数学学案：第二讲四弦切角的性质

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精四弦切角的性质1．理解弦切角的概念,会判断弦切角．2．掌握弦切角定理的内容，并能利用它解决有关问题．1．弦切角顶点在__上，一边和圆相交、另一边和圆____的角叫做弦切角．弦切角可分为三类:(1）圆心在角的外部，如图①；(2)圆心在角的一边上，如图②；(3)圆心在角的内部，如图③。【做一做1】如图所示，AB是⊙O的一条弦，D是⊙O上的任一点（不与A，B重合），则下列为弦切角的是()A．∠ADBB．∠AOBC．∠ABCD．∠BAO2．弦切角定理文字语言弦切角等于它所夹的__所对的______符号语言AB与⊙O相切于点A，AC与⊙O相交于点A，C,点D在⊙O上,但不在弦切角∠BAC所夹的弧上，则∠BAC＝____图形语言作用证明两个角相等（1）弦切角定理的推论:若一个圆的两个弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等．（2）弦切角定理也可以表述为弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半．这就建立了弦切角与弧之间的数量关系,它为直接依据弧进行角的转换确立了基础．(3）圆心角、圆周角、弦切角的比较．圆心角圆周角弦切角定义顶点在圆心的角顶点在圆上,两边和圆相交顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切图形角与弧的关系∠AOB的度数＝的度数∠ACB的度数＝eq\f(1，2）的度数∠ACB的度数＝eq\f(1,2)的度数【做一做2－1】如图所示，MN与⊙O相切于点M，Q和P是⊙O上两点，∠PQM＝70°，则∠NMP等于(）A．20°B．70°C．110°D．160°【做一做2－2】过圆内接△ABC的顶点A引⊙O的切线交BC的延长线于点D，若∠B＝35°,∠ACB＝80°，则∠D为()A．45°B．50°C．55°D．60°答案：1．圆相切【做一做1】C∠ADB是圆周角，∠AOB是圆心角,∠ABC是弦切角,∠BAO不是弦切角．2．弧圆周角∠ADC【做一做2－1】B∵∠NMP是弦切角，∴∠NMP＝∠PQM＝70°.【做一做2－2】A如图，∵AD为⊙O的切线，∴∠DAC＝∠B＝35°。又∠ACB＝80°，∴∠D＝∠ACB－∠DAC＝80°－35°＝45°.对弦切角的理解剖析：弦切角的特点：(1）顶点在圆上；(2）一边与圆相交;(3)另一边与圆相切．弦切角定义中的三个条件缺一不可．如图(1)（2)(3)（4）中的角都不是弦切角．图(1）中,缺少“顶点在圆上”的条件；图(2)中，缺少“一边和圆相交”的条件；图(3）中，缺少“一边和圆相切”的条件;图（4)中，缺少“顶点在圆上”和“另一边和圆相切”两个条件．题型一平行问题【例题1】如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F。求证：EF∥BC．分析：连接DF,于是∠FDC＝∠DAC,根据AD是∠BAC的平分线，有∠BAD＝∠DAC,而∠BAD与∠EFD对着同一段弧，所以相等，由此建立∠EFD与∠FDC的相等关系，根据内错角相等，可以断定两条直线平行．反思：当已知条件中出现圆的切线时，借助于弦切角定理，常用角的关系证明两条直线平行：(1）内错角相等,两条直线平行；(2)同位角相等，两条直线平行；（3）同旁内角互补,两条直线平行等．证题时可以根据图形与已知合理地选择．题型二线段成比例问题【例题2】已知△ABC内接于⊙O,∠BAC的平分线交⊙O于点D，CD的延长线交过B点的切线于E.求证：eq\f(CD2，BC2)＝eq\f（DE，CE）。分析：直接证明此等式有一定的难度，可以考虑把它分解成两个比例式的形式，然后借助相似三角形的性质得出结论．反思：已知直线与圆相切，证明线段成比例时，常先利用弦切角定理和圆周角定理获得角相等，再通过三角形相似得到成比例线段．