第1讲有理数（讲义）

第1讲有理数有理数是初中数学六年级下学期第一章第一节的内容．重点是有理数的相关概念辨析，利用对数轴的理解对有理数进行大小比较，绝对值的化简等．难点是绝对值的化简及运算．预习阶段，我们会针对基础知识部分进行着重讲解，相关难点会在春季班课程中讲解．模块一：有理数的意义知识精讲正数和负数在现实生活中，用正数和负数表示具有相反意义的量．有理数的概念整数和分数统称为有理数．有理数的分类按意义分：；按符号分：．注意：（1）零既不是正数，也不是负数，零是正数和负数的分界；（2）零和正数统称为非负数；零和负数统称为非正数．例题解析如果把收入80元记作80元，那么下列各数分别表示什么意义？（1）10元；（2）3.5元；（3）元；（4）0元．【难度】★【答案】（1）收入10元；（2）收入3.5元；（3）支出100元；（4）没有收入也没有支出．【解析】解题关键是理解‘正’和‘负’的相对性，确定一对具有相反意义的量，常见的具有相反意义的量：收入与支出、上升与下降、前进与后退、向东与向西等．【总结】本题考查了正数和负数的意义．下列说法错误的是（）A．收入200元和支出300元是相反意义的量B．向北走6千米和向南走6千米是相反意义的量C．节约20千克粮食和浪费20千克水是相反意义的量D．存款2000元和取款3160元是相反意义的量【难度】★【答案】C【解析】粮食和水是两回事，故错误．【总结】本题考查了具有相反意义的量．下列说法中正确的是（）A．正有理数和负有理数组成了全体有理数B．在有理数中，零的意义仅表示没有C．所有的小数都是有理数D．0既不是正数也不是负数【难度】★【答案】D【解析】有理数按正负可分为：正有理数、零、负有理数；有理数按意义可分为：整数和分数；无限不循环小数是无理数．【总结】本题考查了有理数的分类及意义．把下列各数填入它所属的圈内：，69，，，，0，46%，0．76，，．【难度】★【答案】正数：、、、、、；负数：、、．【解析】根据有理数的分类填写即可．【总结】本题考查了有理数的分类．下列各数中，哪些是正数？哪些是整数？哪些是非负数？哪些是有理数？ ，0.126，0，，，4.5，，101.0101，，20．【难度】★★【答案】正数：、、、、、、；整数：、0、、；非负数：、、、、、、、；有理数：、、、、、、、、．【解析】根据正数、整数、有理数的意义分类填写【总结】本题考查了有理数的意义和分类．回答问题：（1）有没有最小的正数？有没有最大的正数？有没有最小的负数？有没有最大的负数？有没有最小的有理数？有没有最大的有理数？（2）有没有最小的非负数？有没有最大的非负数？有没有最小的非正数？有没有最大的非正数？（3）有没有这样的有理数，它既是正数也是负数？有没有这样的有理数，它既不是正数，也不是负数？【难度】★★【答案】（1）没有，没有，没有，没有，没有，没有；（2）有，没有，没有，有；（3）没有，有．【解析】正确的有理数分类．【总结】本题考查了有理数的分类及意义．改写下列各句，使其不含负数：（1）海平面上升了米表示_____________________；（2）公交车向北行驶了千米表示______________________．【难度】★★【答案】（1）海平面下降了0.8米；（2）公交车向南行驶了5千米．【解析】上升对应的相反意义的量是下降；向北对应的相反意义的量是向南．【总结】本题考查了正负数的意义及具有相反意义的量．某市2016年元旦的最高气温为2，最低气温为，那么这天的最高气温比最低气温高______．【难度】★★【答案】．【解析】由题意最高气温减去最低气温，即可得到答案，．【总结】本题考查了有理数的意义及简单运算．观察下列数列，填上空缺的数．（1）1，，2，，3，______，______，______；（2）1，，3，，5，______，______，______．【难度】★★【答案】（1）3，4，4；（2）6，7，8．【解析】（1）从举出的数可以看出，两数之间互为相反数即可；（2）数字是1、2、3、4、5、6、7、8，偶数前面是负号，奇数前面是正号．【总结】本题考查了按规律填数．在一次数学测验中，小智所在班的平均分为87分，把高于平均分的高出部分记为正，（1）小智得了94分，应记作多少分？（2）小智的同学小方得分被记作分，他的实际成绩是多少分？【难度】★★【答案】（1）分；（2）分．