高一数学人教A版2019必修第一册42指数函数学案含解析

4.2指数函数

胤目标导航

1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性.

2.了解指数增长型和指数衰减型在实际问题中的应用.

3.掌握指数函数的图象和性质.

4.学会利用指数函数的图象和性质求函数的定义域、值域.

5.能利用指数函数的单调性比较与指数有关的大小问题.

6.能借助指数函数的单调性求解指数方程与指数不等式问题.

7.会求与指数函数有关的复合型函数的单调性问题.

矢破解读

赢点2指数函数的定义

一般地，函数3>0,且存1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.

知识点二两类指数模型

1.y=ka\kX),g)且W1),当时为指数增长型函数模型.

2.y=ka\k>0,»0且存1),当时为指数衰减型函数模型.

知识点三指数函数的图象和性质

a>\0<〃<1

4yv=o*y-a,,

产卜斗2一

图象

orx

定义域R

值域—

过定点过定点_____，即x=_时，y=_

性当x<0时，________；当x>0时，________；

函数值的变化

质当GO时，________当x<0时，________

单调性在R上是________在R上是________

y="与),=《〉的图象关于)，轴对称

对称性

知识点四比较累的大小

一般地，比较塞大小的方法有

(1)对于同底数不同指数的两个累的大小，利用的单调性来判断.

（2）对于底数不同指数相同的两个零的大小，利用的单调性来判断.

（3）对于底数不同指数也不同的两个辕的大小，则通过来判断.

知识点五解指数方程、不等式

简单指数不等式的解法

⑴形如〃此>4以外的不等式，可借助），="的单调性求解.

⑵形如小小心的不等式，可将力化为以。为底数的指数基的形式，再借助的单调性求

解.

（3）形如"A"的不等式，可借助两函数），="，y=〃的图象求解.

知识点六指数型函数的单调性

一般地，有形如且a,1）函数的性质

⑴函数y=/）与函数y=段）有的定义域.

⑵当面>1时，函数），=/、）与y=/U）具有的单调性；当0〃<1时，函数），=小外与函数y=/U）

的单调性.

0跟踪训练

一、单选题

I.已知a=1.6°3,b=L608,c=0.7°s,则（）

A.c<a<bB.a<b<cC.b>oaD.a>b>c

2.如图所示，函数y=|2-2|的国像是（）

3.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命

名的“高斯函数"：设xeR,用[可表示不超过x的最大整数，则>=国称为高斯函数，也称

取整函数，例如：[-1.3卜-2,[3.4]=3,己知/（幻=手片-g,则函数y=[f（x）]的值域为

A.{0}B.{-bO}C.{0,1}D.{-L0,l}

4.已知函数则/⑴=()

A.IB.2C.4D.8

5.己知a>〃，则下列不等式一定成立的是()

A._<：B.2a>2bC.a2>b2D.\a\>\b\

22I

6.若a=(£N=(J，c=C则a、b、c的大小关系是()

A.b<a<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

7.非零实数小b满足a>b,则下列结论正确的是()

A.-<yB.-+Y>2C.ac2>bc2D.>1

abab

8.已知函数/(x)=2-告，+则实

数。的取值范围是()

51(51G5)5

A.0,-B.-oo,-C.0,-D.—,+00

I2」I2jI2)2

二、多选题

9.已知函数“力=3*-3\则()

A.f(x)的值域为RB.〃")是R上的增函数

C.〃力是R上的奇函数D./(力有最大值

10.已知函数/।是R上的增函数，则实数〃的值可以是()

(l-2a)x+3a,x..-l

A.4B.3C.-D.一

34

11.设xwR,[4表示不超过x的最大整数，例如：[-3.5]=T,[2』=2,已知函数

/(x)=-^7-l,则下列叙述中正确的是()

A.[/(X)]是偶函数B./⑴是奇函数

C.〃力在R上是增函数D.[/⑺]的值域是{T,0,1}

12.已知函数〃力="(；?+8的图象过原点，且无限接近直线y=2,但又不与该直线相交,

则()

A.a=-2,b=2B./(x)的值域为[0,2)

C.若x<y<0,则/(x)</(y)D,若/(x)=/(y),月产工丁，则x+y=0

三、填空题

13.函数y=4，+2m+3的值域为一,

14.已知/(同是R上的奇函数且单调递增，则下列函数是偶函数且在(0,y)上单调递增的

有.

