第二十二章二次函数考点大梳理

第二十二章二次函数考点大梳理考点1二次函数概念掌握二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．下列函数中，表示y是x的二次函数的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数，判定即可．【详解】解：A、，分母中含自变量，不是二次函数，故不符合题意；B、，符合二次函数的定义，故符合题意；C、，分母中含自变量，不是二次函数，故不符合题意；D、，不是整式函数，故不符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，二次函数的一般式是，其中．如果函数是二次函数，则m的值为．【答案】2【分析】由二次函数的定义进行计算，即可得到答案．【详解】解：∵是二次函数，∴，解得：，∴；故答案为：2．【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟记二次函数的定义进行解题．若函数是关于的二次函数，则．【答案】【分析】根据二次函数的基本形式列出方程与不等式求解即可．【详解】解：根据二次函数的定义，得：，解得m=2或m=2，又∵m2≠0，∴m≠2，∴当m=2时，这个函数是二次函数，故答案为：2．【点睛】本题考查二次函数的基本形式，解题的关键是熟知二次函数的特点．已知函数．（1）当为何值时，这个函数是关于的一次函数；（2）当为何值时，这个函数是关于的二次函数．【答案】（1）；（2）且．【分析】（1）根据一次函数的定义列出不等式组，然后求解即可；（2）根据一次函数的定义列出不等式，然后求解即可．【详解】解：（1）∵函数是一次函数，∴，解得：．即当时，这个函数是关于的一次函数．（2）函数是二次函数，∴，解得：且．即当且时，这个函数是关于的二次函数．【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的定义，掌握一次函数的一次项系数不能为0成为解答本题的关键．考点2二次函数y=a（xh）2+k的性质开口方向开口向上开口向下对称轴直线直线顶点（h，k）（h，k）增减性当x<h时，y随x的增大而减小；当x>h时，y随x的增大而增大当x<h时，y随x的增大而增大；当x>h时，y随x的增大而减小最值当x=h时，y有最小值k当x=h时，y有最大值k抛物线的顶点坐标是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二次函数顶点式的性质直接求解．【详解】解：抛物线的顶点坐标是故选：D．【点睛】本题考查二次函数性质其顶点坐标为，题目比较简单．抛物线的最大值为（

）A．4 B． C．5 D．【答案】D【分析】根据二次函数的顶点式的特点即可解答．【详解】解：∵，∴抛物线开口方向向下，对应函数有最大值．故选D．【点睛】本题主要考查了二次函数图像与性质，二次函数的对称轴为，顶点坐标为，当，函数有最大值k．已知抛物线，下列结论错误的是（

）A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而增大【答案】D【分析】由抛物线的顶点式逐项判断即可．【详解】解：由抛物线可知：，则抛物线开口向上；抛物线的对称轴为直线，抛物线的顶点坐标为；当时，y随x的增大而减小．∴当时，y随x的增大而增大是错误的．故选：D【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握抛物线的顶点式是解题的关键．关于二次函数，下列说法不正确的是（

）A．图象与y轴的交点坐标为 B．图象的对称轴在y轴左侧C．当时，y随x的增大而减小 D．函数的最小值为【答案】C【分析】根据二次函数的图象和性质求解即可．【详解】当时，∴图象与y轴的交点坐标为，故A选项正确；∵二次函数∴对称轴为，在y轴左侧，故B选项正确；∵二次项系数，开口向上，∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，故C选项错误；∴函数的最小值为，故D选项正确．故选：C．【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】把点的坐标分别代入抛物线解析式可求得，，的值，比较大小即可．【详解】解：∵，，是抛物线上的三点，∴，，，∵，∴，故选：A．【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．若，，为二次函数图像上的一点，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据二次函数图像与性质，二次函数图像开口向上，对称轴为，结合，，到对称轴的距离与开口方向即可得到结论．【详解】解：二次函数的开口向上，对称轴为，二次函数有最小值，且点到对称轴距离越近，函数值越小，到对称轴的距离为，到对称轴的距离为，到对称轴的距离为，即，，故选：A．【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，涉及求二次函数开口方向、对称轴等知识，掌握二次函数开口向上，有最小值，且点到对称轴距离越近，函数值越小是解决问题的关键．下列对二次函数的图像的描述中，不正确的是（

）A．抛物线开口向下 B．抛物线的对称轴是直线C．抛物线与y轴的交点坐标是 D．抛物线的顶点坐标是【答案】C【分析】根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．【详解】解：∵a=2<0，∴抛物线的开口向下，故选项A正确，不符合题意；∴对称轴为直线x=1，故选项B正确，不符合题意；当x=0时，，即抛物线与y轴的交点坐标是，故选项C错误，符合题意；顶点坐标为（1，3），故选项D正确，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标．熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．考点3二次函数y=ax2+bx+c的性质二次函数的图象与性质解析式二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）对称轴x=–顶点（–，）a的符号a>0a<0图象开口方向开口向上开口向下最值当x=–时，y最小值=当x=–时，y最大值=最点抛物线有最低点抛物线有最高点增减性当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小已知抛物线的对称轴为直线，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二次函数对称轴的公式可求出抛物线的对称轴为直线，求出的值即可．【详解】解：，对称轴为直线，解得，故选：D．【点睛】本题考查二次函数的性质，熟记公式是解题关键．已知，是抛物线上的点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可．【详解】解：抛物线，图象开口向下，对称轴是直线，当时，随的增大而增大，∵，是抛物线上的点，且，，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．抛物线经过三点，则的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据抛物线解析式得到抛物线开口向上，对称轴为直线，则离对称轴越远，函数值越大，由此即可得到答案．【详解】解：∵抛物线解析式为，∴抛物线开口向上，对称轴为直线，∴离对称轴越远，函数值越大，∵，∴，故选B．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，正确理解题意得到离对称轴越远，函数值越大是解题的关键．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由于，，是抛物线上三个点的纵坐标，所以可以根据二次函数的性质进行解答：先求出抛物线的对称轴，再由对称性得点关于对称轴的对称点的坐标，再根据抛物线开口向上，在对称轴右边，y随x的增大而增大，便可得出，，的大小关系．【详解】解：∵抛物线，∴对称轴为，∵，∴点关于的对称点，∵，∴在的右边随的增大而增大，∵，，，，∴，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，解题的关键掌握二次函数的增减性比较二次函数值的大小．若抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过A（4，0），O（0，0），B（﹣2，y1），C（2，y2）四点，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定【答案】C【分析】由已知可得抛物线与x轴交于A（4，0）、O（0，0）两点，开口向下，对称轴为x＝2，然后根据二次函数的性质即可得到结论．【详解】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过A（4，0），O（0，0），∴抛物线开口向下，对称轴为x＝＝2，∴当x≤2时，y随x的增大而增大，∵﹣2＜2，∴y1＜y2．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的增减性．当二次项系数a＞0时，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；a＜0时，在对称轴的左边，y随x的增大而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减小．抛物线的对称轴和顶点坐标分别是（

