q即为所求；

．【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化——轴对称，轴对称最短路径问题，勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．20．（2023上·江苏泰州·八年级统考期中）如图，在有网格的平面直角坐标系中，的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．

(1)把向右平移3格，再向下平移2格，画出(其中、、分别是A、B、C的对应点，不写画法)(2)直接写出点关于x轴对称的点的坐标为；内任一点按(1)中方法平移后，对应点的坐标为．【答案】(1)见解析(2)；【分析】本题考查了作图（平移）、坐标与图形变化——平移与轴对称：（1）先向右平移3格，再向下平移2格得，同理可得：，，依次连接，即可求解；（2）根据坐标与图形变化——平移与轴对称的坐标变化规律即可求解，熟练掌握坐标与图形变化——平移与轴对称的坐标变化规律是解题的关键．【详解】（1）解：先向右平移3格，再向下平移2格得，同理可得：，，依次连接，如图所示，即为所求：

（2）由（1）得：，则关于x轴对称的点的坐标为：，先向右平移3格，再向下平移2格得，故答案为：；．21．（2023上·江苏·八年级校考周测）在平面直角坐标系中，对于P，Q两点给出如下定义：表示点P到x、y轴的距离中的最大值，表示点Q到x、y轴的距离中的最大值，若，则称P，Q两点为“等距点”．例如：如图中的两点，有，所以P、Q两点为“等距点”．已知点A的坐标为，(1)则点A到x、y轴的距离中的最大值(2)在点中，为点A的“等距点”的是；(3)若点B的坐标为，且A，B两点为“等距点”，则点B的坐标为【答案】(1)3(2)E，F(3)【分析】此题考查点到坐标轴的距离，“等距点”定义，（1）根据点到坐标轴的距离得到点A到x轴的距离为1，到y轴的距离为3，即可得到答案；（2）根据各点坐标分别得到，根据“等距点”定义得到答案；（3）分两种情况分别求出，根据定义判断，进而得到答案．【详解】（1）∵点A的坐标为，∴点A到x轴的距离为1，到y轴的距离为3，∴，故答案为：3；（2）∵，∴,∴点A的“等距点”的是E，F；故答案为：E，F；（3）①当时，，则，故不符合题意，舍去；②当时，，点B的坐标为，故，符合题意；故答案为：．22．（2023上·江苏扬州·八年级校联考期中）已知点，点．(1)若点A在第二、四象限角平分线上，求点A的坐标．(2)若线段轴，求线段的长度．【答案】(1)(2)5【分析】本题主要考查象限角平分线性质、与x轴平行的特征和两点之间的距离，（1）根据第二、四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数求出A点的坐标；（2）根据平行于x轴的直线上的点纵坐标都相同求出点A和点B的坐标即可得到答案；【详解】（1）解：∵点在第二、四象限角平分线上，∴，解得，，∴，（2）∵线段轴，∴，解得，∴，，则；23．（2023上·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1．

(1)画出关于直线l对称的图形；(2)在直线l上找一点P，使（要求在直线l上标出点P的位置）；(3)在（2）中，连接、，则四边形的面积为_______．(4)在直线l上找一点Q，使最短（要求在直线l上标出点Q的位置）．【答案】(1)图见详解，(2)图见详解，(3)图见详解，，(4)图见详解，【分析】（1）根据轴对称的性质对称点连线被对称轴垂直平分找到点，，即可得到答案；（2）根据格点作的垂直平分线交l于一点即可得到答案；（3）根据割补法直接求解即可得到答案；（4）连接交l于一点即为最小距离和点；【详解】（1）解：根据轴对称的性质对称点连线被对称轴垂直平分找到点，，如图所示，