材料力学：弯曲正应力

材料力学：弯曲正应力对称弯曲的概念及计算简图梁的剪力和弯矩•剪力图和弯矩图梁横截面上的正应力•梁的正应力强度条件梁横截面上的切应力•梁的切应力强度条件平面刚架和曲杆的内力图梁的合理设计返回§4-4梁截面上的正应力•梁的强度条件当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上既又弯矩

M

，又有剪力

Fs

。mmFsM只有与正应力有关的法向内力元素

dFN=dA

才能合成弯矩只有与切应力有关的切向内力元素dFs=dA

才能合成剪力所以，在梁的横截面上一般既有正应力，又有切应力mmFsmmM

一、纯弯曲梁截面上的正应力

FFaaCD++FF+Fa简支梁CD

段任一横截面上，剪力等于零，而弯矩为常量，所以该段梁的弯曲就是

纯弯曲

。若梁在某段内各横截面上的弯矩为常量

，剪力为零，则该段梁的弯曲就称为纯弯曲。推导公式时，要综合考虑

几何，物理

和

静力学

三方面

。取一纯弯曲梁来研究。推导纯弯曲梁横截面上正应力的计算公式。1.几何方面以及横向线相垂直的一系列的纵向线（如aa

，bb等）。mmnnaabb梁在加力前先在其侧面上画上一系列的横向线（如mm

，nn等）mm（1）变形前相互平行的纵向直线（aa

，bb等），变形后均为圆弧线（a’a’

，b’b’等)，且靠上部的缩短靠下部的伸长。梁变形后观察到的现象mmnnaabba’a’b'b'mmmmnnaabb（2）变形前垂直于纵向直线的横向线（mm,nn等）变形后仍为直线（m’m’,n’n’等），但相对转了一个角度，且与弯曲后的纵向直线垂直。m’m’n’n’a’a’b'b'平面假设

：梁在受力弯曲后，原来的横截面仍为平面，它绕着该横截面上的某一轴

旋转了一个角度，且仍垂直于梁弯曲后的轴线。由平面假设可知，在梁弯曲时，这两个横截面将相对地旋转一个角度d

。用两个横截面从梁中假想地截取长为dx

的一段。d

（3）公式推导d

横截面的转动将使梁的凹边的纵向线段缩短，凸边的纵向线段伸长。由于变形的连续性，中间必有一层纵向线段O1O2无长度改变。此层称为中性层

。O1O2的长度为dx

。O1O2dxd

O1O2dx中性轴与横截面的对称轴成正交。中性层与横截面的交线称为中性轴

。d

O1O2dx中性层中性轴横截面横截面的对称轴d

O1O2dxyZx将梁的轴线取为x

轴。横截面的对称轴取为

y

轴。中性轴取为

z

轴。d

O1O2dx作O2B1

与

O1A

平行。在横截面上取距中性轴为y

处的纵向线

AB。

为中性层上的纵向线段O1O2

变弯后的曲率半径。

AByB1

d

d

O2B1的长度为y

。yd

O1O2dx

AByB1

d

d

yAB1为变形前AB

的长度B1B

为AB1的伸长量

AB1

为A点的纵向线应变。dxd

O1O2dx

AByB1

d

d

中性层的曲率为因为

是个非负的量于是dxyd

O1O2dx

AByB1

d

d

dxy因而，横截面上到中性轴等远的各点，其线应变相等。变

该式说明，

和y

坐标成正比,而与中性轴z坐标无关。，dxd

O1O2dx

AByB1

d

d

dxydxxyZOy2.物理方面纯弯曲时横截面上各点处的处于单轴应力状态。材料在线弹性范围内工作，且拉，压弹性模量相等。由单轴应力状态下的

胡克定律可得物理关系假设：

=E上式为横截面上

正应力变化规律的表达式。上式说明，横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的距离

y

成正比；OxyZy1在距中性轴为y的同一横线上各点处的正应力均相等。yM需要解决的问题如何确定中性轴的位置？如何计算1/

?中性轴

弯曲正应力yZxOM3.静力学方面在横截面上法向内力元素

dA

构成了空间平行力系。dAZydAdA

1dAyZxOMdAZydAdA

1dA该空间平行力系简化为x轴方向的主矢对y轴和z

轴主矩因为该梁段是纯弯曲，因此FN

和My均等于零，而Mz就是上横截面的弯矩M

。yZxOMdAZydAdA

1dA中性轴必通过横截面的形心中性轴过截面形心且与横截面的对称轴y垂直yyCZCZ中性轴中性轴中性轴将横截面分为受拉和受压两部分。MMyyCZCZ中性轴中性轴拉拉压压因为y轴是横截面的对称轴，所以Iyz

