第3章 因式分解（A卷·） -【单元测试】七年级数学下册分层训练AB卷（湘教版）（解析版）

班级姓名学号分数第三章因式分解（A卷·知识通关练）核心知识1因式分解的相关概念1．（2022秋·福建厦门·八年级统考期末）下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】直接利用因式分解的定义进行判断即可得出答案．【详解】解：A、，属于整式乘法，故A不符合题意；B、，属于因式分解，故B符合题意；C、，等式右边不是积的形式，不是因式分解，故C不符合题意；D、，属于整式乘法，故D不符合题意；故选：B．【点睛】此题主要考查了因式分解的意义，正确掌握相关定义是解题关键．2．（2023秋·天津西青·八年级统考期末）下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据因式分解的概念：把一个多项式转化成几个整式积的形式，依次判断可得答案．【详解】A、是乘法运算，故A错误；B、没一个多项式转化成几个整式积的形式，故B错误；C、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C正确；D、等式左边是单项式，本项为单项式变形，故D错误；故选：C．【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．3．（2023秋·广东潮州·八年级统考期末）下列各式从左到右，是分解因式的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据因式分解就是把一个多项式变形成几个整式的积的形式的定义，利用排除法求解．【详解】解：A．结果不是积的形式，故本选项错误，不符合题意；B．结果不是积的形式，故本选项错误，不符合题意；C．不是对多项式变形，故本选项错误，不符合题意；D．运用完全平方公式分解，正确，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了因式分解的定义，解题的关键是掌握因式分解就是把一个多项式变形成几个整式的积的形式．4．（2022秋·辽宁大连·八年级统考期末）若多项式因式分解的结果为，则的值为（

）A． B． C．5 D．6【答案】A【分析】由整式乘法与因式分解互逆，则根据多项式乘多项式即可求得b、c的值，即可求解．【详解】解：，，，，故选：A．【点睛】本题考查的是多项式乘以多项式，以及求代数式的值，解题的关键是熟练掌握相关的运算法则．5．（2023秋·江西宜春·八年级校考期末）已知多项式分解因式后的结果为，则，的值分别为（

）A．， B．， C．， D．，【答案】D【分析】利用乘法公式将展开，再与对应即可．【详解】∵多项式分解因式后的结果为，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查因式分解与整式乘法运算之间的关系，正确的理解他们之间的关系是解题的关键．6．（2023秋·河北张家口·八年级张家口市第一中学校考期末）若，则、的值分别为（

）A．，2 B．4， C．， D．4，2【答案】B【分析】把式子展开，根据对应项系数相等，列式求解即可得到、的值．【详解】解：，，，，，，、的值分别为：4，．故选：B．【点睛】本题主要考查了因式分解的意义；根据多项式乘多项式的法则，再根据对应项系数相等求解是解本题的关键．7．（2022春·山东东营·七年级统考期末）若，则m+n的值为（）A．5 B．1 C．﹣5 D．﹣1【答案】D【详解】先将展开，再根据已知条件可得﹣5n＝﹣10，m＝n﹣5，求出m和n的值，进一步求解即可．【解答】解：∵，又∵，∴﹣5n＝﹣10，m＝n﹣5，解得n＝2，m＝﹣3，∴m+n＝﹣3+2＝﹣1，故选：D．【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是根据等式的性质求出参数m和n的值．8．（2022春·广东深圳·八年级校考期末）已知多项式因式分解后得到一个因式为，则m的值为（

