第十章分式（8个知识归纳16类题型突破）

第十章分式（8个知识归纳+16类题型突破）1.掌握分式的有关概念，尤其是分式有无意义的条件；2.掌握分式的基本性质；3.掌握分式的加减乘除运算；4、掌握分式方程的概念与解法；5、掌握分式方程的增根与无解的情况；6、掌握分式方程的应用；知识点1.分式的有关概念分式有意义的条件是分母不为零；分式无意义的条件是分母等于零；分式值为零的条件是分子为零且分母不为零．注意：分式有意义的条件是分母不为0，无意义的条件是分母为0．分式值为0要满足两个条件，分子为0，分母不为0．知识点2.分式的性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表示为注意：（1）分式的基本性质是分式变形的理论依据，所有分式变形都不得与此相违背，否则分式的值改变；（2）将分式化简，即约分，要先找出分子、分母的公因式，如果分子、分母是多项式，要先将它们分别分解因式，然后再约分，约分应彻底；（3）巧用分式的性质，可以解决某些较复杂的计算题，可应用逆向思维，把要求的算式和已知条件由两头向中间凑的方式来求代数式的值．知识点3．分式的加减运算加减法法则：①同分母的分式相加减：分母不变，分子相加减②异分母的分式相加减：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．注意：（1）分式加减运算的运算法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减．（2）异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的最简公分母．求最简公分母的方法是：①将各个分母分解因式；②找各分母系数的最小公倍数；③找出各分母中不同的因式，相同因式中取次数最高的，满足②③的因式之积即为各分式的最简公分母．知识点4.分式的乘除运算（1）乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．（2）除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．注意：分式乘除法的运算与因式分解密切相关，分式乘除法的本质是化成乘法后，约去分式的分子分母中的公因式，因此往往要对分子或分母进行因式分解（在分解因式时注意不要出现符号错误），然后找出其中的公因式，并把公因式约去．知识点5.分式的混合运算在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化简，最后进行加减运算．若有括号，先算括号里面的．灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式．知识点6.分式方程的有关概念(1)分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程．(2)分式方程的增根:分式方程化成整式方程解得的未知数的值，如果这个值令最简公分母为零则为增根．基本方法归纳：判断分式方程时只需看分母中必须有未知数；分式方程的解只需带入方程看等式是否成立即可．知识点7：分式方程的解法解分式方程的步骤：解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”．它的一般解法是：（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母（2）解所得的整式方程（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根．基本方法归纳：分式方程首要是方程两边同乘以分母最简公分母、去掉分母，转化为整式方程求解，其次注意一定要验根．归纳：分式方程首要是方程两边同乘以分母最小公倍数、去掉分母，转化为整式方程求解，其次注意一定要验根．知识点8.分式方程的应用(1)分式方程解应用题的一般步骤：（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．（2）设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数．（3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程．（4）解方程．（5）检验，看方程的解是否符合题意．（6）写出答案．(2)解应用题的书写格式：设→根据题意→解这个方程→答．基本方法归纳：解题时先理解题意找到等量关系列出方程再解方程最后检验即可．注意问题归纳：找对等量关系最后一定要检验．题型一分式有无意义的条件1．（2023春·吉林长春·八年级校考期中）下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据分式有意义的条件：分母不为0，进行判断即可．【详解】解：∵，故A符合题意；∵当时，，故B不符合题意；∵当时，，故C不符合题意；∵时，，故D不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不为0，则分式有意义是解题的关键．2．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知分式，当x取a时，该分式的值为0；当x取b时，分式无意义；则的值等于（）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】先把代入分式，根据分式值为0得出，求出解得：时，该分式的值为0；把代入分式，根据分式无意义，由分母为零，求出，再求代数式的值即可．【详解】解：分式，当时，，当时，解得：时，该分式的值为0；当时，，当时，解得：，即时分式无意义，此时，则．故选：B．【点睛】本题考查分式，分式的值为0的条件，分式无意义的条件，求代数式的值，掌握分式的值为0的条件，分式无意的条件是解题关键．3．（2023春·江苏·八年级专题练习）若分式无意义，则应满足的条件是（）A． B．x=3 C． D．【答案】C【分析】由题意得，进行计算即可得．【详解】解：若分式无意义，则，解得，，故选：C．【点睛】本题考查了分式无意义的条件，解题的关键是掌握分式无意义的条件并认真计算．巩固训练：1．（2023春·浙江·七年级专题练习）要使分式有意义，那么的取值范围是（

）A． B．C．且 D．且【答案】A【分析】根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求解即可．【详解】解：∵分式有意义，∴，∴，∴，∴，∴分式有意义，x的取值范围，故选：A．【点睛】本题考查了分式有意义的条件：分母不为0，掌握不等式的解法是解题的关键．2．（2023秋·八年级课时练习）已知分式，当时，分式的值为0；当时，分式没有意义，则ab的值为．【答案】8【分析】由时，分式的值为0，可得，解得，由时，分式没有意义，可得，解得，然后代入求值即可．【详解】解：∵时，分式的值为0，∴，解得．∵时，分式没有意义，∴，解得．∴．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解一元一次方程，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．3．（2023春·全国·八年级专题练习）已知，取哪些值时：(1)的值是正数；(2)的值是负数；(3)的值是零；(4)分式无意义．【答案】(1)(2)或(3)(4)【分析】（1）y的值是正数，则分式的值是正数，则分子与分母一定同号，分同正与同负两种情况，列不等式组，即可求解；（2）y的值是负数，则分式的值是负数，则分子与分母一定异号，应分分子是正数，分母是负数和分子是负数，分母是正数两种情况进行讨论，列不等式组，即可求解；（3）分式的值是0，则分子等于0，分母不等于0，列不等式组，即可求解；（4）分式无意义的条件是分母等于0．【详解】（1）解：的值是正数，或，解得或故当时，y为正数；（2）解：的值是负数，或，解得或故当或时，y为负数；（3）解：当时，即时，y值为零；（4）解：当时，即时，分式无意义．【点睛】本题主要考查了分式的定义，分式的值，分式有意义的条件．掌握分式的概念及分式的值为正或负时，分子与分母的符号关系是解题的关键．题型二分式值为零的条件1．（2023·浙江湖州·统考中考真题）若分式的值为0，则x的值是（

