第27章相似01讲核心

考点1比例的概念及性质1.比例线段在四条线段中，如果其中两条线段的比______另两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．如四条线段，，因此a、b、c、d四条线段成比例．【答案】等于【解析】【分析】根据比例线段的定义进行解答即可．【详解】解：由题意得，在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．故答案为：等于【点睛】此题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段的定义是解题的关键．2.黄金分割如图，若线段上一点C把线段分成两条线段和()，且使是和的______，即，则称线段被点C黄金分割，点C为黄金分割点，与的比叫黄金比，即．【答案】比例中项【解析】【分析】根据黄金分割的定义直接作答即可．【详解】解：若线段上一点C把线段分成两条线段和()，且使是和的比例中项，即，则称线段被点C黄金分割，点C为黄金分割点，与的比叫黄金比，即．故答案为：比例中项．【点睛】本题主要考查了黄金分割的定义，掌握黄金分割的定义是解答本题的关键．3.比例的性质（1）基本性质：若______(，)．（2）合比性质：若______(，)．（3）等比性质：若(b·d·…·)，那么______．【答案】①.②.③.【解析】【分析】根据比例的基本性质即可作答．【详解】解：（1）基本性质：若(，)．（2）合比性质：若(，)．（3）等比性质：若(b·d·…·)，那么．故答案：，，．【点睛】本题主要考查了比例的基本性质、合比性质和等比性质，掌握比例的基本性质、合比性质和等比性质的内容是解答本题的关键．考点2平行线分线段成比例4.平行线等分线段定理：三条平行线截两条直线，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也______．【答案】相等【解析】【分析】根据平行线等分线段定理直接作答即可．【详解】平行线等分线段定理：三条平行线截两条直线，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等，故答案为：相等．【点睛】本题主要考查了平行线等分线段定理的内容，牢记平行线等分线段定理是解答本题的关键．5.基本事实：两条线段被一组______所截，所得的对应线段成比例．如图：如果，那么，，．【答案】平行线【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．【详解】基本事实：两条线段被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，如图，如果，那么，，．故答案为：平行线．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例的知识，掌握性质定理是解题的关键．3.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边或(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．如图：，则，，．考点3相似图形6.相似图形：两个图形______相同，这两个图形称为相似图形．【答案】形状【解析】【分析】根据相似图形的概念即可作答．【详解】两个图形形状相同，这两个图形称为相似图形，故答案为：形状．【点睛】本题属于概念辨析的基础题，掌握相似图形的概念是解答本题的关键．7.各角分别相等，各边_________的两个多边形叫做相似多边形；相似多边形对应边的比叫做____________．【答案】①.对应成比例②.相似比【解析】8.相似多边形的性质：（1）相似多边形的对应角______，对应边______．（2）相似多边形的周长比等于______，面积比等于______．【答案】①.相等②.成比例③.相似比④.相似比的平方【解析】【分析】（1）根据相似多边形的性质，求解即可；（2）根据相似多边形的性质，求解即可．【详解】解：（1）相似多边形的对应角相等，对应边成比例；（2）相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方；故答案为：相等，成比例，相似比，相似比的平方．【点睛】此题考查了相似多边形的性质，解题的关键是熟练掌握相似多边形的性质．考点4相似三角形9.相似三角形的概念：对应角______，对应边______的三角形叫做相似三角形．【答案】①.相等②.成比例【解析】【分析】根据相似三角形的定义解答即可．【详解】对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．故答案为：相等，成比例．【点睛】本题主要考查了相似三角形的定义，理解定义是解题的关键．10.如果和相似，且，那么这个比值k就叫做这两个相似三角形的______．【答案】相似比【解析】【分析】根据相似比的定义，即可解答．【详解】解：如果和相似，且，那么这个比值k就叫做这两个相似三角形的相似比．故答案为：相似比．【点睛】本题考查了相似比的定义，熟练掌握和运用相似比的定义是解决本题的关键．11.相似三角形的判定：（1）平行于三角形一边的直线与其他两边(或______)相交，截得的三角形与原三角形相似．