结构力学：影响线

结构力学：影响线8-1影响线的概念一、移动荷载

例如：吊车在吊车梁上运行时，其轮压对吊车梁而言是移动荷载。又如汽车、火车在桥梁上行驶时，其轮压对桥梁来说也是移动荷载。

荷载的大小、方向一定，但荷载位置连续变化的荷载就称为移动荷载。

汽车或火车轮压产生的移动荷载的特点是：一组竖向集中力（可包括均布荷载），各集中力的大小、方向固定，相互间的位置也固定，作为整体在结构上移动。

在移动载荷作用下，结构任意截面的内力（M

、

Q

、

N）和位移（△、θ）及支座反力均随移动荷载在结构上的位置变化而变化。P1P2P3P4a1a3a2ba4q

结构在移动荷载作用下，主要讨论下述问题：

(1)对于给定截面C，其位移或内力（例如Mc）当给定的移动荷载在什么位置时得到最大值？该问题是求移动荷载的最不利位置问题。(2)对于给定的移动荷载组，简支梁AB上哪个截面的弯矩当移动荷载在什么位置时取得最大值？该问题是简支梁绝对最大弯矩的求解问题。

此外，还要讨论简支梁和连续梁的内力包络图的画法等问题。

为求解以上问题，首先要讨论结构影响线的求解。实际移动荷载是由若干集中力及均布荷载组成的，而且每个集中力的大小也不同。但我们首先要讨论的是具有共性的问题，即单个移动荷载P=1在结构上移动时结构内力和位移的变化规律。P=1xBAlRA

现讨论下图所示简支梁，当单个荷载P=1在梁上移动时，支座A的反力RA的变化规律。

由上式可见，RA与P成正比，比例系数称为RA的影响系数，用表示，即：

在影响线图形中，横坐标x表示单位移动荷载在梁上的位置；纵坐标y表示当单位荷载在该位置时，影响系数的大小。

上式是反力影响系数与移动荷载位置参数x之间的函数关系，该函数图形就称为反力

RA的影响线，见下图。xyRA影响线1yBP1AP2

若梁上作用有固定荷载（见下图），则根据叠加原理，A支座的反力RA为：

xyy1y2RA影响线1

当单位集中移动荷载P=1在结构上移动时，表示结构指定截面的某量值Z变化规律的曲线，称为Z的影响线。量值Z可以是截面内力或位移，也可以是支座反力。影响系数是Z与P的比例系数，即：二、

影响线定义

与Z的量纲不同，它们相差一个荷载P的量纲。一、简支梁的影响线（1）支座反力影响线8-2静力法作静定单跨梁影响线P=1xBAlRARA影响线RB影响线（2）弯矩和剪力影响线当P=1在AC段，取CB段作隔离体：bBC11当P=1在CB段，取AC段作隔离体：aCAMC影响线

ab截面C弯矩和剪力影响线如下图示。QC影响线

llal二、伸臂梁的影响线

作伸臂梁的影响线时，先画出简支梁的影响线，然后延伸至悬臂段。（1）支座反力影响线RA及RB的影响线如右图示。xP=1ACablBddEDllRA影响线

RB影响线当P=1在DC段时，取CE段作隔离体(图a)：（2）C截面弯矩及剪力影响线

当P=1在CE段时，取DC段作隔离体(图b)：dADaCbBCdEa)b)MC影响线QC影响线

MC及QC影响线如下图示：（3）作QA右及A左截面内力影响线

先作QA右影响线。QA右影响线如下图示。当P=1在DA段，取AE段作隔离体（图a)：当P=1在AE段，取DA段作隔离体（图b)：A右dDb)lBdEa)A右QA右影响线容易求得QA左及MA左影响线见下图。小结：

伸臂梁简支段AB某截面弯矩和剪力的影响线在AB段与简支梁相同，伸臂段图形则是简支段图形的延伸。d1MA左影响线QA左影响线l

如图简支梁AB，荷载P=1在上部纵梁上移动，纵梁支在横梁上，横梁由主梁支承。求主梁AB某截面内力Z的影响线。P=1ACDKxB

由下面的证明可以得出结论：在结点荷载作用下，主梁截面K某内力Z的影响线在相邻结点之间是一条直线。下面以MK为例加以证明。8-3结点荷载作用下梁的影响线MK影响线（直接荷载）AKBa)ydycCD证明：(1)在直接移动荷载作用下，MK的影响线已经画出。当P=1在截面C或D时，可得（见图a)

）(2)在结点荷载作用下，当移动荷载P=1作用在C﹑D截面之间时，根据叠加原理可得（图b)：dCDKP=1b)

