专题15.3分式（章节复习考点讲练）教师版

20232024学年人教版数学八年级上册同步专题热点难点专项练习专题15.3分式（章节复习+考点讲练）知识点01：分式的有关概念及性质1．分式一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.细节剖析:分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义.2.分式的基本性质

（M为不等于0的整式）.

3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简.知识点02：分式的运算1．约分利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.2．通分利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．3．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.（2）乘法运算，其中是整式，.两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算，其中是整式，.两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.（4）乘方运算分式的乘方，把分子、分母分别乘方。

4．零指数

.

5.负整数指数

6.分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.知识点03：分式方程1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根增根.细节剖析:因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.知识点04：分式方程的应用

列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.【典例分析】（2016秋•戚墅堰区校级月考）不改变分式的值，把分子分母中各项系数化为整数，结果是．【思路点拨】根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式（或整式），分式的值不变，可得答案．【规范解答】解：式的值，把分子分母中各项系数化为整数，结果是，故答案为：．【考点评析】此题考查了分式的基本性质，关键是熟悉分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变的知识点．【变式训练11】（2023春•临漳县期末）若，则x应满足的条件是（）A．x≠0 B．x≠2 C．x≠0且x≠2 D．x≠0或x≠2【思路点拨】根据分式有意义的条件和分式的基本性质得出x≠0且x﹣2≠0，再求出答案即可．【规范解答】解：∵，∴x≠0且x﹣2≠0，∴x≠0且x≠2．故选：C．【考点评析】本题考查了分式有意义的条件和分式的基本性质，能熟练掌握分式有意义的条件（分式中分母B≠0）和分式的基本性质是解此题的关键．【变式训练12】（2022秋•南川区期末）若分式中的x和y都扩大到原来的2倍，那么分式的值（）A．扩大到原来的2倍 B．缩小到原来的 C．不变 D．缩小到原来的【思路点拨】先根据题意列出算式，再根据分式的基本性质进行化简即可．【规范解答】解：＝＝＝，即分式的值不变，故选：C．【考点评析】本题考查了分式的基本性质，能根据分式的基本性质进行化简是解此题的关键．【变式训练13】（2022秋•张店区校级月考）不改变分式的值，把分式的分子、分母的系数都化为整数的结果是．【思路点拨】不改变分式的值就是依据分式的基本性质进行变化，分子分母上同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变．【规范解答】解：分子分母上同时乘以100得到，故分式的分子、分母的系数都化为整数的结果是．【考点评析】本题主要考查分式的基本性质的应用，是一个基础题．【变式训练14】（2021秋•龙凤区期末）阅读下列解题过程，然后解题：题目：已知（a、b、c互不相等），求x+y+z的值．解：设，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a），∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，∴x+y+z＝0．