）A． B．，)C．， D．【答案】A【分析】把抛物线化为顶点式即可得到答案．【详解】解：由题意得，，由顶点式的性质可得，对称轴为，顶点为，故答案为A．【点睛】本题考查抛物线解析式之间的转变及性质，解题关键是解析式间转变及熟知对称轴，顶点的性质．把二次函数用配方法化成的形式（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】根据配方法的步骤换成顶点式即可．【详解】．故选C．【点睛】本题考查顶点式的转换,关键在于熟练掌握配方法．二次函数的顶点坐标是．【答案】【分析】将解析式化为顶点式即可顶点答案．【详解】解：∵，∴二次函数的顶点坐标是，故答案为：．【点睛】此题考查二次函数的一般式化为顶点式的方法，顶点式解析式中各字母的意义，正确转化解析式的形式是解题的关键．考点4二次函数与一次函数图象共坐标系判断判断一次函数与二次函数图象的问题关键在于掌握数形结合的思想，通过图象可以逐一去判断一次函数及二次函数的系数关系．函数y＝ax－a和（a为常数，且），在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】先根据的顶点坐标为判断A，B不符合题意，再由C，D中的二次函数的图象判断则从而可得答案．【详解】解：由的顶点坐标为故A，B不符合题意；由C，D中二次函数的图象可得：函数y＝ax－a过一，二，四象限，故C符合题意，D不符合题意，故选C【点睛】本题考查的是一次函数与二次函数的图象共存的问题，掌握“一次函数与二次函数的图象与性质”是解本题的关键．下列四个选项中，函数y＝ax+a与y＝ax2（a≠0）的图象表示正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题目中的函数解析式，讨论a＞0和a＜0时，两个函数的函数图象，从而可以解答本题．【详解】解：当a＞0时，y=ax2的图象是抛物线，顶点在原点，开口向上，函数y=ax+a的图象是一条直线，在第一、二、三象限，当a＜0时，y=ax2的图象是抛物线，顶点在原点，开口向下，函数y=ax+a的图象是一条直线，在第二、三、四象限，故选项A、C、D错误，选项B正确，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．在同一平面直角坐标系中，函数和函数（m是常数，且)的图象可能是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据函数图象判断两个值，函数的图象是否正确即可得到答案．【详解】解：A、根据函数图象可知：一次函数解析式中，二次函数解析式中，两者符号相同，但根据，得抛物线的对称轴应在轴的右侧，与图象不符，故该选项不符合题意；B、根据函数图象可知：一次函数解析式中，二次函数解析式中，故该选项不符合题意；C、根据函数图象可知：一次函数解析式中，二次函数解析式中，两者符号相同，但根据，得抛物线的对称轴应在轴的左侧，与图象不符，故该选项不符合题意；D、根据函数图象可知：一次函数解析式中，二次函数解析式中，两者符号相同，根据，得抛物线的对称轴应在轴的右侧，与图象相符，故该选项符合题意；故选：D．【点睛】此题考查一次函数与二次函数的图象性质，根据图象判断函数解析式中字母的取值，正确理解函数图象是解题的关键．函数和（a是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（

）A．B． C．D．【答案】B【分析】先求出二次函数的对称轴，再分和两种情况，分别得出函数和的图象的大致形状，即可作答．【详解】根据可得：函数的对称轴为：，当时，二次函数的图象开口向上，抛物线在y轴左侧，一次函数的图象交于y轴的负半轴，图象经过第一、三、四象限；当时，二次函数的图象开口向下，抛物线在y轴右侧，一次函数的图象交于y轴的正半轴，图象经过第一、二、四象限；根据上述结果：可知A、C、D三项所画图象均有相互矛盾的地方，只有选项B符合题意，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴符号与系数符号的关系等．已知抛物线和直线在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由二次函数图像得到字母系数的正负，再与一次函数的图像相比较看是否一致，逐一判断即可．【详解】解：A．由二次函数图象的开口方向可知，根据对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，，此时直线应经过一、二、四象限，与图中一次函数图象不一致，故可排除；B．由二次函数图象的开口方向可知，根据对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，，此时直线应经过一、二、四象限，与图中一次函数图象不一致，故可排除；C．由二次函数图象的开口方向可知，根据对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，，此时直线应经过一、三、四象限，与图中一次函数图象不一致，故可排除；D．由二次函数图象的开口方向可知，根据对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，，此时直线应经过一、三、四象限，与图中一次函数图象一致，符合要求；故选D．【点睛】本题主要考查一次函数、二次函数图像与系数的关系，解题的关键是能够根据函数图象判断解析式中系数的正负．一次函数与二次函数在同一坐标系的图像可能是（

）A．B． C． D．【答案】C【分析】先由二次函数的图像得到字母系数的正负，再与一次函数的图像相比较看是否一致．【详解】解：A、由抛物线可知，，，，而一次函数中，，故本选项不符合题意；B、由抛物线可知，，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意；C、由抛物线可知，，，，由直线可知，，，故本选项符合题意；D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查二次函数和一次函数的图像与系数的关系，解题的关键是明确一次函数和二次函数的性质．在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致可能为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先判断二次函数与轴交于，再根据一次函数的经过的象限判断和的正负，通过和的正负判断二次函数的开口方向和与轴的交点位置即可求解．【详解】解：由可知二次函数图象与轴交于观察选项A和选项B的一次函数经过一二三象限，可得，若，，则二次函数开口方向向上，与轴的交点在负半轴，故选项A和选项B错误；观察选项C和选项D的一次函数经过一二四象限，可得，若，，则二次函数开口方向向下，与轴的交点在负半轴，故选项C错误，选项D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的图象的综合题，熟知一次函数图象与系数的关系，和二次函数图象与系数的关系是解题的关键．下列各图是在同一直角坐标系内，二次函数与一次函数的大致图象，有且只有一个正确的，正确的是(

