第10讲勾股定理逆定理及简单应用（3种题型）

第10讲勾股定理逆定理及简单应用（3种题型）1.掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．2.能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.3.能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围.一．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．二．勾股数勾股数：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．说明：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…三．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．一．勾股定理的逆定理1．（2022秋•句容市期末）已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．∠A﹣∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．（b+c）（b﹣c）＝a2 D．a＝7，b＝24，c＝25【分析】根据三角形内角和定理可得A、B是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断出C、D是否是直角三角形．【解答】解：A、∵∠A﹣∠B＝∠C，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝90°，故△ABC为直角三角形；B、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝×180°＝75°，故不能判定△ABC是直角三角形；C、∵（b+c）（b﹣c）＝a2，∴b2﹣c2＝a2，故△ABC为直角三角形；D、∵72+242＝252，∴△ABC为直角三角形；故选：B．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用，以及三角形内角和定理．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．2．（2022秋•阜宁县期末）下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（）A．a2＝1，b2＝2，c2＝3 B．a：b：c＝3：4：5 C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5【分析】根据三角形内角和定理，以及勾股定理逆定理分别进行分析可得答案．【解答】解：A、可利用勾股定理逆定理判定△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；B、根据勾股定理的逆定理可判断△ABC是直角三角形，故此选项不合题意；C、根据三角形内角和定理可以计算出∠A＝90°，△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；D、根据三角形内角和定理可以计算出∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，可判定△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，判断三角形是否为直角三角形可利用勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．3．（2022秋•大丰区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．（1）求BC的长；（2）求证：△BCD是直角三角形．【分析】（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理即可求得BC的长；（2）利用勾股定理逆定理即可证明△BCD是直角三角形．【解答】（1）解：∵Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，∴BC＝＝＝5；（2）证明：∵在△BCD中，CD＝4，BD＝3，BC＝5，∴CD2+BD2＝42+32＝52＝BC2，∴△BCD是直角三角形．【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理．勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．掌握定理是解题的关键．4．（2022秋•南通期末）下列各组数中能作为直角三角形三边长度的是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，8【分析】直接根据勾股定理的逆定理进行判断即可．【解答】解：A．12+22≠32，不能作为直角三角形三边长度，不符合题意；B．22+32≠42，不能作为直角三角形三边长度，不符合题意；C．32+42＝52，能作为直角三角形三边长度，符合题意；D．42+52≠82，不能作为直角三角形三边长度，不符合题意．故选：C．【点评】本题考查考查的是勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．5．（2022秋•玄武区期末）如图，在5×5的正方形网格中，已知线段a，b和点P，且线段的端点和点P都在格点上，在网格中找一格点Q，使线段a，b，PQ恰好能构成直角三角形，则满足条件的格点Q有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】根据题意画出符合条件的图形即可求解．【解答】解：如图所示：则满足条件的格点Q有4个．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，关键是根据题意画出正确的图形．6．（2022秋•兴化市期末）一个三角形三边长为15、20、25，则三角形的面积为150．【分析】先根据勾股定理的逆定理可推出这是一个直角三角形，再根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：∵152+202＝252，∴该三角形是直角三角形，∴其面积＝×15×20＝150．故答案为150．【点评】此题主要考查学生对勾股定理的逆定理及三角形面积的综合运用能力，难度适中．7．（2022秋•丹徒区期末）若三角形的边长分别为5cm、12cm、13cm，则它的最长边上的中线为6.5cm．【分析】首先根据三角形的三边长证明三角形是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到答案．【解答】解：∵52+122＝132，∴此三角形是直角三角形，∴它的最长边上的中线为．故答案为：6.5．【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及直角三角形斜边上的中线的性质，关键是熟练掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．8．（2022秋•邗江区期末）如图所示，在△ABC中，AC＝13，BC＝20，CD＝12，AD＝5．求：（1）BD的长；（2）△ABC的面积．【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出∠ADC＝90°，在Rt△BCD中再利用勾股定理计算BD的长；（2）根据计算即可．【解答】解：（1）在△ABC中，∵AC2＝132＝169，AD2+CD2＝52+122＝169，∴AC2＝AD2+CD2，∴∠ADC＝90°，∴∠BDC＝90°，在Rt△BCD中，；（2）△ABC的面积：．【点评】本题考查勾股定理以及逆运算，熟练掌握勾股定理的含义是解题的关键．9．（2022秋•太仓市期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝1，AD＝2，CD＝4．（1）求证：∠BAC＝90°；（2）点P为BC上一点，连接AP，若△ABP为等腰三角形，求BP的长．【分析】（1）在Rt△ABD中利用勾股定理可求AB2，同理在Rt△ACD中利用勾股定理可求AC2，而BC＝CD+BD＝5，易求AC2+AB2＝25＝BC2，从而可知△ABC是直角三角形．（2）分三种情况：①当BP＝AB时；②当BP＝AP时；③当AP＝AB时；分别求出BP的长即可．