依照上述方法解答下列问题：已知：，其中x+y+z≠0，求的值．【思路点拨】根据提示，先设比值为k，再利用等式列出三元一次方程组，即可求出k的值是2，然后把x+y＝2z代入所求代数式．【规范解答】解：设＝＝＝k，则：，（1）+（2）+（3）得：2x+2y+2z＝k（x+y+z），∵x+y+z≠0，∴k＝2，∴原式＝＝＝．【考点评析】本题主要考查分式的基本性质，重点是设“k”法．【变式训练15】（2022秋•岳阳县校级月考）．①1．【思路点拨】根据分式的基本性质解答即可．【规范解答】解：＝＝．故答案为：1．【考点评析】本题主要考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质是解决本题的关键．【典例分析】（2023•雁峰区校级一模）试卷上一个正确的式子（+）÷★＝，被小颖同学不小心滴上墨汁，被墨汁遮住部分的代数式★为．．【思路点拨】根据已知分式得出被墨汁遮住部分的代数式是（+）÷，再根据分式的运算法则进行计算即可．【规范解答】解：∵（+）÷★＝，∴被墨汁遮住部分的代数式是：（+）÷，＝•＝•＝．故答案为：．【考点评析】本题考查了分式的混合运算，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．【变式训练21】（2022秋•仙居县期末）阳阳同学在复习老师已经批阅的作业本时，发现有一道填空题破了一个洞（如图所示），■表示破损的部分．则破损部分的式子可能是（）A． B． C． D．【思路点拨】根据题意残损部分的式子为•+，再计算即可．【规范解答】解：残损部分的式子为•+＝﹣＝，故选：A．【考点评析】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．【变式训练22】（2023•张家口模拟）若分式□的运算结果为x（x≠0），则在“口”中添加的运算符号为（）A．+ B．﹣ C．+或÷ D．﹣或×【思路点拨】可对两个分式分别进行加、减、乘、除运算，根据结果是否是x选择项作出判断．【规范解答】解：因为+＝＝＝x，﹣＝≠x，×＝≠x，÷＝×＝x，故选：C．【考点评析】本题考查了分式的加、减、乘、除．掌握分式的运算法则是解决本题的关键．【变式训练23】（2021秋•硚口区期末）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的正方形减去一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a﹣1）米的正方形，两块试验田的小麦都收获了m千克．则高的单位面积产量比低的单位面积产量多几分之几？多的这个值是．【思路点拨】先用含a的式子表示出两块试验田的面积，再由高产量的减去低产量，从而可求解．【规范解答】解：由题意得：“丰收1号”的单位面积产量为：，“丰收2号”的单位面积产量为：，∴＝＝＝＝，＝＝，即高的单位面积产量比低的单位面积产量多，故答案为：．【考点评析】本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是理解清楚题意列出正确的式子求解．【变式训练24】（2023春•万州区月考）计算：（1）（x+2y）（x﹣2y）﹣x（x+3y）；（2）．【思路点拨】（1）原式利用平方差公式，以及单项式乘多项式法则计算，去括号合并即可得到结果；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．【规范解答】解：（1）原式＝x2﹣4y2﹣x2﹣3xy＝﹣4y2﹣3xy；（2）原式＝÷＝•＝．【考点评析】此题考查了分式的混合运算，单项式乘多项式，平方差公式，熟练掌握公式及运算法则是解本题的关键．【变式训练25】（2022秋•仙居县期末）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为am（a＞1）的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a﹣1）m的正方形，两块试验田收获了相同数量的小麦．（1）哪种小麦的单位面积产量高？请说明理由．（2）若“丰收1号”与“丰收2号”小麦单位面积产量之比为10：11，求a的值．【思路点拨】（1）由于两块试验田的收获数量相同，则面积大的单位产量反而小，据此可求解；（2）根据题意列出相应的式子进行求解即可．