）A．1 B．0 C． D．【答案】A【分析】分式的值等于零时，分子等于零，且分母不等于零．【详解】解：依题意得：且，解得．故选：A．【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．2．（2023秋·河南南阳·八年级校考阶段练习）若，则（

）A． B．1 C． D．不存在【答案】C【分析】由分式在值为0可得分子为0，分母不为0，从而可得答案.【详解】解：，∴，即，解得：，当时，，不符合题意，舍去，当时，，符合题意，∴；故选C【点睛】本题考查的是分式的值为0的条件，熟记分式的值为0时，分子为0，分母不为0是解本题的关键.3．（2023秋·山东威海·八年级山东省文登第二中学校联考阶段练习）下列关于分式的判断，正确的是（

）A．当时，的值为零 B．无论为何值，的值总为正数C．无论为何值，不可能得整数值 D．当时，有意义【答案】B【分析】根据分式有意义的条件和分数值为零的条件逐一判断，即可得到结论．【详解】解：A、当时，无意义，原判断错误，不符合题意；B、，，无论为何值，的值总为正数，原判断正确，符合题意；C、当时，是整数，原判断错误，不符合题意；D、当时，有意义，原判断错误，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了分式有意义的条件和分式的值为零的条件．分式有意义的条件是分母不等于0．分式值为零的条件是分子是0，分母不是0．巩固训练1．（2023秋·山东泰安·八年级校考阶段练习）若已知分式的值为0，则的值为（

）A．或 B．或 C． D．1【答案】D【分析】根据分式值为零的条件可得：，且，再求负整数指数幂，即可．【详解】解：由题意得：，且，解得：，，故选：．【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．2．（2023春·江苏泰州·八年级统考期末）若分式的值为零，那么x的值为．【答案】【分析】根据分式为零的条件“分子等于0，且分母不等于0”列式求解即可．【详解】解：由，得；又，则所以若分式的值为0，则的值为．故答案为：．【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为0，②分母的值不为0，这两个条件缺一不可．3．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知时，分式无意义；时，分式的值为0，求的值．【答案】【分析】分式无意义时，分母；分式是值为零时，分子，分别求出a，b的值，故可求解．【详解】解：∵当时，分式无意义，∴，即；又∵当时，分式的值为零，∴，即，∴．【点睛】本题考查了分式有意义的条件、分式的值为零的条件．分式有意义，分母不为零；若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．题型三分式的求值与取值范围1．（2023春·山东枣庄·八年级校考阶段练习）已知，则代数式的值是（）A．3 B．2 C． D．【答案】D【分析】由可得，代入代数式，即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查了分式的求值，根据题意得出是解题的关键．2．（2023秋·河北石家庄·八年级石家庄市第九中学校考阶段练习）若分式，则分式的值等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据题意得出，再代入分式计算即可．【详解】解：∵，∴，即，∴；故选：B．【点睛】本题考查了分式的求值，根据题意得出是解决问题的关键．3．（2023春·湖南衡阳·八年级校考期中）若分式的值为正，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据可得即可使分式的值为正．【详解】解：∵，∴时，分式的值为正，∴，故选：C．【点睛】本题考查分式的值，当分子分母同为正或同为负时，分式的值为正．巩固训练1．（2023春·河北保定·八年级统考期末）下面是佳佳将分式A做出的正确的变形运算过程：，则下列说法正确的是（

）A．当时， B．当时，C．当时， D．A为整数值时，【答案】C【分析】根据分式的性质逐项求解即可．【详解】解：A、当时，，故选项错误，不符合题意；B、当时，即，无解，故选项错误，不符合题意；C、当时，∴，故选项正确，符合题意；D、A为整数值时，为整数值，∴为整数值，∴或或3或∴解得或0或4或，故选项错误，不符合题意．故选：C．【点睛】题目主要考查分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题关键．2．（2023秋·山东威海·九年级校考阶段练习）若分式，则分式的值等于．【答案】1【分析】由可得，再将化为，最后整体代入，进行计算即可得到答案．【详解】解：，，，，，故答案为：1．【点睛】本题考查了求分式的值，根据题意得出，采用整体代入的思想进行计算是解题的关键．3．（2023秋·八年级课时练习）阅读下面的解题过程：已知，求的值．解：由知，所以，即．所以，故的值为．该题的解法叫做“倒数求值法”，请你利用“倒数求值法”解下面的题目：(1)若，求的值．(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据“倒数求值法”的解题思路即可求出答案；（2）根据“倒数求值法”的解题思路即可求出答案．【详解】（1）解：∵，且，∴，∴，∴；∴．（2）解：∵，且∴∵∴．【点睛】本题考查分式的运算，完全平方公式，解题的关键正确理解题目给出的解答思路．题型四分式变形及其成立的条件1．（2023秋·云南红河·八年级统考期末）下列分式的变形正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据分式的基本性质作答．【详解】A、，正确，故此选项符合题意；B、是最简分式，不能再约分，故此选项不符合题意；C、是最简分式，不能再约分，故此选项不符合题意；D、，是最简分式，不能再约分，故此选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是掌握分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项，且扩大（缩小）的倍数不能为0．2．（2023春·河南南阳·八年级统考期中）当时，代表的代数式是(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】根据分式的性质，分子分母同时乘以，即可求解．【详解】解：∵∴，故选：B．【点睛】本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键．3．（2023春·江苏泰州·八年级校考期中）下列各式从左到右的变形正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质再逐一分析判断即可．【详解】解：，故A不符合题意；，故B不符合题意；，变形正确，故C符合题意；，故D不符合题意；故选C【点睛】本题考查的是分式的基本性质，分式的约分，掌握分式的基本性质是解本题的关键．巩固训练1．（2023春·全国·八年级专题练习）将的分母化为整数，得（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据分式的基本性质求解．【详解】解：将的分母化为整数，可得．故选：D．【点睛】本题考查一元一次方程的化简，熟练掌握分式的基本性质解题关键．2．（2023春·全国·七年级专题练习）根据分式的基本性质填空：．【答案】【分析】根据分式的基本性质，分式的分子、分母同时乘以，即可求得．【详解】解：，．故答案为：．【点睛】本题考查了分式的基本性质，完全平方公式，单项式乘以多项式法则，熟练掌握和运用分式的基本性质是解决本题的关键．3．（2023春·浙江·七年级专题练习）下列等式的右边是怎样从左边得到的？(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)分子、分母同乘(2)分子、分母同除以(3)分子、分母同除以(4)分子、分母同乘【分析】根据分式的基本性质逐一解答即可．【详解】（1）解：分子、分母同乘，；（2）解：分子、分母同除以，；（3）解：分子、分母同除以，；（4）解：分子、分母同乘，．【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的分子和分母同时乘或除一个不等于零的数，分式的值不变是解题的关键．题型五利用分式的基本性质判定分式值的变化1．（2023春·吉林长春·八年级校考期中）若把分式中的、都扩大2倍，那么分式的值(

