高中自主招生数学试卷7-8

高中自主招生数学试题8

1、已知，求。的值

2、已知，x、y均为正数，且x+y+』+~^=5,求x+y的最值

3、设正数。、b满足，+5=1,求4+。+写的最小值

abacib

4、己知，x2+y2=1,求ylx2-2x+\+y]xy-2x+y-2的值

5、如图，ABCD为正方形，DE=5,EF=3,DF=4,求正方形的面积

6、若X3+y3=5%求不+丁的最大值

2122

7、若a+6+c=0,求——+f—+——的值

2。~+儿2从+ac2c2+ab

8、已知正数。、〃满足5/+4出?一/=1,贝iJlZ?+gab-b?的最小值是多少

9、如图，在矩形ABCD中，AB=3,AE=1,P是AB上动点，EFLEP,G为PF的中点，求点G

运动路径的长度

10、如图，在&45C中，ZACB=9(f,ZB=6(f,CB=2,D为AB上一动点，贝U2CD+AD的最小值是

多少

II、如图，在矩形ABCD中，AB=20,BC=IO,若AC、AB上各取一点M、N,使BM+MN的值最小,

求这个最小值。

2

12、如图，已知平行四边形ABCD,AB=a,BC=b(a>b)P为AB边上的一动点，直线DP交CB

延长线于Q,求AP+BQ的最小值

13、等腰直角三角形ABC中，ZACB=9(f,ZCAD=3(f,AD=AC,则NDBC=

14、如图，在四边形ABCD中，AD=DC=1,ND4B=NOC3=9。)，BC、AD的延长线交于P,求5必

的最大值

15、如图，求NDAC的度数

16、如图，已知正方形ABCD的边长为1,求阴影部分的面积

3

17、自然数〃使得28+2"+2〃是一个完全平方数，求〃

3_____

18、解方程：x+——=2Vx+2

x-1

19、已知xyz=l,x+y+z=2,x2+y2+z2=3,求--------+---------+---------的值

xy+z-\yz+x-\xz+y-\

20、是等边三角形，在A48C中，BC=aCA=b问：当NAC8为何值时，CD两点间的距离

最大，最大值是多少

21、如图，正方形ABCD的对角线交于点O,以AD为边向外作用ZAE£)=9tf,连OE,DE=6,

OE=8A/2,求AE的长。

4

高中自主招生数学试题7

1、如图，正方形。石尸G内接于用AA6C中，AC=3,BC=4,求正方形力历‘G的面积

2、如图，求三角形的面积

3、如图，求A3的长度

4、如图，正方形A5C。中，21=78°,N2=33°,求N3

5、如图，在三角形ABC中，BD为AC边上的中线，ZDBA=2ZCAB,BD=25,CB=38,则AB的长是

多少c

6、如图，在心AABC中，NAC8=9tf\AC=BC,D为BC的中点，CE_LAZ）于E,其延长线交AB

于F,求证：/ADC=NBDF

5

7、如图，在钝角三角形ABC中，NACB=2NB,CD是44C8的平分线，过点A作CD的垂线交CD

的延长线于点H,若CH=3,则AB等于多少

8、如图，AC=BD，求

9、如图，已知A点的坐标为（4,0）,点B是y轴上一动点，AABC为等边三角形，求线段OC的最小

值

10、在AABC中，CB>CA,ZABC=35°，满足CB=CA+AI,1为△ABC的内心，则/BAC=

11、如图，在平行四边形ABCD中，4=45°,AB=4,AD=2叵，乂是人口的中点，N是AB边上一

动点，将线段MN绕点M旋转90°至MN',连N'B、N'C,则3N'+CN'的最小值是多少

6

12、已知，如图，在正方形ABCD中，AD=AB,/B=/D=/BAD=9。）,E、F分别为CD、BC边上

的点，且NEA/ndS0，连EF,求证：EF=BF+DE

13、AABC中有正△ADE,D、E在BC边上，NC=2/BAD,BE=5,EC=2,则AC二

14、已知正方形ABCD中，E、F分别为AD、CD的中点，连BE、AF相交TP,连PC,求证：PC-BC

15、如图，在正方形ABCD中，求NAFD的度数

16、如图，E为正方形ABCD内一点，AEA.DE,DE=2,求△DEC的面积

17、如图，在L圆o中，D为AD上一点CO_LD4,CD=3,AD=4,求扇形AOB的面积

4

18、四边形ABCD中，AB=ACZBAC=9(fNAOC=79AD=3CD=342求BD

7

19、在放A48C中，ZC=9(f,AD平分NCAB,BE平分NABC,AD、BE相交于E且

AF=4.EF=V2.求AC

20、如图，在R/&45C中，ZC=9(/),D在边CA上，使得CD=1DA=3,且NBDC=3NBAC

求BC的长

21、如图，己知D为正三角形ABC外一点，ZADC=15tf连BD,求证：BD=AC

22、如图，已知P为正三角形内一点，Z4PC=120),D为AC边的中点，连BP、PD

求证：BP=2PD

23、如图，AB=AC=CDZA=10tfZACD=2tf求NAB。

24、如图，在AABC中，D是BC边上的一点，BD=ACZC=3(fNO4c=45°求N3

25、化简：^7-572

8

9

参考答案

一、选择题(每题4分，共40分)