（2）两组角对应______，两三角形相似．（3）两边对应成比例且______相等，两三角形相似．（4）三边对应______，两三角形相似．【答案】①.两边的延长线；②.相等；③.夹角；④.成比例．【解析】【分析】根据相似三角形的判定方法直接作答即可．【详解】（1）平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的三角形与原三角形相似．（2）两组角对应相等，两三角形相似．（3）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．（4）三边对应成比例，两三角形相似．故答案为：两边的延长线，相等，夹角，成比例．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，牢记相似三角形的判定方法是解答本题的关键．12.相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角______．（2）相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例，且______相似比．（3）相似三角形的周长比等于______，面积比等于______．【答案】①.相等②.等于③.相似比④.相似比的平方【解析】【分析】根据相似三角形的性质直接作答即可．【详解】解：相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等．（2）相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例，且等于相似比．（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．故答案为：相等，等于，相似比，相似比的平方．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解答本题的关键．考点5利用相似三角形解应用题1.利用投影、平行线、标杆等构造相似三角形求解；2.测量底部可以到达的物体的高度；3.测量底部不可以到达的物体的高度；4.测量不可以到达的物体的宽度；考点6位似13.位似图形的概念：如果两个相似图形，每组对应顶点的连线都交于______，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的______又称为位似比．【答案】①.一点；②.相似比．【解析】【分析】根据位似图形的概念即可作答．【详解】位似图形的概念：如果两个相似图形，每组对应顶点的连线都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比，故答案为：一点，相似比．【点睛】本题属于概念辨析的基础题，牢记位似图形的概念是解答本题的关键．14.位似图形的性质（1）位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于______．（2）位似图形______相似图形，但相似图形______位似图形，位似图形具有相似图形的所有性质．（3）位似图形的对应边互相平行或______．（4）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于______．【答案】①.一点②.是③.不一定是④.共线⑤.相似比【解析】【分析】根据位似图形的性质直接作答即可．【详解】解：根据位似图形的性质：（1）位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点．（2）位似图形是相似图形，但相似图形不一定是位似图形，位似图形具有相似图形的所有性质．（3）位似图形的对应边互相平行或共线．（4）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．故答案为：一点，是，不一定是，共线，相似比．【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，掌握位似图形的性质是解答本题的关键．比例线段的判定及应用1.比例线段的判定方法方法名称方法步骤示例：a=12cm，b=4cm，c=21cm，d=7cm求比法计算较小的两条线段的比，计算较大的两线段的比，比相同就是比例线段,,,是比例线段求积法计算最小与最大两条线段长度的乘积，计算中间两条线段的乘积，乘积相同就是比例线段。,,,是比例线段2.比例线段的应用方法方法名称方法步骤示例：已知，求的值参数法用参数K表示比值，再用K表示其它的字母，最后代入求值；设，则，，性质法利用比例的性质变形，注意等式的两边要进行同样的操作．由得，【例题】15.下列四组线段中，不成比例的是（）A.3，9，2，6 B.1，，， C.1，2，4，8 D.1，2，3，9【答案】D【解析】【分析】四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例．【详解】解：A．，不符合题意；B．，不符合题意；C．，不符合题意；D．，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了成比例线段的概念，熟练掌握知识点是解题的关键．16.