一定为零。该式自动满足中性轴是横截面的形心主惯性轴EIz称为截面的抗弯刚度M

横截面上的弯矩。该式为等直梁纯弯曲

时横截面上任一点处正应力的计算公式y

求应力点的y

坐标。式中：横截面对中性轴的惯性矩。Iz4.讨论

（1）应用公式时，一般将

M

，y

以绝对值代入。根据梁变形

的实际情况直接判断

的正，负号。以中性轴为界

梁变形后凹入边的应力为压应力（

为负号）梁变形后凸出边的应力为拉应力（

为正号）（2）横截面中性轴上各点的正应力最小。且

min=0MMyyCZCZ中性轴中性轴（3）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处

中性轴为对称轴ZyCM

tmax

Cmax压拉用ymax

表示最大拉（压）应力点到中性轴的距离。ZyCM

tmax

Cmax压拉WZ称为抗弯截面模量。ZyCM

tmax

Cmax压拉中性轴是对称轴的梁横截面上最大正应力的计算公式为yzhb矩形截面的抗弯截面系数圆形截面的抗弯截面系数dyzM矩形截面梁横截面上正应力分部图zy

对于中性轴不是对称轴的横截面M

tmax

Cmax应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离ytmax

和

yCmax

直接代入公式。求得相应的最大拉应力和最大压应力。zyM

tmax

CmaxzyM

tmax

Cmax当梁上有横向力作用时，横截面上既又弯矩

又有

剪力。梁在此种情况下的弯曲称为

横力弯曲。二、纯弯曲理论的推广横力弯曲

时，梁的横截面上既有正应力

，又有切应力

。切应力使横截面发生翘曲横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应力纯弯曲时所作的

平面假设

和

各纵向线段间互不挤压的假设都不成立。但工程中常用的梁，纯弯曲时的正应力可以精确的计算公式计算横力弯曲时横截面上的正应力。等直梁横力弯曲时，某一横截面上的最大正应力发生在距中性轴最远的位置。三、梁的正应力强度条件梁的最大正应力发生在

最大弯矩的横截面上距中性轴最远的各点处。该处的切应力都等于零，纵截面上由横向力引起的挤压应力可略去不计。因此，可将横截面上最大正应力所在各点处的应力状态，看作

单轴应力状态

。梁的正应力强度条件为：梁的横截面上最大工作正应力

max

不得超过材料的许用弯曲正应力[]

即1.对于中性轴为对称轴的截面Wz

称为抗弯截面系数正应力强度条件为2.对于中性轴不是对称轴的截面比如铸铁等

脆性材料

制成的梁，由于材料的（两者有时并不发生在同一横截面上）且梁横截面的中性轴

一般也不是对称轴，所以梁的要求梁上最大的拉应力和最大的压应力分别不超过材料的许用拉应力

和

许用压应力

。正应力强度条件为可对梁按正应力进行强度校核3.正应力强度条件解决三方面问题（中性轴是对称轴）（中性轴不是对称轴）选择梁的截面确定梁的许可荷载例题1：长为l

的矩形截面梁，在自由端作用有集中力F。已知：

h=0.18m，b=0.12m，y=0.06m，a=2m，F=1.5kN。求C

截面上K点的正应力。ABCFalyKbhzABCFalMC=-Fa=-3kN.m解：（+）yKbhzz12.556021166a例题2：图示简支梁由

56a工字钢制成，其横截面见图,

F=

150kN。求:(1)梁上的最大正应力

max(2)同一截面上翼缘与腹板交界处a

点的应力BACF10m5mz12.556021166a解：支座反力为+375kN.m作弯矩图BACF10m5mz12.556021166a查型钢表，56a

工字钢中间截面为危险截面。

最大弯矩为+375kN.mz12.556021166a(1)梁的最大正应力梁的最大正应力发生在弯矩最大截面距中性轴最远的上，下边缘各点处，即+375kN.m(2)危险截面上a

点的正应力a点到中性轴的距离为所以a

点的正应力为z12.556021166a+375kN.m例题3:跨长l=2m

的铸铁梁受力如图所示。已知材料的拉、压许用应力分别为[

t]=30MPa，[

C]=90MPa。试根据截面最为合理的要求：（1）确定T字形截面梁横截面的一个尺寸

。（2）校核梁的强度。AB1m2mF=80kN220y60280z解：AB梁各截面弯矩均为正值，且中间截面是危险截面。假设截面形心位置如图所示，z轴为中性轴。要使截面最合理，必须使同一截面的oz220y60280z已知：oz220y60280z

tmax

Cmaxoz220y60280z

tmax

Cmax以上边缘为参考边oz220y60280z

tmax

Cmax12220y60280z12220y60280z(2)校核梁的强度12220y60280zoz220y60280z

tmax

Cmax例题4:一槽形截面铸铁梁如图所示。已知，b=2m，

Iz=5493104mm4

，铸铁的许用拉应力[

t]=30MPa，许用压应力[

C]=90MPa。试求梁的许可荷载[F]。bCbDAFb-+解：弯矩图如图所示。最大负弯矩在B

截面上，最大正弯矩在C

上。bCbDAFby202013486120180z40Cy1y2梁的截面图如图所示，中性轴到上，下边缘的距离分别为C截面y202013486120180z40Cy1y2-+C截面的强度条件由最的拉应力控制。y202013486120180z40Cy1y2-+B截面y202013486120180z40Cy1y2-+y202013486120180z40Cy1y2-+取其中较小者，得该梁的许可荷载为y202013486120180z40Cy1y2-+由80y1y22020120z例题5：T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示。铸铁的抗拉