【解析】根据正负数在日常生活中常用来表示具有相反意义的量；（1）小智得了94分，应记作；（2）小方被记作分，他实际得分是．【总结】本题考查了根据正负数的意义解答简单实际问题的能力．某中学对初一男生进行引体向上的测试，以能做7个为标准，超过的次数用正数表示，不足的用负数表示，其中8名男生的成绩如下表：20310（1）这8名男生有几人达标？（2）达标的百分比是多少？【难度】★★★【答案】（1）达标的成绩为2、0、3、1、0，达标人数有5人；（2）达标率为．【解析】（1）根据非负数是达标人数即可；（2）达标人数除以总人数即可．【总结】本题考查了正数和负数及百分数的应用．若以45分钟为1个单位，并记每天上午10时为0，10时以前记为负，10时以后记为正．例如9:15记为，10:45记为1等，依次类推，上午7:45应记为（） A． B． C． D．【难度】★★★【答案】【解析】时以前记为负，时以后记为正，且以分钟为个单位时间单位；上午与时相隔分，即个单位；应记为．故选．【总结】本题考查了正负数的意义．模块二：数轴知识精讲数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示．在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大．相反数只有符号不同的两个数，我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．互为相反数的两个数的和为零．零的相反数是零．例题解析指出下列数轴上的的点A、B、C、D分别表示什么数．【难度】★【答案】数轴上的各点分别表示．【解析】任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示．【总结】本题考查了数轴上的点表示数．用数轴上的点分别表示，5，，3.2以及它们的相反数，并用“<”把它们连接起来．【难度】★【答案】如图所示，5，，3.2的相反数分别是4，，，，大小顺序为：．【解析】见上图．【总结】本题考查了数轴上的点表示数以及相反数的概念．下列各数中，哪些数是相等的？哪些数互为相反数？ 2.3，，，，4.5，5，，．【难度】★【答案】相等的有：与；互为相反数的有：与、与．【解析】相等的量及互为相反数的量定义．【总结】本题考查了有理数的互化及相反数的意义．已知a、b在数轴上的位置如图所示：（1）在数轴上作出它们的相反数；（2）用“<”按从小到大的顺序将这四个数连接起来．【难度】★★【答案】见解析．【解析】（1）只有符号不同的两个数互为相反数．（2），数轴上的点表示的数右边的总比左边的大．【总结】本题考查了相反数的定义及有理数的大小比较．以下叙述中，正确的是（）A．正数和负数互为相反数B．表示相反意义的量的两个数互为相反数C．任何有理数都有相反数D．任何有理数都有倒数【难度】★★【答案】C【解析】只有符号不同的两个数，我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数；0没有倒数．【总结】本题考查了正负数的意义及应用．在数轴上表示数a的点到原点的距离为2个单位，则a=______．【难度】★★【答案】．【解析】到原点的距离为2个单位的点即．【总结】本题考查了数轴的应用．数轴上有A，B两点，如果点A对应的数是，且A，B两点的距离为3个单位，求点B对应的数．【难度】★★【答案】，．【解析】解：设点对应的数为，由题意得：，解得：或．【总结】本题考查了数轴的应用及意义．如图，如果数a到原点的距离是数b到原点的距离的3倍，则数轴的原点可能是A，B，C，D四点中的哪些点？【难度】★★★【答案】点C或点D．【解析】由题意得：，根据图形分以下两种情况讨论，=1\*GB3①当时，数轴的原点为点；=2\*GB3②当时，数轴的原点为点．【总结】本题考查了数轴的知识应用．模块三：绝对值知识精讲绝对值的概念一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值．一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．绝对值的数学表达用符号表示数a的绝对值．