2024-2025学年新教材高中数学第七章随机变量及其分布7.5正态分布课时作业含解析新人教A版选择性必修第三册

PAGE课时作业(十三)正态分布[练基础]1．(多选题)把一个正态曲线M沿着横轴方向向右平移2个单位长度，得到一个新曲线N，则下列说法正确的是()A．曲线N仍是正态曲线B．曲线M和曲线N的最高点的纵坐标相等C．以曲线N为概率密度曲线的总体的期望，比以曲线M为概率密度曲线的总体期望大2D．以曲线N为概率密度曲线的总体的方差，比以曲线M为概率密度曲线的总体方差大22．某厂生产的零件外径ξ～N(10，0.04)，今从该厂上午、下午生产的零件中各取一件，测得其外径分别为9.9cm，9.3cm，则可认为()A．上午生产状况正常，下午生产状况异样B．上午生产状况异样，下午生产状况正常C．上午、下午生产状况均正常D．上午、下午生产状况均异样3．设两个正态分布N(μ1，σeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))(σ1>0)和N(μ2，σeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有()A．μ1<μ2，σ1<σ2B．μ1<μ2，σ1>σ2C．μ1>μ2，σ1<σ2D．μ1>μ2，σ1>σ24．若随机变量X的密度函数为f(x)＝eq\f(1,\r(2π))·e－eq\f(x2,2)，X在区间(－2，－1)和(1，2)内取值的概率分别为p1，p2，则p1，p2的关系为()A．p1>p2B．p1<p2C．p1＝p2D．不确定5．已知随机变量ξ听从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ<2)＝P(ξ>6)＝0.15，则P(2≤ξ<4)等于()A．0.3B．0.35C．0.5D．0.76．某商场经营的某种包装的大米质量ξ(单位：kg)听从正态分布N(10，σ2)，依据检测结果可知P(9.9≤ξ≤10.1)＝0.96，某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利，若该公司有1000名职工，则分发到的大米质量在9.9kg以下的职工数大约为()A．10B．20C．30D．407．已知随机变量落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝________时达到最高点．8．若随机变量ξ听从正态分布N(μ，σ2)，P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9545，设ξ～N(1，σ2)，且P(ξ≥3)＝0.15865，则σ＝________．9．在某次大型考试中，某班同学的成果听从正态分布N(80，52)，现在已知该班同学中成果在(80，85]的有17人，试估计该班成果在90分以上的同学有多少人．10．生产工艺过程中产品的尺寸偏差X(mm)～N(0，22)，假如产品的尺寸与现实的尺寸偏差的肯定值不超过4mm的为合格品，求生产5件产品的合格率不小于80%的概率．(精确到0.001)[提实力]11．已知检测某元件的测量结果ξ听从正态分布N(1，σ2)(σ>0)，且ξ在(0，1)内取值的概率为0.4.任取这样的元件100个，测量结果在(0，2)内的元件个数的期望值为()A．40B．50C．80D．9012．设随机变量η听从正态分布N(1，σ2)，若P(η≤－1)＝0.2，则函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋x2＋η2x没有极值点的概率是()A．0.2B．0.3C．0.7D．0.813．某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的运用寿命(单位：时)均听从正态分布N(1000，502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的运用寿命超过1000小时的概率为________．eq\x(元件1)eq\x(元件3)eq\x(元件2)14．随机变量X听从正态分布X～N(10，σ2)，P(X>12)＝m，P(8≤X≤10)＝n，则eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)的最小值为________．15．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数eq\o(x,\s\up6(－))和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z听从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数eq\o(x,\s\up6(－))，σ2近似为样本方差s2.利用该正态分布，求P(187.8<Z<212.2).附：eq\r(150)≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.9545.[战疑难]16．某校高三年级学生一次数学诊断考试的成果(单位：分)X听从正态分布N(110，102)，记X∈(90，110]为事务A，X∈(80，100]为事务B，则P(B|A)＝________．(结果用分数表示)附：P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.68；P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.95；P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.99.课时作业(十三)1．