【解答】（1）证明：△ABC是直角三角形，理由如下：∵AD⊥BC，AD＝2，BD＝1，∴AB2＝AD2+BD2＝5，又∵AD⊥BC，CD＝4，AD＝2，∴AC2＝CD2+AD2＝20，∵BC＝CD+BD＝5，∴BC2＝25，∴AC2+AB2＝25＝BC2，∴∠BAC＝90°，△ABC是直角三角形．（2）解：分三种情况：①当BP＝AB时，∵AD⊥BC，∴AB＝＝，∴BP＝AB＝；②当BP＝AP时，P是BC的中点，∴BP＝AB＝2.5；③当AP＝AB时，BP＝2BD＝2；综上所述：BP的长为或2或2.5．【点评】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理的应用以及等腰三角形的性质．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．二．勾股数10．（2022秋•泰兴市期末）下列四组数中，是勾股数的是（）A．0.3，0.4，0.5 B．32，42，52 C．3，4，5 D．【分析】根据勾股数的定义：有a、b、c三个正整数，满足a2+b2＝c2，称为勾股数．由此判定即可．【解答】解：A、0.32+0.42＝0.52，能构成直角三角形，但不是整数，不是勾股数，故本选项不符合题意；B、（32）2+（42）2≠（52）2，不是勾股数，故本选项不符合题意；C、32+42＝52，是勾股数，故本选项符合题意；D、（）2+（）2≠（）2，不是勾股数，故本选项不符合题意．故选：C．【点评】此题考查勾股数，解答此题要深刻理解勾股数的定义，并能够熟练运用．11．（2022秋•宿豫区期中）下列各组数中不是勾股数的是（）A．3，4，5 B．4，5，6 C．6，8，10 D．11，60，61【分析】根据勾股数的定义：勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数；据此解答即可．【解答】解：A、32+42＝52，是勾股数，不符合题意；B、42+52≠62，不是勾股数，符合题意；C、62+82＝102，是勾股数，不符合题意；D、112+602＝612，是勾股数，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了勾股数的定义，熟记定义是解本题的关键．12．（2022秋•盐都区期中）观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律，a＝17．（提示：5＝，13＝，…）【分析】它们三个一组，都是勾股数，一组勾股数中，并且第一个都是奇数，并且从3开始的连续奇数，每一组勾股数的第二，第三个数是连续整数，第二个数是第一个数的平方减去一除以二．【解答】解：由题意得：a2+1442＝1452，a2＝1452﹣1442，a＝17．故答案为：17．【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，关键是找出数据之间的关系，掌握勾股定理逆定理．13．（2022秋•铜山区期中）若m、n为整数，且m＞n＞1，a＝m2﹣n2，b＝2mn，c＝m2+n2．请你证明a、b、c为勾股数．【分析】先证明a、b、c均为正整数，再证明a2+b2＝c2，可得结论．【解答】证明：∵m、n为整数，且m＞n＞1，a＝m2﹣n2，b＝2mn，c＝m2+n2，∴a、b、c均为正整数，又（2mn）2+（m2﹣n2）2＝4m2n2+m4﹣2m2n2+n4＝m4+2m2n2+n4＝（m2+n2）2，∴a2+b2＝c2，∴a、b、c为勾股数．【点评】本题考查了勾股数：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．熟记勾股数的定义是解题的关键．14．（2022秋•工业园区校级期中）如果直角三角形的三边的长都是正整数，这样的三个正整数叫做勾股数组．我国清代数学家罗士琳对勾股数组进行了深入研究，提出了各种有关公式400多个．他提出：当m，n为正整数，且m＞n时，m2﹣n2，2mn，m2+n2为一组勾股数组，直到现在，人们都普遍采用他的这一公式．（1）除勾股数3，4，5外，请再写出两组勾股数组6，8，10，5，12，13；（2）若令x＝m2﹣n2，y＝2mn，z＝m2+n2，请你证明x，y，z为一组勾股数．【分析】（1）根据常见勾股数解答即可．（2）先求出x2，y2，z2的值，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可．【解答】解：（1）勾股数有6，8，10或5，12，13；故答案为：6，8，10；5，12，13；（2）∵x＝m2﹣n2，y＝2mn，z＝m2+n2，∴x2＝（m2﹣n2）2＝m4+n4﹣2m2n2，y2＝4m2n2，z2＝（m2+n2）2＝m4+n4+2m2n2，∴x2+y2＝（m4+n4﹣2m2n2）+4m2n2＝m4+n4+2m2n2＝z2，∴x、y、z是一组勾股数．【点评】本题考查的是勾股数，熟知满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数是解答此题的关键．15．（2022秋•盱眙县期末）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11，60，61；（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为和，请用所学知识说明它们是一组勾股数．【分析】（1）分析所给四组的勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；可得下一组一组勾股数：11，60，61；（2）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一．【解答】解：（1）11，60，61；（2）后两个数表示为和，∵，，∴．又∵n≥3，且n为奇数，∴由n，，三个数组成的数是勾股数．故答案为：11，60，61．【点评】本题属规律性题目，考查的是勾股数之间的关系，根据题目中所给的勾股数及关系式进行猜想、证明即可．16．（2022秋•高邮市期中）课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．王老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决．（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、60、61；（2）若第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，那么后两个数用含a的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律：4＝，12＝，24＝……，则用含a的代数式表示每组第二个数和第三个数分别为、；（3）用所学知识加以说明．【分析】（1）分析所给四组的勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；可得下一组一组勾股数：11，60，61；（2）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一；（3）依据勾股定理的逆定理进行证明即可．【解答】解：（1）∵3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，∴11，60，61；故答案为：60，61；（2）第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，则用含a的代数式表示每组第二个数和第三个数分别为，．故答案为：，；（3）∵a2+（）2＝，（）2＝，∴a2+（）2＝（）2，又∵a为奇数，且a≥3，∴由a，，三个数组成的数是勾股数．【点评】本题属规律型问题，考查的是勾股数之间的关系，根据题目中所给的勾股数及关系式进行猜想、证明即可．17．（2022秋•灌南县期中）【知识背景】我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数．请你观察下列三组勾股数：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）…分析其中的规律，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．当勾为3时，股4＝×（9﹣1），弦5＝×（9+1）；当勾为5时，股12＝×（25﹣1），弦13＝×（25+1）；当勾为7时，股24＝×（49﹣1），弦25＝×（49+1）．（1）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，请用含有n的式子表示股和弦，则股＝（n2﹣1），弦＝（n2+1），则据此规律第四组勾股数是（9，40，41）．