题型三易错辨析易错点忽视弦切角的一边是切线【例题3】如图所示，△ABC内接于⊙O,AD⊥AC，∠C＝32°,∠B＝110°，则∠BAD＝__________。错解：∵AD⊥AC，∴∠BAD是弦切角．∴∠BAD＝∠C．又∠C＝32°,∴∠BAD＝32°。错因分析：错解中,误认为∠BAD是弦切角，其实不然，虽然AD⊥AC,但AD不是切线．反思：在利用弦切角定理解决问题时，要考虑所涉及到的角是否是弦切角，即弦切角的三个条件缺一不可．答案：【例题1】证明：连接DF,如图所示,∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠DAC.∵∠EFD＝∠BAD，∴∠EFD＝∠DAC.∵BC切⊙O于D，∴∠FDC＝∠DAC.∴∠EFD＝∠FDC。∴EF∥BC。【例题2】证明：连接BD,如图所示．∵AD是∠BAC的平分线,∴∠BAD＝∠CAD.又∠BCD＝∠BAD，∠CBD＝∠CAD，∴∠BCD＝∠CBD.∴BD＝CD。又BE为⊙O的切线，∴∠EBD＝∠BAD，∴∠EBD＝∠BCD.故在△BED和△CEB中，∠EBD＝∠ECB，∠BED＝∠CEB,∴△BED∽△CEB.∴，,∴。又BD＝CD，∴.【例题3】正解:∵∠C＋∠B＋∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°－∠C－∠B＝38°。又AD⊥AC，∴∠BAC＋∠BAD＝90°。∴∠BAD＝90°－∠BAC＝90°－38°＝52°。1如图所示，AB是半圆O的直径,C,D是半圆上的两点，半圆O的切线PC交AB的延长线于点P，∠PCB＝25°，则∠ADC为()A．105°B．115°C．120°D．125°2如图，AB是⊙O的弦，CD是经过⊙O上的点M的切线．求证:(1）如果AB∥CD，那么AM＝MB；（2）如果AM＝BM，那么AB∥CD．3如图，四边形ABED内接于⊙O，AB∥DE，AC切⊙O于点A,交ED延长线于点C．求证：AD∶AB＝DC∶BE.4如图,已知圆上的弧＝，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点,证明：（1）∠ACE＝∠BCD;(2）BC2＝BE×CD．5(2011·江苏南京一模）如图，AB是半圆O的直径，C是圆周上一点(异于点A,B），过点C作圆O的切线l,过点A作直线l的垂线AD，垂足为点D．AD交半圆于点E。求证：CB＝CE.答案：1．B连接BD，∵PC与⊙O相切,∴∠BDC＝∠BCP＝25°.又∵AB是直径，∴∠ADB＝90°。∴∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝90°＋25°＝115°.2．证明：(1）∵CD切⊙O于点M，∴∠DMB＝∠A，∠CMA＝∠B.∵AB∥CD，∴∠CMA＝∠A，∴∠A＝∠B，∴AM＝MB。（2)∵AM＝BM，∴∠A＝∠B。∵CD切⊙O于M点，∴∠DMB＝∠A，∠CMA＝∠B.∴∠CMA＝∠A。∴AB∥CD。3．分析：求证成比例的四条线段正好在两个三角形△ACD和△ABE中，所以只要证明△ACD∽△AEB即可．证明：∵四边形ABCD内接于⊙O,∴∠ADC＝∠ABE。∵AC是⊙O的切线，∴∠CAD＝∠AED。∵AB∥DE，∴∠BAE＝∠AED.∴∠CAD＝∠BAE，∴△ACD∽△AEB.∴AD∶AB＝DC∶BE.4．分析：（1)证明这两个角都等于∠ABC;(2)转化为证明△BDC∽△ECB.证明：(1）∵＝，∴∠BCD＝∠ABC。又∵EC与圆相切于点C，∴∠ACE＝∠ABC。∴∠ACE＝∠BCD。（2）∵∠ECB＝∠CDB,∠EBC＝∠BCD，∴△BDC∽△ECB。∴eq\f（BC,BE）＝eq\f（CD,BC)，即BC2＝BE×CD.5．分析：转化为证明∠CBE＝∠CEB。证明：(方法一)连接BE，如图所示．因为AB是半圆O的直径，点E为圆周上一点，所以∠AEB＝90°，即BE⊥AD。又因为AD⊥l,所以BE∥l。所以∠DCE＝∠CEB.因为直线l是圆O的切线，所以∠DCE＝∠CBE。所以∠CBE＝∠CEB,故CE