①y=|/(x)|;@y=/(x2+x)；©y=/(|x|)；©j=e/(x)+e-/(x).

R，都有/(4+1)=看

15.已知定义在R上的函数y=满足：①对于任意的xw②

函数y=f(力是偶函数;③当x«0，l]时，/(x)=x+e\则/传)/传)从

小到大的排列是.

Q

16.已知函数函力=3%+2+。关于点(0,-12)对称,若对任意的h2f⑵)20

x

恒成立，则实数Z的取值范围为.

四、解答题

17.已知定义在(一1,1)上的奇函数/(x).在x«—l,0)时，/(x)=2r+2-\

(1)试求/(x)的表达式;

⑵若对于x«0,l)上的每一个值，不等式，2・7(力<4*-1恒成立，求实数/的取值范围.

18.已知4>0且4H1,函数/(6=优+〃-'(彳£[-1,1]),=-2ar+4-«(xe[-l,l]>

(1)求八外的单调区间和值域；

⑵若对于任意不«-1』，总存在%使得g(%)=/(X)成立，求。的取值范围；

(3)若对于任意公«-1』，任意八«-15，都有g(x0)2/a)恒成立，求〃的取值范围.

19.已知函数〃x)=优，g(x)=b"若/⑴+g⑴=5,/(l)-^(l)=l.

(1)求)(力，g(x)的解析式；

(2)若/(m)=g(〃)，试比较m,〃的大小.

20.双曲函数是一类与常见的三隹函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双

曲余弦函数(历史上著名的“悬链线问题”与之相关).记双曲正弦函数为/(力，双曲余弦函

数为g(x),已知这两个最基本的双曲函数具有如下性质：

①定义域均为R,且/(同在R上是增函数；

②“X)为奇函数，g(x)为偶函数；

③f(x)+g(x)=e'(常数e是自然对数的底数，e=2.71828-0.

利用卜述性质,解决以下问题：

(1)求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式；

(2)证明：对任意实数盯［/(力7-［g(x)了为定值；

(3)已知帆wR,记函数y=2»g(2x)—4/(x)/WQln2］的最小值为求处㈤

4.2指数函数

园目标导航

1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性.

2.了解指数增长型和指数衰减型在实际问题中的应用.

3.掌握指数函数的图象和性质.

4.学会利用指数函数的图象和性质求函数的定义域、值域.

5.能利用指数函数的单调性比较与指数有关的大小问题.

6.能借助指数函数的单调性求解指数方程与指数不等式问题.

7.会求与指数函数有关的复合型函数的单调性问题.

矢确解读

赢点2指数函数的定义

一般地，函数3>0,且在1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.

【答案】y="

知识点二两类指数模型

1.y=ka\k>0,a>0且启1),当时为指数增长型函数模型.

2.y=ka\k>0,〃>0且W1),当时为指数衰减型函数模型.

【答案】

知识点三指数函数的图象和性质

a>\0<a<l

P,厂01y-a,,

图象产卜一

Op-Xor~~x

定义域R

值域—

过定点过定点_____，即x=_时，y=_

性当x<0时，________；当x>0时,________；

函数值的变化

质

当x>0时，________当x<0时，________

单调性在R上是________在R上是________

y="与y=Q的图象关于轴对称

对称性

【答案】(0,+8)(0,1)010勺<10勺<1)>1)>1增函数减函数

知识点四比较塞的大小

一般地，比较幕大小的方法有

(1)对于同底数不同指数的两个暴的大小，利用的单调性来判断.

(2)对于底数不同指数相同的两个寨的大小，利用的单调性来判断.

(3)对于底数不同指数也不同的两个累的大小，则通过来判断.

【答案】指数函数幕函数中间值

知识点五解指数方程、不等式

简单指数不等式的解法

⑴形如小)⑶的不等式，可借助)，="的单调性求解.

(2)形如〃山力的不等式，可将8亿为以。为底数的指数塞的形式，再借助,，=/的单调性求

解.

(3)形如心的不等式，可借助两函数y=〃，y=〃的图象求解.

知识点六指数型函数的单调性

一般地，有形如旷=小％/>0,且在1)函数的性质

⑴函数)，=/)与函数y=/)有的定义域.