（2）若a＝m2﹣1，b＝2m，c＝m2+1，其中m＞1且m是整数．求证：以a，b，c为边的△ABC是直角三角形．【分析】（1）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，则股＝（n2﹣1），弦＝（n2+1）；当n＝9时，即可求出第四组勾股数；（2）根据勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形进行解答即可．【解答】解：（1）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，则股＝（n2﹣1），弦＝（n2+1）；当n＝9时，（n2﹣1）＝40，（n2+1）＝41；∴第四组勾股数是（9，40，41）；故答案为：（n2﹣1），（n2+1），（9，40，41）；（2）证明：∵a＝m2﹣1，b＝2m，c＝m2+1，其中m＞1且m是整数，（m2﹣1）2+（2m）2＝m4﹣2m2+1+4m2＝m4+2m2+1＝（m2+1）2，∴a2+b2＝c2，∴以a，b，c为边的△ABC是直角三角形．【点评】此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．18．（2022秋•江都区期中）同学们都知道，凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为“勾股数”．比如3，4，5或11，60，61等．（1）请你写出另外两组勾股数：6，8，10；7，24，25；（2）清朝的扬州籍数学家罗士琳提出了四个构造勾股数的法则，其中有两个法则如下：（I）如果k是大于1的奇数，那么k，，是一组勾股数（Ⅱ）如果k是大于2的偶数，那么k，，是一组勾股数①如果在一组勾股数中，其中有一个数为12，根据法则（I）求出另外两个数；②请你任选其中一个法则证明它的正确性．【分析】（1）根据勾股数的定义解决此题．（2）①根据题干中法则Ⅰ解决此题．②根据整式的运算以及勾股数的定义解决此题．【解答】解：（1）勾股数分别为6，8，10；7，24，25．故答案为：8，10；24，25．（2）①根据法则（I），则或．∴k＝5或（不是奇数，舍去）．∴k＝5．∴＝13．∴另外两个数为5、13．②选择法则Ⅰ，证明过程如下：＝＝＝＝．∴＝．选择法则Ⅱ，证明过程如下：＝＝＝＝．∴＝．【点评】本题主要考查勾股数、勾股定理、整式的运算，熟练掌握勾股数、勾股定理、整式的运算是解决本题的关键．三．勾股定理的应用19．（2022秋•句容市期末）在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈（一丈＝10尺），末折抵地，去本三尺（竹梢触地面处离竹根3尺），问：折者高4.55尺．【分析】画出图形，设折断处离地面x尺，则AB＝（10﹣x）尺，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：如图，由题意得：∠ACB＝90°，BC＝3尺，AC+AB＝10尺，设折断处离地面x尺，则AB＝（10﹣x）尺，在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2，解得：x＝4.55，即折断处离地面4.55尺．故答案为：4.55．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理得出方程是解题的关键．20．（2022秋•无锡期末）如图，长为2.5m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.5m，则梯子顶端的高度h是（）A．1.8m B．2m C．2.2m D．2.4m【分析】直接根据勾股定理即可得出结论．【解答】解：根据勾股定理得，h2+1.52＝2.52，解得h＝2m，故选：B．【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．21．（2022秋•广陵区校级期末）一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm，高为12cm，吸管放进杯里（如图所示），杯口外面至少要露出3.6cm，为节省材料，管长a的取值范围是15.6≤a≤16.6cm．【分析】根据题中已知条件，首先要考虑吸管放进杯里垂直于底面时最短为12+3.6＝15.6；最长时与底面直径和高正好组成直角三角形，用勾股定理解答．【解答】解：吸管放进杯里垂直于底面时最短为12+3.6＝15.6（cm）；最长时与底面直径和高正好组成直角三角形，底面直径为2×2.5＝5（cm）．杯里面部分管长为＝13（cm），总长为13+3.6＝16.6（cm），故管长a的取值范围是15.6≤a≤16.6．故答案为：15.6≤a≤16.6．【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，解答此题的关键是要找出管最长和最短时在杯中所处的位置，然后计算求解．22．（2022秋•江都区期末）看着冉冉升起的五星红旗，你们是否想过旗杆到底有多高呢？某数学兴趣小组为了测量旗杆高度，进行以下操作：如图1，先将升旗的绳子拉到旗杆底端，发现绳子末端刚好接触到地面；如图2，再将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现绳子末端距离地面2m．请根据以上测量情况，计算旗杆的高度．【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为xm，可得AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣2）m，BC＝8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．【解答】解：设旗杆高度为xm，则AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣2）m，BC＝8m，在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，即（x﹣2）2+82＝x2，解得：x＝17，答：旗杆的高度为17m．【点评】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．23．（2022秋•泰兴市期末）如图，某渡船从点B处沿着与河岸垂直的路线AB横渡，由于受水流的影响，实际沿着BC航行，上岸地点C与欲到达地点A相距70米，结果发现BC比河宽AB多10米，求该河的宽度AB．（两岸可近似看作平行）【分析】根据题意可知△ABC为直角三角形，根据勾股定理就可求出直角边BC的距离．【解答】解：设AB＝x米，则BC＝（x+10）米，在Rt△ABC中，根据勾股定理得：x2+702＝（x+10）2，解得x＝240，答：河宽240米．【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．24．（2022秋•徐州期末）《九章算术》卷九中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽，问绳索长是多少？【分析】设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可．【解答】解：设绳索长为x尺，根据题意得：x2﹣（x﹣3）2＝82，解得：x＝，答：绳索长为尺．【点评】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．25．（2022秋•常州期末）数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子沿旗杆垂到地面时，测得多出部分BC的长为2m（如图1），再将绳子拉直（如图2），测得绳子末端的位置D到旗杆底部B的距离为6m，求旗杆AB的长．【分析】设旗杆AB的长为xm，根据∠ABD＝90°，BD＝6，AD＝x+2，运用勾股定理得到x2+62＝（x+2）2，解方程即得．【解答】解：设旗杆AB的长为xm．根据题意，得∠ABD＝90°，BD＝6m，AD＝（x+2）m．在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，∴AB2+BD2＝AD2．∴x2+62＝（x+2）2．解方程，得x＝8．答：旗杆AB的长为8m．【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，解决问题的关键是熟练掌握勾股定理解直角三角形．26．