江苏南京市2025届数学高三上期末质量检测模拟试题含解析

江苏南京市2025届数学高三上期末质量检测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设命题函数在上递增，命题在中，，下列为真命题的是（）A． B． C． D．2．我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上述问题的已知条件，若该女子共织布尺，则这位女子织布的天数是（）A．2 B．3 C．4 D．13．数列满足：，，，为其前n项和，则（）A．0 B．1 C．3 D．44．在关于的不等式中，“”是“恒成立”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．四人并排坐在连号的四个座位上，其中与不相邻的所有不同的坐法种数是（）A．12 B．16 C．20 D．86．函数的定义域为，集合，则（）A． B． C． D．7．1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放.事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚.根据这次统计数据，若客人随意向这张白纸上投放一根这样的针，则针落地后与直线相交的概率约为（）A． B． C． D．8．已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则实数的取值为（）A．-2 B．-1 C．1 D．29．已知定义在上函数的图象关于原点对称，且，若，则（）A．0 B．1 C．673 D．67410．已知复数满足，其中是虚数单位，则复数在复平面中对应的点到原点的距离为（）A． B． C． D．11．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（）.A．6500元 B．7000元 C．7500元 D．8000元12．已知若（1-ai）(3+2i)为纯虚数，则a的值为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数若关于的不等式的解集是，则的值为_____．14．已知双曲线的左右焦点为，过作轴的垂线与相交于两点，与轴相交于.若，则双曲线的离心率为_________.15．如图，直三棱柱中，，，，P是的中点，则三棱锥的体积为________.16．已知函数为奇函数，，且与图象的交点为，，…，，则______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，函数.（Ⅰ）判断函数的单调性；（Ⅱ）若时，对任意，不等式恒成立，求实数的最小值.18．（12分）有甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪元，送餐员每单制成元；乙公司无底薪，单以内（含单）的部分送餐员每单抽成元，超过单的部分送餐员每单抽成元.现从这两家公司各随机选取一名送餐员，分别记录其天的送餐单数，得到如下频数分布表：送餐单数3839404142甲公司天数101015105乙公司天数101510105（1）从记录甲公司的天送餐单数中随机抽取天，求这天的送餐单数都不小于单的概率；（2）假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，将频率视为概率，回答下列两个问题：①求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望；②小张打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，小张应选择哪家公司应聘？说明你的理由.19．（12分）（某工厂生产零件A，工人甲生产一件零件A，是一等品、二等品、三等品的概率分别为，工人乙生产一件零件A，是一等品、二等品、三等品的概率分别为．己知生产一件一等品、二等品、三等品零件A给工厂带来的效益分别为10元、5元、2元.（1）试根据生产一件零件A给工厂带来的效益的期望值判断甲乙技术的好坏；（2）为鼓励工人提高技术，工厂进行技术大赛，最后甲乙两人进入了决赛．决赛规则是：每一轮比赛，甲乙各生产一件零件A，如果一方生产的零件A品级优干另一方生产的零件，则该方得分1分，另一方得分-1分，如果两人生产的零件A品级一样，则两方都不得分，当一方总分为4分时，比赛结束，该方获胜．Pi+4（i=4，3，2，…，4）表示甲总分为i时，最终甲获胜的概率．①写出P0，P8的值；②求决赛甲获胜的概率．20．（12分）如图，在四棱锥中，，，，和均为边长为的等边三角形.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.21．（12分）设函数f（x）＝|x﹣a|+|x|（a＞0）．（1）若不等式f（x）﹣|x|≥4x的解集为{x|x≤1}，求实数a的值；（2）证明：f（x）．22．（10分）如图，在矩形中，，，点是边上一点，且，点是的中点，将沿着折起，使点运动到点处，且满足.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

命题：函数在上单调递减，即可判断出真假．命题：在中，利用余弦函数单调性判断出真假．【详解】解：命题：函数，所以，当时，，即函数在上单调递减，因此是假命题．命题：在中，在上单调递减，所以，是真命题．则下列命题为真命题的是．故选：C．【点睛】本题考查了函数的单调性、正弦定理、三角形边角大小关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2、B【解析】