【规范解答】解：（1）“丰收2号”小麦的单位面积产量高，理由如下：“丰收1号”试验田的面积为：（a2﹣1）m2；“丰收2号”试验田的面积为：（a﹣1）2m2；则：（a2﹣1）﹣（a﹣1）2＝a2﹣1﹣（a2﹣2a+1）＝a2﹣1﹣a2+2a﹣1＝2a﹣2，∵a＞1，∴2a﹣2＞0，∴“丰收1号”试验田的面积比“丰收2号”试验田的面积大，∵两块试验田收获了相同数量的小麦，∴“丰收2号”小麦的单位面积产量高；（2）由题意得：，解得：a＝1或a＝21，经检验：a＝1是原方程的增根，a＝21是原方程的根．【考点评析】本题主要考查分式的混合运算，解分式方程，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．【变式训练26】（2022秋•沙河市期末）下面是佳佳同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．＝①＝②＝x﹣1+2③＝x+1④（1）以上化简步骤，从第①步开始出现错误；（2）请给出正确的解题过程．【思路点拨】（1）根据分式混合运算的顺序解答即可；（2）根据分式混合运算的顺序求解即可【规范解答】解：（1）第①步应先算括号里，故第①步错误．故答案为：①；（2）＝＝＝＝＝＝．【考点评析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．【典例精讲】（2022秋•曲靖期末）若，则的结果是（）A．23 B．25 C．27 D．29【思路点拨】将左右两边进行平方运算，然后化简求值即可．【规范解答】解：∵，∴，即，∴．故选：C．【考点评析】本题考查的是分式的化简求值及完全平方公式，能熟练掌握完全平方公式是解题的关键．【变式训练31】（2023•市中区校级模拟）若a＝﹣1，则的值为（）A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3【思路点拨】利用同分母分式加减法法则进行计算，然后把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【规范解答】解：＝＝＝a﹣4，当a＝﹣1时，原式﹣1﹣4＝﹣5，故选：B．【考点评析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．【变式训练32】（2022秋•辛集市期末）如果＝﹣．＝﹣．【思路点拨】先通分得出+＝，再代入求出答案即可；先通分，再根据完全平方公式进行变形，最后代入求出答案即可．【规范解答】解：∵a+b＝2，ab＝﹣5，∴+＝＝＝﹣，+＝＝＝＝﹣，故答案为：﹣，﹣．【考点评析】本题考查了分式的化简求值，能够整体代入是解此题的关键．【变式训练32】（2022秋•海淀区校级月考）已知＝，则y2+3y+x的值为3．【思路点拨】根据分式的运算法则变为1+＝1﹣，即可＝﹣，所以得y2+3y﹣1＝﹣x+2，即可得出答案．【规范解答】解：∵＝，∴＝，∴1+＝1﹣，∴＝﹣，∴y2+3y﹣1＝﹣x+2，∴y2+3y+x＝3．故答案为：3．【考点评析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是关键．【变式训练33】（2021秋•长安区期末）如果a＝﹣，那么分式（1﹣）÷的值是3+．【思路点拨】先根据分式的减法进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算，最后代入求出答案即可．【规范解答】解：（1﹣）÷＝•＝•＝a（a﹣1）＝a2﹣a，当a＝﹣时，原式＝（﹣）2﹣（﹣）＝3+，故答案为：3+．【考点评析】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．【变式训练34】（2023•鞍山）先化简，再求值：（+1），其中x＝4．【思路点拨】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．【规范解答】解：（+1）＝•＝•＝，当x＝4时，原式＝＝．【考点评析】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．【变式训练35】．（2023春•成县期末）先化简，然后在﹣2，﹣1，0，1中选择一个适当的数代入求值．【思路点拨】直接利用分式的分子与分母分解因式进而化简得出答案．【规范解答】解：原式＝＝﹣．＝＝．选取x＝0，则原式＝＝．【考点评析】此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键．【典例精讲】（2022秋•葫芦岛期末）勿忘草是多年生草本植物，它拥有世界上最小的花粉，勿忘草的花粉直径为0.000004米，数据0.000004用科学记数法表示为4×10﹣6．