)A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意和二次函数与一次函数的图象的特点，可以判断哪个选项符合要求，从而得到结论．【详解】令，解得，，∴二次函数与一次函数的交点为，选项A中二次函数中，而一次函数中，故选项A不符题意，选项B中二次函数中，而一次函数中，故选项B不符题意，选项C中二次函数中，而一次函数中故选项C不符题意选项D中二次函数中，一次函数中，交点符合求得的交点的情况，故选项D符合题意．故选D．【点睛】本题考查一次函数的图象、二次函数的图象，数形结合是解答本题的关键．考点5二次函数图象与系数关系二次函数图象的特征与a，b，c的关系字母的符号图象的特征aa>0开口向上a<0开口向下bb=0对称轴为y轴ab>0（a与b同号）对称轴在y轴左侧ab<0（a与b异号）对称轴在y轴右侧cc=0经过原点c>0与y轴正半轴相交c<0与y轴负半轴相交b2–4acb2–4ac=0与x轴有唯一交点（顶点）b2–4ac>0与x轴有两个交点b2–4ac<0与x轴没有交点若二次函数（）的图象于x轴的交点坐标分别为，，且，图象上有一点在x轴下方，对于以下说法：①；②是方程的解；③④；⑤或，其中正确的有（）A．①② B．①②④ C．①②⑤ D．①②④⑤【答案】B【分析】根据抛物线与x轴有两个不同的交点，根的判别式，再分和两种情况对③④⑤选项讨论即可得解．【详解】①∵二次函数（）的图象于x轴的交点坐标分别为，，且，∴方程有两个不相等的实数根，∴，①正确；②∵图象上有一点，∴，∴是方程的解，②正确；③当时，∵在x轴下方，∴；当时，∵在x轴下方，∴或，③错误；④∵二次函数（）的图象于x轴的交点坐标分别为，，∴，∵图象上有一点在x轴下方，∴，④正确；⑤根据③即可得出⑤错误．综上可知正确的结论有①②④．故选：B【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数图象与系数的关系，解题的关键是根据二次函数的相关性质逐一分析四条结论的正误．已知二次函数的图像如图所示，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（）个A． B． C． D．【答案】C【分析】观察图像，可知开口向下，与轴交于正半轴，对称轴，图像与轴有个不同的交点，当时，，由此即可求解；【详解】解：①图像开口向下，与轴交于正半轴，∴，，∴，故①正确；②∵对称轴，∴，，∴，∴，故②正确．③图像与轴有个不同的交点，依据根的判别式可知，故③错误．④当时，，∴，故④错误；故选：．【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，理解并掌握二次函数中二次项系数，一次项系数，常数项与图像的位置关系是解题的关键．已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数）其中正确的结论有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】根据二次函数的图像与性质逐项判断即可．【详解】解：①由图象可知，抛物线开口向下，即，对称轴为，∴，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴，∴，故①错误；②当时，，即，故②错误；③由对称性知，当时，函数值大于0，∴，故③正确；④当时，函数值小于0，∴，∵，∴，∴，即，故④正确；⑤当时，y有最大值，此时，当时，，∴，∴，即（的实数）．故⑤正确．综上所述，正确的结论有3个．故选B．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图像和系数的关系．抛物线的对称轴是直线，且过点顶点位于第二象限，其部分图象如图所示给出以下判断：①，且；②；③；④；⑤直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，，则．其中正确的个数为（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据二次函数的图象和性质一一判断即可．【详解】∵抛物线对称轴，经过点，∴，，∴，∵，∴，∴且，故①错误，∵抛物线对称轴，经过，∴和关于对称轴对称，∴时，，∴，故②正确，∵抛物线与x轴交于，∴时，，∴，∵，∴，即，故③错误，∵，，∴，故④正确，∵直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，∴方程的两个根分别为，∴，，∴，故⑤正确，正确的个数为3个．故选：C．【点睛】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．二次函数的图像如图所示，下列说法：；当时，；若、在函数图像上，当时，；；，其中错误的个数有（

）个．

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据抛物线的对称轴判断，由图像判断，根据抛物线的性质判断，根据时，判断，根据已知条件可判断，由此即可求解．【详解】解：根据题意，的图像开口向上，与轴的交点为，，与轴的交点在的负半轴上，∴，对称轴为，，∴由图像可知，抛物线的对称轴是直线，，即，正确；由图像可知，当时，，错误；在对称轴左侧，当时，；在对称轴右侧，当时，，错误；当时，，，正确；，，，即，，正确；故选：．【点睛】本题考查的是二次函数图像与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点抛物线与轴交点的个数确定，掌握二次函数图像的性质是解题的关键．如图，二次函数图像的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图像给出下列结论：①；②；③；④关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；⑤若点，均在该二次函数图像上，则．其中正确结论的个数是（

）

A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根据抛物线的对称轴、开口方向、与y轴的交点确定a、b、c的正负，即可判定①和②；将点代入抛物线解析式并结合即可判定③；运用根的判别式并结合a、c的正负，判定判别式是否大于零即可判定④；判定点，的对称轴为，然后根据抛物线的对称性即可判定⑤．【详解】解：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，，∵抛物线的对称轴为直线，∴，即，即②错误；∴，即①正确，二次函数图像的一部分与x轴的一个交点坐标为，即，故③正确；∵关于x的一元二次方程，，，∴，，∴无法判断的正负，即无法确定关于x的一元二次方程的根的情况，故④错误；∵∴点，关于直线对称∵点，均在该二次函数图像上，∴，即⑤正确；综上，正确的为①③⑤，共3个故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的的性质及图像与系数的关系，能够从图像中准确的获取信息是解题的关键．考点6二次函数图象的平移1．将抛物线解析式化成顶点式y=a（x–h）2+k，顶点坐标为（h，k）．:2．保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下：3．注意二次函数平移遵循“左加右减（自变量），上加下减（常数项）”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线的解析式为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先根据抛物线的顶点式得到抛物线的顶点坐标为，则抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的顶点坐标为，然后再根据顶点式即可得到平移后抛物线的解析式．【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，∴抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的顶点坐标为，∴平移后抛物线的解析式为．故选：D．【点睛】此题考查了二次函数的图象与几何变换，解题的关键是熟练掌握二次函数的平移规律：上加下减,，左加右减．将拋物线经过下面的平移可得到拋物线的是（

）A．向左平移3个单位长度，向上平移4个单位长度B．向左平移3个单位长度，向下平移4个单位长度C．向右平移3个单位长度，向上平移4个单位长度D．向右平移3个单位长度，向下平移4个单位长度【答案】A【分析】根据二次函数的平移方式“左加右减，上加下减”可进行求解．【详解】解：将抛物线经过先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到抛物线；故选：A．【点睛】本题主要考查二次函数的平移，熟练掌握二次函数的平移是解题的关键．将抛物线向右平移1个单位长度，向上平移2个单位，所得到的的抛物线的解析式为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先将函数解析式化为顶点式，然后根据“上加下减，左加右减”进行变换即可得．【详解】解：化为顶点式为：，向右平移1个单位，向上平移两个单位为：，∴平移后的函数解析式为：，故选：C．【点睛】题目主要考查二次函数一般式化为顶点式，二次函数的平移，熟练掌握平移规律是解题关键．把二次函数的图象先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的新抛物线的顶点坐标是．【答案】【分析】利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得到新的函数关系式，即可求出新抛物线的顶点坐标．【详解】解：二次函数的图象先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的新抛物线，新抛物线的解析式为：，新抛物线的顶点坐标是，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象得平移，解题关键是掌握二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减．抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的顶点坐标是．【答案】（3，5）【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标即可．【详解】解：抛物线的顶点坐标为（1，2），∵将抛物线y=（x1）2+2再向右平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（3，5）．故答案为：（3，5）．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．抛物线先向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度后的顶点坐标为．【答案】【分析】先求出抛物线的顶点，然后将顶点对应平移得到平移后顶点的坐标．【详解】抛物线的顶点为(0，0)则将顶点向左平移4个单位后得到(－4，0)再向下平移1个单位后得到(－4，－1)故答案为：(－4，－1)【点睛】本题考查求抛物线的顶点和抛物线的平移，本题还可以先通过平移，得出平移后函数解析式，然后再求解平移后解析式的顶点坐标．考点7二次函数与一元二次方程的关系若二次函数y=ax2+1的图象经过点（2，0），则关于x的方程a（x2）2+1=0的实数根为（）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】二次函数y=ax2+1的图象经过点（2，0），得到4a+1=0，求得a=，代入方程a（x2）2+1=0即可得到结论．【详解】解：∵二次函数y=ax2+1的图象经过点（2，0），∴4a+1=0，∴a=，∴方程a（x2）2+1=0为：方程（x2）2+1=0，解得：x1=0，x2=4，故选：A．【点睛】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的解，正确的理解题意是解题的关键．关于的二次函数的图像过原点，则的值为（