)A．扩大2倍 B．不变 C．缩小2倍 D．缩小倍【答案】B【分析】根据题意，得到新的分式，与原分式比较即可得出答案．【详解】解：把分式中的和都扩大倍，得，∴与原分式相比，分式的值不变．故选：B．【点睛】本题考查了分式的性质，把x，y替换为2x，2y，再化简比较是解题关键．2．（2023秋·八年级课时练习）下列运算，错误的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据分式的基本性质进行判断即可．【详解】解：A．分子和分母同乘一个不为0的c，分式的值不变，故A正确，不符合题意；B．分子，故，故B正确，不符合题意；C．等号左侧分式的分子和分母同乘10，分式的值不变，故C正确，不符合题意；D．分子变为相反数，而分母不变，不符合分式的基本性质，故D错误，符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质，分子分母同时扩大或缩小相同的倍数，分式的值不变．3．（2023秋·河北邢台·八年级校联考阶段练习）下面是马小虎的答卷，他的得分应是（

）姓名马小虎

得分

？判断题（每小题20分，共100分）（1）代数式，是分式．（√）（2）当时，分式无意义．（×）（3）不是最简分式．（×）（4）若分式的值为0，则的值为．（√）（5）分式中x，y的值均扩大为原来的2倍，分式的值保持不变．（×）A．40分 B．60分 C．80分 D．100分【答案】B【分析】根据分式的定义，分式无意义的条件，最简分式的定义，分式的值为0的条件，分式的基本性质，逐一判断即可．【详解】解：代数式，是分式．马小虎判断正确；得20分，当时，分式无意义．马小虎判断错误，不得分；是最简分式．马小虎判断正确；得20分，若分式的值为0，则的值为．马小虎判断错误，不得分；分式中x，y的值均扩大为原来的2倍，分式的值扩大2倍．马小虎判断正确；得20分，故选B【点睛】本题考查的是分式的定义，分式无意义，分式的值为0的条件，分式的基本性质，最简分式的含义，熟记以上基本概念与性质是解本题的关键．巩固训练1．（2023·全国·八年级专题练习）将分式中的、同时扩大为原来的倍，分式的值将（

）A．扩大倍 B．不变 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的【答案】C【分析】根据分式的基本性质求解即可．【详解】设，若、同时扩大为原来的倍，则有：，∴缩小为原来的，故选：．【点睛】此题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质及其应用．2．（2023春·浙江·七年级专题练习）分式中的x、y的值分别扩大为原来的5倍，则此分式的值扩大为原来的倍．【答案】【分析】根据分式的基本性质，将分式中的x、y的值分别扩大为原来的5倍，整理即可得到．【详解】解：将分式中的x、y的值分别扩大为原来的5倍，得到：．∴将分式中的x、y的值分别扩大为原来的5倍，则此分式的值扩大为原来的5倍．故答案为：5．【点睛】此题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟知分式的基本性质并且会应用．3．（2023春·全国·七年级专题练习）阅读材料题：已知：，求分式的值．解：设，则a＝3k，b＝4k，c＝5k①；所以②．(1)上述解题过程中，第①步运用了的基本性质；第②步中，由求得结果运用了的基本性质；(2)参照上述材料解题：已知：，求分式的值．【答案】(1)等式，分式(2)【分析】（1）根据等式的基本性质分式的基本性质即可判断；（2）按照阅读材料中的设k法即可解答．【详解】（1）解：上述解题过程中，第①步运用了等式的基本性质，第②步中，由求得结果运用了分式的基本性质的基本性质．故答案为：等式，分式；（2）解：设，则，，，∴，∴分式的值为：．【点睛】本题考查了分式的基本性质，等式的基本性质和代数式求值，熟练掌握阅读材料中的设k法是解题的关键．题型六将分式的分子分母各项系数化为整数1．（2023春·江苏无锡·八年级校联考阶段练习）将分式的分子与分母中的各项系数化为整数，正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】要使分子与分母中的各项系数化为整数，只需要求出2、3、4的最小公倍数即可．【详解】解：分子，分母同得：；故选：D．【点睛】本题考查了分式化简，正确运算是解题关键．2．（2023春·全国·八年级专题练习）把分式的分子与分母各项系数化为整数，得到的正确结果是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据分式的基本性质求解即可．【详解】解：给分式的分子和分母同乘以12，得：==，故选：B．【点睛】本题考查分式的基本性质，解答的关键是熟知分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．3．（2023春·全国·八年级专题练习）不改变分式的值，将分式中的分子、分母的系数化为整数，其结果为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用分式的基本性质，分子分母同时扩大相同的倍数即可求解．【详解】解：，故选：A.【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变．巩固训练1．（2023·江苏·八年级假期作业）下列说法正确的是（