12345678910

BDAADBCABC

二、填空题(每题5分，共20分)

11、-212、913、—14、V10

13

三、解答题(本题6小题，共90分)

15%4X2-4x-y2+4y-3=(4x2-4x+1)-(y2-4y+4)...............6分

=(2x-l)2-(y-2)2

=(2x+y-3)(2x-y+l)...............12分

16、解：(1)令尸0,则产4,・••点C的坐标为(0,4),...............1分

•・・5C〃x轴，.••点8,。关于对称轴对称，

又•:抛物线产--5办+4的对称轴是直线x=--=-,即直线x=2

2a22

・••点B的坐标为(5,4),

AAC=BC=5,在Rt2\ACO中，OA二JAC、-=3,

・••点A的坐标为A(-3,0),

♦・•抛物线)=a?-5奴+4经过点4,

:.9。+15«+4=0,解得。=一!，

6

工抛物线的解析式是y=-，f+3x+4

,6分

(2)存在，•7分

理由：C关于对称轴对称，

：.\MA-MB\=\MA-MC<AC,

・•・当点M在直线AC上时，|M4—M却值最大，9分

[-3^+Z?=0k=±

设直线AC的解析式为y="+b,则，，解得《3，

b=4,

10

y=—x+413分

,522522

令x=一,则nl尸一)14分

232T

17、要考虑的不同画线方案，可归纳为如下4类：

(1)如图(1),其周长和=2x(2xl+2x；)=5(........3分

(2)如图(2),其周长和=2(x+3x)+2[(l-x)+3(1-x)]=8........6分

(3)如图(3),其周长和=8........9分

(4)如图(4),其周长和=2(3x+x)+2「(3—幻+=]=3工+8.

.3J3

V0<3x<l,0<x<,~.

3

:•当x=」时，周长和有最大值9乙.......14分

39

综上所述，剪得的两个小长方形周长之和的最大值为9,.......15分

18、(1)证明：连接AD,BC,BD

TAB是直径，AB_LCD,

ABC=BD,ZCAB=ZDAB,:.ZDAG=2ZCAB,

'：ZBOF=2ZCAB,AZBOF=ZDAG,

又〈NOBF二NADG,AABOF^ADAG.,

OFAG

r)A

VOB=OC=2OF,A—=2,

AG

又・.・AC=DA,，AC=2AQAAG=GC;.......7分

(2)解：连接BC,MZBCA=90°,

XVCH1AB,

...AC2=,

AC=2AG=2y/2,AH:AB=\3

/.(2后JAMAB,

3

/.AB=6»AH=2,

，CH=2啦,JS△ACD=-CDVAH=-x2x4>/2=4夜，

22

11

又•*AG=CG，SACDG=SADAG=—SZ\ACD=2\/2,...............11分

2

VABOF^ADAG,

•S-BOF_/°6、2_3

••__1)一_,

SQGAD4

・Q_30

••OABOF-----・................15分

2

19、（1）证明：如图（1）当B,D在AC异侧时，连接BM,DM

M为点，ZABC=ZADC=90

:.BM=DM=-AC.............................................2分

2

.PBDM为等腰三角形

又丁N为BD中点

MN1BD..........................................4分

如图（2）当B,D在AC同侧时同理可证.......6分

<2）如图三：连接BM、MD,延KDM,过B作DM延K线的垂线段BE,

则可知在RtZkBEM中，ZEMB=30°,

VAC=4,ABM=2,/.BE=1,EM=6MD=2,

从而可知BD=ji+(2+6)2=2《2+3,・・・BN=也+0

由RtABMN可得：

MN=h一赤点丫=小2一6="”(不化简不扣分)

................11分

E

如图四：连接BM、MD,延长AD,过B作垂线BE,

,・，M、N分别是AC、BD中点，・,・MD=LAC,MB=^AC,

22

；・MD=MB

VZBAC=30°,ZCAD=45°,

AZBMC=60°,ZDMC=90°,

・•・ZBMD=30°,JZBDM=180~^=75。

2

VZMDA=45°,，ZEDB=I8O°-ZBDM-ZMDA=60°

令ED=x,则BE=&,AD=2&,AB=2>/3

:.由RtAABE可得：(2>/5)2=(&)2+(x+2s/2)2,

解得X=/2-6，则BD=2j2-75

•・・M、N分别是AC、BD中点

AMD=2,DN=j2-有

由RlZiMND可得：

MN二业-(万一62=也+后(不化简不扣分)