【思路点拨】绝对值小于1的利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【规范解答】解：0.000004＝4×10﹣6，故答案为：4×10﹣6．【考点评析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面0的个数所决定．【变式训练41】（2023春•平顶山期末）皮米是较小的长度单位，已知1皮米＝0.001纳米，1纳米＝10﹣9米，则1皮米等于（）A．10﹣13米 B．10﹣12米 C．10﹣11米 D．10﹣10米【思路点拨】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【规范解答】解：1皮米＝0.001纳米＝10﹣3×10﹣9米＝10﹣12米，故选：B．【考点评析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【变式训练42】（2023•高新区一模）华为使用了自主研发的海思麒麟芯片，目前最新的型号是麒麟990．芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求是体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的电力功耗，而麒麟990的晶体管栅极的宽度达到了0.000000007毫米，将数据0.000000007用科学记数法表示为（）A．7×10﹣8 B．7×10﹣9 C．0.7×10﹣8 D．0.7×10﹣9【思路点拨】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【规范解答】解：0.000000007＝7×10﹣9．故选：B．【考点评析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【变式训练43】（2022秋•铁岭县期末）目前我国新冠肺炎病例仍有发生，我们切不可以掉以轻心，要做好日常防护．科学研究表明，新冠病毒比细菌小很多，平均直径仅为0.000000098m．这个数0.000000098用科学记数法表示为9.8×10﹣8．【思路点拨】根据科学记数法的表示数x的方法，当|x|＞1时，表示形式为a×10n（1≤a＜10），n的值为所有整数位减1；当|x|＜1时，表示形式为a×10n（1≤a＜10），n的值为小数点向右移动的位数，由此即可求解．【规范解答】解：0.000000098＝9.8×10﹣8，故答案为：9.8×10﹣8．【考点评析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【变式训练44】科学家研究发现，水的一个分子的质量大约是3×10﹣26kg，10g水中大约有多少个水分子？通过进一步研究，科学家又发现，一个水分子是由两个氢原子和一个氧原子构成的．已知一个氧原子的质量约为2.665×10﹣26kg，求一个氢原子的质量．【思路点拨】首先把单位化统一，再利用0.01÷3×10﹣26可得10g水中大约有多少个水分子，再用水的一个分子的质量减去一个氧原子的质量，然后再除以2可得一个氢原子的质量．【规范解答】解：10g＝0.01kg，0.01÷（3×10﹣26）＝3.333×1023，（3×10﹣26﹣2.665×10﹣26）÷2＝1.675×10﹣27（kg），答：10g水中大约有3.333×1023个水分子，一个氢原子的质量是1.675×10﹣27kg．【考点评析】此题主要考查了科学记数法，关键是掌握用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【典例精讲】（2023春•美兰区校级期中）计算：5﹣2＝，＝16．【思路点拨】根据负整数指数幂的运算法则进行计算即可．【规范解答】解：；．故答案为：；16．【考点评析】本题考查了整式的运算，解决本题的关键是能够熟练掌握负整数指数次幂的运算法则．注意：其中n为整数，a≠0．【变式训练51】（2023春•大埔县期末）计算的结果是（）A．﹣9 B． C． D．9【思路点拨】根据负整数指数幂的运算法则即可得出答案．【规范解答】解：＝9；故选：D．【考点评析】此题考查了负整数指数幂，熟练掌握负整数指数幂的运算法则是解题的关键．