）A． B．3 C． D．0【答案】A【分析】根据题意，关于的二次函数的图像过原点，将坐标代入可得且，解得，从而得到答案．【详解】解：关于的二次函数的图像过原点，将坐标代入可得，且二次函数定义知，，故选：A．【点睛】本题考查二次函数定义、二次函数图像与性质，根据题意得到且是解决问题的关键．若抛物线与轴没有交点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意得令，得，则，即可解得答案．【详解】解：根据题意得令，∴，∴，，，∴，解得．故选：D．【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：对于二次函数（，，是常数，），令后，得到关于的一元二次方程，的情况决定了一元二次方程根的情况，相应的决定了抛物线与轴的交点个数．已知函数的图像与坐标轴恰有两个公共点，则实数的值为（

）A．或 B． C．或 D．或【答案】C【分析】函数的图像与坐标轴恰有两个公共点，可分两种情况讨论：过坐标原点，则有；与轴、轴各有一个交点，即当时，，且．求解即可获得答案．【详解】解：函数的图像与坐标轴恰有两个公共点，则，两种情况讨论：①对称轴为直线，当函数图像经过坐标原点时，则有，解得；②与轴、轴各有一个交点，则该函数图像与轴只有一个交点，即：，，且，∴，解得或．综上所述，实数的值为1或．故选：C．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图像与轴交点问题，解题关键是掌握函数图像与坐标轴恰有两个公共点的情况，分情况讨论避免遗漏．已知抛物线与经过点（m，1），则代数式m²m+2019的值为．【答案】2021【分析】将代入的，然后整体代入代数式求解即可．【详解】解：∵抛物线经过点∴，即∴=2+2019=2021．故答案为：2021．【点睛】本题主要考查了二次函数图像上的点和代数式求值，掌握二次函数图像上的点满足函数解析式以及整体思想的运用成为解答本题的关键．若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则抛物线与轴的交点坐标为．【答案】，【分析】根据一元二次方程的根即为函数与轴交点的横坐标解答即可．【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，∴抛物线与轴的交点坐标为，，故答案为：，．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与二次函数的关系，熟知一元二次方程的根即为函数与轴交点的横坐标是解答本题的关键．抛物线与轴交点坐标为．【答案】【分析】令，求出x的值，进而抛物线与x轴的交点坐标．【详解】解：令，即，解得则抛物线与x轴的交点坐标为,故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，是基础题，掌握抛物线与坐标轴的交点的求法是解题的关键．二次函数的图象与轴交点坐标是．【答案】【分析】令，求出对应的函数值y，即可解答．【详解】解：当时，，∴二次函数的图象与轴交点坐标是．故答案为：．【点睛】本题考查了求二次函数图象与y轴的交点坐标．掌握求抛物线与y轴交点坐标的方法是解题的关键．如图，二次函数的图象的顶点的坐标为，与轴交于，，根据图象回答下列问题：(1)写出方程的根；(2)若方程有实数根，写出实数的取值范围．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由一元二次方程的根是二次函数的图象与x轴交点的横坐标可得答案；（2）方程有实数根，则抛物线与直线有交点，结合抛物线的顶点坐标为可得答案．【详解】（1）解：∵方程的根是二次函数的图象与轴交点的横坐标，∴方程的根为，；（2）解：∵方程有实数根，∴抛物线与直线有交点，由函数图象可知．【点睛】本题考查二次函数的图象，要熟记以下内容：（1）一元二次方程的根是抛物线与x轴交点的横坐标；（2）方程的解是抛物线与直线交点的横坐标．考点8二次函数与不等式二次函数与不等式（组）：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（

