2024-2025学年新教材高中数学第六章平面向量初步6.1.1向量的概念课时素养评价含解析新人教B版必修第二册

PAGE向量的概念(15分钟30分)1.(2024·眉山高一检测)已知a为单位向量,下列说法正确的是 ()A.a的长度为一个单位B.a与0不平行C.a的方向为x轴正方向D.a的方向为y轴正方向【解析】选A.因为已知a为单位向量,所以a的长度为一个单位,故A正确;因为a与0平行,故B错误;由于a的方向是随意的,故C,D错误.【补偿训练】下列说法正确的是 ()A.有向线段与表示同一向量B.两个有公共终点的向量是平行向量C.零向量与单位向量是平行向量D.对随意向量a,QUOTE是一个单位向量【解析】选C.向量与方向相反,不是同一向量,A说法错误;有公共终点的向量的方向不肯定相同或相反,B说法错误;当a=0时,QUOTE无意义,D说法错误;零向量与任何向量都是平行向量,C说法正确.2.(2024·绵阳高一检测)下列命题中正确的是 ()A.QUOTE=QUOTE⇒a=bB.QUOTE>QUOTE⇒a>bC.a=b⇒a∥bD.单位向量都相等【解析】选C.对于选项A,模长相等的向量不肯定是相等的向量,所以错误.对于B,由于向量不能比较大小,所以错误.对于选项C,由于向量相等,则可以知道它们必定共线,成立,对于D,由于单位向量方向不肯定相同,所以错误.3.在四边形ABCD中,若∥,则四边形ABCD是 ()A.平行四边形 B.梯形C.菱形 D.平行四边形或梯形【解析】选D.因为在四边形ABCD中,∥,且与的大小未知,所以四边形ABCD是平行四边形或梯形.4.如图,四边形ABCD是菱形,则在向量,,,,和中,相等的有________对.

【解析】=,=.其余不等.答案:2【补偿训练】已知在边长为2的菱形ABCD中,∠ABC=60°,则||=________.

【解析】易知AC⊥BD,且∠ABD=30°,设AC与BD交于点O,则AO=QUOTEAB=1.在Rt△ABO中,易得||=QUOTE,则||=2||=2QUOTE.答案:2QUOTE5.如图,D,E,F分别是正三角形ABC各边的中点.(1)写出图中所示向量与向量长度相等的向量.(2)写出图中所示向量与向量相等的向量.(3)分别写出图中所示向量与向量,共线的向量.【解析】(1)与长度相等的向量是,,,,,,,.(2)与相等的向量是,.(3)与共线的向量是,,;与共线的向量是,,.【补偿训练】设W是由一平面内的n(n≥3)个向量组成的集合.若a∈W,且a的模不小于W中除a外的全部向量和的模,则称a是W的极大向量.有下列命题:①若W中每个向量的方向都相同,则W中必存在一个极大向量;②给定平面内两个不共线向量a,b,在该平面内总存在唯一的平面对量c=-a-b,使得W={a,b,c}中的每个元素都是极大向量;③若W1={a1,a2,a3},W2={b1,b2,b3}中的每个元素都是极大向量,且W1,W2中无公共元素,则W1∪W2中的每一个元素也都是极大向量.其中真命题的序号是________.

【解析】①若有几个方向相同,模相等的向量,则无极大向量,故不正确;②由题意得a,b,c围成闭合三角形,则随意向量的模等于除它本身外全部向量和的模,故正确;③3个向量都是极大向量,等价于3个向量之和为0,故W1={a1,a2,a3},W2={b1,b2,b3}中的每个元素都是极大向量时,W1∪W2中的每一个元素也都是极大向量,故正确.答案:②③(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.在同一平面上,把平行于某始终线的一切向量的起点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是 ()A.一条线段 B.一条直线C.圆上一群孤立的点 D.一个半径为1的圆【解析】选B.由于向量的起点确定,而向量平行于同始终线,所以随着向量模长的改变,向量的终点构成的是一条直线.2.已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点,则的值为 ()A.QUOTEB.QUOTEC.1D.2【解析】选C.因为四边形ABPC是平行四边形,D为对角线BC与AP的交点,所以D为PA的中点,所以的值为1.【补偿训练】假如在一个边长为5的正△ABC中,一个向量所对应的有向线段为(其中D在边BC上运动),则向量长度的最小值为________.