【变式训练52】（2022秋•武昌区校级期末）设，b＝（﹣2）0，c＝（﹣3）2，则a、b、c的大小顺序是（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a【思路点拨】本题主要是根据乘方、零指数幂、负整数指数幂的运算进行求值，比较大小．【规范解答】解：∵，b＝（﹣2）0＝1，c＝（﹣3）2＝9，∴b＜a＜c．故选：A．【考点评析】本题考查了乘方、零指数幂、负整数指数幂的运算，掌握相应的运算法则是关键．【变式训练53】（2022秋•江口县校级月考）若代数式（3x+3）0+（2x﹣1）﹣2有意义，则x的取值范围是x≠﹣1且．【思路点拨】根据非零的零次幂等于1，负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得答案．【规范解答】解：由题意，得3x+3≠0，且2x﹣1≠0，解得x≠﹣1且；故答案为：x≠﹣1且．【考点评析】本题考查了负整数指数幂，利用非零的零次幂等于1，负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数得出不等式是解题关键．【变式训练54】（2023春•金沙县期末）计算：．【思路点拨】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【规范解答】解：﹣（3.14﹣π）0+|﹣2|＝﹣1+4﹣1+2＝4．【考点评析】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．【典例精讲】（2022•牡丹区二模）对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b＝，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3＝＝﹣．则方程x⊗（﹣2）＝﹣1的解是x＝5．【思路点拨】已知等式利用题中的新定义化简，求出解即可．【规范解答】解：根据题中的新定义化简得：＝﹣1，去分母得：1＝2﹣x+4，解得：x＝5，经检验x＝5是分式方程的解，故答案为：x＝5【考点评析】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．【变式训练61】（2023•高新区校级模拟）解分式方程时，去分母化为一元一次方程，正确的是（）A．x+2＝3 B．x﹣2＝3 C．x+2＝3（2x﹣1） D．x﹣2＝3（2x﹣1）【思路点拨】首先根据，可得：﹣＝3，然后方程两边同时乘（2x﹣1），判断出去分母化为一元一次方程，正确的是哪个即可．【规范解答】解：∵，∴﹣＝3，方程两边同时乘（2x﹣1），可得：x﹣2＝3（2x﹣1）．故选：D．【考点评析】此题主要考查了解分式方程，解答此题的关键是要明确等式的性质的应用．【变式训练62】（2022秋•临西县期末）小明和小亮解答“解分式方程：”的过程如下，对他们的解答过程有以下判断，判断正确的是（）小明的解法：解：去分母，得2x+3＝1﹣（x﹣1），①去括号，得2x+3＝1﹣x+1，②移项，得2x+x＝1+1﹣3，③合并同类项，得3x＝﹣1，④系数化为1，得x＝﹣，⑤经检验x＝﹣是原分式方程的解．⑥小亮的解法：解：去分母，得2x+3＝x﹣（x﹣1），①去括号，得2x+3＝x﹣x+1，②移项，得2x＝﹣3+1，③合并同类项，得2x＝﹣2，④系数化为1，得x＝﹣1，⑤经检验x＝﹣1是原分式方程的解．⑥A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确 C．两人都正确 D．两人都错误【思路点拨】观察解方程的步骤，找出出错的即可．【规范解答】解：根据题意得：小亮的解答正确；小明的步骤①错误，漏乘，小明的步骤、③、④、⑤都正确，故选：B．【考点评析】此题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．【变式训练63】（2023春•天长市校级月考）在实数范围内定义运算“※”；m※n＝，请解决下列问题：（1）3※2＝﹣；（2）若（x﹣1）※，则2A﹣B＝﹣5．【思路点拨】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；（2）由（x﹣1）※（x+2）＝，+＝可得答案．【规范解答】解：（1）根据题中的新定义得：原式＝＝﹣；故答案为：﹣；（2）由新定义得（x﹣1）※（x+2）＝＝，+＝＝，由题意，得：，故答案为：﹣5．【考点评析】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的加减混合运算顺序和运算法则．