（圆梦高考数学）专题7.6 数列综合练（含答案及解析）

专题7.6数列综合练题号一二三四总分得分练习建议用时：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2023·江苏苏州·模拟预测）2022年11月8日，著名华人数学家张益唐教授以视频方式作学术报告，与北大数学师生分享他围绕“朗道—西格尔零点猜想”所做的研究工作，他在“大海捞针”式的研究过程中提出的新想法是基于一个简单的代数恒等式：.已知数列的通项公式为，则其前9项的和等于（

）A．13280 B．20196 C．20232 D．295202．（2023·全国·高三对口高考）若两个等差数列，的前n项和满足，则（

）A． B． C． D．3．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）数列满足，，则（

）A． B． C． D．34．（2023·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为“高斯函数”，例如：，．已知数列满足，，，若，为数列的前n项和，则（

）A． B． C． D．5．（2023·全国·高三对口高考）设是公比为的等比数列，其前项的积为，并且满足条件：，，．给出下列结论：①；②；③；④使成立的最小的自然数n等于199．其中正确结论的编号是（

）A．①②③ B．①④ C．②③④ D．①③④6．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，令，则错误选项是（）A． B．数列是等差数列 C．为整数 D．数列的前2022项和为40447．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，，则数列第2023项为（

）A． B．C． D．8．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，若对于任意，都有，则的取值范围是（

）A．， B．， C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．（2023春·辽宁鞍山·高二鞍山一中校考期中）已知数列，，下列说法正确的有（

）A．若，则为递减数列B．若，，则为等比数列C．若数列的公比，则为递减数列D．若数列的前n项和，则为等差数列10．（2023·江苏宿迁·江苏省沭阳高级中学校考模拟预测）设是数列的前n项和，且，，则（

）A．B．数列是公差为的等差数列C．数列的前5项和最大D．11．（2023秋·江苏南京·高二南京大学附属中学校考期末）设数列的前项和为，且，则（

）A．数列是等比数列 B．C． D．的前项和为12．（2023·浙江·校联考三模）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.如数列1，3，6，10，它的前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，则数列1，3，6，10被称为二阶等差数列，现有高阶等差数列､其前7项分别为5，9，17，27，37，45，49，设通项公式.则下列结论中正确的是（

）（参考公式：）A．数列为二阶等差数列B．数列的前11项和最大C．D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13．（2023春·天津北辰·高二天津市第四十七中学校考阶段练习）设且，已知数列满足，且是递增数列，则a的取值范围是__________．14．（2023·全国·高三对口高考）根据下面各数列的前几项，写出该数列的一个通项公式：①__________.②1，3，6，10，15，…，__________.③1，3，3，5，5，7，7，9，9，…，__________.15．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知数列与的前n项和分别为，则______；若对于任意恒成立，则实数的取值范围是______.16．（2023·山东日照·三模）已知数列中，，，是，的等差中项，是其前n项和，若数列是公差为3的等差数列，则___________.四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（2023·广东韶关·统考模拟预测）设等比数列的前项和为，已知，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.18．（2023·全国·高二专题练习）已知数列的前项和为，且，.求数列的通项公式.19．（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）已知数列的前项和为，，，．(1)求数列的通项公式；(2)求证：．20．（2023·云南保山·统考二模）已知是数列的前n项和，，______.①，；②数列为等差数列，且的前3项和为6.从以上两个条件中任选一个补充在横线处，并求解：(1)求；(2)设，求数列的前6项和.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.21．（2023·全国·校联考二模）已知数列中，(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，若恒成立，试求实数的取值范围.22．（2023·浙江·校联考三模）记为数列的前项和，已知，且满足.(1)证明：数列为等差数列；(2)设，求数列的前项和.