【解析】依据题意,在正△ABC中,有向线段AD长度最小时,AD应与边BC垂直,有向线段AD长度的最小值为正△ABC的高,为QUOTE.答案:QUOTE3.如图在等腰梯形ABCD中.①与是共线向量.②=.③>.以上结论中正确的个数是 ()A.0B.1C.2D.3【解析】选A.①因为与的方向不相同,也不相反,所以与不共线,即①不正确;②由①可知不正确;③因为两个向量不能比较大小,所以③不正确.【误区警示】本题易错之处在于③的推断,忽视向量是不能够进行大小比较的.4.(多选题)下列说法不正确的是 ()A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小B.方向不同的向量不能比较大小,但同向的可以比较大小C.向量的大小与方向有关D.向量的模可以比较大小【解析】选ABC.向量之间不能比较大小,但向量的模可以比较大小,向量的大小与方向无关.故只有选项D说法正确.【补偿训练】(多选题)如图,在菱形ABCD中,∠DAB=120°,则以下说法正确的是 ()A.与相等的向量只有一个(不含)B.与的模相等的向量有4个(不含)C.的模为模的QUOTE倍D.与不共线【解析】选AC.A项,由相等向量的定义知,与相等的向量只有,故A正确;B项,因为AB=BC=CD=DA=AC,所以与的模相等的向量除外有9个,故B错误;C项,在Rt△ADO中,∠DAO=60°,则DO=QUOTEDA,所以BD=QUOTEDA,故C项正确;D项,因为四边形ABCD是菱形,所以与共线,故D项错误.【光速解题】选AC.从简单推断的选项入手,如D选项明显错误,其次A选项正确,再次B选项中的向量始点和终点互换后为不同的向量,故错误,依据多选题的特点易得AC正确.二、填空题(每小题5分,共10分)5.若向量a与随意向量b都平行,则a=________;若|a|=1,则向量a是________.

【解析】由于只有零向量与随意向量平行,故a=0;由于QUOTE=1,即向量a的长度为1,所以向量a是单位向量.答案:0单位向量【补偿训练】给出下列四个条件:①a=b;②|a|=|b|;③a与b方向相反;④|a|=0或|b|=0.其中能使a∥b成立的条件是________(填序号).

【解析】若a=b,则a与b大小相等且方向相同,所以a∥b;若|a|=|b|,则a与b的大小相等,而方向不确定,因此不肯定有a∥b;方向相同或相反的向量都是平行向量,因此若a与b方向相反,则有a∥b;零向量与随意向量平行,所以若|a|=0或|b|=0,则a∥b.答案:①③④6.(2024·福州高一检测)有下列说法:①若a≠b,则a肯定不与b共线;②若=,则A,B,C,D四点是平行四边形的四个顶点;③在▱ABCD中,肯定有=;④共线向量是在一条直线上的向量.其中,正确的说法是________.

【解析】①,两个向量不相等,可能是长度不相等,方向相同或相反,所以a与b有共线的可能,故①不正确;②,A,B,C,D四点可能在同一条直线上,故②不正确;③,在平行四边形ABCD中,||=||,与平行且方向相同,所以=,故③正确;④,共线向量可以是在一条直线上的向量,也可以是所在直线相互平行的向量,故④不正确.答案:③三、解答题7.(10分)设在平面内给定一个四边形ABCD,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,求证:=.【证明】如图所示,连接AC.在△ABC中,由三角形中位线定理知,EF=QUOTEAC,EF∥AC,同理HG=QUOTEAC,HG