【变式训练64】（2023春•襄汾县月考）已知分式方程，由于印刷问题，有一个数“▲”看不清楚．（1）若“▲”表示的数为6，求分式方程的解；（2）小华说“我看到答案是原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“▲”代表的数．【思路点拨】（1）把▲＝6代入方程，进而利用解分式方程的方法解答即可；（2）设▲为m，利用分式方程无解得到增根，解答即可．【规范解答】解：（1），方程两边同乘（x﹣3），得：6﹣（x﹣1）＝x﹣3，解得：x＝5，检验：当x＝5时，x﹣3≠0，所以x＝5是原分式方程的解；（2）设▲＝m，，方程两边同乘（x﹣3），得：m﹣（x﹣1）＝x﹣3，把x＝3代入m﹣（x﹣1）＝x﹣3，得：m﹣2＝0，解得：m＝2，∴原分式方程中“▲”代表的数为2．【考点评析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是转化思想，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．【变式训练65】（2023春•成县期末）解分式方程．（1）；（2）．【思路点拨】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【规范解答】解：（1）方程去分母得：2（2x﹣1）＝3x，解得：x＝2，检验：把x＝2代入得：x（2x﹣1）≠0，∴原分式方程的解是x＝2；（2）方程去分母得：x﹣3+（x﹣2）＝﹣3，解得：x＝1，检验：把x＝1代入得：x﹣2≠0，∴原分式方程的解是x＝1．【考点评析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．【典例精讲】（2022秋•港北区期中）如果用换元法解分式方程，并设，那么原方程可化为（）A． B． C． D．y+【思路点拨】设，则＝，再把方程变形求解．【规范解答】解：设，原方程可化为：y﹣+3＝0，故选：B．【考点评析】本题考查了换元法解分式方程，转换思想是解题的关键．【变式训练71】（2022秋•仁寿县校级月考）若，则＝（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2【思路点拨】根据用换元法解分式方程即可．【规范解答】解：设＝a，则＝a2，原方程可变形为4a2﹣4a＝﹣1，所以4a2﹣4a+1＝0，所以（2a﹣1）2＝0，解得a＝，所以x＝2，经检验，x＝2是原方程的根．所以＝1．故选：A．【考点评析】本题考查了解分式方程，熟练掌握换元法解分式方程是解题的关键．【变式训练72】（2022秋•青浦区校级期末）解分式方程+＝时，设＝y，则原方程化为关于y的整式方程是y2﹣y+1＝0．【思路点拨】根据换元法，可得答案．【规范解答】解：设＝y，则原方程化为y+﹣＝0两边都乘以y，得y2﹣y+1＝0，故答案为：y2﹣y+1＝0．【考点评析】本题考查了解分式方程，利用换元法是解题关键．【变式训练73】（2022秋•华容区期末）阅读下面材料，解答后面的问题．解方程：﹣＝0．解：设y＝，则原方程化为：y﹣＝0，方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0，解得：y1＝2，y2＝﹣2．经检验：y1＝2，y2＝﹣2都是方程y﹣＝0的解．当y＝2时，＝2，解得：x＝﹣1；当y＝﹣2时，＝﹣2，解得：x＝．经检验：x1＝﹣1或x2＝都是原分式方程的解．∴原分式方程的解为x1＝﹣1或x2＝．上述这种解分式方程的方法称为换元法．问题：（1）若在方程﹣＝0中，设y＝，则原方程可化为：；（2）若在方程﹣＝0中，设y＝，则原方程可化为：；（3）模仿上述换元法解方程：﹣﹣1＝0．【思路点拨】（1）将所设的y代入原方程即可；（2）将所设的y代入原方程即可；（3）利用换元法解分式方程，设，将原方程化为，求出y的值并检验是否为原方程的解，然后求解x的值即可．【规范解答】解：（1）将代入原方程，则原方程化为．故答案为：；（2）将代入方程，则原方程可化为．故答案为：；（3）原方程化为：，设，则原方程化为：，方程两边同时乘y得：y2﹣1＝0，解得：y＝±1，经检验：y＝±1都是方程的解，当y＝1时，，该方程无解，当y＝﹣1时，，解得：，经检验：是原分式方程的解，∴原分式方程的解为．【考点评析】本题考查了分式方程的解法，掌握换元法解分式方程是关键．【典例精讲】（2023春•清江浦区期末）若关于x的分式方程＝有增根，则实数m的值是5．