专题7.6数列综合练题号一二三四总分得分练习建议用时：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2023·江苏苏州·模拟预测）2022年11月8日，著名华人数学家张益唐教授以视频方式作学术报告，与北大数学师生分享他围绕“朗道—西格尔零点猜想”所做的研究工作，他在“大海捞针”式的研究过程中提出的新想法是基于一个简单的代数恒等式：.已知数列的通项公式为，则其前9项的和等于（

）A．13280 B．20196 C．20232 D．29520【答案】B【分析】先变形得到，再利用裂项相消法求和即可.【详解】，所以.故选：B.2．（2023·全国·高三对口高考）若两个等差数列，的前n项和满足，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据等差数列得性质和前项和公式计算即可.【详解】由，得.故选：B.3．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）数列满足，，则（

）A． B． C． D．3【答案】A【分析】首先根据递推公式，求数列中的项，并得到数列的周期，再求的值.【详解】因为，，所以，解得，又，解得，又，，，显然，接下去，所以数列是以3为周期的周期数列，则.故选：A.4．（2023·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为“高斯函数”，例如：，．已知数列满足，，，若，为数列的前n项和，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】运用构造法可得为等比数列，再运用累加法可得通项公式，进而求得通项公式，再运用裂项相消求和可得结果.【详解】由，得．又，所以数列构成以2为首项，2为公比的等比数列，所以.又，，…，，叠加可得，即，所以.又因为满足上式，所以.所以.因为，所以，即，所以.故.所以.故选：C.5．（2023·全国·高三对口高考）设是公比为的等比数列，其前项的积为，并且满足条件：，，．给出下列结论：①；②；③；④使成立的最小的自然数n等于199．其中正确结论的编号是（

）A．①②③ B．①④ C．②③④ D．①③④【答案】D【分析】利用等比数列的性质及等比数列的通项公式判断①；利用等比数列的性质及不等式的性质判断②；利用下标和定理判断③；利用等比数列的性质判断④，从而得出结论．【详解】对于①：，，，，．又，，且，，故①正确；对于②：，故②错误；对于③：，故③正确；对于④：，，故④正确．故选：D．6．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，令，则错误选项是（）A． B．数列是等差数列 C．为整数 D．数列的前2022项和为4044【答案】C【分析】由已知当时，求得，当时，由，得，两式相减化简，再利用累乘法可求得，从而可判断A，可求出，从而可判断BC，将代入中化简，然后利用分组求和法求解即可判断D.【详解】因为，所以当时，，故.当时，由，得，所以，整理，所以，所以，所以，，所以A正确，所以，所以，所以为等差数列，所以B正确，所以不是整数，所以C错误，则，设数列的前n项和为，则.因为，所以.故，所以D正确.故选：C.7．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，，则数列第2023项为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意得到，再利用累加法计算得到答案．【详解】由，则有，得，又，，则，所以，，，，，相加得．故选：B．8．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，若对于任意，都有，则的取值范围是（

）A．， B．， C． D．【答案】A【详解】由题意易知，成立，故；又，故只要在上有解，则；又恒成立，即，即，则；综上所述，实数的取值范围为，．故选：．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．（2023春·辽宁鞍山·高二鞍山一中校考期中）已知数列，，下列说法正确的有（

）A．若，则为递减数列B．若，，则为等比数列C．若数列的公比，则为递减数列D．若数列的前n项和，则为等差数列【答案】ABD【分析】对A计算可得答案；对B变形得可得答案；对C举例求出可得答案；对D.求出可得答案.【详解】对A，当时，，即，A正确；对B，因为，，所以，由已知得，则是以3为公比的等比数列，B正确；对C，当时，，，则，故不是递减数列，C错误；D.由得时，，，，检验得，时，满足，所以，，则为等差数列，D正确.故选：ABD.10．（2023·江苏宿迁·江苏省沭阳高级中学校考模拟预测）设是数列的前n项和，且，，则（

）A．B．数列是公差为的等差数列C．数列的前5项和最大D．【答案】AC【分析】令可得即可求判断A，利用的关系可得即可判断B,C，取求得即可判断D.【详解】，，或(舍)，故选项A正确；又，，，数列是公差为的等差数列，故选项B错误；由得，，数列的前5项和最大，故选项C正确；当时，，这与矛盾，故选项D错误，故选:AC.11．（2023秋·江苏南京·高二南京大学附属中学校考期末）设数列的前项和为，且，则（