）A． B．5 C． D．6【答案】C【分析】令，求出x的值，代入多项式计算求出m的值即可．【详解】解：令，即把代入多项式得：解得故选C．【点睛】此题考查了因式分解的概念，特殊值法是本题的关键．9．（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期末）在中，若有一个因式为，则k的值为（）A．2 B． C．6 D．【答案】A【分析】根据因式分解的意义可设，再利用整式乘法计算后得，即可根据因式分解与整式乘法的关系求解．【详解】解：设，∵，∴，，，解得，，．故选：A．【点睛】本题考查了因式分解的意义，掌握因式分解与整式乘法的关系是解题的关键．10．（2023秋·宁夏吴忠·八年级校联考期末）的公因式为___________．【答案】【分析】根据公因式定义：每个单项式中都有的因式，即可得到答案．【详解】解：的公因式为，故答案为：．【点睛】本题考查了公因式定义，熟记公因式的定义是解题的关键．11．（2022秋·北京·八年级清华附中校考期末）在多项式中，各项的公因式是______．【答案】【分析】各项都含有的因式称为公因式，根据定义解答．【详解】解：多项式中，各项的公因式是，故答案为：．【点睛】此题考查了公因式的定义，正确掌握确定公因式的方法：取相同数字的最大公约数，取相同字母的最小指数，是解题的关键．12．多项式，与的公因式为______．【答案】【分析】根据公因式定义，对各选项整理然后即可选出有公因式的项．【详解】解：因为3x﹣9＝3（x﹣3），x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，所以多项式3x﹣9，x2﹣9与x2﹣6x+9的公因式为（x﹣3）．故答案：．【点睛】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．在提公因式时千万别忘了“﹣1”．13．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）若是多项式的一个因式，则______．【答案】2【分析】设多项式的另一个因式是，根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式的乘积的形式，计算对比得出答案．【详解】解：设多项式的另一个因式是，∴，∴，，即，，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解的意义，利用整式的系数得出另一个因式是解决问题的关键．14．甲乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则2a+b＝_____．【答案】21．【分析】根据题意：分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，但是a正确，分解结果为（x+2）（x+4），a为6；乙看错了a，但是b正确，分解结果为（x+1）（x+9），b为9．代入2a+b即可．【详解】∵分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），∴a＝6，乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），∴b＝9，∴2a+b＝12+9＝21．故答案为：21．【点睛】本题考查了因式分解，解决本题的关键是看错了一个系数，但是另一个没看错．学生做这类题时往往不能理解．核心知识2多项式的因式分解1．（2023秋·河南南阳·八年级统考期末）把分解因式，结果正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．【详解】．故选：D．【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法分解因式的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，要先提公因式，并且最后的结果要分解到不能分解为止．2．（2023秋·河北承德·八年级校考期末）分解因式的结果是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据完全平方公式进行计算即可得．【详解】解：，故选：C．【点睛】本题考查了分解因式，解题的关键是掌握完全平方公式．3．（2023秋·山东威海·八年级统考期末）下列多项式，不能用完全平方公式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】对每个选项进行因式分解即可做出判断．【详解】解：A．，故选项不符合题意；B．，故选项不符合题意；C．不能用完全平方公式分解，故选项符合题意；D．，故选项不符合题意．故选：C．【点睛】此题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．4．（2022春·河北石家庄·七年级统考期末）计算等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】原式提取公因式，计算即可得到结果．【详解】解：原式．故选：．【点睛】此题考查了因式分解的应用，提取公因式是解本题的关键．5．（2022秋·四川广安·八年级统考期末）已知可以用完全平方公式进行因式分解，则的值为（

）A．6 B． C．12 D．【答案】D【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值．【详解】解：∵可以用完全平方公式进行因式分解，∴，∴，故选：D．【点睛】此题考查了因式分解：运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．6．（2023秋·海南海口·八年级校联考期末）下列算式计算结果为的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】依据因式分解法进行计算即可．【详解】解：，故选：A．【点睛】本题考查了因式分解；解题的关键是正确进行因式分解．7．（2023秋·福建泉州·八年级统考期末）因式分解，结果正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】用十字相乘法因式分解即可．【详解】解：∵，∴因式分解的结果是，故选：D．【点睛】本题主要考查了用十字相乘法进行因式分解，解题的关键是掌握用十字相乘法进行因式分解的方法和步骤．8．（2022秋·河南周口·八年级统考期末）一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，3，，，分别对应下列六个字：国，爱，我，数，学，祖，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（

）A．爱数学 B．我爱数学 C．爱祖国 D．我爱祖国【答案】D【分析】先题干提取公因式和平方差公式因式分解，再根据结果求解．【详解】解：∴结果呈现的密码信息可能是：我爱祖国，故选：D．【点睛】本题考查了因式分解，分解要彻底是解题的关键．9．（2023秋·广东广州·八年级校考期末）分解因式正确的结果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先将式子变形，再提取公因式分解即可．【详解】解：．故选：D【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握提公因式法分解因式．10．（2023秋·福建泉州·八年级统考期末）已知，，，那么，代数式的值是（