）A．分式的值为零，则的值为B．根据分式的基本性质，等式C．把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为D．分式是最简分式【答案】D【分析】根据分式的值为0的条件，分式的基本性质，最简分式的定义，逐一进行判断即可．【详解】解：A、分式的值为零，则的值为，选项错误，不符合题意；B、当时，没有意义，，选项错误，不符合题意；C、把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为，选项错误，不符合题意；D、分式是最简分式，选项正确，符合题意；故选D．【点睛】本题考查分式的值为0的条件，分式的基本性质，最简分式．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．2．（2023春·全国·七年级专题练习）将分式的分子分母中，各项系数都化为整数后为．【答案】【分析】将0.5化为分数是，根据四个分母：5、2、3、4的最小公倍数是60故分式的分子和分母都乘以60，由此将各项系数都化为整数.【详解】将分式的分子和分母都乘以60，得=，故答案为：.【点睛】此题考查分式的性质：在分式的分子和分母中乘以同一个不为0的数，分式的值不变.3．（2023秋·福建福州·七年级福州华伦中学校考开学考试）我们知道：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数．类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式．如：==1+．（1）请写出分式的基本性质；（2）下列分式中，属于真分式的是；A．B．C．﹣D．（3）将假分式，化成整式和真分式的形式．【答案】（1）分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的分式值不变；（2）C；（3）=m﹣1+【分析】（1）根据分式的基本性质回答即可；（2）根据分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式进行判断即可；（3）先把转化为得到，其中前面一个分式约分后化为整式，后面一个是真分式．【详解】（1）分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的分式值不变．（2）根据题意得：选项C的分子次数是0，分母次数是1，分子的次数小于分母的次数是真分式．而其他选项是分子的次数均不小于分母的次数的分式，故ABD选项是假分式，故选：C．（3）∵=m﹣1+，∴故答案为：m﹣1+．【点睛】本题考查了分式的基本性质以及未知数的次数问题，解答本题的关键是熟悉掌握未知数次数的判断以及分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的分式值不变．题型七约分与通分1．（2023秋·八年级课时练习）已知，则的值为（

）A．2021 B．2022 C． D．1011【答案】D【分析】先进行约分，然后再代入数据求值即可．【详解】解：，当时，原式．故选：D．【点睛】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质，将分式化简为．2．（2023秋·八年级课时练习）下列运算中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据分式的基本性质及约分逐项判断即可得到答案．【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意；B、的分子分母没有公因式，不能约分，故原选项计算错误，不符合题意；C、，故原选项计算正确，符合题意；D、的分子分母没有公因式，不能约分，故原选项计算错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了约分以及分式的基本性质，约分的关键是找出分子分母的公因式，若分子分母出现多项式，应先将多项式分解后再找公因式，然后根据分式的基本性质将分子分母同时除以公因式，化为最简分式，此过程称为约分．3．（2023春·全国·八年级专题练习）把，，通分的过程中，不正确的是（