）A．数列是等比数列 B．C． D．的前项和为【答案】ACD【分析】由已知可得数列是，2为公比的等比数列，从而可得通项公式，可判断A、B，进而可以求的值判断C，也易求得的前项和判断D.【详解】由已知，当时，可得选项A，，可得数列是，2为公比的等比数列，故A正确；选项B，由选项A可得解得，故B错误；选项C，数列是以1为首项，4为公比的等比数列，所以，故C正确；选项D，因为，故D正确.故选：ACD.12．（2023·浙江·校联考三模）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.如数列1，3，6，10，它的前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，则数列1，3，6，10被称为二阶等差数列，现有高阶等差数列､其前7项分别为5，9，17，27，37，45，49，设通项公式.则下列结论中正确的是（

）（参考公式：）A．数列为二阶等差数列B．数列的前11项和最大C．D．【答案】AC【分析】根据题中定义，结合累加法、等差数列前项和公式、题中所给的公式逐一判断即可.【详解】设，所以数列前6项分别为，设，所以数列前5项分别为，显然数列是以为首项，为公差的等差数列，由题中定义可知数列为二阶等差数列，因此选项A正确；，于是有，因此有，因为，所以数列的前11项和最大不正确，因此选项B不正确；因此选项C正确；，因此选项D不正确；故选：AC【点睛】关键点睛：利用累加法，结合题中定义、所给的公式是解题的关键.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13．（2023春·天津北辰·高二天津市第四十七中学校考阶段练习）设且，已知数列满足，且是递增数列，则a的取值范围是__________．【答案】【分析】根据数列的单调性结合函数的性质列出不等式求解.【详解】因为是递增数列，所以解得，故答案为:.14．（2023·全国·高三对口高考）根据下面各数列的前几项，写出该数列的一个通项公式：①__________.②1，3，6，10，15，…，__________.③1，3，3，5，5，7，7，9，9，…，__________.【答案】..【分析】通过观察法分析数列的变化规律即可求解.【详解】①可改写为则.②1，3，6，10，15，…，，，，…，，利用累加法可得，.③1，3，3，5，5，7，7，9，9，…，奇数项，偶数项，所以故答案为：；；.15．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知数列与的前n项和分别为，则______；若对于任意恒成立，则实数的取值范围是______.【答案】【分析】根据题意化简得，求得，再把不等式的恒成立转化为对于任意恒成立，结合基本不等式，即可求解.【详解】设，，则，所以，所以.又由，可得，因为对于任意恒成立，即对于任意恒成立，设，因为，当且仅当时，即时，等号成立，所以，所以，即实数的取值范围是.故答案为：；.16．（2023·山东日照·三模）已知数列中，，，是，的等差中项，是其前n项和，若数列是公差为3的等差数列，则___________.【答案】5248【分析】利用等差数列的基本性质及求和公式计算即可.【详解】依题意，，故，而，所以,且，故是首项为12，公差为9的等差数列，则.故答案为：5248四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（2023·广东韶关·统考模拟预测）设等比数列的前项和为，已知，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）设等比数列的公比为，根据，作差求出公比，即可得出答案；（2）由（1）得，可得，利用分组求和法计算可得．【详解】（1）设等比数列的公比为，①，，当时，有，当时，②，由①②得，即，，，，；（2）由（1）得，则，，，，．18．（2023·全国·高二专题练习）已知数列的前项和为，且，.求数列的通项公式.【答案】【分析】利用项与和的关系分，求解，从而得到是以为首项，公差为的等差数列，进而求得.【详解】当时，，整理得，，解得；当时，①，可得②，①－②得，即，化简得，因为，，所以，从而是以为首项，公差为的等差数列，所以.19．（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）已知数列的前项和为，，，．(1)求数列的通项公式；(2)求证：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据公式得到是常数列，确定，计算得到通项公式.（2）放缩，根据裂项相消法计算得到证明.【详解】（1），则，整理得到，故，故是常数列，故，即，当时，，验证时满足，故（2），故.20．（2023·云南保山·统考二模）已知是数列的前n项和，，______.①，；②数列为等差数列，且的前3项和为6.从以上两个条件中任选一个补充在横线处，并求解：(1)求；(2)设，求数列的前6项和.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)(2)【分析】（1）选①，分析可知数列、均为公差为的等差数列，求出的值，可求得、的表达式，可得出数列的通项公式；选②，求得的值，可得出数列的公差，即可求得