）A． B．2022 C． D．3【答案】D【分析】先求解，，，再把原式化为，再代入求值即可．【详解】解：∵，，，∴，，，∴；故选D．【点睛】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，因式分解的应用，求解代数式的值，掌握“完全平方公式的应用”是解本题的关键．11．（2023秋·江苏无锡·九年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期末）分解因式：______．【答案】##【分析】利用平方差公式分解即可．【详解】．故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键．12．（2022秋·山东济宁·九年级济宁市第十五中学统考期末）分解因式：________________．【答案】【分析】先利用平方差公式变形，再利用完全平方公式分解．【详解】解：原式，，，故答案为：．【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，掌握平方差公式和完全平方公式是解题关键．13．（2023秋·湖北咸宁·八年级统考期末）因式分解：_______________．【答案】【分析】提取公因式法和公式法相结合因式分解即可．【详解】解：故答案为：．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握提取公因式法和公式法是解题的关键.分解一定要彻底．14．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）因式分解：_______．【答案】【分析】先提取公因式，再用平方差公式分解即可．【详解】解：，，故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解，解题根据是熟练掌握运用提取公因式和平方差公式进行因式分解．15．（2023秋·山东淄博·八年级统考期末）因式分解：______．【答案】【分析】直接利用十字相乘法分解因式即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】题目主要考查利用十字相乘法分解因式，熟练掌握分解因式的方法是解题关键．16．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）把因式分解的结果是___________．【答案】##【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．17．（2022秋·山东济宁·八年级统考期末）利用因式分解计算(1)(2)【答案】(1)36(2)31.4【分析】（1）先将变形为的形式，再利用平方差公式求解；（2）先提取公因式，再进行计算即可．【详解】（1）解：（2）解：【点睛】本题考查通过因式分解进行简化计算，解题关键是提取公因式或根据数字特点将所求式子进行变形后利用公式求解．18．利用因式分解进行简便运算：（1）

（2）【答案】（1）2021；（2）40000【分析】（1）观察式子，利用提公因式法进行求解；（2）根据式子的特点，利用完全平方公式进行求解．【详解】（1）解：原式．（2）解：原式【点睛】本题考查因式分解的应用，解题的关键是根据每个式子中的特点选择适当的因式分解的方法（如提公因式法、公式法等），从而简化计算．19．简便计算（1）

（2）【答案】（1）；（2）90000【分析】（1）先利用同底数幂的乘法变形，再利用平方差公式计算；（2）利用完全平方公式变形计算．【详解】解：（1）=====；（2）===90000【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，平方差公式，完全平方公式，计算时注意乘法公式的应用．20．（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）因式分解：(1)(2)；【答案】(1)(2)【分析】（1）把看作整体，先利用完全平方公式分解，再利用平方差公式即可；（2）先提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【详解】（1）（2）【点睛】此题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．21．（2022秋·湖南怀化·八年级统考期末）同学们，我们以前学过乘法公式，你一定熟练掌握了吧!想办法计算：【答案】【分析】根据平方差公式进行计算即可【详解】原式【点睛】本题考查了平方差公式的应用，掌握平方差公式是解题的关键．22．（2022秋·湖北荆门·八年级校考期末）阅读与思考：利用多项式的乘法法则可推导得出：．因式分解与整式乘法是方向相反的变形，利用这种关系可得：．利用这个式子可以将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式，例如：将式子分解因式．分析：这个式子的常数项，一次项系数．这是一个型的式子，∴，∴．(1)填空：式子的常数项=，一次项系数=，分解因式．(2)若可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是．【答案】(1)10；7；；(2)，．【分析】（1）由的常数项为，一次项系数为，从而可得因式分解的结果；（2）由，再分类讨论可得答案．【详解】（1）解：式子的常数项为，一次项系数为，分解因式；（2）∵，∴，此时，或，此时，或，此时，或，此时，∴，．【点睛】本题属于阅读理解题，考查的是利用十字乘法分解因式，理解题意，能够利用十字乘法解决问题是解本题的关键．23．（2023秋·湖南衡阳·八年级统考期末）阅读下列材料：因式分解的常用方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．过程如下：．这种因式分解的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：(1)因式分解：；(2)因式分解：；(3)若、、为非零实数，且，求证：．【答案】(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）根据阅读材料中的分组分解方法，先分组再利用平方差公式因式分解即可得到答案；（2）根据阅读材料中的分组分解方法，先分组再利用提公因式法因式分解即可得到答案；（3）根据阅读材料中的分组分解方法，先分组再综合运用提取公因式法和公式法因式分解即可得到答案．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）证明：，，，，，，，，∴．【点睛】本题考查分组分解法，阅读材料，理解分组分解因式的思想方法是解决问题的关键．24．（2022秋·福建福州·八年级福州华伦中学校考期末）把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．例如：①用配方法因式分解：．原式②若，利用配方法求M的最小值：∵，，∴当时，M有最小值1．请根据上述材料解决下列问题：(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______．(2)若，求M的最小值．(3)已知，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据完全平方公式的结构即可求解；（2）类比例题求M的最小值即可；（3）先根据完全平方公式因式分解，然后根据非负数之和为0，求得的值，继而即可求解．【详解】（1）解：∵，故答案为：．（2）解：∵，∴当时，有最小值为；（3）解：，即，∴，解得：，∴【点睛】本题考查了完全平方公式，因式分解的应用及偶次方的非负性，掌握完全平方公式是解题的关键．25．（2023秋·辽宁沈阳·八年级校考期末）（1）把一个多项式写成两数和（或差）的平方的形式叫做配方法．阅读下列有配方法分解因式的过程：仿照上面方法，将下式因式分解；