已知，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将变形为，将代入即可求解．【详解】解：，．故选：A．【点睛】本题考查比例的性质，将变形为是解题的关键．17.已知点是线段的黄金分割点，且，，则的长为（）A. B. C. D.0.618【答案】B【解析】【分析】根据黄金分割的定义，知为较长线段，则，代入数据即可得出的值．【详解】解：是线段的黄金分割点，且，为较长线段，，，，．故选：B．【点睛】本题考查了黄金分割，用到的知识点是把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．【练经典】18.下列各组中的四条线段成比例的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例．【详解】A．从小到大排列，由于，所以不成比例，故此选项不符合题意；B．从小到大排列，由于，所以不成比例，故此选项不符合题意；C．从小到大排列，由于，所以不成比例，故此选项不符合题意；D．从小到大排列，由于，所以成比例，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．19.如果则等于（）A. B. C. D.6【答案】A【解析】【分析】根据比例的性质进行求解即可．【详解】解：∵，∴，整理得：，∴，故选：A．【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解本题的关键．20.电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台从到的距离，那么舞台长为_____．【答案】##【解析】【分析】根据黄金分割点的定义结合图形的特征求解即可．【详解】解：依题意，，即，解得（负值舍去），故答案为：．【点睛】本题考查了黄金分割点，掌握解题的关键是熟练掌握黄金分割的定义．【练易错】易错点：用比例的性质时，比例线段位置调整出错而导致错误21.如果，那么的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据比例的性质即可得到结论，【详解】解：∵，∴，故选：C．【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．22.已知，那么______．【答案】【解析】【分析】利用比例的性质计算即可．【详解】因为,所以．故答案为：．【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握合比性质是解题的关键．平行线分线段性质的应用1.求线段长度方法一：利用平行线分线段的性质列出比例式→找出其中的三条线段的长度→代入求出未知线段的长度；方法二：利用平行线分线段的性质列出比例式→找出其中一条线段的长度和另两条线段的比→代入求出未知线段的长度；2.证明线段之间的关系方法一：利用平行线分线段性质列出比例式→找出其中的两条线段的比→代入得到未知线段的关系；方法二：利用平行线分线段的性质列出比例式→利用比例的性质对比例式进行变换→得到对应线段之间的关系；3.作图：把一条线段按一定的比进行分割．【例题】23.如图，直线，直线AC和DF被所截，如果，那么的长是（）A.2 B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】根据平行线分线段成比例，即可求解．【详解】解：∵，∴，∵，∴，解得：．故选：D【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．24.如图，在中，点分别是边上的点，，且，则等于（）A.58 B.38 C. D.25【答案】C【解析】【分析】根据平行线分线段成比例推导即可．【详解】∵，∴∵∴∴故选：C．【点睛】本题考查平行线分线段成比例，找准对应边是解题的关键．【练经典】25.如图，，直线、与这三条直线分别交于点、、和、、，若，，，则的长为（）A.4 B.6 C.8 D.9【答案】C【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，再求出的长度即可．【详解】解：，，，，，，解得：，故选：C．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．26.已知，如图在中，，，的延长线交的延长线于，则为_____．【答案】【解析】【分析】根据平行线解线段成比例即可．【详解】解：，，，，，，，即．故答案为．【点睛】本题主要考查线段成比例求线段长度，能够熟练利用平行线求线段比例是解题关键．【练易错】易错点：因对应线段找错导致错误27.如图，直线，直线AC和DF被、、所截，，，，则的长为（）A.12 B.3 C. D.5【答案】C【解析】【分析】直接根据平行线分线段成比例定理列式求解即可．【详解】解：直线，，，，，，．故选C．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．相似三角形的判定1.