将问题转化为等比数列问题，最终变为求解等比数列基本量的问题.【详解】根据实际问题可以转化为等比数列问题，在等比数列中，公比，前项和为，，，求的值．因为，解得，，解得．故选B．【点睛】本题考查等比数列的实际应用，难度较易.熟悉等比数列中基本量的计算，对于解决实际问题很有帮助.3、D【解析】

用去换中的n，得，相加即可找到数列的周期，再利用计算.【详解】由已知，①，所以②，①+②，得，从而，数列是以6为周期的周期数列，且前6项分别为1，2，1，-1，-2，-1，所以，.故选：D.【点睛】本题考查周期数列的应用，在求时，先算出一个周期的和即，再将表示成即可，本题是一道中档题.4、C【解析】

讨论当时，是否恒成立；讨论当恒成立时，是否成立，即可选出正确答案.【详解】解：当时，，由开口向上，则恒成立；当恒成立时，若，则不恒成立，不符合题意，若时，要使得恒成立，则，即.所以“”是“恒成立”的充要条件.故选:C.【点睛】本题考查了命题的关系，考查了不等式恒成立问题.对于探究两个命题的关系时，一般分成两步，若，则推出是的充分条件；若，则推出是的必要条件.5、A【解析】

先将除A，B以外的两人先排，再将A，B在3个空位置里进行插空，再相乘得答案.【详解】先将除A，B以外的两人先排，有种；再将A，B在3个空位置里进行插空，有种，所以共有种.故选：A【点睛】本题考查排列中不相邻问题，常用插空法，属于基础题.6、A【解析】

根据函数定义域得集合，解对数不等式得到集合，然后直接利用交集运算求解.【详解】解：由函数得，解得，即；又，解得，即，则.故选：A.【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了函数定义域的求法，是基础题.7、D【解析】

根据统计数据，求出频率，用以估计概率.【详解】.故选:D.【点睛】本题以数学文化为背景，考查利用频率估计概率，属于基础题.8、B【解析】

求出函数的导数，利用切线方程通过f′（0），求解即可；【详解】f（x）的定义域为（﹣1，+∞），因为f′（x）a，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝2x，可得1﹣a＝2，解得a＝﹣1，故选：B．【点睛】本题考查函数的导数的几何意义，切线方程的求法，考查计算能力．9、B【解析】

由题知为奇函数，且可得函数的周期为3，分别求出知函数在一个周期内的和是0，利用函数周期性对所求式子进行化简可得.【详解】因为为奇函数，故；因为，故，可知函数的周期为3；在中，令，故，故函数在一个周期内的函数值和为0，故.故选：B.【点睛】本题考查函数奇偶性与周期性综合问题.其解题思路：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．10、B【解析】

利用复数的除法运算化简z,复数在复平面中对应的点到原点的距离为利用模长公式即得解.【详解】由题意知复数在复平面中对应的点到原点的距离为故选：B【点睛】本题考查了复数的除法运算，模长公式和几何意义，考查了学生概念理解，数学运算，数形结合的能力，属于基础题.11、D【解析】

设目前该教师的退休金为x元，利用条形图和折线图列出方程，求出结果即可．【详解】设目前该教师的退休金为x元，则由题意得：6000×15%﹣x×10%＝1．解得x＝2．故选D．【点睛】本题考查由条形图和折线图等基础知识解决实际问题，属于基础题．12、A【解析】

根据复数的乘法运算法则化简可得，根据纯虚数的概念可得结果.【详解】由题可知原式为，该复数为纯虚数，所以.故选：A【点睛】本题考查复数的运算和复数的分类，属基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

根据题意可知的两根为,再根据解集的区间端点得出参数的关系,再求解即可.【详解】解：因为函数,关于的不等式的解集是的两根为：和；所以有：且；且；；故答案为：【点睛】本题主要考查了不等式的解集与参数之间的关系,属于基础题.14、【解析】

由已知可得，结合双曲线的定义可知，结合，从而可求出离心率.【详解】解：,，又，则.，，，即解得，即.故答案为:.【点睛】本题考查了双曲线的定义，考查了双曲线的性质.本题的关键是根据几何关系，分析出.关于圆锥曲线的问题，一般如果能结合几何性质，可大大减少计算量.15、【解析】

证明平面，于是，利用三棱锥的体积公式即可求解.【详解】平面，平面，，又.平面，是的中点，.