有理数的比较大小正数大于零，零大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小．例题解析求1.3，，，0，的绝对值．【难度】★【答案】．【解析】一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．【总结】本题考查了绝对值的计算．下列结论中，正确的是（）A．一个数的相反数一定是负数B．一个数的绝对值一定不是负数C．一个数的绝对值一定是正数D．一个数的绝对值的相反数一定是负数【难度】★【答案】B【解析】．【总结】本题考查了绝对值的意义．绝对值小于3的整数有______个，分别为____________________．【难度】★【答案】；．【解析】因为，且为整数；所以，故有个．【总结】本题考查了绝对值的意义．已知，那么x=______．【难度】★【答案】．【解析】因为，故．【总结】本题考查了绝对值的意义及计算．如图，a、b为数轴上两点表示的有理数，则在，，，中，负数有几个？【难度】★★【答案】个．【解析】由题意得：；则；；；．故均为正数．【总结】本题考查了有理数绝对值意义及大小比较．判断题：（1）；（）（2）；（）（3）（）；（）（4）若，则；（）（5）若，则；（）（6）若，则；（）（7）若，则；（）（8）若，则．（）【难度】★★【答案】（1）√；（2）×；（3）√；（4）×；（5）√；（6）×；（7）×；（8）√．【解析】，由绝对值的性质和意义可得，举反例即可．【总结】本题考查了绝对值的意义．设数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，则化简后的结果为多少？【难度】★★【答案】．【解析】先判断绝对值里的正负，再由性质进行去绝对值运算；由数轴得：，故原式．【总结】本题考查了绝对值的性质．已知，求化简后的结果．【难度】★★★【答案】．【解析】由，则，所以．【总结】本题考查了含绝对值符号的化简．如果，，求的绝对值．【难度】★★★【答案】．【解析】解：由题意得：；分情况讨论：如当时，原式，其绝对值为；同理即可得其它情况均为6．【总结】本题考查了绝对值的计算及应用．化简：（1）； （2）； （3）．【难度】★★★【解析】（1）=1\*GB3①当时，；=2\*GB3②当时，．（2）=1\*GB3①当时，；=2\*GB3②当时，；=3\*GB3③当时，．（3）=1\*GB3①当时，原式；=2\*GB3②当时，原式；=3\*GB3③当时，原式．【总结】本题主要考查零点分段法的运用，解题时注意要分类讨论，综合性较强，老师可以选择性讲解．随堂检测把下列各数填入它所属的圈内： ，12，，，，，，，101，2．333．【难度】★【解析】【总结】本题考查了整数的分类．填空：（1）某水库的水位上升3米，记作米，那么水位下降4米，记作______米；（2）如果规定向东走为正，那么走了千米的意义是__________________________；（3）如果表示增加20%，那么表示_________________；（4）时钟的分针顺时针方向旋转了记作，那么逆时针方向旋转记作______．【难度】★【答案】（1）；（2）向西走千米；（3）降低；（4）．【解析】解题关键是理解‘正’和‘负’的相对性，确定一对具有相反意义的量．【总结】本题考查了正负数的意义．判断：（1）整数包括正整数和负整数；（）（2）比正有理数小的数是负有理数；（）（3）一定是负数；（）（4）一个数的相反数的相反数是它本身．（）【难度】★【答案】（1）×；（2）×；（3）×；（4）√．【解析】有理数按意义可分为整数和分数；按正负可分为正有理数，0，负有理数．【总结】本题考查了有理数的意义和分类．用数轴上的点表示下列各数，并将它们从小到大排列起来．（1）3的相反数；（2）的相反数；（3）的相反数的倒数；（4）0；（5）的绝对值；（6）的绝对值的相反数．【难度】★★【答案】见解析．【解析】代表；代表；代表；代表；代表4；代表．．【总结】本题考查了绝对值的意义及大小比较．求下列各数的绝对值：（1）； （2）； （3）a（a<0）；（4）3b（b>0）； （5）（a<2）； （6）．【难度】★★【解析】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）分类讨论：当时，其绝对值为；当时，其绝对值为；