判定三角形相似的几条思路：（1）条件中若有平行线，可采用预备定理，即平行出相似；（2）条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹边成比例，用AA或SAS进行判定；（3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等，用SAS判定；（4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；（5）条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．2.常见相似三角形的模型【例题】28.如图，已知点D是的边上的一点，根据下列条件，可以得到的是（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】根据相似三角形的判定即可得到结论．【详解】解：在和中，∵，∴只要，即，则，故选：C．【点睛】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．29.如图，一副三角板，，顶点A重合，将绕其顶点A旋转，在旋转过程中，以下4个位置，不存在相似三角形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断可求解．【详解】解：选项B，∵，∴，故选项B不合题意；选项C，如图，设与交于点O，∵，∴，故选项C不合题意；选项D，∵，∴，，∴，∴，∴，又∵，∴，故选项D不合题意，故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．30.如图所示，于点B，于点D，，点E在上移动，当以为顶点的三角形与相似时，求的长为__________．【答案】3或【解析】【分析】设，则．由题意可得出，即可分类讨论：当时，；当时，，即可分别列出关于x的等式，解出x，即得出答案．【详解】解：设，则．∵于点B，于点D，∴．分类讨论：当时，，即=，解得：；当时，，即=，解得．综上可知的长为3或．故答案为：3或．【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质．利用分类讨论的思想是解题关键．31.如图，四边形中，在边上，，，．（1）求证：；（2）已知面积为3，求四边形的面积．【答案】（1）证明见解析（2）四边形的面积为21【解析】【分析】（1）利用，，得到，，即可证明；（2）已知，，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得到，再根据平行线间距离相等，得到，三个面积相加即可得到四边形的面积·【小问1详解】证明：，，，，，，在和中，，；【小问2详解】，，，，，，，中边上的高和中边上的高相等，，．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线间距离相等，熟练掌握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题关键．【练经典】32.已知，如图，平行四边形中，，且，那么_____．A.9 B.12 C.15 D.20【答案】D【解析】【分析】在平行四边形中，有，，根据，可得，即有，根据，可得，即有，根据，可得，根据，可得，即有，问题随之得解．【详解】在平行四边形中，有，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵行四边形中，，∴，故选：D．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，证明，得到是解题的关键．33.如图，AB、DE是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC=20°，点D从点C出发沿顺时针方向绕圆心O旋转α°（0＜α＜180），当α=______时，直径DE在△ABC中截得的三角形与△ABC相似．【答案】50、70或160【解析】【分析】分三种情况，当，，时，直径DE在△ABC中截得的三角形都与△ABC相似，既如图1，2，3，数形结合即可得出结果．【详解】解：如图1所示：当点D从点C出发沿顺时针方向绕圆心O旋转到时，DE交BC于点F，连接OC，是的直径，故当时，直径DE在△ABC中截得的三角形与△ABC相似．如图2所示：当点D从点C出发沿顺时针方向绕圆心O旋转到时，DE与BC交于点F，连接OC，是的直径，故当时，直径DE在△ABC中截得的三角形与△ABC相似．如图3所示：当点D从点C出发沿顺时针方向绕圆心O旋转到时，DE与AC交于点F，连接OC，是的直径，故当时，直径DE在△ABC中截得的三角形与△ABC相似．故答案为：50、70或160．【点睛】本题主要考查了三角形相似的知识，涉及到图形的旋转，分三种情况讨论，数形结合是解此题的关键．34.如图，四边形为平行四边形，E为边上一点，连接，它们相交于点F，且．（1）求证：；（2）若，求的长．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质得到，则，然后证明，则利用相似三角形的性质得到结论；（2）先利用计算出，则，再由，利用平行线分线段成比例定理计算出，然后利用，根据相似比求出的长．【小问1详解】证明：∵四边形为平行四边形，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；【小问2详解】∵，且，∴，∴，∵，∴，即，解得，∵，∴，即，∴．