（2022秋•建邺区期末）如图，点A处的居民楼与马路相距14m，当居民楼与马路上行驶的汽车距离小于50m时就会受到噪声污染，若汽车以15m/s的速度行驶经过，那么会给这栋居民楼带来多长时间的噪声污染？【分析】设汽车行驶到点P′处噪音影响结束，则AC＝AD．由勾股定理得到BC的长，然后求得CD长，利用速度路程时间之间的关系求得时间即可．【解答】解：如图，连接AC，AD．根据题意可知，AB＝14，AC＝50，∠ABC＝90°，△ACD是等腰三角形，所以CD＝2BC．在直角△ABC中，由勾股定理知：BC＝＝＝48（m），所以CD＝2BC＝96m，故会给这栋居民楼带来噪声污染的时长为：t＝96÷15＝6.4（s）．答：会给这栋居民楼带来的噪声污染时间为6.4s【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形．27．（2022秋•广陵区校级期末）如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度为0.6m，将秋千AD往前推送3m，到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为1.6m，秋千的绳索始终保持拉直的状态．（1）根据题意，BF＝1.6m，BC＝3m，CD＝1m；（2）根据（1）中求得的数据，求秋千的长度．（3）如果想要踏板离地的垂直高度为2.6m时，需要将秋千AD往前推送4m．【分析】（1）由题意得BF＝1.6m，BC＝3m，DE＝0.6m，证四边形BCEF是矩形，得CE＝BF＝1.6m，则CD＝CE﹣DE＝1m；（2）设秋千的长度为xm，则AB＝AD＝xm，AC＝AD﹣CD＝（x﹣1）m，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解方程即可；（3）当BF＝2.6m时，CE＝2.6m，则CD＝CE﹣DE＝2m，得AC＝AD﹣CD＝3m，然后在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC的长即可．【解答】解：（1）由题意得：BF＝1.6m，BC＝3m，DE＝0.6m，∵BF⊥EF，AE⊥EF，BC⊥AE，∴四边形BCEF是矩形，∴CE＝BF＝1.6m，∴CD＝CE﹣DE＝1.6﹣0.6＝1（m），故答案为：1.6，3，1；（2）∵BC⊥AC，∴∠ACB＝90°，设秋千的长度为xm，则AB＝AD＝xm，AC＝AD﹣CD＝（x﹣1）m，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，即（x﹣1）2+32＝x2，解得：x＝5（m），即秋千的长度是5m；（3）当BF＝2.6m时，CE＝2.6m，∵DE＝0.6m，∴CD＝CE﹣DE＝2.6﹣0.6＝2（m），由（2）可知，AD＝AB＝5m，∴AC＝AD﹣CD＝5﹣2＝3（m），在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝＝＝4（m），即需要将秋千AD往前推送4m，故答案为：4．【点评】此题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，由勾股定理求出秋千的长度是解题的关键．28．（2022秋•兴化市期末）如图是一个长方形的大门，小强拿着一根竹竿要通过大门．他把竹竿竖放，发现竹竿比大门高1尺；然后他把竹竿斜放，竹竿恰好等于大门的对角线的长．已知大门宽4尺，请求出竹竿的长．【分析】根据题中所给的条件可知，竹竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高，进而解答即可．【解答】解：设门高为x尺，则竹竿的长为（x+1）尺，根据勾股定理可得：x2+42＝（x+1）2，即x2+16＝x2+2x+1，解得：x＝7.5，∴门高7.5尺，竹竿的长＝7.5+1＝8.5（尺）．【点评】本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键，难度一般．29．（2022秋•亭湖区期末）一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？【分析】由勾股定理逆定理可得△ACD与△ABC均为直角三角形，进而可求解其面积．【解答】解：∵42+32＝52，52+122＝132，即AB2+BC2＝AC2，故∠B＝90°，同理，∠ACD＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝×3×4+×5×12＝6+30＝36．答：这块钢板的面积等于36．【点评】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．一．选择题1．（2023•广陵区一模）如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第三边分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是（）A． B． C． D．【分析】过C作CD⊥AB于D，依据AB＝6，AC＝8，可得CD≤8，进而得到当CD与AC重合时，CD最长为8，此时，∠BAC＝90°，△ABC的面积最大．【解答】解：如图，过C作CD⊥AB于D，∵AB＝6，AC＝8，∴CD≤8，∴当CD与AC重合时，CD最长为8，此时，∠BAC＝90°，△ABC的面积最大，∴BC＝＝10，∴四个三角形中面积最大的三角形的三边长分别为6，8，10，故选：C．【点评】本题主要考查了三角形的面积以及勾股定理的逆定理，关键在于正确的表示出斜边、直角边的长度，熟练运用勾股定理的逆定理进行分析．2．（2022秋•如皋市校级期末）以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（）A．2，4，5 B．4，5，6 C．6，12，13 D．9，12，15【分析】根据勾股定理的逆定理解答此题．【解答】解：A．∵22+42≠52，∴不能组成直角三角形，不符合题意．B．∵42+52≠62，∴不能组成直角三角形，不符合题意．C．∵62+122≠132，∴不能组成直角三角形，不符合题意．D．∵92+122＝152，∴能组成直角三角形，符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理．3．（2022秋•相城区校级月考）如图，△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10．AD为△ABC的角平分线，CD的长度为（）A．2 B． C．3 D．【分析】由勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质可得CD＝DE，利用勾股定理即可求解．【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，∵AC＝6，BC＝8，AB＝10．∴AB2＝100，AC2+BC2＝62+82＝100，∴AB2＝AC2+BC2，∴△ABC是直角三角形，∵AD为△ABC的角平分线，∴CD＝DE，在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AE＝AC＝6，在Rt△BED中，BD2＝DE2+BE2，∴（8﹣CD）2＝CD2+（10﹣6）2，解得CD＝3．故选：C．【点评】本题主要考查勾股定理的逆定理，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，证明△ABC是直角三角形是解题的关键．4．（2022秋•邗江区期中）下列各组数中，是勾股数的一组是（）A．0.3，0.4，0.5 B．8，15，17 C． D．3，4，4【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【解答】解：A、0.3，0.4，0.5，都不是正整数，不是勾股数，故选项不符合题意；B、82+152＝172，能构成直角三角形，都是整数，是勾股数，故选项符合题意；C、，都不是正整数，不是勾股数，故选项不符合题意；D、32+42≠42，故不是勾股数，故选项不符合题意．故选：B．【点评】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．5．（2022秋•句容市期中）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件能判断△ABC不是直角三角形的是（）A．∠B＝∠C+∠A B．a2＝（b+c）（b﹣c） C．a＝1.5，b＝2，c＝2.5 D．a＝9，b＝23，c＝25【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．