6.3平面向量的基本定理及坐标表示重点强化提升讲义高三数学一轮复习（原卷版）

6.3平面向量的基本定理及坐标表示知识知识归纳1．平面向量基本定理e1,e2是平面内两个不共线向量，那么对这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ我们把不共线的向量e12．“爪”子定理形式1：在△ABC中，D是BC上的点，如果|BD|＝m，|DC|＝n，则AD=特别地，若D为线段BC的中点，则AD=形式2：在△ABC中，D是BC上的点，且eq\o(BD,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，则eq\o(AD,\s\up7(→))＝λeq\o(AC,\s\up7(→))＋(1－λ)eq\o(AB,\s\up7(→))，特别地，若D为线段BC的中点，则AD=3．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).4．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝eq\r(x2＋y2).(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离|AB|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.6．向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)垂直问题数量积的运算性质a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)(θ为向量a，b的夹角)长度问题数量积的定义|a|＝eq\r(a2)＝eq\r(x2＋y2)，其中a＝(x，y)7．奔驰定理与三角形“四心”1.奔驰定理:如图，已知P为内一点，则有.2.奔驰定理的推论及四心问题推论是内的一点,且,则已知点在内部，有以下四个推论：①若为的重心，则；②若为的外心，则；或③若为的内心，则；备注：若为的内心，则也对.④若为的垂心，则，或考点讲解考点讲解题型一：平面向量基本定理1．（2024·湖南益阳·一模）在平行四边形中，，，若，则（

）A． B． C． D．12．（2024·四川·一模）如图，在中，点，分别在，边上，且，，点为中点，则（

）A． B． C． D．3．（2024·广东·二模）已知向量与能作为平面向量的一组基底，若与共线（），则k的值是（

）A． B． C． D．4．（2024·天津南开·二模）已知在平行四边形中，，，记，，用和表示；若，，则值为.题型二：平面向量正交分解和坐标表示1．如图，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量作为基底，若，，则向量的坐标为（

）

A． B．C． D．2．如图，当时，定义平面坐标系xOy为仿射坐标系，在仿射坐标系中，任意一点M的斜坐标这样定义：若，其中，分别为与x轴、y轴正方向相同的单位向量，则M的斜坐标为．在仿射坐标系中，若，M的斜坐标为，则O到M的距离为（

）A．1 B． C． D．33．(多选)用下列，能表示向量的是（

）A．， B．，C．， D．，4．在平面直角坐标系中，已知，当绕原点逆时针旋转得到，则的坐标为.题型三：平面向量加减运算的坐标表示1．（2024·河南·模拟预测）已知向量，，点，则点B的坐标为（

）A． B． C． D．2．（多选）（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知向量，，为非零向量，下列说法正确的有（

）A．若，，则B．已知向量，，则C．若，则和在上的投影向量相等D．已知，，，则点A，B，D一定共线3．（2024·湖北武汉·二模）已知点为平面内不同的四点，若，且，则4．（2024·北京·三模）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则的值．题型四：平面向量数乘运算的坐标表示1．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）已知向量，若，则（

）A． B． C．0 D．12．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在平面直角坐标系中，向量，，，若A，B，C三点共线，则的值为（

）A． B． C． D．3．（2023·广东佛山·模拟预测）梯形中，，已知，则（

）A． B． C． D．4．（2024·河北秦皇岛·二模）已知向量，，则“”是“与共线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件题型五：平面向量数量积的坐标表示1．（2024·江苏苏州·模拟预测）若向量，若与夹角为钝角，则的可能取值为（

）A．1 B．0 C． D．2．（多选）（2024·浙江绍兴·三模）已知平面向量，，则（

）A．若，则B．若，则C．若在的投影向量为，则D．若，则3．（多选）（2024·辽宁·模拟预测）函数（）经过点，图象上距离轴最近的最高点为，距离轴最近的最低点为，若为坐标原点，则（

）A． B．C．可取 D．4．（2024·北京海淀·三模）已知点，，O为坐标原点，则的取值范围是．题型六：坐标计算模和参数题型七：坐标求向量垂直问题1．（2024·辽宁·模拟预测）已知向量，，若，则（

）A．10 B．5 C． D．2．（2024·广东·一模）已知向量，，且，则向量与的夹角等于（

）A． B． C． D．3．（多选）（2024·安徽·三模）已知向量，则（

）A． B．C． D．在上的投影向量为4．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知平面向量，若，则．题型八：坐标求向量夹角问题1．（2024·山东·二模）已知向量，，则与的夹角等于（

）A． B． C． D．2．（多选）（2024·全国·模拟预测）已知向量，则（

）A．若，则B．若，则C．若，则向量与向量的夹角的余弦值为D．若，则向量在向量上的投影向量为3．（多选）（2024·江苏南通·二模）已知向量在向量方向上的投影向量为，向量，且与夹角，则向量可以为（

）A． B． C． D．4．（2024·天津河北·模拟预测）已知向量，，．(1)若，求的值；(2)若，求向量与的夹角的余弦值．巩固提升巩固提升1．（2024·江苏苏州·模拟预测）设向量，向量，若且，则（

）A． B．2 C．1 D．或12．（2024·云南曲靖·模拟预测）已知向量，，（分别为正交单位向量），则（

）A． B．1 C．6 D．3．（2024·湖北黄冈·一模）若向量，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．4．（2024·河南焦作·二模）已知向量，，其中，若，则（

）A．40 B．48 C．51 D．625．（2024·湖北·模拟预测）已知向量，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．6．（2024·湖南·模拟预测）如图，在直角梯形中，，若分别是边，上的动点，满足，其中，若，则的值为（

）

A．1 B．3 C． D．7．（2024·广东佛山·模拟预测）已知向量，且，则的值为（

）A．3 B．5 C．或5 D．0或38．（2023·河北·模拟预测）已知向量与向量共线，，，且向量与向量的夹角为锐角，则向量（

）A． B． C． D．9．（多选）（2024·贵州毕节·一模）已知,则下列结论正确的是（

）A．B．C．D．若,则10．（多选）（2024·江西宜春·模拟预测）已知向量，，则（

）A． B．C．与的夹角为 D．在上的投影向量为11．（多选）（2024·新疆·三模）已知点O0,0，，，，则下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若， D．的最大值为12．（2024·福建泉州·模拟预测）菱形中，，，则．13．（2023·河南·模拟预测）向量的夹角为，定义运算“”:，若，，则的值为.14．（2024·上海·三模）已知向量，函数，若函数在内有且只有一个零点，则实数的取值范围为.15．（2023·黑龙江大庆·二模）已知，，．(1)若，求x的值；(2)求的最大值及取得最大值时相应的x的值．16．（2024·山东临沂·一模）已知向量，，函数.(1)若，且，求的值；(2)将图象上所有的点向右平移个单位，然后再向下平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的，得到函数的图象，当时，解不等式.走进高考走进高考1．（2024·全国·高考真题）设向量，则（

）A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件2．（2024·广东江苏·高考真题）已知向量，若，则（

）A． B． C．1 D．23．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（

）A． B． C．0 D．14．（2023·全国·高考真题）已知向量，则（

）A． B． C． D．5．（2023·全国·高考真题）已知向量，若，则（

）A． B．C． D．6．（2022·全国·高考真题）已知向量，则（

）A．2 B．3 C．4 D．57．（2020·山东·高考真题）已知点，，点在函数图象的对称轴上，若，则点的坐标是（

）A．或 B．或C．或 D．或8．（2024·天津·高考真题）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，则；为线段上的动点，为中点，则的最