（2）读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：①上述分解因式的方法是，共应用了次．②若分解，则需应用上述方法次，结果是．③分解因式：(n为正整数)．【答案】（1）；（2）①提取公因式，3；②2005，；③【分析】（1）仿照材料中的方法，利用配方法、平方差公式进行因式分解；（2）观察可知，材料中采用了提取公因式法分解因式，经过次提取公因式，可得．【详解】解：（1）；（2）①上述分解因式的方法是提取公因式，共应用了3次；故答案为：提取公因式，3；②若分解，则需应用上述方法2005次，结果是，故答案为：2005，；③由题意知：．【点睛】本题主要考查分解因式，解题的关键是看懂材料，能够仿照材料中的方法求解．26．（2023秋·河南南阳·八年级统考期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式则不能直接用上述两种方法进行分解，比如多项式．这样我们就需要结合式子特点，探究新的分解方法．仔细观察这个四项式，会发现：若把它的前两项结合为一组符合平方差公式特点，把它的后两项结合为一组可提取公因式，而且对前后两组分别进行因式分解后会出现新的公因式，提取新的公因式就可以完成对整个式子的因式分解．具体过程如下：例1：

分成两组

分别分解

提取公因式完成分解像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四项以上的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解．(1)关于以上方法中“分组”目的的以下说法中所有正确的序号是______．①分组后组内能出现公因式；②分组后组内能运用公式；③分组后组间能继续分解．(2)若要将以下多项式进行因式分解，怎样分组比较合适？①______．②______．(3)利用分组分解法进行因式分解：．【答案】(1)(2)①，②；(3)【分析】(1)根据阅读材料解答即可；(2)运用分组分解法直接作答即可；(3)运用分组分解法直接作答即可．【详解】（1）解：从材料可知：“分组”的目的是：①分组后组内能出现公因式；②分组后组内能运用公式；③分组后组间能继续分解；故正确的序号是，故答案为：；（2）解：①，②，故答案为：①，②；（3）解：【点睛】本题考查了因式分解，能够灵活运用分组分解法进行因式分解是解答本题的关键．核心知识3利用因式分解求值1．（2023秋·河南南阳·八年级统考期末）若，，则代数式的值为（

）A．6 B．12 C．18 D．24【答案】C【分析】先进行因式分解，再利用整体思想，代入求值即可．【详解】解：∵，，∴；故选C．【点睛】本题考查因式分解，代数式求值．熟练掌握因式分解，利用整体思想，代入求值，是解题的关键．2．（2022秋·山东滨州·八年级统考期末）已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为(

)A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】根据分解因式的分组分解因式后整体代入即可求解．【详解】解：a2b+ab2-a-b=（a2b-a）+（ab2-b）=a（ab-1）+b（ab-1）=（ab-1）（a+b）将a+b=3，ab=1代入，得：原式=0．故选：A．【点睛】本题考查了因式分解的应用，解决本题关键是掌握分组分解因式的方法．3．已知，那么代数式的值是（

）A．2000 B．－2000 C．2001 D．－2001【答案】B【分析】先将化为，再将转化为，再将代入求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，故选：B．【点睛】本题考查代数式求值、提公因式法分解因式，利用整体代入求解是解答的关键．4．（2022秋·山东烟台·八年级统考期末）已知，，则代数式的值为（

）A． B．2 C．22 D．【答案】D【分析】将已知条件转换为a-b=，利用提公因式后进行完全平方公式的变形使所求代数式含有a-b的式子即可求解．【详解】解：∵，∴a-b=，∴=，故选：D．【点睛】本题考查了提公因式法和完全平方公式法因式分解，能把所求式子用a-b表示是解题关键．5．（2022秋·重庆合川·八年级校考期末）已知，则代数式的值为（

）A． B． C．3 D．4【答案】D【分析】先根据已知等式可得，再利用完全平方公式分解，代入计算即可得．【详解】解：，，，故选：D．【点睛】本题考查了代数式求值、利用完全平方公式分解因式，熟练掌握利用完全平方公式分解因式是解题关键．6．（2022秋·湖北十堰·八年级统考期末）已知，则的值是(

)A．0 B．1 C．－1 D．2【答案】A【分析】把分组，每三个数作为一组，再每组提取公因式，再整体代入求值即可．【详解】解：∵，而∴故选A【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法的逆用，因式分解的应用，利用整体代入法求解代数式的值，掌握“把要求值的代数式进行分组，再提取公因式分解