）A． B．或 C．或 D．【答案】D【分析】根据抛物线的对称轴为得到另一个交点为，结合图象即可求出时的取值范围．【详解】解：根据抛物线的图像可知：抛物线的对称轴为，抛物线与轴的一个交点为，根据对称性，另一个交点为，当时，的取值范围为：，故选：D．【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，根据二次函数的的对称轴与对称性，找出抛物线与轴的另一个交点是解题的关键．已知点P（x，y）在二次函数y=2（x+1）2﹣3的图象上，当﹣2＜x≤1时，y的取值范围是．【答案】﹣3≤y≤5【分析】首先根据顶点式可得抛物线的对称轴与最小值，然后分别将x=2，x=1代入解析式，求得y的值，即可判断y的取值范围．【详解】解：∵二次函数y=2（x+1）2﹣3，∴该函数对称轴是直线x=﹣1，当x=﹣1时，取得最小值，此时y=﹣3，∵点P（x，y）在二次函数y=2（x+1）2﹣3的图象上，当x=2时，当x=1时，∵∴当﹣2＜x≤1时，y的取值范围是：﹣3≤y≤5，故答案为：﹣3≤y≤5．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．如图是抛物线的一部分，其对称轴为直线，若其与x轴一交点为，则由图象可知，不等式的解集是．【答案】或【分析】由抛物线与x轴的一个交点（3，0）和对称轴x=1可以确定另一交点坐标为（1，0），又＞0时，图象在x轴上方，由此可以求出x的取值范围．【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点（3，0）而对称轴x＝1∴抛物线与x轴的另一交点（﹣1，0）当＞0时，图象在x轴上方此时x＜﹣1或x＞3故答案为x＜﹣1或x＞3．【点睛】本题考查的是二次函数与不等式的关系，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后由图象找出当y＞0时，自变量x的范围，本题锻炼了学生数形结合的思想方法．二次函数y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，由图象可知，不等式﹣x2+bx+c＜0的解集为．【答案】x<−1或x>5．【分析】先利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（1，0），然后写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可．【详解】解：抛物线的对称轴为直线x=2，而抛物线与x轴的一个交点坐标为(5，0)，所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为(−1，0)，所以不等式−x2+bx+c<0的解集为x<−1或x>5．故答案为x<−1或x>5．【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，二次函数与不等式之间的关系，解题的关键是正确理解图象的性质．直线与抛物线的图象如图，当时，的取值范围为【答案】或/或【分析】根据函数图象写出直线在抛物线上方部分的的取值范围即可．【详解】解：∵直线与抛物线的图象交点的横坐标分别为，∴当时，的取值范围为：或，故答案为：或．【点睛】本题考查了根据函数图象求不等式的解集，数形结合是解题的关键．已知，则当时，的取值范围是【答案】/【分析】先化为顶点式，根据开口方向以及顶点坐标求得最大值为1，抛物线的对称轴可得，当时取得最小值，即可求解．【详解】解：∵∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，开口向下，∴当时，有最大值，最大值为1当时，当时，取得最小值，最小值为，∴当时，的取值范围是，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握是二次函数的性质解题的关键．已知二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为和，求当时，x的取值范围为.【答案】或/或【分析】根据抛物线开口向上，图象与轴的两个交点的横坐标分别为和，即可求解．【详解】解：∵二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为和，抛物线开口向上，∴当时，x的取值范围为或，故答案为：或．【点睛】本题考查了根据抛物线与坐标轴的交点确定不等式的解集，掌握二次函数的性质是解题的关键．已知抛物线的部分图象如图所示，根据函数图象可知，当y＞0时，x的取值范围是．【答案】【分析】根据抛物线的对称轴以及抛物线与x轴的一个交点，确定抛物线与x轴的另一个交点，再结合图象即可得出答案．【详解】解：根据二次函数图象可知：抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为（1,0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（3,0），结合图象可知，当y＞0时，即x轴上方的图象，对应的x的取值范围是，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数与不等式的问题，解题的关键是通过图象确定抛物线与x轴的另一个交点，并熟悉二次函数与不等式的关系．如图，一次函数与二次函数的图象相交于、两点，则关于的不等式的解集为．【答案】或【分析】由求关于的不等式的解集，即求一次函数的图象在二次函数的图象下方时（包括交点），x的取值范围，再结合图象即可得解．【详解】解：∵求关于的不等式的解集，即求一次函数的图象在二次函数的图象下方时（包括交点），x的取值范围，又∵结合图象可知当和时，一次函数的图象在二次函数的图象下方，∴关于的不等式的解集为或．故答案为：或．【点睛】本题考查根据交点确定不等式的解集．利用数形结合的思想是解题关键．如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是．【答案】或【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以得到不等式的解集，本题得以解决．【详解】解：∵抛物线与直线交于两点，∴的解集是或，∴的解集是或，故答案为：或．【点睛】本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，通过图象求解．考点9待定系数法求函数解析式二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．（2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．（3）交点式：，其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．在平面直角坐标系中，抛物线经过点．(1)求这条抛物线的解析式．(2)直接写出抛物线的顶点坐标．【答案】(1)(2)【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；（2）先求解抛物线顶点的横坐标，再代入抛物线求解纵坐标即可得出答案．【详解】（1）解：∵抛物线经过点∴解得：∴抛物线的解析式为：．（2）由（1）知：抛物线的解析式为，当时，，∴抛物线与x轴的顶点坐标为：．【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，顶点坐标，熟练掌握待定系数法求抛物线解析式的一般步骤，是解题的关键．已知抛物线交轴于，两点，，为抛物线上不与，重合的相异两点，记中点为．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若，，且，求证：，，三点共线．【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）利用待定系数法，构建方程组求解；（2）求出直线都是解析式，再判断出点的坐标，可得结论．【详解】（1）解：因为抛物线经过点，，所以，解得：，所以抛物线的函数表达式为；（2）证明：设直线对应的函数表达式为，因为为中点，所以．又因为，所以，解得，所以直线对应的函数表达式为．因为点在抛物线上，所以．解得，或．又因为，所以，所以．因为，即满足直线对应的函数表达式，所以点在直线上，即，，三点共线．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查一次函数和二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，已知二次函数的顶点坐标为，且经过点，求该二次函数的解析式；【答案】【分析】根据二次函数的顶点坐标，设出二次函数的顶点式，再把代入解析式，解出即可得出答案．【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为，∴设二次函数的解析式为，又∵二次函数经过点，∴把代入解析式，可得：，整理，可得：，解得：，∴二次函数的解析式为，即．【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．已知二次函数的图象经过点，．求二次函数的解析式．【答案】【分析】根据点在抛物线上，点的坐标满足方程的关系，将，代入得方程组，求解即可．【详解】解：∵二次函数的图象经过点，，∴，解得：，∴二次函数的解析式为．【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法，准确计算．已知抛物线的顶点坐标是（3，2），且经过点（1，2）．求这条抛物线的解析式．【答案】y=（x3）2+2【详解】试题解析：抛物线的顶点坐标是,设抛物线解析式为把代入得，解得所以抛物线解析式为点睛：抛物线常见的有三种形式：一般式顶点式交点式根据题意选择合适的形式,可以简化运算.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(−1，0)和点B(0，3)，对称轴为直线x=1．（1）求该二次函数的解析式；（2）若0≤x≤4求函数y的取值范围；（3）点C为点B关于抛物线对称轴的对称点，直线y=mx+n经过A、C两点，根据图像直接写出满足ax2+bx+c>mx+n的x的取值范围．【答案】（1）y=x2+2x+3；（2）5≤y≤4；（3）1<x<2．【分析】（1）把A点和B点坐标代入y=ax2+bx+c得到两个方程，再加上对称轴方程即可得到三元方程组，然后解方程组求出a、b、c即可得到抛物线解析式，再把解析式配成顶点式即可得到顶点坐标；（2）先分别计算出x为0和4时的函数值，然后根据二次函数的性质写出对应的函数值的范围；（3）根据点C与点B关于该二次函数图象的对称轴对称，或求得C点坐标，再根据函数图象可以直接写出满足不等式ax2+bx+c＞mx+n的x的取值范围．【详解】解：（1）根据题意得，解得，所以二次函数关系式为y=x2+2x+3；（2）因为y=（x1）2+4，所以抛物线的顶点坐标为（1，4），当x=0时，y=3；x=4时，y=5；而抛物线的顶点坐标为（1，4），且开口向下，所以当0≤x≤4时，5≤y≤4；（3）∵B（0，3），点C与点B关于该二次函数图象的对称轴对称，∴点C（2，3），由图象可知，不等式ax2+bx+c＞mx+n的x的取值范围：1<x<2．【点睛】本题考查二次函数与不等式、待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质,解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a，c是常数，a≠0）经过A（﹣1，﹣2），B（1，﹣6）．(1)求抛物线y＝ax2+bx﹣3的函数解析式；(2)抛物线有两点M（2，y1）、N（m，y2），当y1＜y2时，求m的取值范围．【答案】(1)y＝﹣x2﹣2x﹣3(2)﹣4＜m＜2【分析】（1）把A（﹣1，﹣2），B（1，﹣6）代入y＝ax2+bx﹣3可求出a、b的值，即可确定二次函数关系式；（2）先确定出抛物线对称轴x＝﹣1，进而得出点M的对称点的坐标，即可得出结论．【详解】（1）把A（﹣1，﹣2），B（1，﹣6）代入y＝ax2+bx﹣3得，解得，∴抛物线的关系式为y＝﹣x2﹣2x﹣3；（2）∵y＝﹣x2﹣2x﹣3，∴抛物线开口向下，对称轴直线x＝＝﹣1，∴由图象上取抛物线上点Q，使Q与N关于对称轴x＝﹣1对称，∴点M（2，y1）关于对称轴x＝﹣1的对称点为（﹣4，y1），又∵N（m，y2）在抛物线图象上的点，且y1＜y2，∴﹣4＜m＜2．【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的关系式，抛物线的对称性，抛物线的增减性，熟知待定系数法是解题的关键．已知二次函数的图象经过点和．（1）试确定该二次函数的表达式；（2）试判断点是否在该二次函数的图象上．【答案】（1）．（2）点不在该二次函数的图象上，见解析．【分析】（1）把点和代入二次函数解析式求解即可；（2）把x=3代入（1）中解析式求解y，然后判断即可．【详解】解：（1）根据题意得：，解得，∴二次函数的表达式是；（2）∵当时，，∴点不在该二次函数的图象上．【点睛】本题主要考查待定系数法求解函数解析式，熟练掌握待定系数法求解函数表达式是解题的关键．在平面直角坐标系中，函数的图像经过点求的值；求该函数图像的顶点坐标和对称轴；自变量在什么范围内时，随着的增大而增大？【答案】；顶点坐标（1，4），对称轴为；【分析】(1)函数的图像经过点代入求解即可；(2)把代入配方为顶点式，利用顶点坐标定义，和对称轴公式即可求出；(3)由，开口向下，在对称轴左侧随着的增大而增大，自变量时，随着的增大而增大．【详解】解:(1)函数的图像经过点，则，；(2)，该函数图像的顶点坐标(1,4),对称轴x=1；(3)∵，开口向下，在对称轴左侧随着的增大而增大，∴自变量时，随着的增大而增大．【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，抛物线的顶点与对称轴，二次函数的性质，掌握定系数法求二次函数解析式，抛物线的顶点与对称轴，二次函数的性质是解题关键．抛物线经过，两点，求抛物线的解析式．【答案】【分析】将点，代入解析式，待定系数法求解析式即可求解．【详解】解：∵抛物线经过，两点，∴，解得，∴抛物线的解析式为．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，掌握待定系数法求解析式是解题的关键．已知二次函数的图象经过点（0，5）、（1，﹣1）、（2，﹣3）三点（1）求二次函数的关系式；（2）求出函数的顶点坐标，与x轴的交点坐标．【答案】（1）y=2x2﹣8x+5；（2）顶点坐标为（2，﹣3），坐标为（2+，0）与（2﹣，0）．【详解】试题分析：（1）设出二次函数解析式，将三点坐标代入确定出即可；（2）利用二次函数性质确定出顶点坐标，以及与x轴交点坐标即可．试题解析：（1）设二次函数解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），把（0，5）、（1，﹣1）、（2，﹣3）三点代入得：，解得：，则二次函数解析式为y=2x2﹣8x+5；（2）y=2x2﹣8x+5=2（x﹣2）2﹣3，令y=0，得到x=2±，则二次函数顶点坐标为（2，﹣3），与x轴交点坐标为（2+，0）与（2﹣，0）．考点：待定系数法求二次函数解析式．根据条件求二次函数的解析式：（1）抛物线的顶点坐标为，且与轴交点的坐标为，（2）抛物线上有三点求此函数解析式．【答案】（1）