⑵当时，函数丁=小，与y=，/U)具有的单调性；当0<0<1时，函数^=小)与函数1y=段)

的单调性.

【答案】相同相同相反

,跟踪训练

一、单选题

1.已知4=1.6°3/=1.6°8,C=0.7°S,则（）

A.c<a<bB.a<b<cC.b>oaD.a>b>c

【答案】A

【分析】根据指数函数的单调性结合中间量法即可得出答案.

【详解】解：y=16是增函数，故a=1.6°3<b=1.6%

而1.6°3>1>.0严,故c<a<b-

故选：A.

2.如图所示，函数），=|2'-2|的图像是（）

【答案】B

【分析】将原函数变形为分段函数，根据x=l及X"时的函数值即可得解.

【详解】nT2f=

=1时，y=O,xwl时，y>0.

故选：B.

3.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命

名的“高斯函数"：SXGR,用团表示不超过x的最大整数，则>=区称为高斯函数，也称

取整函数，例J如：[-1.3]=-2,[3.4]=3,已知/(#=白_；,则函数尸[/(刈的值域为

()

A.{0}B.{-1,0}C.{0,1}D.{-1,0,1)

【答案】B

【分析】先求解函数〃幻=±-3的值域，在根据高斯函数的定义确定丁=[/(用]的值域.

【详解】解：因为3、+1>1,所以0<J7c1,则一?所以函数/(X)的值域

3+133+133

为卜;故尸[/⑼的值域为-1或

故选：B

4.已知函数贝厅⑴=()

A.IB.2C.4D.8

【答案】C

【分析】将x=l代入对应解析式即可.

【详解】「当x«2时，/(x)=2r+2,.•./(1)=2,+2=4.

故选：C.

5.己知〃>〃，则下列不等式一定成立的是()

A.5<、B.2a>2bC.a2>b2D.\a\>\b\

【答案】B

【分析】根据给定条件，举例说明判断A,C,D；利用指数函数单调性判断B作答.

【详解】取。=1/=-2,满足显然有/<从、时<例成立，即选项A,C,

ab

D都不正确；

指数函数y=2*在R上单调递增，若a>b,则必有2a>2)，B正确.

故选：B

221

6.若a=(；)L=(J,c=&,则amc的大小关系是()

A.b<a<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

【答案】A

【分析】利用塞函数和指数函数的单调性比较大小

2II

【详解】囚为y=在（。，收）上单调递增，且

22

所以（；丁>（护即a”,

因为y=（gj在R上单调递减，且

2I

所以（;丫<（3），即

所以c>a>h,即b<a<c

故选：A

7.非零实数小〃满足力,则下列结论F确的是（）

A.—<yB.一十二>2C.ac2>^<?2D.Qa~b>1

abab

【答案】D

【分析】对于选项A、B、C,举反例可判断，对于选项D,根据不等式的性质和指数函数

的单调性可判断.

【详解】解：对于A,当。=24=一1,满足：非零实数小b旦a>b,而2=:>-1=!，

故A不正确；

对于B,当。=2力=一1,满足：非零实数m尻且而2+f=-1-2=-2<2,故B

不正确；

对于C,当c=0时，ac2=bc2,故C不正确；

对于D,因为非零实数a,b满足。>b,所以。一6>0,所以e"">],故D正确，

故选：D.

8.已知函数〃力=2-告，若不等式"）+/（-/一9>2对Wx«l,2）恒成立，则实

数。的取值范围是（）

【答案】D

【分析】根据解析式可推导得到〃X）+〃T）=2,由此可化简不等式得到

/（ar）>/L2+|l根据外力的单调性可得+g对立«1,2）恒成立，由T<x+g<|

可得结果.

【详解】•./（力=2-等=若，==,-./（x）+/（-x）=2,

C"iJLD'।'ID•11"iC

则/卜"2-、）+/卜+'）=2,「•/（0¥）+/（一/一_1）>2可化为〃公）>/卜+"|}

,2

•・•y=e，+l为R上的增函数，.•.fx）=2--二为R上的增函数，

e^+1

I

.,.依>/+1x对\/%£（］,2）恒成立，^a>x+-,

v|<x+^<|,/.«>|,即实数a的取值范围是I，+8）.

故选：D.