）A．最简公分母是 B．C． D．【答案】D【分析】按照通分的方法依次验证各选项，找出不正确的答案．【详解】A、最简公分母为，正确，该选项不符合题意；B、，通分正确，该选项不符合题意；C、，通分正确，该选项不符合题意；D、通分不正确，分子应为，该选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查根据分数的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．解题的关键是通分保证（1）各分式与原分式相等；（2）各分式分母相等．巩固训练1．（2023春·江苏·八年级专题练习）分式可化简为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】将分式分母先因式分解，再约分，即可求解．【详解】解：故先：A．【点睛】本题考查了分式的约分，涉及到因式分解，分式的约分，按运算顺序，先因式分解，再约分．2．（2023春·七年级单元测试）已知对于成立，则A=,B=．【答案】52【分析】先通分，使等式两边分母一样，然后使分子相等，整理后即可求出结果.【详解】∵，∴，∴，即，∴，解得.【点睛】本题考查分式方程的知识、多项式相等和解二元一次方程组，熟练掌握通分、对应相等及二元一次方程组解法是解题的关键.3．（2023春·浙江·七年级专题练习）（1）约分：；（2）通分：、．【答案】（1）；（2）；【分析】（1）分子分母同时除以3ab即可；（2）将两个分式的分母分别进行因式分解，即可求解．【详解】解：（1）；（2），．【点睛】本题考查分式的约分和通分，掌握分式的基本性质是解题的关键．题型八分式的乘除法运算1．（2023秋·八年级课时练习）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据分式乘除混合运算法则进行计算即可；（2）根据分式乘除混合运算法则进行计算即可．【详解】（1）解：；（2）解：．【点睛】本题主要考查了分式乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握分式乘除混合运算法则，准确计算．2．（2023秋·八年级课时练习）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】先把除法变成乘法，再根据分式的基本性质约分即可得到答案．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式．【点睛】本题主要考查了分式的乘除混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．3．（2023秋·八年级课时练习）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．（4）解：．【点睛】本题考查了分式的乘除混合运算：分式的乘除混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．巩固训练1．（2023秋·山东泰安·八年级青云中学校考阶段练习）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先计算乘方，然后将除法转化成乘法，进而计算乘法即可；（2）首先计算乘方，然后将除法转化成乘法，进而计算乘法即可．【详解】（1）；（2）．【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键．2．（2023秋·八年级课时练习）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先把除法转化为乘法，再根据分式的乘法法则计算即可；（2）先把除法转化为乘法，再根据分式的乘法法则计算即可．【详解】（1）．（2）【点睛】此题考查了分式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．3．（2023秋·八年级课时练习）计算：(1)．(2)．(3)．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）解：原式（2）解：原式（3）解：原式【点睛】本题考查分式乘除法混合运算，掌握运算法则是解题的关键．题型九分式的加减法运算1．（2023春·广东惠州·八年级校考阶段练习）计算：(1)．(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则求解即可；（2）根据分式的加减混合运算法则求解即可．【详解】（1）；（2）．【点睛】此题考查了整式的乘法混合运算，分式的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．2．（2023春·浙江·七年级专题练习）计算：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）互为相反数，第二项的分母提取负号，化为同分母，直接根据同分母的分式加减法法则进行计算：分母不变，分子相加减；（2）最简公分母为，通分，按同分母的分式加减法法则进行计算即可；（3）把看成是一项，为，再通分，按同分母的分式加减法法则进行计算即可；（4）最简公分母为，通分，按同分母的分式加减法法则进行计算即可．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式．【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式，因式分解，分式的加减混合运算，熟练掌握分式的加减混合运算法则及因式分解是解题的关键．3．（2023春·全国·八年级专题练习）计算(1)；(2)；(3)．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（1）分式的分母相同，直接相减进行计算；（2）分式的公分母为，先通分，在进行计算；（3）直接进行通分，在进行计算．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．【点睛】本题主要考查了分式的加减，找公分母，通分是解题的关键．巩固训练1．（2023春·全国·八年级专题练习）计算：(1)；(2)．【答案】(1)1；(2)【分析】（1）根据同分母分式的加法法则求出即可；（2）先把异分母的分式转化成同分母的分式，再根据同分母分式的减法法则求出即可．【详解】（1）解：，===1；（2）解：.【点睛】本题考查了分式的加减法则，能灵活运用分式的加减法则进行计算是解此题的关键．2．（2023春·浙江·九年级阶段练习）以下是圆圆计算的解答过程．解：．圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．【答案】有错误，正确过程见解析【分析】应用分式的加减法则进行进行计算即可得出答案．【详解】有错误．解：，，，，．【点睛】本题主要考查了分式的加减运算，熟练掌握分式的加减运算法则进行求解是解决本题的关键．3．（2023春·全国·八年级专题练习）阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式，如：．解决下列问题：(1)分式是________（填“真分式”或“假分式”）；(2)若分式的值为整数，求满足条件的整数的值；(3)若分式的值为整数，求满足条件的整数的值；(4)若分式的值为，求的取值范围．【答案】(1)真分式；(2)0、1、3、4；(3)、、；(4)．【分析】（1）根据新定义求解；（2）先把分式化为带分式，再根据整除的意义求解；（3）先把分式化为带分式，再根据整除的意义求解；（4）先把分式化为带分式，再根据非负数的意义求解．【详解】（1）分式是真分式，故答案为：真分式；（2）是整数，的值为：，，的值为：0、1、3、4；（3）为整数，的值为：、，的值为：、、；（4），，，．【点睛】本题考查了分式的加减法，理解新定义是解题的关键．题型十分式运算的实际应用1．（2023秋·八年级课时练习）商店通常用以下方法来确定两种糖果混合而成的什锦糖的价格：设A种糖的价格为a元/，B种糖的价格为b元/，则mA种糖和nB种糖混合而成的什锦糖的价格为元/．现有甲、乙两种什锦糖，均由A，B两种价格不同的糖混合而成．其中甲种什锦糖由10A种糖和10B种糖混合而成，乙种什锦糖由价值100元的A种糖和价值100元的B种糖混合而成．你认为哪一种什锦糖的价格较高？为什么？【答案】甲种糖的价格较高，理由见解析【分析】首先表示出甲种糖价格和乙种糖价格，然后作差求解即可．【详解】甲种糖价格为（（元/），乙种糖价格为（元/），，∵甲、乙两种什锦糖，均由A，B两种价格不同的糖混合而成，∴，∴甲种糖的价格较高．【点睛】此题考查了分式的混合运算的实际应用，解题的关键是正确列式．2．（2023·河北廊坊·统考二模）a克糖放入水中，得到b克糖水，此时糖水的浓度为是．(1)再往杯中加入克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了．用数学关系式可以表示为______．(2)请证明（1）中的数学关系式．【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）先表示出入克糖后，糖水的浓度为：，根据糖水变甜，浓度变大，得出；（2）理由作差法进行证明即可．【详解】（1）解：再往杯中加入克糖后，糖水的浓度为：，∵糖水变甜了，即糖水的浓度变大了，∴；故答案为：．（2）证明：，∵，，∴，，∴，∴．【点睛】本题主要考查了列代数式，分式加减的应用，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．3．（2023秋·全国·八年级课堂例题）小明发现爸爸和妈妈的加油习惯不同，妈妈每次加油都说：“师傅，给我加200元油．”（油箱未加满）而爸爸每次加油都说：“师傅，给我加30升油!”（油箱未加满）小明很好奇：现实生活中油价常有变动，爸爸妈妈不同的加油方式，哪种方式会更省钱呢？现以两次加油为例来研究．设爸爸妈妈第一次加油时的油价为元/升，第二次加油时的油价为元/升．(1)求妈妈两次加油的总量和两次加油的平均价格；（用含的式子表示）(2)爸爸和妈妈的两种加油方式中，谁的加油方式更省钱？【答案】(1)妈妈两次加油的总量是升，妈妈两次加油的平均价格是元/升(2)当时，爸爸的加油方式和妈妈的加油方式花费一样；当时，妈妈的加油方式更省钱【分析】（1）利用每次加油的总价200除以单价得到油量，两次相加可得两次加油总量；用总金额除以加油总量得到平均价格；（2）求出爸爸两次加油的平均价格，再利用作差法比较爸爸和妈妈的两种加油方式平均价格的大小即可得到结论．【详解】（1）解：妈妈两次加油的总量是升，妈妈两次加油的平均价格是元；（2）爸爸两次加油的总量是升，爸爸两次加油的平均价格是元，∵，∴当时，爸爸的加油方式和妈妈的加油方式花费一样；当时，妈妈的加油方式更省钱．【点睛】此题考查了分式加减法的应用，分式的除法的应用，正确理解题意是解题的关键．巩固训练1．（2023秋·八年级课时练习）如图，“第三代一号”水稻的试验田是边长为m米的正方形去掉一个边长为n米（）的正方形蓄水池后余下的部分，“第三代二号”水稻的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的水稻都收获了a千克.