【解答】解：A、由条件∠B＝∠C+∠A，且∠A+∠B+∠C＝180°，可求得∠B＝90°，故△ABC是直角三角形；B、由条件可得到a2+c2＝b2，满足勾股定理的逆定理，故△ABC是直角三角形；C、∵a＝1.5，b＝2，c＝2.5，∴a2+b2＝c2，故△ABC是直角三角形；D、∵a9＝1，b＝23，c＝25，∴a2+b2≠c2，故△ABC不是直角三角形．故选：D．【点评】本题主要考查直角三角形的判定方法，掌握判定直角三角形的方法是解题的关键，可以利用定义也可以利用勾股定理的逆定理．6．（2021秋•泗阳县期中）下列各组数中，哪一组是勾股数（）A．1，1，2 B．6，8，10 C．32，42，52 D．7，12，15【分析】根据勾股数的定义逐一计算即可得出答案．【解答】解：A．∵12+12≠22，∴1，1，2不是勾股数，不符合题意；B．∵62+82＝102，∴6、8、10是勾股数，符合题意；C．9+16≠25，∴32，42，52不是勾股数，不符合题意；D．∵72+122≠152，∴7、12、15不是勾股数，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了勾股数，能熟记勾股数的定义是解此题的关键．二．填空题7．（2022秋•天宁区校级期中）【教材例题】判断由线段a．b，c组成的三角形是不是直角三角形：a＝13，b＝14，c＝15．解：因为132+142＝169+196＝365，152＝225．所以132+142≠152，根据勾股定理的逆定理，这个三角形不是直角三角形．【分析】只有勾股定理的逆定理是已知三边判断三角形是不是直角三角形的．【解答】解：已知三边判断三角形是不是直角三角形，用勾股定理的逆定理．故答案为：勾股定理的逆定理．【点评】本题考查的是勾股定理逆定理的运用，解题的关键是知道勾股定理的逆定理的作用．8．（2022秋•沭阳县期中）已知a、b、c是一个三角形的三边长，如果满足（a﹣3）2+|b﹣4|+（c﹣5）2＝0，则这个三角形的面积为6．【分析】由非负数的性质，求得a、b、c的值，再勾股定理的逆定理判断三角形的形状，进一步求得该三角形的面积．【解答】解：由题意知a﹣3＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0，∴a＝3，b＝4，c＝5，∴a2+b2＝c2，∴三角形的形状是直角三角形，则该三角形的面积是3×4÷2＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．还运用了勾股定理的逆定理．9．（2022秋•秦淮区校级月考）若三角形三边满足a：b：c＝3：4：5，且三角形周长为24cm，则这个三角形最长边上的高为cm．【分析】首先根据三边比设三边长分别为a＝3xcm，b＝4xcm，c＝5xcm，再根据周长计算出边长，然后利用勾股定理可证明三角形是直角三角形，再利用三角形的面积公式计算出最长边上的高．【解答】解：∵a：b：c＝3：4：5，∴设三边长分别为：a＝3xcm，b＝4xcm，c＝5xcm，∵周长为24cm，∴3x+4x+5x＝24，解得：x＝2，∴三边长分别为：a＝6cm，b＝8cm，c＝10cm，∵62+82＝102，∴三角形是直角三角形，设最长边上的高是hcm，则＝10×h解得：h＝．故答案为：cm．【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是利用方程思想正确计算出三边长．10．（2022秋•江阴市期中）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直（如图所示），试问绳索有多长？”．根据题意求出绳索的长为14.5尺．【分析】设绳索有x尺长，根据勾股定理列方程即可得到结果．【解答】解：设绳索有x尺长，则102+（x+1﹣5）2＝x2，解得：x＝14.5，即绳索长14.5尺，故答案为：14.5．【点评】本题考查了勾股定理的应用、理解题意能力，关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解．11．（2022秋•梁溪区校级期中）《九章算术》中记载着这样一个问题：已知甲乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为每单位时间走7步，乙的速度为每单位时间走3步，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲、乙各走了多远？解：如图，设甲乙两人从出发到相遇用了x个单位时间．根据勾股定理可列得方程为（3x）2+102＝（7x﹣10）2．【分析】根据题意画出三角形ABC，表示出三边长，利用勾股定理可得方程．【解答】解：如图，设x秒两人在C处相遇，这时乙行驶AC＝3x步，甲共行驶AB+BC＝7x步，∵AB＝10步，∴BC＝（7x﹣10）步，∵∠A＝90°，由勾股定理得（3x）2+102＝（7x﹣10）2，【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，利用勾股定理解决问题．12．（2022秋•句容市期末）已知△ABC的三边长分别为3、4、5，则最长边上的中线长为．【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，再由直角三角形的性质即可得出结论．【解答】解：∵△ABC的三边长分别为3、4、5，32+42＝52，∴△ABC是直角三角形，∴最长边上的中线长＝．故答案为：．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线，熟知在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解答此题的关键．13．（2022秋•金湖县期中）在如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点A、B、C都是网格线的交点，则△ABC的外角∠ACD等于135°．【分析】先判断△ABC是等腰直角三角形，得出∠ACB＝∠A＝45°，进而求出∠ACD．【解答】解：∵AB2＝12+22＝5，BC2＝12+22＝5，AC2＝12+32＝10，∴AB＝AC，AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ABC＝90°，∴∠ACB＝∠A＝45°，∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝135°．故答案为：135．【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，判断△ABC是等腰直角三角形是解题的关键．14．（2022秋•连云港期中）如图，一根竹子原高10尺，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？设折断处离地面的高为x尺，则可列方程为x2+32＝（10﹣x）2．（不用化简）【分析】根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可．【解答】解：根据题意可得：x2+32＝（10﹣x）2，故答案为：x2+32＝（10﹣x）2．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意，运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．15．（2021秋•邳州市期中）观察下列各组勾股数：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）7，24，25；（4）9，40，41；…照此规律，将第n组勾股数按从小到大的顺序排列，排在中间的数，用含n的代数式可表示为2n2+2n．【分析】依据各组勾股数中数字的变换规律，即可得到第（n）组勾股数中，当最小的数为2n+1时，排在中间的数为，再进行化简即可．【解答】解：（1）3，4，5中，4＝；（2）5，12，13中，12＝；（3）7，24，25中，24＝；（4）9，40，41中，40＝；以此类推，第（n）组勾股数中，当最小的数为2n+1时，排在中间的数为，即2n2+2n，故答案为：2n2+2n．【点评】本题主要考查了勾股数，满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．16．（2022秋•新吴区期中）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目的大致意思是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都是1尺（1尺＝10寸），则AB的长是几寸？