二、多选题

9.已知函数/（耳二3、-3-、，则（）

A.””的值域为RB.〃l）是R上的增函数

C.””是R上的奇函数D.〃力有最大值

【答案】ABC

【分析】g（x）=3%（0,十8）,而〃（力二-3-、«-^0）得到/⑺的值域为R,判断A正确，

D错误，根据增函数加增函数还是增函数进行判断B选项，根据函数奇偶性定义判断得到C

选项.

【详解】g（x）=3、£（0,”），而人（6二一3-，£（e,0）,所以/（x）=3'—3T值域为R,A正

确，D错误；

因为g（x）=3*是递增函数，而力（力二-3-，是递增函数，所以/（»=3'-3T是递增函数，B

正确；

因为定义域为R，M/（-x）=3-x-3v=-/W>所以/（力是R上的奇函数，C正确；

故选：ABC

10.已知函数/（幻=।是R上的增函数，则实数。的值可以是（）

A.4B.3C.-D.一

34

【答案】CD

【分析】由已知结合指数函数，一次函数及分段函数单调性要求建立关于。的不等式组，解

不等式可求.

【详解】解：因为〃幻=；蓝;35.-产上的增函数,

所以l-2a>0

2a-\+3a..a

解得:”“.

故选：CD.

11.设xwR,国表示不超过x的最大整数，例如：［-3.5］=7,［2』=2,已知函数

x1

/（力=4e-;则下列叙述中正确的是（）

A.［/（切是偶函数B.是奇函数

C./（6在R上是增函数D.［了㈤］的值域是｛TO」｝

【答案】BC

【分析】利用特殊值法可判断A选项；利用函数奇偶性的定义可判断B选项；利用函数单

调性的性质可判断C选项；求出函数/（另的值域，利用题中定义可判断D选项.

【详解】根据题意知，/（力七一9H3白白，

［/⑴卜［dH卜°，［/（-|）］=［占4卜t，

所以，卜⑴卜卜（-叨且［〃1）尸-卜（叫］，

所以，函数［/（X）］既不是奇函数，也不是偶函数，A错；

/一加餐一；=叫：巧十七一9一八）

所以，函数f（x）为奇函数，B对；

因为函数y=l+e，为R上的增函数，则函数＞=7■二为R上的减函数,

1+e

故函数/(x)=T-备上的增函数，C对；

因为e、>0,则1+ejl，所以，故一:<〃％)<!，

1+e22

所以，函数［/(切的值域为{TQ},D错.

故选：BC.

12.已知函数/(*)=〃的图象过原点，且无限接近直线y=2,但又不与该直线相交，

则()

A.。=-2,b=2B.“X)的值域为［0,2)

C.若xvyvo,则〃X)v/(y)D.若/(x)=/(y),且xwy,则x+y=O

【答案】ABD

【分析】“X)过原点得〃+8=0,由x-8〃.r)=a(gJ+〃fZ>,可判断A；由(Je(O,l］得

-2(；(+2«0,2)可判断B；画出“力的图象可判断C;由/(力为偶函数可判断D.

【详解】•・・〃x)过原点，・・・〃。)=0，・・・a+6=0①，

又丁工一>8时，(g)TO,工1一②时，f(x)=a(g)+bib,

由题，图象无限接近直线，=2,则b=2②，

由①@知〃=—2,b=2,故A正确；

所以〃同=-26)’+2,(gj«OJ］,+2G［0,2),所以B正确；

由图知，〃力在x«y,0］上单调递减，因为“”0,则/(*)>/(>，)，

故C错误；

•・"(力为偶函数，

又・・・/(y)=/(x),・•・/(>)=/(—),・・・一工=儿・・・x+y=o,故D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13.函数)，=4'2"1+3的值域为.

【答案】(3,+00)

【分析】函数是复合二次函数，换元转化为二次函数值域问题.

r详解】解：令，=2p>o),

二•函数丁=4'+2.+3(4€/?)化为/(。=/+2/+3=0+1)2+2«>0),

.•./(/)>3,即函数y=4,+2川+3的值域为(3,小).

故答案为：(3,位)

14.已知/(同是R上的奇函数且单调递增，则下列函数是偶函数且在(0,y)上单调递增的

有.

①3=|/(刈；②y=/(f+x)；@y=/(|x|)；④旷=/35

【答案】①③④

【分析】根据奇偶性定义域，单调性的性质判断即可.