（2）【分析】（1）设抛物线解析式为，根据待定系数法求解即可．（2）设抛物线的解析式为，根据待定系数法求解即可．【详解】（1）∵抛物线的顶点坐标为∴设抛物线解析式为将代入中解得故抛物线解析式为．（2）设抛物线的解析式为将代入中解得故抛物线解析式为．【点睛】本题考查了抛物线解析式的问题，掌握待定系数法是解题的关键．考点10二次函数与几何图形如图，已知抛物线（常数）与轴分别交于点和点与轴交于点轴交抛物线于点作直线和甲、乙、丙三人的说法如下：甲：若则点的坐标为=乙：若则的值有两个，且互为倒数．丙：若点Q′是直线上一点，点到直线PQ′的最大距离为．下列判断正确的是（）A．甲对，乙和丙错 B．乙对，甲和丙错C．甲和丙对，乙错 D．甲、乙、丙都对【答案】C【分析】甲：先求出点坐标得出的纵坐标为再把代入求出即可判断；乙：先求出的值，再根据得出Q的坐标，然后把点坐标代入抛物线解析式1得出关于的一元二次方程，解方程求出的值，从而判断乙；丙：根据得出四边形是平行四边形，从而求出坐标，然后用待定系数法求出的解析式，由点是直线上的一点，点到直线的最大距离就是时，即最大距离为从而判断丙．【详解】解：甲：当时，∴的坐标为轴，的纵坐标为的坐标为∴当时，的坐标为故甲正确；乙：令，则把点坐标代入抛物线解析式得：整理得解得故乙错误；丙：∴四边形是平行四边形，∴PQ＝MO＝2，设直线的解析式∴直线的解析式：∵点是直线上的一点，∴点到直线的最大距离为点到直线的最大距离为故丙正确．故选：【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，平行四边形的性质，关键是对二次函数性质的掌握和运用．已知如图，在正方形ABCD中，点A、C的坐标分别是（﹣1，5）（2，0），点D在抛物线的图像上，则k的值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用正方形的性质得出各边长，进而利用勾股定理得出DO的长，即可得出C点坐标，代入即可得出k的值．【详解】作DM⊥x轴于M，AN⊥DM于N，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，AD＝DC，∴∠ADN+∠CDM＝90°＝∠CDM+∠DCM，∴∠ADN＝∠DCM，∵∠AND＝∠DMC＝90°，∴△ADN≌△DCM（AAS），∴AN＝DM，DN＝CM，设D（a，b），∵点A、C的坐标分别是（﹣1，5）（2，0），∴，解得，∴D（3，4），∵D在抛物线的图像上，∴+3k＝4，∴k=，故选：B．【点睛】此题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，二次函数图像上点的坐标特点，得出D点坐标是解题关键．如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，交y轴于点D，根据正方形的性质可知，然后可得点，进而代入求解即可．【详解】解：连接，交y轴于点D，如图所示：

当时，则，即，∵四边形是正方形，∴，，∴点，∴，解得：，故选B．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及正方形的性质是解题的关键．如图，抛物线与轴交于、两点，是以点（0,3）为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连结.则线段的最大值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据抛物线解析式可求得点A（4,0），B（4,0），故O点为AB的中点，又Q是AP上的中点可知OQ=BP，故OQ最大即为BP最大，即连接BC并延长BC交圆于点P时BP最大，进而即可求得OQ的最大值．【详解】解：连结BP，∵抛物线与轴交于A、两点，当y=0时，，解得，∴A（4,0），B（4,0），即OA=4，在直角△COB中，BC=，∵Q是AP上的中点，O是AB的中点，∴OQ为△ABP中位线，即OQ=BP，又∵P在圆C上，且半径为2，∴当B、C、P共线时BP最大，即OQ最大，此时BP=BC+CP=5+2=7，OQ=BP=．故选择C．【点睛】本题考查了勾股定理求长度，二次函数解析式求点的坐标及线段长度，中位线，点到圆上最长的距离，解本题的关键是将求OQ最大转化为求BP最长时的情况．如图，边长为2的正方形ABCD的中心在直角坐标系的原点O，AD∥x轴，以O为顶点且过A、D两点的抛物线与以O为顶点且经过B、C两点的抛物线将正方形分割成几部分，则图中阴影部分的面积是．【答案】2【详解】：根据图示及抛物线、正方形的性质，S阴影=S正方形=×2×2=2．故答案为2二次函数的图像如图所示，点位于坐标原点，点、、……在轴的正半轴上，点、、……在二次函数位于第一象限的图像上，若、……都是等边三角形，则点的坐标为．