可见，是的一次函数，也是x的一次函数。所以，MK影响线在结点C、D之间是一直线。MK影响线（结点荷载）ACKDBycydc)结点荷载作用下

MK影响线如下图c)所示：作结点荷载下影响线的步骤为：(1)作截面K的某量值Z在直接移动荷载下的影响线，并确定与各结点对应的竖标。(2)确定与各结点对应的竖标，在两结点之间连以直线，就得到结点荷载作用下的影响线。

在结点荷载作用下，

QK影响线如下图所示：QK影响线ACKDB

平面桁架只承受结点荷载，单位移动荷载P=1通过纵梁﹑横梁（横梁放置在结点上）系统传给桁架结点，如同前面讨论的简支梁受结点荷载的情况一样。因此，桁架任一杆的轴力影响线在两结点之间是一直线。求桁架杆件轴力的影响线时，把单位移动荷载P=1依次作用在各结点上，用结点法或截面法求出杆件的轴力即可。8-4静力法作桁架的影响线例8-1

作图示桁架N1﹑N2的影响线。解：(1）支座反力RA﹑RB的影响线与跨度为5d的简支梁相同。P=1AEFP=121BCD5dIIh(2)

求N1的影响线（上承）

当P=1在结点C左侧，取截面II以右为隔离体：

当P=1在结点D右侧，取截面I-I以左为隔离体：ABCD2d/h3d/h0.9d/hd/hN1影响线（上承）6d/5h

相应简支梁F截面的弯矩。求N1的影响线（下承）

当P=1在结点E左侧，取截面I-I以右为隔离体：

当P=1在结点F右侧，取截面I-I以左为隔离体：ABEF6d/5hN1影响线（下承）2d/h3d/h

相应简支梁F截面的弯矩。（3)

求N2的影响线（上承）

当P=1在结点C左侧，取截面I-I以右为隔离体：

当P=1在结点D右侧，取截面I-I以左为隔离体：——相应简支梁节间CD的剪力。hd/2ABCDN2影响线(上承)hd/2求N2的影响线（下承）

当P=1在结点E左侧，取截面I-I以右为隔离体：当P=1在结点F右侧，取截面I-I以左为隔离体：——相应简支梁节间EF的剪力。ABEFN2影响线（下承）hd/28-5机动法作静定梁的影响线

机动法作静定结构影响线是应用虚功原理把求影响线的静力平衡问题转化为作刚体位移图的几何问题。对于单跨或多跨梁，由于刚体位移图很容易确定，所以影响线的求解十分简捷。

P=1xl/4l/4lAB机动法作影响线的原理和步骤（1）撤去与相应的约束，代之以反力，原结构变成具有一个自由度的机构。

（2）令该机构产生刚体位移，使与Z方向一致，则虚功方程为：上式中，恒为正；与P同向为正，反向为负。乘积的正负号由的正负号调整。P=1xAB可见，在图中，令，并将图反号，就求得Z的影响线，并且能确定影响线的正负号及竖标大小。（3）

由上式可得:令得到AB1RB影响线用机动法求下图所示伸臂梁MC及QC的影响线。例8-2P=1ABC2ddddx解：（1）

作MC的影响线

将C截面变为铰结，暴露出弯矩；令该机构产生刚体位移，使C左、右截面相对转角与同向，就得到图，见下页图。

虚功方程为:

ABC令则

上式表明，在图中，令并反号，就可求得MC影响线。MC影响线（2）作QC的影响线

将C截面改为滑动连结，暴露出剪力；令该机构产生刚体位移，使C左、右截面位移方向与相同，就得到图，见下页图。虚功方程为:

令则ABC

上式表明，在图中，令并反号，就可求得QC影响线。QC影响线例8-3

用机动法作图示静定多跨梁的影响线。xP=1ABCDl/2l/2l/2l/2RA影响线ABD解：QB左影响线ACDBMB影响线DACBxP=1ABCDl/2l/2l/2l/2QB右影响线ADBC8-6影响线的应用一、求各种固定荷载作用下的影响

若已求得指定截面某量值Z的影响线，根据叠加原理，就可以求得固定荷载作用下该量值Z的大小。

右图示梁截面C弯矩MC的影响线已求出，求固定荷载作用下MC的值。0.253m1mA1m1mB0.750.75MC影响线C一组集中荷载：均布荷载：CBqC0.5m2m20kN15kN10kNMC影响线3m1mA1m1mB0.250.750.375C