【详解】解：因为/(X)是R上的奇函数且单调递增，

故当x>0时，/W>/(0)=0,/(-X)=-/(%),

①8(-司=|〃-力|=|/(力|=83为偶函数，且当工>0时，g(x)=|.f(x)|=/(x)单调递增，

符合题意；

②g(T)=/(X2T"㈤,故不满足偶函数;

③g(T)=/(|T|)=/(|x|)=g(x)，且X>0时8(力=/(力单调递增，符合题意；

/W

④g(—x)=e/(T+e)(T=e如+/3=g(x),满足偶函数，且当*>0时,/(x)>0,C>B

根据对勾函数的单调性可知g(x)=e/3+e-尔)单调递增，符合题意.

故答案为：①③④

]

15.已知定义在R上的函数了=/(力满足：①对于任意的xwR,都有/(%+1)=7«②

函数尸””是偶函数；③当x«O，l］时，/(x)=x+e\则O,/图,，第从

小到大的排列是.

【答案】/(-1"(野G)

【分析】由f(x+l)=看可得函数的周期为2,然后利用偶函数的性质和周期性将自变量

转化到(0』上，再由函数在(0,1]上为增函数可比较大小

【详解】由题意〃"+1)=矗=/(x-l),故函数y=/(x)为周期为2的函数；

7

HH(3信M吟传卜小同=呜)；

•・•当x«0,l]时，/(力=工+占是增函数，

故佃<呜卜同，即/卜讣信

故答案为:/月」传M3

Q

16.已知函数/(x)=3x+2+a关于点(012)对称，若对任意的xe[T,l],k-2x-f(2x)k0

x

恒成立，则实数k的取值范围为.

【答案】上All

【分析】由h2*-/(21)20得火之告2使得不等式一边是参数左，另一边是不含上关于x的

式子，分离参数.

Q

【详解】由y=3x+2为奇函数，可得其图像关于(0,0)对称，

X

所以八公的图像关于(0M)对称，

Q

由题目可知函数/(x)=3x+2+a关于点(0,-12)对称，可得々=—12,

x

对任意的工£[-1,1],心2"-/(2*)20恒成立

Q

0Vx£[—1,1]欢2—(32+F—12)20恒成立，

2X

O

即忆2*之3-2*+--12在工£[-1,1]恒成立,

2X

Q17

所以-谡-十3,

令/=由可得

2X2

设人(，)=8/-121+3=8"-？)2-3，

42

当f=2时，/KD取得最大值11,

所以女的取值范围是ANIL

故答案为：k>\\.

【点睛】①分离参数法：遇到类似h/(x)2g(x)或&+/(x)2g(x)等穴等式恒成立问题，可

把不等式化简为左N力(x)或左w〃(x)的形式，达到分离参数的目的，再求解y=〃(x)的最值处

理恒成立问题；

②恒成立问题最终转化为最值问题，而分离参数法，最好之处就是转化后的函数不含参，避

免了麻烦的分离讨论.

四、解答题

17.已知定义在(7,1)上的奇函数/(X).在x«TO)时，/(x)=2r4-2-\

⑴试求/(X)的表达式;

⑵若对于x«O,l)上的每一个值，不等式九2。/(耳<4=1恒成立，求实数/的取值范围.

2，+2Txe(-l,O)

【答案】(l)f")=0x=0

2T2-xXG(O,1)

(2)r>0

【分析】(1)依题意可得〃0)=0,再设x«O,l),根据奇偶性及xw(-1,0)上的函数解析式，

计算可得；

(2)依题意参变分离可得经+［，令g(x)==±l,xe(0,l),根据指数函数的性质求

4+14+1

出函数的单调性，即可求出函数最小值，从而得解；

【详解】⑴解：・・・/(力是定义在(一")上的奇函数，"(0)=0,

因为在xw(-1,0)时，/(x)=2¥+2-\

设xw(0』)，则TC(-1,0),

则/3=_/(_加_(2”)

2、+2、XG(-1,0)

故/(力=«0x=0

-2x-2-xx€(O,l)

(2)解：由题意，入2。/(力〈4'-1可化为入2、・(-2,-27)〈4'-1

化简可得里，

4+1

令g(%)=：+：=—+xe(。」),

4+14+1

因为y=4，+l在定义域(0,1)上单调递增，y=：在(2,5)上单调递减，

所以g(x)在(0,1)上单调递减，

2

，g(x)<g(O)=T+^j=。，

故1N0.