(1)试建立分式，并比较哪种水稻的单位面积产量高？为什么？（提示：m，n均为正数）(2)高的单位面积产量比低的单位面积产量高多少？【答案】(1)“第三代二号”水稻的试验田单位面积产量高，理由见解析(2)千克平方米【分析】（1）根据图形表示出试验田的面积，进而求出水稻的单位面积产量，比较即可；（2）根据题意列出代数式，计算即可．【详解】（1）“第三代二号”水稻的试验田单位面积产量高，理由为：根据题意得：“第三代一号”水稻的实验田单位面积产量为（千克米，“第三代二号”水稻的试验田单位面积产量为（千克米，，为正数且，，，即，则“第三代二号”水稻的试验田单位面积产量高；（2）根据题意得：（千克米，则高的单位面积产量比低的单位面积产量高千克米．【点睛】此题考查了分式的混合运算，列出正确的代数式是解本题的关键．2．（2023秋·福建厦门·八年级统考期末）某海湾城市有A，B两个港口、有两条航线能够连接A，B两个港口，两条航线的路程都是，已知货轮在静水中的最大航速为．(1)若该货轮在水流速度为的航线上航行，用含v的式子表示货轮顺流航行和逆流航行的最大速度；(2)航运公司计划用该货轮将一批货物以最大航速从A港送往B港，再从B港返回A港．根据海流预报：航线1位于外湾，受潮汐影响，水流速度为，且从A港到B港为顺流航行；航线2位于内湾，水流速度忽略不计．为了使送货的往返的总时间更短，请通过计算说明航运公司应当选择哪一条航线．【答案】(1)顺流航行的最大速度为，逆流航行的最大速度为；(2)航运公司应当选择航线2．【分析】（1）根据和即可得到代数式；（2）航线1：从A港到B港为顺流航行，从B港返回A港为逆流航行，得到；航线2：从A港到B港和从B港返回A港的速度相同，同为，得到，比较即可得出结论．【详解】（1）解：∵货轮在静水中的最大航速为，∴水流速度为，∴顺流航行的最大速度为，逆流航行的最大速度为；（2）解：航线1：从A港到B港为顺流航行，从B港返回A港为逆流航行，依题意得；航线2：从A港到B港和从B港返回A港的速度相同，同为，依题意得；，∴，∴航运公司应当选择航线2．【点睛】本题考查了分式加减的应用、列代数式，要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列式再求解，解题关键是理解顺水航行速度和逆水航行速度．3．（2023春·七年级单元测试）【阅读】在处理分式问题时，由于分子的次数不低于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将分式拆分成一个整式与一个分式的和（差）的形式，通过对简单式子的分析来解决问题，我们称之为分离整式法．例：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．解：设，则．原式∴．这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式．【应用】(1)使用分离整式法将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，则结果为______；(2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，则结果为______；【拓展】(3)已知分式的值为整数，求正整数x的值．【答案】(1)(2)(3)4或2或16【分析】（1）根据题意将化简为一个整式与一个分式和的形式即可；（2）设，则，根据例题将分式转化为一个整式和一个分式的和的形式；（3）设，则，先将分式转化为一个整式和一个分式的和的形式，然后再根据结果是整数进行分析即可求解．【详解】（1）解：，故答案为：；（2）设，则，∴∴，故答案为：；（3）设，则，∴∵分式的值为整数，且x是正整数，∴，，由，得或由，得或（舍）∴正整数x的值为4或2或16．【点睛】本题考查了分式的化简，解题的关键是正确理解题目给出的方法，熟练掌握运算法则．题型十一分式的化简求值1．（2023秋·湖南岳阳·八年级校考阶段练习）已知：，求(1)(2)【答案】(1)5(2)23【分析】（1）将原式变形为，等式两边同时除以x即可得到结果；（2）根据完全平方公式变形计算即可．【详解】（1）解：∵∴∴．（2）．【点睛】此题考查了完全平方公式变形计算，分式的化简求值，熟练掌握各式子间的关系，依据公式变形计算是解题的关键．2．（2023秋·江苏泰州·九年级校考阶段练习）先化简，再求值：，其中x满足方程【答案】；【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，化简得到原式，再利用满足方程得到，然后利用整体代入的方法计算原式的值．【详解】解：；，，将代入，原式．【点睛】本题考查了分式的化简求值：化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．3．（2023秋·贵州铜仁·八年级校考阶段练习）先化简：然后从0，1，2，3中选择你喜欢的x值带入求值．【答案】，当时，原式．【分析】先把除法转化为乘法，再约分，然后计算加法，由分式有意义的条件求出的值，最后代入化简后的式子即可求出答案．【详解】解：，由分式有意义的条件可知：，0，1，2，，当时，原式．【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．巩固训练1．（2023秋·河北邢台·八年级统考阶段练习）按要求解答下列各小题(1)计算：；(2)计算：；(3)先化简，再求值：，其中．【答案】(1)(2)(3)，【分析】（1）利用异分母分式的加减法求解即可；（2）分子因式分解，再约分，即可求解；（3）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：，当时，原式．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．2．（2023秋·山东济宁·九年级济宁市第十五中学校考阶段练习）．(1)化简代数式M；(2)请在以下四个数中：1，，2，，选择一个合适的数代入，求M的值．【答案】(1)(2)时，原式=12【分析】（1）根据分式的除法运算法则求解即可；（2）首先根据分式有意义的条件得到，，然后将代入求解即可．【详解】（1）；（2）∵，∴，，∴当时，．【点睛】此题考查了分式的除法运算以及代数求值，分式有意义的条件等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．3．（2023秋·山东东营·八年级校考阶段练习）阅读理解：例题：已知实数满足，求分式的值．解：．的倒数(1)已知实数满足，求分式的值．(2)已知实数满足，求分式的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据，先求出的倒数，即可确定分式的值；（2）根据，可得，先求出的倒数，进一步可得分式的值．【详解】（1）解：∵，∴的倒数，∴；（2）解：∵，∴，∴的倒数，∴．【点睛】本题考查了分式的值，理解给定的例题中求分式的值的方法是解题的关键．题型十二解分式方程1．（2023秋·湖南邵阳·八年级校考阶段练习）计算(1)；(2)【答案】(1)(2)无解【分析】（1）根据解分式方程的步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1、检验，进行计算即可得到答案；（2）根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验，进行计算即可得到答案．【详解】（1）解：，去分母得：，移项得：，合并同类项得：，系数化为1得：，检验：当时，，原分式方程的解为：；（2）解：，，去分母得：，去括号得：，移项得：，合并同类项得：，系数化为1得：，检验，当时，，是原分式方程的增根，原分式方程无解．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意要检验．2．（2023秋·山东淄博·八年级校考阶段练习）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)无解；(2)无解．【分析】（1）先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程，再检验即可；（2）先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程，再检验即可．【详解】（1）解：方程两边同时乘以得：，解得；检验：时，，∴为增根，∴原方程无解；（2）解：，方程两边同时乘以得：，整理得，∴，解得，经检验，时，，∴为增根，∴原方程无解．【点睛】本题考查的是分式方程的解法，掌握“解分式方程的方法与步骤”是解本题的关键．3．（2023秋·山东泰安·八年级宁阳县第二十四中学校考阶段练习）解方程(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】（1）解：，去分母得：，解得，经检验是原方程的解；（2）解：，去分母得：，解得，经检验是原方程的解；（3）解：，去分母得：，解得，经检验是原方程的解；（4）解：，去分母得：，解得，经检验是原方程的解．【点睛】此题考查解分式方程，解题关键在于掌握运算法则．巩固训练1．（2023秋·河北石家庄·八年级石家庄市第九中学校考阶段练习）解分式方程(1)(2)【答案】(1)(2)见详解【分析】（1）根据解分式方程的步骤：去分母、移项、合并同类项、检验进行计算即可得到答案；（2）根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为一、检验进行计算即可得到答案．【详解】（1）去分母，得移项，得：合并同类项，得：经检验，是原分式方程的解；（2）去分母，得去括号，得：移项，得：合并同类项，得：系数化为一，得：经检验，是原分式方程的增根，原分式方程无解．【点睛】本题主要考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的步骤是解本题的关键．2．（2023春·内蒙古巴彦淖尔·八年级校考阶段练习）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)无解(2)【分析】（1）方程两边同乘以（），化为整式方程进行求解，然后进行检验，即可求解．（2）方程两边同乘以，化为整式方程进行求解，然后进行检验，即可求解．【详解】（1）解：方程两边同时乘以（）得整理得：，解得：，检验：当时，，原方程的增根，原方程无解．（2）解：方程两边同时乘以得整理得：，解得：，检验：当时，，原方程的根为．【点睛】本题考查了解分式方程，掌握解法是解题的关键．3．（2023秋·八年级课时练习）解下列分式方程：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)无解【分析】（1）将分式方程化为整式方程求解，再检验即可；（2）将分式方程化为整式方程求解，再检验即可；（3）将分式方程化为整式方程求解，再检验即可；（4）将分式方程化为整式方程求解，再检验即可．【详解】（1）解：方程两边都乘，得：，整理，得：，解得：，检验：当时，，故原方程的解为；（2）解：方程两边都乘，得：，整理，得：，解得：，检验：当时，，故原方程的解为；（3）解：方程两边都乘，得：，整理，得：，解得：，检验：当时，，故原方程的解为；（4）解：方程两边都乘，得：，整理，得：，检验：当时，，故原方程无解．【点睛】本题考查解分式方程．掌握解分式方程的步骤是解题关键．题型十三根据分式方程解的情况求值1．（2023春·山东日照·九年级统考期中）如果关于的方程的解是负数，那么的取值范围是（