解析：由正态曲线的性质，以及题设条件可知，两个曲线都是正态曲线，形态一样，说明方差相等，所以D错误，A正确，而位置是水平向右的平移，所以B正确，C正确．故选ABC.答案：ABC2．解析：因测量值ξ为随机变量，又ξ～N(10，0.04)，所以μ＝10，σ＝0.2，记I＝(μ－3σ，μ＋3σ)＝(9.4，10.6)，9.9∈I，9.3∉I.∴上午生产状况正常，下午生产状况异样．故选A.答案：A3．解析：μ反映的是正态分布的平均水平，x＝μ是正态密度曲线的对称轴，由图可知μ1<μ2；σ反映的正态分布的离散程度，σ越大，越分散，曲线越“矮胖”，σ越小，越集中，曲线越“瘦高”，由图可知σ1<σ2.故选A.答案：A4．解析：由正态曲线的对称性及题意知：μ＝0，σ＝1，所以曲线关于直线x＝0对称，所以p1＝p2.故选C.答案：C5．解析：依据正态曲线的对称性及P(ξ<2)＝P(ξ>6)，得μ＝eq\f(2＋6,2)＝4，则P(2≤ξ<4)＝eq\f(1,2)P(2≤ξ<6)＝eq\f(1,2)×(1－0.15×2)＝0.35.故选B.答案：B6．解析：∵大米质量ξ听从正态分布N(10，σ2)，∴正态曲线关于直线ξ＝10对称，∵P(9.9≤ξ≤10.1)＝0.96，∴P(ξ<9.9)＝eq\f(1－0.96,2)＝0.02，∴分发到的大米质量在9.9kg以下的职工数大约为0.02×1000＝20.故选B.答案：B7．解析：由正态曲线关于直线x＝μ对称和随机变量落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，得μ＝0.2.∴正态曲线f(x)在x＝0.2时，达到最高点．答案：0.28．解析：∵P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.6827，∴P(ξ≥μ＋σ)＝eq\f(1,2)×(1－0.6827)＝0.15865，∵ξ～N(1，σ2)，∴P(ξ≥1＋σ)＝0.15865，∴1＋σ＝3，即σ＝2.答案：29．解析：∵成果听从正态分布N(80，52)，∴μ＝80，σ＝5，则μ－σ＝75，μ＋σ＝85.∴成果在(75，85]内的同学约占全班同学的68.27%.则成果在(80，85]内的同学占全班同学的34.135%.设该班有x名同学，则x×34.135%＝17，解得x≈50.∵μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90，∴成果在(70，90]内的同学约占全班同学的95.45%.则成果在90分以上的同学占全班同学的2.275%.即有50×2.275%≈1(人)，即估计该班成果在90分以上的同学有1人．10．解析：由题意X～N(0，22)，求得P(|X|≤4)＝P(－4≤X≤4)＝0.9545.设Y表示5件产品中合格品个数，则Y～B(5，0.9545)，所以P(Y≥5×0.8)＝P(Y≥4)＝Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(5))·(0.9545)4×0.0455＋Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))·(0.9545)5≈0.1888＋0.7923≈0.981.故生产的5件产品的合格率不小于80%的概率约为0.981.11．解析：∵ξ听从正态分布N(1，σ2)，且ξ在(0，1)内取值的概率为0.4，由正态曲线的对称性可知ξ在(1，2)内取值的概率也为0.4，∴P(0<ξ<2)＝P(0<ξ<1)＋P(1<ξ<2)＝0.4＋0.4＝0.8，任取这样的元件100个，测量结果在(0，2)内的期望值为100×0.8＝80.故选C.答案：C12．解析：∵函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋x2＋η2x没有极值点，∴f′(x)＝x2＋2x＋η2＝0无解或有两个相等的实数根，∴Δ＝4－4η2≤0，解得η≤－1或η≥1.∵随机变量η听从正态分布N(1，σ2)，P(η≤－1)＝0.2，∴P(η≤－1或η≥1)＝0.2＋0.5＝0.7，故选C.答案：C13．解析：由三个电子元件的运用寿命均听从正态分布N(1000，502)得，三个电子元件的运用寿命超过1000小时的概率为p＝eq\f(1,2).运用寿命超过1000小时的元件1或元件2正常工作的概率为p1＝1－(1－p)2＝eq\f(3,4).那么该部件的运用寿命超过1000小时的概率为p2＝p1×p＝eq\f(3,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,8).答案：eq\f(3,8)14．解析：依题意，知μ＝10，依据正态曲线的对称性及X在区间(－∞，＋∞)上的概率为1，知2P(X>12)＋2P(8≤X≤10)＝2m＋2n＝1，又m>0，n>0，所以eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(2,n)))(2m＋2n)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋\f(n,m)＋\f(2m,n)))≥6＋4eq\r(\f(n,m)·\f(2m,n))＝6＋4eq\r(2)，当且仅当eq\f(n,m)＝eq\f(2m,n)，即n＝eq\r(2)m时，等号成立．答案：6＋4eq\r(2)15．解析：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数eq\o(x,\s\up9(－))和样本方差s2分别为eq\o(x,\s\up9(－))＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.0