【答案】【分析】根据题意分别过点，，作轴的垂线，再设，，，根据等边三角形的性质，根据题意可得出，，的坐标表达式，代入抛物线中即可求出坐标，根据规律即可求出答案．【详解】解：如图，分别过点，，作轴的垂线，

垂足为分别为、、，设，，，则，，，在等边三角形中，，代入中，得，解得，即，在等边三角形中，，代入中，得，解得，即，在等边三角形中，，代入中，得，解得，即，依此类推由此可得，故故答案为：．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意列出等式计算图象上点的坐标，根据坐标类推是解决本题的关键．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是【答案】4【分析】确定出抛物线的顶点坐标，然后求出抛物线的对称轴与原抛物线的交点坐标，从而判断出阴影部分的面积等于三角形的面积，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．【详解】∵，∴平移后抛物线的顶点坐标为（2，−2），对称轴为直线x＝2，当x＝2时，，∴平移后阴影部分的面积等于如图三角形的面积，×（2＋2）×2＝4，故填：4．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，确定出与阴影部分面积相等的三角形是解题的关键．如图已知的半径为，圆心在抛物线上运行，当与轴相切时，圆心的坐标为．

【答案】或【详解】当与轴相切时可求得点的横坐标，代入抛物线解析式可求得点坐标．【解答】解：∵与轴相切，的半径为，∴到轴的距离等于半径，∴点的横坐标为或，当时，代入可得，此时点坐标为；当时，代入可得，此时点坐标为；综上可知点坐标为或，故答案为：或．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系及二次函数的性质，此题注意应考虑两种情况．熟悉直线和圆的位置关系应满足的数量关系是解题的关键．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形，连结，则对角线的最小值为．【答案】1【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（1，1），再根据矩形的性质得BD=AC，由于AC的长等于点A的纵坐标，所以当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，从而得到BD的最小值．【详解】∵y=x22x+2=（x1）2+1，∴抛物线的顶点坐标为（1，1），∵四边形ABCD为矩形，∴BD=AC，AC⊥x轴，∴AC的长等于点A的纵坐标，当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，∴对角线BD的最小值为1．故答案为：1．如图1，抛物线的顶点为M，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B(点A在点B左侧)，根据对称性△AMB恒为等腰三角形，我们规定：当△AMB为直角三角形时，就称△AMB为该抛物线的“完美三角形”．如图2，则抛物线y＝x的“完美三角形”斜边AB的长．【答案】2．【分析】过点B做BN⊥x轴于N，得到△BON是等腰直角三角形，设点B坐标为（n，n），根据点B在抛物线y＝x上，求出点B坐标为（1，1），点A坐标为（1，1），问题得解．【详解】解：过点B做BN⊥x轴于N，由题意得△AOB为等腰直角三角形，∴∠ABO=45°，∵AB∥x轴，∴∠BON=45°∴△BON是等腰直角三角形，设点B坐标为（n，n），∵点B在抛物线y＝x上，∴n=n解得n=1，或n=0（不合题意，舍去），∴点B坐标为（1，1），∴点A坐标为（1，1），∴AB=2．故答案为：2【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质，二次函数性质，理解“完美三角形”概念，根据题意得到△AOB为等腰直角三角形是解题关键．如图，在矩形中，射线平分，，．P是线段上一个动点，过点P作交射线于点M，以，为邻边作平行四边形．设，平行四边形和矩形重叠部分的面积为S．

(1)，当点N落在边上时，m的值为．(2)求S关于m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围．【答案】(1)4；3(2)【分析】（1）利用矩形的性质，等腰三角形的判定以及勾股定理等可得出，即可求出；判断、是等腰直角三角形，得出，当点N落在边上时，，即可求出m；（2）分，，三种情况讨论即可．【详解】（1）解：∵四边形是矩形，∴，∵射线平分，∴，∴，∴，∴∵，∴，∵，，∴是等腰直角三角形，∵四边形是平行四边形，∴，，∴∴是等腰直角三角形，∴，∴当点N落在边上时，，∴，∴；故答案为：4；3；（2）解：当时，重叠部分是平行四边形，∵，∴；当时，重叠部分是五边形，

；当时，重叠部分是五边形．

．综上所述，【点睛】本题考查了二次函数与图形问题、平行四边形性质，矩形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是分情况讨论．如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动，如果分别是从同时出发，求经过几秒时，

(1)的面积等于8平方厘米？(2)五边形的面积最小？最小值是多少？【答案】(1)2秒或4秒(2)经过3秒时，五边形的面积最小，最小值为【分析】（1）设经过秒时，的面积等于8平方厘米，则，，，根据列出一元二次方程，解方程即可得到答案；（2）设五边形的面积最小面积是，根据得到关于的二次函数，根据二次函数的性质即可得到答案．【详解】（1）解：设经过秒时，的面积等于8平方厘米，则，，，由题意得：，整理得：，解得：，，都符合题意，答：经过2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米；（2）解：设五边形的面积最小面积是，根据题意得：，，当时，，答：经过3秒时，五边形的面积最小，最小值为．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的实际应用，读懂题意，正确列出一元二次方程，求出与的关系式是解题的关键．考点11二次函数的实际应用图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽，如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，可设此函数解析式为：，利用待定系数法求解．【详解】解：设此函数解析式为：，由题意得：在此函数解析式上，则即得，那么．故选：C．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，关键是借助二次函数解决实际问题．某小区要用篱笆围成一直角三角形花坛.花坛的斜边利用足够长的墙，两条直角边所用的篱笆之和恰好为21米.围成的花坛是如图所示的直角，其中.设边的长为米，直角的面积为平方米.