）A． B．且C． D．且【答案】A【分析】先去分母将分式方程化成整式方程，再求出方程的解，利用和得出不等式组，解不等式组即可求出的范围．【详解】解：两边同时乘得，，解得：，又∵方程的解是负数，且，∴，即，解得：，∴的取值范围为：．故选：．【点睛】此题考查了分式方程的解，一元一次不等式，正确求得分式方程的解并考虑产生增根的情形是解题的关键．2．（2023·山东淄博·统考中考真题）已知是方程的解，那么实数的值为（

）A． B．2 C． D．4【答案】B【分析】将代入方程，即可求解．【详解】解：将代入方程，得解得：故选：B．【点睛】本题考查分式方程的解，解题的关键是将代入原方程中得到关于的方程．3．（2023秋·河北石家庄·八年级石家庄市第九中学校考阶段练习）已知关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是（）A． B．C．且 D．且【答案】C【分析】先把分式方程转化为整式方程求出用含有a的代数式表示的x，根据x的取值求a的范围．【详解】解：原分式方程可化为，方程两边同乘得，，去括号得，，移项得，，合并同类项得，，系数化为1得，∵原分式方程的解为非负数，∴，即，解得且，故选：C．【点睛】此题考查了分式方程的解，分式方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，本题注意这个隐含条件．巩固训练1．（2023·黑龙江鸡西·校考模拟预测）若关于的分式方程的解为正实数，则实数的取值范围是（

）A．且 B．且 C． D．且【答案】D【分析】利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可．【详解】解：，方程两边同乘得，，解得，，，，由题意得，，解得，，实数的取值范围是：且．故选：D．【点睛】本题考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步骤、分式方程无解的判断方法是解题的关键．2．（2023秋·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考阶段练习）已知关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为正整数，则满足条件的所有整数a的和为．【答案】6【分析】利用不等式组的解为，确定的取值范围，解分式方程，当解为正整数时求得值，将符合条件的值相加即可得出结论．【详解】解：不等式组，即的解集为，．．关于的分式方程的解为．是原分式方程的增根，．．关于的分式方程的解为正整数，为正整数，∴，，4，7．，，4．所有满足条件的所有整数的和为：．故答案为：6．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，分式方程的解，注意解分式方程可能产生增根是解题的关键．3（2023春·河南新乡·八年级校考阶段练习）已知关于x的方程:(1)当时，求这个方程的解;(2)若这个方程有负整数解，直接写出a的值为_______.【答案】(1)(2)5，3，2【分析】（1）把代入方程后，再按照解分式方程的步骤进行计算即可；（2）解方程求出方程的解，根据这个方程有负整数解，可确定a的值．【详解】（1）当时，原方程为：，方程两边同时乘，得，解这个整式方程，得．检验：将代入，得，∴是原分式方程的根；（2），去分母得，，∴∴∵是负整数，一定不是增根，∴或或，∴或或．故答案为：5，3，2．【点睛】本题考查了解分式方程，分式方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．题型十四分式方程增根与无解问题1．（2023春·山东青岛·八年级校考阶段练习）若分式方程有增根，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出的值．【详解】解：∵分式方程有增根，即分式方程的增根是分式方程的分母为的根，故分式方程的增根是，方程两边都乘，得：，∴把代入整式方程，得．故选：C．【点睛】本题考查了根据分式方程的增根求参数，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．2．（2023春·河北唐山·八年级统考开学考试）若关于的分式方程无解，则的值是（