若设图中单扇门的宽AD＝x寸，则可列方程为：（x﹣1）2+102＝x2．【分析】取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到结论．【解答】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，设OA＝OB＝AD＝BC＝x寸，则AB＝2x（寸），DE＝10寸，OE＝CD＝1寸，∴AE＝（x﹣1）寸，在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即（x﹣1）2+102＝x2，故答案为：（x﹣1）2+102＝x2．【点评】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键．三．解答题17．（2022秋•赣榆区校级月考）如图2，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD＝2.5m．乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，过点A作AC⊥BD于C，点A到地面的距离AE＝1.5m（AE＝CD），当他从A处摆动到A'处时，A'B＝AB，若A'B⊥AB，作A'F⊥BD，垂足为F．求A′到BD的距离A'F．【分析】先证明△ACB≌△BFA'，即可得到A'F＝BC，再求出BC即可得到答案．【解答】解：∵A'F⊥BD，AC⊥BD于C，∴∠ACB＝∠A'FB＝90°，∴∠1+∠3＝90°，∵A'B⊥AB，∴∠1+∠2＝90°，∴∠2＝∠3，在△ACB和△BFA'中，，∴△ACB≌△BFA'（AAS），∴A'F＝BC，∵BD＝2.5m．AE＝CD＝1.5m，∴BC＝BD﹣CD＝2.5﹣1.5＝1（m），∴A'F＝1m，即A'到BD的距离A'F为1m．【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．18．（2022秋•泗洪县期中）《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…；翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC＝1尺）将它往前推进两步（EB＝10尺），此时踏板升高离地五尺（BD＝5尺），求秋千绳索OB的长度．【分析】设OA＝OB＝x尺，表示出OE的长，在直角三角形OEB中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果【解答】解：设OA＝OB＝x尺，∵EC＝BD＝5尺，AC＝1尺，∴EA＝EC﹣AC＝5﹣1＝4（尺），OE＝OA﹣AE＝（x﹣4）尺，在Rt△OEB中，OE＝（x﹣4）尺，OB＝x尺，EB＝10尺，根据勾股定理得：x2＝（x﹣4）2+102，整理得：8x＝116，即2x＝29，解得：x＝14.5．则秋千绳索的长度为14.5尺．【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握“勾股定理，用含有一个未知数的代数式表示直角三角形的边”是解本题的关键．18．（2022秋•涟水县期中）八年级的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图所示风筝的高度CE，他们进行了如下操作：①测得BD＝9米；（注：BD⊥CE）②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC＝15米；③牵线放风筝的小明身高1.6米．求风筝的高度CE．【分析】利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度．【解答】解：在Rt△CDB中，由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝152﹣92＝144，所以，CD＝±12（负值舍去），所以，CE＝CD+DE＝12+1.6＝13.6米，答：风筝的高度CE为13.6米．【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．20．（2022秋•鼓楼区期中）如图，货车卸货时支架侧面是Rt△ABC，已知AB＝2.5m，AC＝2m．求BC的长．【分析】直接利用勾股定理得出BC的长．【解答】解：如图所示：在Rt△ABC中，BC＝＝＝1.5（m），答：BC的长为1.5m．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确运用勾股定理是解题关键．21．（2022秋•江都区期中）如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，以便估算产量．小明测得AB＝3m，AD＝4m，CD＝12m，BC＝13m，又已知∠A＝90°．求这块土地的面积．【分析】先把解四边形的问题转化成解三角形的问题，再用勾股定理解答．【解答】解：连接BD，∵∠A＝90°，∴BD2＝AD2+AB2＝25，则BD2+CD2＝132＝BC2，因此∠CDB＝90°，S四边形ABCD＝S△ADB+S△CBD＝36（平方米），答：这块土地的面积为36平方米．【点评】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解答此题的关键．22．（2022秋•涟水县期中）如图，已知CD⊥AB，垂足为D，BD＝1，CD＝2，AD＝4．求证：∠ACB＝90°．【分析】根据勾股定理得出BC2，AC2，进而利用勾股定理的逆定理解答即可．【解答】证明：∵CD⊥AB，垂足为D，BD＝1，CD＝2，AD＝4，∴BC2＝BD2+CD2＝12+22＝5，AC2＝AD2+CD2＝42+22＝20，∵AB＝AD+BD＝4+1＝5，∴AB2＝25＝AC2+BC2＝20+5，∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB＝90°．【点评】此题考查勾股定理及其逆定理，关键是根据勾股定理计算得出BC2，AC2的值．23．（2021秋•句容市期中）观察下列各组勾股数有哪些规律：3，4，5；9，40，41；5，12，13；……；7，24，25；a，b，c．请解答：（1）当a＝11时，求b，c的值；（2）判断21，220，221是否为一组勾股数？若是，请说明理由．【分析】（1）由a＝11，b+1＝c，c2﹣b2＝a2，得（b+1）2﹣b2＝（b+1+b）（b+1﹣b）＝121，然后求得b和c的值即可；（2）利用勾股数的定义进行判定即可．【解答】解：（1）由a＝11，b+1＝c，c2﹣b2＝a2，得（b+1）2﹣b2＝（b+1+b）（b+1﹣b）＝121．解得b＝60，c＝b+1＝6；（2）是勾股数，理由如下：2212﹣2202＝（221+220）（221﹣220）＝441，212＝441，∴2212﹣2202＝212，∴21，220，221是勾股数．【点评】此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．24．（2020秋•盱眙县期中）【知识背景】我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数．【应用举例】观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，当勾为3时，股4＝，弦5＝；当勾为5时，股12＝，弦13＝；当勾为7时，股24＝，弦25＝．请仿照上面三组样例，用发现的规律填空：（1）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，请用含有n的式子表示股和弦，则股＝（n2﹣1），弦＝（n2+1）．【问题解决】（2）古希腊的哲学家柏拉图也提出了构造勾股数组的公式．具体表述如下：如果a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1（m为大于1的整数），则a、b、c为勾股数．请你证明柏拉图公式的正确性；（3）毕达哥拉斯在他找到的勾股数的表达式中发现弦与股的差为1，若用2a2+2a+1（a为任意正整数）表示勾股数中最大的一个数，请你找出另外两个数的表达式分别是多少？【分析】（1）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，则股＝（n2﹣1），弦＝（n2+1）；（2）根据勾股数的定义直接进行解答即可得出答案；（3）根据弦与股的差为1和勾股数的定义即可得出答案．