【思路点拨】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根得到x﹣1＝0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．【规范解答】解：去分母得：3x+2＝m，由分式方程有增根，得到x﹣1＝0，即x＝1，把x＝1代入整式方程得：3+2＝m，解得：m＝5，故答案为：5．【考点评析】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【变式训练81】（2023春•上城区期末）若关于x的分式方程有增根，则常数m的值是（）A．3 B．5 C．﹣3 D．﹣5【思路点拨】将分式方程通过去分母化为整式方程，根据分式方程的增根即可求出需要的m的值．【规范解答】解：关于x的分式方程化为整式方程得，x+1＝2（x﹣4）+m，由于分式方程有增根，增根为x＝4，把x＝4代入x+1＝2（x﹣4）+m得，m＝5，故选：B．【考点评析】本题考查分式方程的增根，理解分式方程增根的意义以及产生增根的原因是正确解答的前提．【变式训练82】（2023春•莲池区校级期末）若关于x的分式方程＝2有增根，则增根是（）A．0 B．﹣1 C．2 D．3【思路点拨】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣3＝0，得到x＝3，然后代入化为整式方程的方程，满足即可．【规范解答】解：方程两边都乘（x﹣3）得2﹣（x+m）＝2x﹣6，∵原方程有增根，∴最简公分母x﹣3＝0，解得x＝3，当x＝3时，﹣2﹣（x+m）＝0，解得m＝﹣1，符合题意；所以增根的值为3．故选：D．【考点评析】本题考查了分式方程的增根，难度适中．确定增根可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定可能的增根；②化分式方程为整式方程；③把可能的增根代入整式方程，使整式方程成立的值即为分式方程的增根．【变式训练83】（2023春•皇姑区期末）若关于x的方程＝+2产生增根，那么m的值是1．【思路点拨】分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根得到x﹣2＝0，将x＝2代入整式方程计算即可求出m的值．【规范解答】解：分式方程去分母得：x﹣1＝m+2x﹣4，由题意得：x﹣2＝0，即x＝2，代入整式方程得：2﹣1＝m+4﹣4，解得：m＝1．故答案为：1．【考点评析】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【变式训练84】（2023春•濉溪县校级月考）已知关于x的方程．（1）当k＝1时，求该方程的解；（2）若方程有增根，求k的值．【思路点拨】（1）把k＝1代入方程计算即可求出解；（2）由分式方程有增根求出x的值，分式方程去分母后代入计算即可求出k的值．【规范解答】解：（1）把k＝1代入方程得：﹣＝，去分母得：1﹣5（x+1）＝7（x﹣1），解得：x＝，经检验x＝是分式方程的解；（2）分式方程去分母得：k﹣5（x+1）＝7（x﹣1），由分式方程有增根，得到x﹣1＝0或x+1＝0，即x＝±1，把x＝1代入方程得：k﹣10＝0，解得：k＝10；把x＝﹣1代入方程得：k＝﹣14．故k的值为10或﹣14．【考点评析】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【变式训练85】（2023春•和平区校级期中）关于x的分式方程．（1）若方程的增根为x＝2，求m的值；（2）若方程有增根，求m的值；（3）若方程无解，求m的值．【思路点拨】（1）将原方程去分母并整理，然后将增根代入，解得m值即可；（2）若原分式方程有增根，则（x+1）（x﹣2）＝0，解得x的值，再分别代入（1）中的（1﹣m）x＝8，即可解得m值；（3）分原分式方程有增根时和（1﹣m）x＝8无解两种情况求得m值即可．【规范解答】解：去分母，得：2（x+1）+mx＝3（x﹣2），（1﹣m）x＝8，（1）当方程的增根为x＝2时，（1﹣m）×2＝8，所以m＝﹣3；（2）若原分式方程有增根，则（x+1）（x﹣2）＝0，∴x＝2或x＝﹣1，当x＝2时，（1﹣m）×2＝8，所以m＝﹣3；当x＝﹣1时，（1﹣m）×（﹣1）＝8，所以m＝9，所以m的值为﹣3或9时，方程有增根；（3）当方程无解时，即当1﹣m＝0时，（1﹣m）x＝8无解，所以m＝1；当方程有增根时，原方程也无解，即m＝﹣3或m＝9时，方程无解所以，当m＝﹣3或m＝9或m＝1时方程无解．