把单个集中移动荷载放在影响线的最大或最小竖标位置，就得到最不利荷载位置，进而求得Zmax或Zmin

。二、最不利荷载位置

使结构指定截面的某量值Z达到最大值Zmax或最小值Zmin时实际移动荷载的位置，称为最不利荷载位置。（1）单个集中移动荷载

对于剪力QC影响线，将集中力P放在截面C，见右图，就得到：ABb/la/lQC影响线C

对于伸臂梁的MC影响线（见下图），将FP分别放在截面C和E，就得到：（2）可任意布置的均布活荷载

可任意布置的均布活荷载通常指人群荷载。在影响线正号部分布满均布活载，可以求得Zmax；在影响线负号部分布满均布活载，可以求得Zmin。ADBymaxyminMC影响线CEq求(MC)

max求(MC)

minqqω1ω3ω2ADBMC影响线CE（3）一组移动集中荷载

一组移动集中荷载：各集中力的大小、方向及相互间的距离均保持不变，作为整体在结构上移动。为了确定最不利荷载位置，原则上使排列密集、数值较大的集中力放在影响线竖标较大的部位，而且一定有一个集中力位于影响线的某个顶点上。为确定最不利荷载位置，通常分两步：①求出使Z达到极值的荷载位置。这种荷载位置称为荷载的临界位置，而且可能不止一个。②从Z的极大值中选出最大值，从Z的极小值中选出最小值，从而确定最不利荷载位置。下面以多边形影响线为例，说明临界荷载位置的特点及其判定方法。P1P2R1P3P4R2P5P6R3ΔxxΔxΔx

因为是x的一次函数，所以Z也是x的一次函数。若荷载右移动Δx，则竖标的增量为：则Z的增量为：

在影响线图中，α1>0，α2>0，α3<0。

由上面影响线图可得出:

因为Z是x的一次函数，所以Z-x图形是折线图形。于是ΔZ/Δx是折线图形中各折线段的斜率。对于折线图形，极值发生在使ΔZ/Δx变号的尖点处。xZ+-+00-极大值点xZ-+-00+极小值点

若移动荷载组在某位置刚好使Z取得极大值，则：当Δx>0，即荷载稍向右移，。当Δx<0，即荷载稍向左移，。

若移动荷载组在某位置刚好使Z取得极小值，则：当Δx>0，即荷载稍向右移，。当Δx<0，即荷载稍向左移，。

总之，当荷载在Z的极值点位置稍向左、右移动时，必须变号。如何使变号？是常数，可以变化的只是Ri。为了使Ri变化，必须有一个集中力位于影响线的顶点，此荷载记作Rcr，当Rcr位于影响线的顶点以左或以右时，会引起Ri发生变化，如下图示。P1P2R1PcrP4P5R2P1P2R1RcrP4P5R2

当移动荷载组左右移动时，能使改变符号的荷载Pcr称为临界荷载，相应的移动荷载组的位置称为临界位置。

在给定的移动荷载组中，能使变号的临界荷载可能不止一个。确定最不利荷载位置的步骤如下：（1)

选定一个集中力作为Pcr，使它位于影响线的一个顶点上；（2）当Pcr稍作左右移动时，分别计算的值。若变号，则此Pcr即为一临界荷载，相应的荷载位置为临界位置。用同样的方法可以确定其它的Pcr及相应的荷载临界位置。（3)

对于每个荷载临界位置求出相应的Z值，比较各个Z值，可确定Zmax及Zmin，进而确定相应的最不利荷载位置。例8-4

如下图多边形影响线及移动荷载组，试求荷载最不利位置和Z的最大值。已知q=37.8kN/m，P1=P2=P3=P4=P5=90kN。P1P2P3P4P5qaaaaaa=1.5m30mZ的影响线6m4m8mα1α310.75α21）将P4放在影响线的最大点，移动荷载组的位置如下图示。2）计算。解：Z的影响线P1P2P3P4P5qaaaaaa=1.5m6m3.5m16m4m8mα1α310.750.810.906α2若荷载稍向右移，各段荷载合力为：Z的影响线P1P2P3P4P5qaaaaaa=1.5m6m3.5m16m4m8mα1α310.750.810.906α2若荷载稍向左移，各段荷载合力为：Z的影响线P1P2P3P4P5qaaaaaa=1.5m6m3.5m1α26m4m8mα1α310.750.810.9063.5/8

因为变号，故P4为临界荷载，相应的荷载位置为临界位置。3）计算Z值

容易确定只有P4是临界荷载，所以相应的荷载位置就是最不利荷载位置。

对于三角