）A． B．2 C． D．3【答案】A【分析】先将分式方程转化为整式方程，根据整式方程无解和分式方程有增根，两种情况进行讨论求解．【详解】解：方程去分母，得：，∵整式方程有解，∴当分式方程有增根时，分式方程无解，∴，∴，代入整式方程，得：，即：；故选A．【点睛】本题考查根据分式方程解得情况，求参数的值．解题的关键是掌握整式方程无解和分式方程有增根时，分式方程无解，是解题的关键．3．（2023春·河南郑州·八年级校联考阶段练习）若关于的分式方程有增根，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据关于分式方程有增根得出最简公分母为，把分式方程化为整式方程，再把增根代入计算即可．【详解】解：∵关于的分式方程有增根，∴，解得：，原分式方程去分母后得：，∴，解得：．故选：C．【点睛】本题考查分式方程的增根，解题的关键是掌握最简公分母为是分式方程有增根的条件．巩固训练1．（2023秋·山东泰安·八年级校考阶段练习）关于x的分式方程有增根，则m的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】去分母，分式方程化为整式方程，由增根的定义，则整式方程根为，代入求解参数值．【详解】解：分式方程变形，得，把代入，得；故选：B．【点睛】本题考查分式方程的求解，增根的定义；理解增根的定义是解题的关键．2、（2023秋·上海虹口·九年级上外附中校考阶段练习）已知关于的方程无解，则实数的值为．【答案】或2或【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出得值，再由分式方程无解确定出m的值即可．【详解】解：去分母，得：，解得：，方程无解，或或，或，当时，，解得：；当时，，解得：；当时，解得；即实数的值为或2或，故答案为：或2或．【点睛】本题考查了分式方程无解问题，解题过程中不要漏掉答案．3．（2023春·八年级课时练习）已知关于x的分式方程：．(1)当m＝3时，解分式方程；(2)若这个分式方程无解，求m的取值范围．【答案】(1)x＝(2)m的值为1或．【分析】（1）把m＝3代入方程,然后再解分式方程即可；（2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x＝2，然后再代入整式方程求出m的值即可．【详解】（1）解：把m＝3代入得：，去分母得：3﹣2x+3x﹣2＝2﹣x，解得：x＝，检验：把x＝代入得：x﹣3≠0，∴分式方程的解为x＝；（2）解：去分母得到：3﹣2x+mx﹣2＝2﹣x，整理得：（m﹣1）x＝1，当m﹣1＝0，即m＝1时，分式方程无解；当m≠1时，由分式方程无解，即x＝2，把x＝2代入整式方程得：3﹣4+2m﹣2＝0，解得：m＝，综上所述，m的值为1或．【点睛】本题主要考查了解分式方程以及分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．题型十五分式方程的实际应用1．（2023秋·吉林长春·九年级长春外国语学校校考阶段练习）在剑兰公路的拓宽改造工程中，省路桥公司承担了48千米的任务．为了减少施工带来的影响，在确保工程质量的前提下，实际施工速度是原计划的1.2倍，结果提前20天完成任务．求原计划平均每天改造公路多少千米？【答案】原计划平均每天改造公路千米．【分析】设原计划平均每天改造公路千米，由题意：实际每天改造公路的长度为千米，结果提前2天完成这一工程，列出分式方程，解方程即可．【详解】解：设原计划平均每天改造公路千米，则实际每天改造公路的长度为千米，由题意得：，解得：，经检验，是分式方程的解，且符合题意，答：原计划平均每天改造公路千米．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．2．（2023·山西太原·山西实验中学校考模拟预测）随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产60万件，现在生产800万件产品所需时间与更新技术前生产500万件产品所需时间相同．求更新技术前平均每天生产产品的件数．【答案】100万件【分析】设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产万件产品；根据：现在生产800万件产品所需时间与更新技术前生产500万件产品所需时间相同，即可列出方程，解方程并检验即得答案．【详解】解：设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产万件产品．根据题意，得，解得，经检验，是原分式方程的解且符合实际，答：更新技术前每天生产100万件产品．【点睛】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．3．（2023秋·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考开学考试）某服装制造厂在开学前赶制3000套校服．(1)若甲组先做2天，然后乙组加入，甲、乙两组再共做10天完成任务．已知每天乙组比甲组多做25套，问甲组每天能做多少套校服？(2)为了尽快完成任务，厂领导合理调配，加强第一线人力，使每天完成的校服比原计划多了20%，结果提前4天完成任务．问原计划每天能做多少套校服？【答案】(1)125套(2)125套【分析】（1）设甲组每天能做x套校服，则乙组每天能做套校服，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解；（2）设原计划每天能做y套校服，则实际每天生产套校服，根据题意列出分式方程，解方程即可求解．【详解】（1）设甲组每天能做x套校服，则乙组每天能做套校服，根据题意有：，解得：，故甲组每天能做125套校服；（2）设原计划每天能做y套校服，则实际每天生产套校服，根据题意有：，解得：，经检验，是原方程的解，故原计划每天能做125套校服．【点睛】本题主要考查了一元一次方程以及分式方程的应用，明确题意列出一元一次方程以及分式方程，是解答本题的关键．巩固训练1．（2023秋·河北邢台·八年级统考阶段练习）下图是学习分式方程的应用时，老师板书的问题和甲、乙两名同学列的方程．嘉淇家到学校的路程是，嘉淇从家去学校需要先乘公交车，下车后再走才能到学校，所用总时间是．已知公交车的速度是嘉淇步行速度的9倍，求公交车的速度和嘉淇的步行速度．（忽略公交车停车的时间和等车的时间）甲：；

乙：根据以上信息，解答下列问题．(1)甲同学所列方程中的x表示______；乙同学所列方程中的y表示______；(2)请你从两个方程中任选一个，解方程并回答老师提出的问题．【答案】(1)嘉淇步行的速度；嘉淇步行所用的时间(2)公交车的速度为，小红步行的速度是．【分析】（1）设嘉淇步行的速度为，根据“共用时”，可列出分式方程；设嘉淇步行的时间为，根据“公交车的速度是嘉淇步行速度的9倍”，可列出分式方程；（2）按照解分式方程的步骤求解即可．【详解】（1）解：设嘉淇步行的速度为，则公交车的速度是，根据题意得：；设嘉淇步行所用的时间为，则乘公交车所用的时间是，根据题意得：；∴甲同学所列方程中的x表示嘉淇步行的速度；乙同学所列方程中的y表示嘉淇步行所用的时间；故答案为：嘉淇步行的速度；嘉淇步行所用的时间；（2）解：解方程，解得，经检验，是方程的解．，答：公交车的速度为，小红步行的速度是；解方程，解得，经检验，是方程的解．，；答：公交车的速度为，小红步行的速度是．【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．2．（2023秋·贵州铜仁·八年级校考阶段练习）由于最近是红眼病高发期，学校为了应对红眼病的大面积爆发，决定从商店购买一批消毒液供学生消毒使用，现有甲、乙两种不同的消毒液供选择，已知乙种消毒液的单价是消毒液的，用360元单独购买其中一种消毒液时，可以比单独购买另一种消毒液多6瓶．(1)甲、乙两种消毒液的单价分别是多少？(2)若用360元（钱用完）购买两种消毒液，且甲种消毒液不少于16瓶，问学校有几种方案（两种消毒液都要有）？请通