【考点评析】本题考查了分式方程的解和增根，明确分式方程何时有增根及方程有解与无解的条件是解题的关键．【典例精讲】（2022秋•张店区期中）通过对《分式与分式方程》一章的学习，我们知道用分式方程解决实际问题的一般步骤：请根据所给分式方程，联系生活实际，编写一个能通过列出此分式方程进行解决的实际问题：（某工厂安排甲、乙两人分别生产1400个零件的任务，乙每天生产的零件个数是甲每天生产的零件个数的2.8倍，且乙比甲提前9天完成任务，求甲、乙每天各生产多少个零件？（答案不唯一）．（要求题目完整，题意清楚，不要求解方程）【思路点拨】由分式方程里面的数量关系编写题目即可．【规范解答】解：某工厂安排甲、乙两人分别生产1400个零件的任务，乙每天生产的零件个数是甲每天生产的零件个数的2.8倍，且乙比甲提前9天完成任务，求甲、乙每天各生产多少个零件？故答案为：某工厂安排甲、乙两人分别生产1400个零件的任务，乙每天生产的零件个数是甲每天生产的零件个数的2.8倍，且乙比甲提前9天完成任务，求甲、乙每天各生产多少个零件？【考点评析】此题主要考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确编写符合题意的分式方程是解题的关键．【变式训练91】（2022秋•河北期末）某市为解决冬季取暖问题需铺设一条长3500米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，实际施工时“…”，设实际每天铺设管道x米，则可得方程，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应补为（）A．每天比原计划多铺设10米，结果提前15天完成 B．每天比原计划少铺设10米，结果延期15天完成 C．每天比原计划少铺设15米，结果延期10天完成 D．每天比原计划多铺设15米，结果提前10天完成【思路点拨】由给定的分式方程，可找出缺失的条件为：每天比原计划多铺设10米，结果提前15天完成．此题得解．【规范解答】解：∵利用工作时间列出方程：，∴缺失的条件为：每天比原计划多铺设10米，结果提前15天完成．故选：A．【考点评析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，明确题意，由列出的分式方程找出题干缺失的条件是解题的关键．【变式训练92】（2021秋•曹县期末）甲、乙两人同时分别从A，B两地沿同一条公路骑自行车到C地，已知A，C两地的距离为110千米，B，C两地的距离为100千米，甲骑自行车每小时比乙快2千米，结果两人同时到达C地，则乙骑自行车每小时行驶的距离为（）A．15千米 B．20千米 C．25千米 D．30千米【思路点拨】设乙骑自行车每小时行驶的距离为x千米，则甲骑自行车每小时行驶的距离为（x+2）千米，利用时间＝路程÷速度，结合两人同时到达C地，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．【规范解答】解：设乙骑自行车每小时行驶的距离为x千米，则甲骑自行车每小时行驶的距离为（x+2）千米，根据题意得：＝，解得：x＝20，经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意，∴乙骑自行车每小时行驶的距离为20千米．故选：B．【考点评析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．【变式训练93】（2021秋•忠县期末）随着期末考试来临，八年级的同学们在学校延时服务期间平心静气作规划，补短板．王丹同学原计划星期一延时服务期间复习语文、数学、英语的时间为2：3：5，数学老师提醒要学科均衡，他便将英语复习时间的20%分给了语文和数学，调整后语文和数学的复习时间之比为3：5．王丹同学非常刻苦，实际复习时还挤出星期一的部分休息时间分给了三个学科，其中35%分给了语文，这样语文复习时间与三科总复习时间比为4：15．若王丹同学最终希望使数学与英语复习时间比为5：6，那么星期一挤出的休息时间中分给数学的时间与最后三科总复习时间之比为1：12．【思路点拨】设语文，数学，英语复习时间一共有10a小时，得到最初王丹同学分配的时间为：语文2a小时，数学3a小时，英语5a小时，然后英语复习时间的20%分给了语文和数学，算出调整后语文、数学、英语的时间，设挤出来的休息时间有x小时，列出关于x的方程，求出挤出来的休息时间有5a小时，得到数学与英语增加的时间，由最终数学与英语复习时间比为5：6，得到分给数学的时间，即可得