第08讲直角三角形全等的判定（2类题型）（原卷版）

第08讲直角三角形全等的判定（2类题型）课程标准学习目标1.用HL判断三角形全等；2.全等的性质与HL的综合；3.1.掌握用HL证三角形全等；2.掌握全等的性质与HL的综合；知识点01：HL证明三角形全等定理：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）.要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.【即学即练1】1．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，在中，，D是上一点，于点E，，连接，若，则等于（

）A． B． C． D．【即学即练2】2．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图所示，已知在△ABC中，∠C=90°，AD=AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B=28°，则∠AEC=（）A．28° B．59° C．60° D．62°题型01用HL证明三角形全等1．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，，垂足分别为D、E，且，则与全等的直接理由是（

）

A． B． C． D．2．（2023秋·八年级课时练习）在和中，，有如下几个条件：①，；②，；③，；④，．其中，能判定的条件的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，中，，是上一点，连接，过点作，垂足为，，若，则的值为.

4．（2023秋·江苏南京·八年级校考开学考试）如图，在中，，线段两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，点从点运动到点A，点的运动速度为每秒钟，当运动时间为时，和全等．

5．（2023春·河南平顶山·七年级统考期末）如图，池塘两端、的距离无法直接测量，请同学们设计测量、之间距离的方案．小明设计的方案如图①：他先在平地上选取一个可以直接到达、的点，然后连接和，接着分别延长和并且使，，最后连接，测出的长即可．小红的方案如图②：先确定直线，过点作的垂线，在上选取一个可以直接到达点的点，连接，在线段的延长线上找一点，使，测的长即可．你认为以上两种方案可以吗？请说明理由．

6．（2023春·江苏淮安·七年级淮阴中学新城校区校联考阶段练习）如图，点B、F、C、E存同一直线上，，、相交于点G，，垂足为B，，垂足为E，且，．

(1)求证：；(2)．题型02全等的性质和HL综合1．（2023春·河北保定·七年级统考期末）如图，在中，，平分，于，，．则的长是（

）

A． B． C． D．2（2023·全国·八年级专题练习）如图，在中，平分于，下列结论：①；②；③；④；⑤，

其中正确的个数为（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个3．（2023春·山东淄博·七年级统考期末）如图，是的角平分线，于点，，分别是边，上的点，，则度．

4．（2023春·陕西渭南·八年级统考期末）如图，在中，是角平分线，于点E，，则的值为．5．（2023秋·八年级课时练习）如图所示，平分，P是上一点，D是上一点，E是上一点，且．求证：．

6．（2023春·河北保定·八年级统考阶段练习）如图，为等腰直角三角形，，点D在上，点E在的延长线上，且．

(1)求证：；(2)若，求的度数．A夯实基础1．（2023春·江西景德镇·八年级统考期中）如图，已知，，．则的理由是（

）

A． B． C． D．2．（2023春·湖南永州·八年级校考期中）如图，，，垂足分别为、，且，则与全等的理由是（

）

A．SAS B．AAS C．SSS D．HL3．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，，要用“”判断和全等的条件是（

）A．， B．，C．， D．，4．（2023春·山东济南·八年级济南育英中学校考期中）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E为线段上一动点．若，当最小时，的面积是（）．A．15 B．30 C．45 D．605．（2023春·湖南常德·八年级常德市第五中学校联考期中）如图，，，，要根据“”证明，则还需要添加一个条件是．

6．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，已知，是的两条高线，，，则度．7．（2023秋·八年级课前预习）如图，已知，边的垂直平分线交与点D，连接，如果，，那么的周长等于．8．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝135°，则∠EDF＝．9．（2023秋·江苏·八年级专题练习）已知：如图，，，，．求证：．10．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，点，分别在，上，，，相交于点，．求证：．小虎同学的证明过程如下：证明：∵，∴．∵，∴．第一步又，，∴第二步∴第三步(1)小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误；(2)请写出正确的证明过程．B能力提升1．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，，垂足为C，且，若用“”证明，则需添加的条件是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·全国·八年级专题练习）在中，，是上的一点，且，过作交于，如果，则等于（）A． B． C． D．3．（2023春·山东泰安·七年级统考期末）如图，的外角的平分线与内角的平分线交与点P，若，则（

）

A． B． C． D．4．（2023春·福建龙岩·八年级统考期末）如图，在中，平分，交于点，若，则的长为（

）

A． B． C． D．5．（2023春·山东青岛·八年级统考期末）如图，，若要使与全等，则添加的条件可以是：．（写出一个条件即可）

6．（2023春·山东淄博·七年级统考期末）如图，是的角平分线，于点，，分别是边，上的点，，则度．

7．（2023春·陕西渭南·八年级统考期末）如图，在中，是角平分线，于点E，，则的值为．8．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，中，，AD平分交BC于点D，E为线段AC上一点，连接DE，且．若，，则AE的长为．

9．（2023春·山东济南·八年级校考阶段练习）如图，在中，，点E在上，点F在的延长线上，且，求的度数．

10．（2023春·宁夏银川·八年级校考期中）如图，于点E，于点F，若平分，．

(1)求证：；(2)请猜想与之间的数量关系，并给予证明．C综合素养1．（2023春·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，已知，垂足为，，，则可得到，理由是（

）A． B． C． D．2．（2023春·河南平顶山·八年级校考阶段练习）如图，点E是的中点，，，平分，下列结论：①；②；③；④．四个结论中成立的是（

）

A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③3．（2023·湖北宜昌·统考模拟预测）如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为和，则的面积为（）A． B． C． D．4．（2023春·四川成都·八年级校考期末）如图，在中，平分，交于D，点E、G分别在边、上，连接，．过D作于F．已知，，，则的面积为（

）

A．2 B．3 C．4 D．55．（2023秋·全国·八年级专题练习）和中，，，，、分别为、边的高，且，则的度数为．6．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，中，，平分交于点D，交的延长线于点E，交于点F．若，，则的长为．7．（2023·四川成都·校考三模）如图，在中，，按以下步骤作图：以点为圆心，以小于的长为半径作弧．分别交、于点、；再分别以点、为圆心．以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；连接，交于点．若，，则的长为．

8．（2023春·江苏苏州·七年级统考期末）如图，已知长方形中，，，点在边上，，点在线段上以的速度由点向点运动，到达点后马上折返，向点运动，点在线段上以的速度由C点向D点运动．点F、G同时出发，当一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动的时间为t秒．若以E，B，F为顶点的三角形和以F，C，G为顶点的三角形全等，则t=秒．

9．（2023春·山西运城·八年级统考期中）已知：如图，中，．

(1)【实践操作】尺规作图：①作的平分线，交于点D；②过点D作的垂线，交于点E；③在线段上求作一点F，使．（要求：保留作图痕迹，不写作法）(2)【灵活运用】在（1）