故答案为：【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理、三棱锥的体积公式，属于基础题.16、18【解析】

由题意得函数f（x）与g（x）的图像都关于点对称，结合函数的对称性进行求解即可．【详解】函数为奇函数，函数关于点对称，，函数关于点对称，所以两个函数图象的交点也关于点（1，2）对称，与图像的交点为，，…，,两两关于点对称，.故答案为：18【点睛】本题考查了函数对称性的应用，结合函数奇偶性以及分式函数的性质求出函数的对称性是解决本题的关键，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)故函数在上单调递增，在上单调递减;(2).【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题意得到的解析式和定义域，求导后根据导函数的符号判断单调性．（Ⅱ）分析题意可得对任意，恒成立，构造函数，则有对任意，恒成立，然后通过求函数的最值可得所求．试题解析：（I）由题意得，，∴.当时，，函数在上单调递增；当时，令，解得；令，解得.故函数在上单调递增，在上单调递减.综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.（II）由题意知.，当时，函数单调递增．不妨设，又函数单调递减，所以原问题等价于：当时，对任意，不等式恒成立，即对任意，恒成立.记，由题意得在上单调递减.所以对任意，恒成立.令，，则在上恒成立.故，而在上单调递增，所以函数在上的最大值为.由，解得.故实数的最小值为．18、（1）；（2）①分布列见解析，；②小张应选择甲公司应聘.【解析】

（1）记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件，可得（A）的值．（2）①设乙公司送餐员送餐单数为，可得当时，，以此类推可得：当时，当时，的值．当时，的值，同理可得：当时，．的所有可能取值．可得的分布列及其数学期望．②依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数．可得甲公司送餐员日平均工资，与乙数学期望比较即可得出．【详解】解：（1）由表知，50天送餐单数中有30天的送餐单数不小于40单，记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件，则．（2）①设乙公司送餐员的送餐单数为，日工资为元，则当时，；当时，；当时，；当时，；当时，．所以的分布列为228234240247254．②依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为，所以甲公司送餐员的日平均工资为元，因为，所以小张应选择甲公司应聘．【点睛】本题考查了随机变量的分布列与数学期望、古典概率计算公式、组合计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19、（1）乙的技术更好，见解析（2）①，；②【解析】

（1）列出分布列，求出期望，比较大小即可；（2）①直接根据概率的意义可得P0，P8；②设每轮比赛甲得分为，求出每轮比赛甲得1分的概率，甲得0分的概率，甲得分的概率，可的，可推出是等差数列，根据可得答案.【详解】（1）记甲乙各生产一件零件给工厂带来的效益分别为元、元，随机变量，的分布列分别为10521052所以，，所以，即乙的技术更好（2）①表示的是甲得分时，甲最终获胜的概率，所以，表示的是甲得4分时，甲最终获胜的概率，所以；②设每轮比赛甲得分为，则每轮比赛甲得1分的概率，甲得0分的概率，甲得分的概率，所以甲得时，最终获胜有以下三种情况：（1）下一轮得1分并最终获胜，概率为；（2）下一轮得0分并最终获胜，概率为；（3）下一轮得分并最终获胜，概率为；所以，所以是等差数列，则，即决赛甲获胜的概率是.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查数列递推关系的应用，是一道难度较大的题目.20、(1)见证明；(2)【解析】

(1)取的中点，连接，要证平面平面，转证平面，即证，即可；(2)以为坐标原点，以为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，代入公式，即可得到结果.【详解】（1）取的中点，连接，因为均为边长为的等边三角形，所以，，且因为，所以，所以，又因为，平面，平面，所以平面.又因为平面，所以平面平面.（2）因为，为等边三角形，所以，又因为，所以，，在中，由正弦定理，得：，所以.以为坐标原点，以为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，设平面的法向量为，则，即，令，则平面的一个法向量为，依题意，平面的一个法向量所以故二面角的余弦值为.【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.21、（1）a＝1；（2）见解析【解析】

（1）由题意可得|x﹣a|≥4x，分类讨论去掉绝对值，分别求得x的范围即可求出a的值．（2）由条件利用绝对值三角不等式，基本不等式证得f（