(1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；(2)根据小区的规划要求，所修建的直角三角形花坛面积是54平方米，问直角三角形的两条直角边的长各为多少米？【答案】(1)(2)12米，9米【分析】（1）先用表示出边的长，再根据三角形的面积公式即可得到与之间的函数关系式；（2）把代入（1）中所求函数关系式即可得到关于的一元二次方程，求出的值即可．【详解】（1）解：由题意知，，即（2）当时，整理得，解得，，直角三角形的两条直角边的长分别为12米和9米．【点睛】本题考查的是二次函数的应用及一元二次方程的应用，熟知三角形的面积公式是解答此题的关键．某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线、线段分别表示该产品每千克生产成本（单位：元）、销售价（单位：元）与产量x（单位：）之间的函数关系．(1)①图中点D所表示的实际意义是；②产量每增加，销售价格降低元；(2)求线段所表示的与x之间的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围；(3)当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)①当产量为时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；②(2)线段的函数关系式为(3)当该产品产量为时，获得的利润最大，最大利润为2250元【分析】（1）①根据图形的意义可知点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；②产量每增加，销售价格降低元；（2）根据线段经过的两点的坐标利用待定系数法确定一次函数的表达式即可；（3）利用总利润=单位利润×产量列出有关x的二次函数，求得最值即可．【详解】（1）解：①当产量为时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元，故答案为：当产量为时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；②产量每增加，销售价格降低（元）；故答案为：；（2）解：设线段的函数关系式为，∵的图象过点与，∴，解得，∴线段的函数关系式为；（3）解：设线段的函数关系式为．∵线段经过点与，∴，解得，∴线段的函数关系式为．设产量为时，获得的利润为W元．当时，，∴当时，W的值最大，最大值为2250；当时，，∴当时，W的值最大，最大值为2160．∵，∴当该产品产量为时，获得的利润最大，最大利润为2250元．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式及二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型．某校九年级学生小丽、小强和小红到某商场参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某商品的销售工作，已知该商品的进价为元/件，售价为元/件，下面是他们在活动结束后的对话：小丽：我发现此商品如果按元/件销售，每星期可卖出件．小强：我发现在售价元/件的基础上调整价格，每涨价元，每星期比小丽所调查的销售量件要少卖出件．小红：我发现在售价元/件的基础上调整价格，每降价元，每星期比小丽所调查的销售量件要多卖出件．(1)若设每件涨价元，则每星期实际可卖出__________件，每星期售出商品的利润（元）与的关系式为__________，的取值范围是__________．(2)若设每件降价元，则每星期售出商品的利润（元）与的关系式为__________．(3)在涨价情况下，如何定价才能使每星期售出商品的利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)，，，且为整数(2)(3)商品的定价为元时，销售利润最大，最大为元【分析】（1）根据每涨价元，每星期比小丽所调查的销售量件要少卖出件，由此即可求解；（2）根据每降价元，每星期比小丽所调查的销售量件要多卖出件，由此即可求解；（3）根据（1）中数量关系，将变形为顶点式，即可求解．【详解】（1）解：进价为元/件，按元/件销售，每星期可卖出件，每涨价元，每星期比销售量件要少卖出件，设每件涨价元，∴现在每件的销售价格为：元，销售量为：件，每件的利润为元，∴，即，∵，则，∴，且为整数，故答案为：，，，且为整数．（2）解：进价为元/件，按元/件销售，每星期可卖出件，每降价元，每星期比销售量件要多卖出件，设每件降价元，∴现在销售价为：，销售量为：件，每件的利润为：元，∴，即，故答案为：．（3）解：由（1）可知，，（为整数），∴，∴当时，商品的利润最大，最大利润，∴商品的定价为元时，销售利润最大，最大为元．【点睛】本题主要考查二次函数与销售问题的综合，理解题目中的数量关系，列方程解方程是解题的关键．足球比赛中，某运动员将在地面上的足球对着球门踢出，图中的抛物线是足球的飞行高度关于飞行时间的函数图象（不考虑空气的阻力）．已知足球飞出时，足球的飞行高度是，足球从飞出到落地共用时．

(1)求与之间的函数解析式；(2)足球的飞行高度能否达到？请说明理由．【答案】(1)与之间的函数解析式为(2)不能，理由见解析【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）根据题意求出抛物线的顶点坐标，进而比较求解即可．【详解】（1）设抛物线的关系式为，将，，代入得：，解得，∴y关于x的函数关系式为；（2）抛物线的对称轴为直线，当时，，∵，∴足球的飞行高度不能达到4.88米．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质、待定系数法求函数的关系式以及抛物线的顶点坐标的求法等知识，数形结合对理解题意有很大的帮助．考点12二次函数综合类问题如图，抛物线与轴交于两点，交轴于点．(1)求抛物线的解析式．(2)拋物线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，点的坐标为或【分析】（1）采用待定系数法，将点和点坐标直接代入抛物线，即可求得抛物线的解析式．（2）过线段的中点，且与平行的直线上的点与点，点连线组成的三角形的面积都等于，则此直线与抛物线的交点即为所求；求出此直线的解析式，与抛物线解析式联立，即可求得答案．【详解】（1）解：因为抛物线经过点和点两点，所以，解得，所以抛物线解析式为：．（2）解：如图，设线段的中点为，可知点的坐标为，过点作与平行的直线，假设与抛物线交于点，（在的左边），（在图中未能显示）．设直线的函数解析式为．因为直线经过点和，所以，解得，所以，直线的函数解析式为：．

又，可设直线的函数解析式为，因为直线经过点，所以．解得．所以，直线的函数解析式为．根据题意可知，．又，所以，直线上任意一点与点，点连线组成的的面积都满足．所以，直线与抛物线的交点，即为所求，可得，化简，得，解得，所以，点的坐标为，点的坐标为．故答案为：存在，点的坐标为或．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、一元二次方程、一元一次方程等，灵活结合二次函数和一次函数图象特点是解题的关键．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，点，与轴交于点，点在原点的左侧，点的坐标为，点是抛物线上一个动点，且在直线的上方．

(1)求这个二次函数的解析式；(2)当点运动到什么位置时，的面积最大？请求出点的坐标和面积的最大值．(3)连接，，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由；【答案】(1)；(2)点的坐标为，，的面积的最大值为．(3)存在，点的坐标为，；【分析】（1）利用待定系数法可直接求出二次函数的解析式；（2）先设出点的坐标，然后作平行轴交与点，将三角形和三角形的面积表示出来，再求出最大值的条件和最大值；（3）先设出点的坐标，再求出的坐标，利用菱形的对角线互相垂直且邻边相等即可求出点的坐标．【详解】（1）把点，点的坐标代入解析式，得：，解得：，二次函数得表达式为；（2）过点作轴的平行线与交于点，

设，设直线的函数关系式为，则，解得：得直线的解析式为，则，，当时，的面积最大，此时，点的坐标为，，的面积的最大值为．（3）存在点，使四边形为菱形，如图，

设，交于点，若四边形是菱形，则，连接，则，，，解得，（不合题意，舍去），点的坐标为，；【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，关键是要会用待定系数法求抛物线的解析式，还要牢记菱形的性质：菱形的对角线互相垂直，菱形的四条边都相等，对于求三角形面积最大值的问题，一般是将三角形分割成两个三角形，即作轴的平行线或轴的平行线，然后再利用面积公式得出一个二次函数，求出顶点的纵坐标即是最大值．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，．

(1)求抛物线解析式，并直接写出直线的解析式；(2)点在此拋物线的对称轴上，当最大时，点的坐标为______；(3)若点是第三象限内抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交于点，过点作交直线于点，求周长的最大值及此时点的坐标；(4)点在抛物线上，在平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是以为边的矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)(3)最大值为，点的坐标为(4)存在，，【分析】（1）求得，再将两点代入抛物线解析式，再求出点的坐标，再根据待定系数法，求得直线的解析式，即可解答；（2）根据三角形三边关系，可得当在的延长线上时，最大，即可解答；（3）设点，根据直线的解析式为，可得，故等腰直角三角形，即最大时，周长最大，即可解答；（4）根据题意勾股定理求得点的坐标，根据中点公式求得点的坐标．【详解】（1