【解答】解：（1）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，则股＝（n2﹣1），弦＝（n2+1）；故答案为：（n2﹣1），（n2+1）；（2）∵a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1（m表示大于1的整数）∴a2+b2＝（2m）2+（m2﹣1）2＝4m2+m4﹣2m2+1＝m4+2m2+1＝（m2+1）2＝（m2+1）2＝c2，∴a2+b2＝c2∴a、b、c为勾股数；（3）∵弦与股的差为1，2a2+2a+1（a为任意正整数）表示勾股数中最大的一个数，∴另外两个数的表达式分别是2a2+2a；2a+1．【点评】此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．25．（2022秋•鼓楼区期中）已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．尝试化简整式A．发现A＝B2，求整式B．联想由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，当n＞1时，n2﹣1，2n，B为直角三角形的三边长，如图．填写下表中B的值：直角三角形三边n2﹣12nB勾股数组Ⅰ/817勾股数组Ⅱ35/37【分析】先根据整式的混合运算法则求出A，进而求出B，再把n的值代入即可解答．【解答】解：尝试：A＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1，发现∵n4+2n2+1＝（n2+1）2，A＝B2，B＞0，∴B＝n2+1，当2n＝8时，n＝4，∴n2+1＝42+1＝17；当n2﹣1＝35时，n2+1＝37．故答案为：17；37．【点评】本题考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．26．（2022秋•苏州期中）“三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，公路上A、B两点相距50km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝30km，CB＝20km，现在要在公路AB上建一个土特产品市场E，使得C、D两村庄到市场E的距离相等，则市场E应建在距A多少千米处？并判断此时△DEC的形状，请说明理由．【分析】可以设AE＝x，则BE＝50﹣x，在直角△ADE中根据勾股定理可以求得DE，在直角△BCE中根据勾股定理可以求得CE，根据CE＝DE可以求得x的值，即可求得AE的值．【解答】解：△DEC是等腰直角三角形，理由：设AE＝x，则BE＝50﹣x，在直角△ADE中，DE2＝302+x2，在直角△CBE中，CE2＝202+（50﹣x）2，解得x＝20km，即AE＝20km．答：市场E应建在离A点20km的位置，∵AE＝20km＝CB，AD＝30km＝BE＝50﹣20＝30（km），∠A＝∠B＝90°，∴△ADE≌△BEC（SAS），∴DE＝CE，∠AED＝∠BCE，∵∠BCE+∠BEC＝90°，∴∠AED+∠BEC＝90°，∴∠DEC＝90°，∴△DEC是等腰直角三角形．【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据DE2＝302+x2和CE2＝202+（50﹣x）2求x的值是解题的关键．27．（2022秋•梁溪区期中）长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．（1）求风筝的垂直高度CE；（2）如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度；（2）根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）在Rt△CDB中，由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝252﹣152＝400，所以，CD＝20（负值舍去），所以，CE＝CD+DE＝20+1.6＝21.6（米），答：风筝的高度CE为21.6米；（2）由题意得，CM＝12米，∴DM＝8米，∴BM＝＝＝17（米），∴BC﹣BM＝25﹣17＝8（米），∴他应该往回收线8米．【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．28．（2021秋•江都区校级月考）满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．（1）请把下列三组勾股数补充完整：①6，8，10②5，12，13③8，15，17．（2）小敏发现，很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个数是偶数，如果将它写成2mn，那么另外两个数可以写成m2+n2，m2﹣n2，如4＝2×2×1，5＝22+12，3＝22﹣12．请你帮小敏证明这三个数2mn，m2+n2，m2﹣n2是勾股数组．（3）如果21，72，75是满足上述小敏发现的规律的勾股数组，求m+n的值．【分析】（1）根据勾股数的定义即可求解；（2）根据勾股定理的逆定理即可求解；（3）先化简得：7，24，25，可得24＝2×3×4，25＝42+32，7＝42﹣32，依此可求m＝4，n＝3，再代入计算即可求解．【解答】解：（1）①6，8，10；②5.12，13；③8，15，17．故答案为：6，12，17；（2）证明：∵（m2﹣n2）2+（2mn）2＝m4+n4﹣2m2n2+4m2n2＝m4+n4+2m2n2，（m2+n2）2＝m4+n4+2m2n2，∴（m2﹣n2）2+（2mn）2＝（m2+n2）2，∴m2﹣n2，m2+n2，2mn是勾股数；（3）化简得：7，24，25，∵偶数24＝2×3×4，25＝42+32，7＝42﹣32，∴m＝4，n＝3，∴m+n＝7．【点评】此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．29．（2021秋•东台市月考）一架方梯AB长25米，如图所示，斜靠在一面上：（1）若梯子底端离墙7米，这个梯子的顶端距地面有多高？（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？【分析】（1）利用勾股定理可得OA＝＝，再计算即可；（2）在直角三角形A′OB′中计算出OB′的长度，再计算BB′即可．【解答】解：（1）在Rt△AOB中，AB＝25米，OB＝7米，OA＝＝＝24（米）．答：梯子的顶端距地面24米；（2）在Rt△AOB中，A′O＝24﹣4＝20米，OB′＝＝＝15（米），BB′＝15﹣7＝8米．答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．30．（2022秋•姑苏区校级期中）“村村通”公路是我国的一项重要的民生工程，如图，A，B，C三个村都分别修建了一条互通公路，其中AB＝BC，现要在公路BC边修建一个景点M（B，C，M在同一条直线上），为方便A村村民到达景点M，又修建了一条公路AM，测得AC＝13千米，CM＝5千米，AM＝12千米．（1）判断△ACM的形状，并说明理由；（2）求公路AB的长．【分析】（1）由勾股定理的逆定理即可得出结论；（2）设AB＝BC＝x千米，则BM＝（x﹣5）千米，在Rt△ABM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：（1）△ACM是直角三角形，理由如下：∵AC＝13千米，CM＝5千米，AM＝12千米，∴CM2+AM2＝AC2，∴△ACM是直角三角形，∠AMC＝90°；（2）设AB＝BC＝x千米，则BM＝（x﹣5）千米，由（1）可知，∠AMC＝90°，∴∠AMB＝180°﹣∠AMC＝90°，在Rt△ABM中，由勾股定理得：122+（x﹣5）2＝x2，解得：x＝16.9，答：公路AB的长为16.9千米．【点评】本题考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．31．（2022秋•镇江期中）国庆节前，学校开展艺术节活动，小明站在距离教学楼（CD）35米的A处，操控一架无人机进行摄像，已知无人机在D点处显示的高度为距离地面30米，随后无人机沿直线匀速飞行到点E处悬停拍摄，此时显示距离地面10米，随后又沿着直线飞行到点B处悬停拍摄，此时正好位于小明的头项正上方（AB∥CD），且显示距离地面25米，已知无人机从点D匀速飞行到点E所用时间与它从点E匀速飞行到点B所用时间相同，你能求出无人机从点D到点E再到点B一共飞行了多少米吗？请写出相应计算过程．