18.已知a>0且awl,函数/(%)=优+4-*(工£[-1』]),g(x)=ax2-2ax+4-a(XG[-\A])

(1)求八外的单调区间和值域；

⑵若对于任意入1,1]，总存在不£卜1』，使得g(x0)=/(%)成立，求。的取值范围；

⑶若对于任意与武一1』，任意不«-1』，都有g(x0)2/a)恒成立，求。的取值范围.

【答案】(1)函数的递增区间为[0，1]，递减区间为2,a+；

⑵0收)

⑶事)

【分析】(1)先判断函数的奇偶性，然后根据复合函数单调性之间的关系，即可求人制的单

调区间和值域

(2)若对于任意为4—1,1],总存在七目一口],使得g(%)=/(K)成立，即等价于

g(HLN/(力2且g(£LN，然后可。得取值范围•

(3)若对于任意不目一L1],任意百目一川，都有g(y)之/(演)恒成立,等价为

双。而//(“)2，然后可。得取宜范围•

【详解】⑴，f⑺=ax+a~x(xe[-1,1])

则f(~x)=ax+ax=f(x),/(x)为偶函数

设r=",则函数等价为y=

t

若当OVxWl时，，二优单调递增，且壮1,此时函数y=f+1在年1上单调递增，...根

t

据更合函数的单调性可知此时f(x)单调递增.

若Ovavl,当OWxWl时，f=a”单调递减，且0<Y1,此时函数y=/+,在0<Y1上单调

t

递减，，根据复合函数的单调性可知此时f(x)单调递增.

综上当xNO时，函数单调递增

・•・函数/(X)是偶函数，，当一时，函数单调递减.

故函数的递增区间为[0，1],递减区间为[-1,0].

••・函数的值域为⑵«+-].

a

(2).a>0且〃工1,

/.g(力=CD^—lax+4~a(xe[―1»1])的对称轴为x=---—=1,

二函数g(x)在x«T，l]时，函数单调递减.

・.g(T)=2a+4,g⑴=4—2a.

即4—2。<g(x)<4+2a,

若对于任意不总存在与式-1，1],使得爪/)=，5)成立，

即g(")2之f⑸r且g(必kf(xL，

,4+2a>a+—nM4+«>—

则，a,即，a,

4-2a<2a>1

此时aNl,

。>0且。。1,：.a>\,

即〃的取值范围是(1，y)：

(3)若对于任意飞«一川，任意百«一同，都有g(%)N/(X)恒成立

即晨力加了〃力2

则4—2aNa+L4—3a>-

aa

.-,3t?2-4«+l<0,解得gvaKl

a>0且awl

即a的取值范围g，l)

19.已知函数/(%)=",g(』M，若/⑴+g⑴=5,f(l)-g(l)=l.

⑴求/(x),g(x)的解析式;

(2)若f(/n)=g(〃),试比较m,〃的大小.

【答案】⑴/(x)=3，，g(x)="

(2)当/n=0时，fn=n.当相>0时，m<n,当机<0时，m>n.

【分析】(1)由已知得/⑴=3,g⑴=2,代入即可求得进而得解;

(2)分类讨论当m=0,加>0和m<0时，结合已知即可得解.

［详解］(1)由+=:,解得：/(l)=3,g(l)=2,即〃=3/=2

1/⑴-g⑴=1

.•./W=3\g(H=2*

⑵由f(m)=g(〃)，得3m=2",

当加=0时,有2"=1，所以〃=0，此时间=〃；

当7«>0时,25V3"'=2”.此时机<〃：

当m<0时，2m>3^=2"，此时切>〃；

20.双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双

曲余弦函数(历史上著名的“悬链线问题”与之相关).记双曲正弦函数为了(X),双曲余弦函

数为g(x),已知这两个最基本的双曲函数具有如下性质：

①定义域均为R，且/(力在R上是增函数；

②/(X)为奇函数，g(x)为偶函数；

③/(x)+g(6=e、(常数e是自然对数的底数，e=2.71828…).

利用上述性质，解决以下问题：

(I)求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式；

(2)证明:对任意实数”,［〃力了一［g(x)了为定值;

(3)已知〃z