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系是解题的关键．相似图形的性质1.对应角相等2.对应边的比＝对应边上的高的比＝对应边上的中线的比＝对应角平分线的比＝周长的比＝相似比；面积的比＝相似比的平方．3.对应元素的寻找方法对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边．【例题】35.若两个相似三角形的对应边之比为，则这两个相似三角形的周长之比为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据相似三角形的性质定理：相似三角形的周长比等于相似比，即可得出答案；【详解】解：相似三角形的周长比等于相似比；∴这两个相似三角形的周长之比为故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的性质定理；熟练掌握该定理的具体内容是解题的关键．36.如图所示，已知矩形的边长为8cm，边长为6cm，从中截去一个矩形（图中阴影部分），如果所截矩形与原矩形相似，那么所截矩形的面积是（）A.cm2 B.cm2 C.cm2 D.cm2【答案】C【解析】【分析】矩形与矩形相似，得到，代入数值求得，即可求得所截矩形的面积．【详解】解：∵矩形与矩形相似，∴，∴，∴，∴矩形的面积．故选：C．【点睛】此题主要考查了相似多边形，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．【练经典】37.两个相似多边形的相似比为，已知一个多边形的最短边长为15，则另一个多边形的最短边长为（）A.15 B.9 C.25 D.25或9【答案】D【解析】【分析】根据相似多边形的对应边之比等于相似之比进行求解即可．【详解】解：设另一个多边形的最短边长为x，∵两个相似多边形的相似比为，已知一个多边形的最短边长为15，∴或，解得或故选D．【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，熟知相似多边形对应边之比等于相似比是解题的关键．38.图中的两个四边形相似，则______．【答案】63【解析】【分析】根据相似图形对应边成比例，对应角相等进行求解即可．【详解】解：∵两个四边形相似，∴，∴，∴，故答案为：63．【点睛】本题主要考查了相似图形的性质，熟知相似图形对应边成比例，对应角相等是解题的关键．【练易错】易错点：忽略面积的比等于相似比的平方而致错39.已知，它们的面积分别为4和9，且，则的长为（）A.12 B.15 C.18 D.20【答案】C【解析】【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比解答．【详解】解：∵和的周长分别为4和9，∴和的周长比为，∵，∴，即，解得：，故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质进行解题．利用相似三角形解应用题1.利用太阳光平行构造相似三角形；2.利用标杆与被测物体平行构造相似三角形；3.利用物体固有的平行线构造相似三角形；4.添加平行线构造相似三角形；【例题】40.如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方，某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片、，此时各叶片影子在点M右侧成线段．测得，，垂直于地面的木棒与影子的比为．则点O、M之间的距离等于___________m；【答案】10【解析】【分析】连接交于点H，过点C作，通过证明，通过相似三角形对应边成比例即可解答．【详解】解：连接交于点H，过点C作，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，解得：．设，，则，∵，∴，∴，即，解得：，∵，∴四边形为矩形，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即：，解得：，∴，故答案为：10．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是画出辅助线，构建相似三角形．41.小红和小亮经常去学校图书馆里阅读各种书籍，两位同学想利用刚学过的测量知识来测量该图书馆的高度．某天，他们带着测量工具来图书馆前，但由于校园整体规划的原因，他们无法到达图书馆底部．于是小亮在地面上的点处放置了一个平面镜，小红从处出发沿着方向移动，当移动到点处时，刚好在平面镜内看到图书馆的顶端的像，此时，测得米，小红眼睛到地面的距离为1.6米；然后，小亮沿方向移动到点，用测量器测得图书馆顶端的仰角为45°，此时，测得，测量器的高度米．已知点、、、在同一水平直线上，且、、均垂直于，求该图书馆的高度．【答案】米【解析】【分析】作关于地面的镜像点，连接，根据镜像的原理得到点在一条直线上，通过，证得，得到，再根据四边形是平行四边形得到，再根据得到，从而得到，再根据建立关于的方程，解方程即可得到答案．【详解】解：如下图所示，作关于地面的镜像点，连接，作交于点∵在点刚好可以看到点，故点在一条直线上，∵，∴，∵∴∴，∴，∵点是点的镜像点，∴∵，，∴四边形是平行四边形，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，解得米．