【分析】过E作MN⊥AB于M，交CD于N，在Rt△ABM中，BE2＝BM2+EM2，在Rt△DEN中，DE2＝DN2+EN2，根据BE＝DE求出EM，根据勾股定理即可求得结论．【解答】解：过E作MN⊥AB于M，交CD于N，由题意得AB＝25米，CD＝30米，AC＝35米，AB∥CD，AB⊥AC，EF⊥AC，CD⊥AC，BE＝DE，∴MN⊥CD，∴四边形AMEF，四边形EFCN，四边形ACNM是矩形，∴MN＝AC＝35米，BM＝15米，DN＝20米，EN＝（35﹣EM）米，在Rt△ABM中，BE2＝BM2+EM2，在Rt△DEN中，DE2＝DN2+EN2，∴BM2+EM2＝DN2+EN2，∴152+EM2＝202+（35﹣EM）2，解得EM＝20米，∴BE＝＝25（米），∴BE+DE＝50米．答：无人机从点D到点E再到点B一共飞行了50米．【点评】本题主要考查了勾股定理，正确作出辅助线，根据勾股定理求出EM是解决问题的关键．32．（2022秋•高新区校级月考）如图，在笔直的公路AB旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为15km，与公路上另一停靠站B的距离为20kn，停靠站A、B之间的距离为25km，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且CD⊥AB．（1）求修建的公路CD的长；（2）若公路CD修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得∠ACB＝90°，再根据三角形面积公式即可求解；（2）根据勾股定理求出BD的长，即可得出结论．【解答】解：（1）∵AC＝15km，BC＝20km，AB＝25km，152+202＝252，∴AC2+BD2＝AB2，∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°，∵CD⊥AB，∴AB•CD＝AC•BC，∴CD＝＝＝12（km），答：修建的公路CD的长是12km；（2）在Rt△BDC中，BD＝＝＝16（km），∴CD+BD＝12+16＝28（km）．答：一辆货车从C处经过D点到B处的路程是28km．【点评】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．33．（2022秋•连云港期中）如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的AC上，这时点B到墙底端C的距离BC为0.7米．（1）求AC的值；（2）如果梯子的顶端沿墙面下滑0.4米，那么点B是否也向外移动0.4米？请通过计算说明．【分析】（1）在直角△ABC中，直接利用勾股定理求得AC的长度；（2）根据AC＝AA1+CA1即可求得CA1的长度，在直角三角形A1B1C中，已知AB＝A1B1，CA1即可求得CB1的长度，根据BB1＝CB1﹣CB即可求得BB1的长度．【解答】解：（1）在直角△ABC中，AB＝2.5米，BC＝0.7米，则由勾股定理知：AC＝＝＝2.4（米）．即AC的值为2.4米；（2）不是向外移动0.4m，理由如下：由（1）知，AC＝2.4m，又∵AA1＝0.4m，A1B1＝AB＝2.5m，∴CA1＝2m，由勾股定理，得B1C＝1.2m，∴B1B＝0.5m，即点B向外移动0.5米．∴点B不是向外移动0.4米．【点评】本题主要考查了勾股定理在实际生活中的应用，考查了勾股定理在直角三角形中的正确运用，本题中求CB1的长度是解题的关键．34．（2022秋•玄武区期中）如图，某人从A地到B地共有三条路可选，第一条路是从A到B，AB为10米，第二条路是从A经过C到达B地，AC为8米，BC为6米，第三条路是从A经过D地到B地共行走26米，若C、B、D刚好在一条直线上．（1）求证：∠C＝90°；（2）求AD和BD的长．【分析】（1）由勾股定理的逆定理即可得出结论；（2）设AD＝x米，则BD＝（26﹣x）米，CD＝BC+BD＝（32﹣x）米，在Rt△ACD中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】（1）证明：∵AC＝8米，BC＝6米，AB＝10米，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°；（2）解：设AD＝x米，则BD＝（26﹣x）米，∴CD＝BC+BD＝6+26﹣x＝（32﹣x）（米），在Rt△ACD中，由勾股定理得：82+（32﹣x）2＝x2，解得：x＝17，则26﹣x＝26﹣17＝9，答：AD的长为17米，BD的长为9米．【点评】本题考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．35．（2022秋•东海县期中）在创建“全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，经技术人员的测量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°．若平均每平方米空地的绿化费用为100元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？【分析】由勾股定理得出AC，再由勾股定理逆定理得出∠DAC＝90°，然后由直角三角形面积求法得出这片空地的面积，即可得出答案．【解答】解：∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m，∴AC＝＝＝15（m），∵CD＝17m，AD＝8m，∴AD2+AC2＝DC2，∴△ACD是直角三角形，∠DAC＝90°，∴S△DAC＝AD•AC＝×8×15＝60（m2），S△ACB＝AB•AC＝×9×12＝54（m2），∴S四边形ABCD＝60+54＝114（m2），∴100×114＝11400（元），答：绿化这片空地共需花费11400元．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理以及勾股定理逆定理是解题的关键．一．选择题1．下列各组数不是勾股数的是（）A．3，4，5 B．5，12，13 C．7，24，25 D．0.6，0.8，1【分析】根据勾股数的定义求解即可．【解答】解：A．∵32+42＝52，且3，4，5是正整数，∴3，4，5是勾股数，此选项不符合题意；B．∵52+122＝132，且5，12，13是正整数，∴5，12，13是勾股数，此选项不符合题意；C．∵72+242＝252，且7，24，25是正整数，∴7，24，25是勾股数，此选项不符合题意；D．∵0.62+0.82＝12，但0.6，0.8，1不是整数，∴0.6，0.8，1不是勾股数，此选项符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查勾股数，解题的关键是掌握①三个数必须是正整数，例如：0.6，0.8，1满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…2．如图，已知钓鱼竿AC的长为10m，露在水面上的鱼线BC长为6m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'为8m，则BB'的长为（）A．1m B．2m C．3m D．4m【分析】根据勾股定理分别求出AB和AB′，再根据BB′＝AB﹣AB′即可得出答案．【解答】解：∵AC＝10m，BC＝6m，∴AB=AC2∵AC′＝10m，B′C′＝8m，∴AB′=AC'2∴BB′＝AB﹣AB′＝8﹣6＝2（m）；故选：B．【点评】此题考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理，根据已知条件求出AB和AB′是解题的关键．3．一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端7米，消防车的云梯最大升长为25米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（）A．16米 B．20米 C．24米 D．25米【分析】由题意可知消防车的云梯长、地面、建筑物高构成一直角三角形，斜边为消防车的云梯长，根据勾股定理就可求出高度．【解答】解：如图所示，在Rt△ABC中，AB＝25米，BC＝7米，由勾股定理可得，AC=A故选：C．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确将实际问题转化为勾股定理是解决问题的关键．4．在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面（）尺．A．4 B．3.6 C．4.5 D．4.55【分析】画出图形，设折断处离地面x尺，则A