专题31数列第七缉（原卷版）-备战2025年高中数学联赛之历年真题分类汇编

1/3备战2025年高中数学联赛之历年真题分类汇编专题31数列第七缉1．【2024年内蒙古预赛】已知各项全不为零的数列ak的前k项和为SkN+),其中a(1)求数列ak(2)对任意给定的正整数nn≥2,数列bk满足：2．【2024年福建预赛】已知数列｛an｝的前n项和Sn=2an-2(n∈Z+).（1）求通项公式an；（2）设bn=1an−1n(n+1)，Tn为数列｛bn｝的前n项和，求正整数k，使得对任意的（3）设cn=an+1(1+an)(1+an+1)，Rn为数列{cn}的前n项和，若对任意的n3．【2024年山东预赛】已知数列{xn}满足x4．【2024年安徽预赛】已知数列{an}满足a5．【2024年全国】设p与p+2均为素数，p>3.定义数列{an}：a1=6．【2024年浙江预赛】给定数列xn。证明：存在唯一分解xn=yn−z7．【2024年上海预赛】已知数列an满足an+1=−12an8．【2024年四川预赛】设等比数列an的前n项和为Sn=（1）求数列anbn（2）若对于任意的正整数n，均有1+b9．【2024年辽宁预赛】已知数列an满足a0=1k,an=10．【2024年江苏预赛】在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，这样的操作称为该数列的一次“Z扩展”．已知数列1，2，3第一次Z扩展后得到数列1，3，2，5，3；第二次Z扩展后得到数列1，4，3，5，2，7，5，8，3；……设第n次Z扩展后所得数列1，x1，x2，…，（1）求a1（2）若bn=an−211．【2024年江苏预赛】设数列an满足a是否存在正整数n，使得22016an12．【2024年湖北预赛】已知定义在R上的函数fx满足f1=103，且对任意实数x、y，恒有fx（1）求数列an（2）令bn=24an13．【2024年河南预赛】定义数列an证明：（1）an（2）2a14．【2024年甘肃预赛】设数列{an}n∈Z（1）求数列{a（2）求c1=0，且对任意的正整数n，均有cn+1−c15．【2016高中数学联赛（第02试）】设实数a1,a2,⋯,求a116．【2016高中数学联赛（第02试）】设p与p+2均是素数，p>3.数列{an}定义为a1=2，an=an−1+pa证明:对n=3，4，…，p－1均有n|pa17．【2015年浙江预赛】已知数列an、bn满足18．【2015年浙江预赛】已知数列an满足a（1）证明：an（2）是否存在m∈Z+，使得19．【2015年浙江预赛】设k为正整数.若数字1,2,⋅⋅⋅,3k+1构成的排列x1（1）x1（2）xk+1（3）x2k+1则称此排列为“N型”的.记dk（1）求d1（2）证明：对任意正整数k，20．【2015年上海预赛】设n∈Z+,A={a1（1）若n≥3，由数列A定义另一个数列A'={a1',a2'（2）求使得a1+a21．【2015年上海预赛】已知数列{an}满足a1=（1）若某一项amm≥4为奇数，且不为3的倍数，证明：（2）证明：n=12013（3）若在{a22．【2015年新疆预赛】已知数列{an}满足an+1+−1n23．【2015年天津预赛】设a1证明：（1）存在常数C>0，使得对任意正整数n，有an（2）对任意正整数n，有an+124．【2015年四川预赛】已知数列an满足a1、a2+1、（1）a1（2）数列an25．【2015年陕西预赛】设等比数列an的前n项和为Sn，且（1）求数列an（2）在an与an+1之间插入n个实数，使这n+2个数依次组成公差为dn的等差数列.设数列1dn26．【2015年陕西预赛】设x表示不超过实数x的最大整数.已知ak=i=27．【2015年山东预赛】已知数列an满足a(1)证明:当n≥2时,an(2)当n≥4时,求a928．【2015年辽宁预赛】在数列an中,a1=1,关于x(1)求数列an(2)设bn=(3)设cn=n229．【2015年江西预赛】正整数数列an满足a30．【2015年江苏预赛】设等比数列a1,a（1）写出一组a1、a（2）当k≥4时，证明：cn31．【2015年湖南预赛】已知数列an、bn满足an+1=an+1，b32．【2015年湖北预赛】设Tn为数列an的前n（1）求数列an（2）设Sn=T33．【2015年河南预赛】数列an、bn34．【2015年甘肃预赛】数