数学学案：导数的实际应用

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精数学人教B选修1-1第三章3。3.3导数的实际应用1．会利用导数解决实际问题中的最优化问题．2．体会导数在解决实际问题中的作用．1．最优化问题在经济生活中,人们经常遇到最优化问题．例如，为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等等,需要寻求相应的________或________,这些都是最优化问题．导数是解决这类问题的方法之一．【做一做1】下列问题不是最优化问题的是（)A．利润最大B．用料最省C．求导数D．用力最省2．求实际问题的最大（小)值的步骤（1）建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f（x)，注明定义域．(2)求函数的导数f′（x），解方程________，确定极值点．（3）比较函数在________和________处的函数值的大小，最大(小）者为实际问题的最大（小）值．实际问题中的变量是有范围的，即应考虑实际问题的意义,注明定义域．【做一做2】求实际问题的最值与求函数在闭区间上的最值的主要区别是________________．利用导数解决实际问题时应注意什么?剖析：(1）写出变量之间的函数关系y＝f(x)后一定要写出定义域．(2）求实际问题的最值,一定要从问题的实际意义去分析，不符合实际意义的极值点应舍去．(3)在实际问题中，一般地，f′（x)＝0在x的取值范围内仅有一个解，即函数y＝f（x)只有一个极值点，则该点处的值就是问题中所指的最值．题型实际问题中最值的求法【例1】某商场从生产厂家以每件20元的进价购进一批商品，若该商品的售价定为p元，则销售量Q(单位：件）与零售价p(单位：元)有如下关系:Q＝8300－170p－p2.问该商品零售价定为多少时利润最大，最大利润是多少？分析：建立销售利润关于零售价的函数，应用导数研究最值．反思：根据课程标准的规定,有关函数最值的实际问题,一般指的是单峰函数，也就是说在实际问题中，如果遇到函数在一个区间内只有一个点使f′（x）＝0，且该函数在这点取得极大(小)值，那么不与区间端点的函数值比较，就可以知道这就是实际问题的最大(小)值．【例2】将一段长为100cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，问怎样截能使正方形与圆的面积之和最小？分析：设其中一段长为xcm，则另一段长为(100－x）cm,然后用x表示出正方形与圆的面积之和S，求出方程S′＝0的根，该根即为所求．反思：在求最值时，往往需要建立函数关系式,若问题中给出的量较多时，一定要通过建立各个量之间的关系，通过消元法达到建立函数关系式的目的．1要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20cm,要使其体积最大，则其高应为（)A．eq\f（20\r(3),3）cmB．100cmC．20cmD．eq\f（20,3）cm2某公司生产某种产品,固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元,已知总收益R与年产量x的关系是R(x）＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(400x－\f（1,2）x20≤x≤400，,80000x〉400，)）则总利润最大时，每年生产的产品数量是（）A．100单位B．150单位C．200单位D．300单位3把长40cm的铁丝围成矩形，当长为__________cm，宽为__________cm时，矩形面积最大．4将长为52cm的铁丝剪成2段，各围成一个长与宽之比为2∶1及3∶2的矩形,那么面积之和的最小值为__________．5某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品则损失100元，已知该厂制造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系是：p＝eq\f（3x，4x＋32）(x∈N＊）．（1)将该厂的日盈利额T（元)表示为日产量x（件)的函数__________；(2）为获得最大盈利,该厂的日产量应定为__________．答案：基础知识·梳理1．最佳方案最佳策略【做一做1】C2．（2)f′（x)＝0(3）区间端点极值点【做一做2】求实际问题的最值需先建立数学模型,写出变量之间的函数关系y＝f(x)，并写出定义域典型例题·领悟【例1】解：设利润为L(p),由题意可得L（p）＝(p－20)·Q＝（p－20）(8300－170p－p2）＝－p3－150p2＋11700p－166000(p＞0），∴L′(p）＝－3p2－300p＋11700.令L′（p）＝0，得p＝30或p＝－130（舍去）．则L（30）＝23000。∵0＜p＜30时，L′（p）＞0；p＞30时，L′（p)＜0，∴p＝30时,L（p）取得极大值．根据实际问题的意义知,L（30）就是最大值，即零售价定为每件30元时，利润最大,最大利润为23000元．【例2】解:设弯成圆的一段铁丝长为xcm，则另一段长为（100－x）cm，记正方形与圆的面积之和为Scm2，则正方形的边长a＝eq\f(100－x，4)，圆的半径r＝eq\f（x,2π).∴S＝πeq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（x,2π)))2＋eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（100－x,4)）)2＝eq\f(x2，4π）＋eq\f（x2，16）－eq\f（25，2)x＋625（0＜x＜100)．又S′＝eq\f（x,2π）＋eq\f（x,8）－eq\f(25，2)。令S′＝0,则x＝eq\f（100π，4＋π）。当0＜x＜eq\f(100π，4＋π）时，S′＜0；当eq\f(100π，4＋π）＜x＜100时，S′＞0。所以当x＝eq\f(100π,4＋π）时，S取得极小值，也为最小值．故当弯成圆的铁丝长度为eq\f(100π，4＋π）cm时，正方形和圆的面积之和最小．随堂练习·巩固1．A设圆锥的高为hcm，则V（h）＝eq\f(π，3）(400－h2）h，h∈（0，20)．令V′（h）＝eq\f（π,3）(400－3h2)＝0，得h＝eq\f（20\r(3）,3)。2．D当x＞400时，利润f(x)＝80000－20000－100x，∴当x＞400时,f(x）＜20000.当0≤x≤400时,f（x）＝R(x）－20000－100x＝－eq\f(1，2)x2＋300x－20000＝－eq\f(1，2）(x－300)2＋25000.∴当x＝300单位时,利润为最大．3．10104．78cm2设剪成的2段中其中一段为xcm，则另一段为(52－x）cm，围成两个矩形的面积和为Scm2。依题意知，S＝eq\f（x，6）×eq\f（2x，6)＋eq\f(352－x,10）×eq\f(252－x，10)＝eq\f(1，18)x2＋eq\f(3,50）（52－x)2,S′＝eq\f（1,9）x－eq\f(3，25)(52－x）,令S′＝0，解得x＝27。则另一段为52－27＝25（cm）．此时Smin＝78cm2。5．(1）T＝eq\f(2564x－x2，x＋8）（2)16件(1）由题意知，每日生产的次品数为px件，正品数为（1－p）x件，∴T＝200(1－p)x－100px＝200x－300px＝200x－eq\f(900x2,4x＋32)