【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是将测量得到的数据与相似三角形的知识相结合建立方程．【练经典】42.甲乙两位同学利用灯光下的影子来测量一路灯A的高度，如图，当甲走到点C处时，乙测得甲直立身高CD与其影子长CE正好相等，接着甲沿BC方向继续向前走，走到点E处时，甲直立身高EF与影子恰好是线段EG，并测得EG=2.5m，已知甲直立时的身高为1.5m，求路灯的高AB的长.【答案】3.75m【解析】【分析】根据，，，得到，从而得到△ABN∽△ACD，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式求解即可．【详解】解：如图，设AB=x，由题意知，，，CD=CE，∴，∠CED=45°，∴BE=AB=x，∴△ABG∽△FEG，∴，即，∴x=3.75m答：路灯高AB约为3.75m．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定，理解题意，运用相似三角形的性质得出关系式是解题关键．43.如图，一路灯与墙相距20米，当身高米的小亮在离墙17米的D处时，影长为1米．（1）求路灯B的高度；（2）若点P为路灯，请画出小亮位于N处时，在路灯P下的影子NF（用粗线段表示出来）【答案】（1）米（2）见解析【解析】【分析】（1）通过证明即可求出路灯的高度；（2）连接PM并延长，交BO于点F．【小问1详解】解：∵，，∴，∵，∴，∴，∵米，米，米，∴米，米，∴，解得：．∴路灯高米．【小问2详解】如图所示：【点睛】本题主要考查了用相似三角形测高，解题的关键是根据题意和图形找出相似三角形，根据对应边成比例列出方程求解．位似图形的判定和性质1.先判定相似，再寻找位似中心找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位似中心．2．画位似图形的步骤：(1)确定位似中心；(2)确定原图形的关键点；(3)确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数；(4)作出原图形中各关键点的对应点；(5)按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点．3.位似图形的性质（1）位似图形具有相似图形的性质；（2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比；（3）位似中心是原点，对应点的横坐标的绝对值的比＝纵坐标的绝对值的比＝位似比；【例题】44.在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．以坐标原点为位似中心，作与的位似比为的位似图形，则点的对应点的坐标为（）A. B.或C. D.或【答案】B【解析】【分析】根据位似图形的定义可知，位似比为，将点的横坐标分别乘以或即可求解．【详解】解：将点的横坐标分别乘以或，∴的坐标是或，故选：．【点睛】本题主要考查位似，掌握位似的性质是解题的关键．45.如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，四边形的面积是2，则四边形的面积是（）A.4 B.6 C.8 D.18【答案】D【解析】【分析】根据从而得出位似图形的面积比，进而求解即可．【详解】解：∵四边形和四边形关于点O位似，，∴，∵四边形的面积是2，∴四边形的面积是18．故选：D．【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，解题的关键是熟练掌握位似是特殊的相似，位似图形的面积比等于相似比的平方．46.如图，格点图形中每一个最小正方形的边长为1单位长度，的顶点都在格点上．（1）在图中建立平面直角坐标系，使得原点为点O，点坐标分别为；（2）以点O为位似中心，画出的位似三角形，使得与相似比为；（3）在边上求作两点，使得将△ABC面积三等分．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）根据点坐标得出其对称轴的位置即可；（2）根据位似的性质以及相似比为画出图形即可；（3）以点为位似中心，位似比分别为作的位似图形，然后找出的三等分点，连接点与两个三等分点与交于两点，连接，则可将原三角形三等分．【小问1详解】解：如图，坐标系即为所求；【小问2详解】如图：即为所求；【小问3详解】如图，点即为所求．【点睛】本题考查了坐标与图形，作图－位似变换，相似三角形的性质，位似图形的性质，熟练掌握位似的性质是解本题的关键．【练经典】47.如图，与是以点O为位似中心的位似图形，相似比为，若，则点C的坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据位似图形的性质，若以原点为位似中心，且都在同一侧的两个位似图形，其坐标比等于相似比，相似比为，则对应的坐标比也为，即可解得点C的坐标．【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形，相似比为，点的坐标为，∴点C的坐标为，即，故选：D．【点睛】本题主要考查位似图形的性质，注意位似比与坐标比的关系是解题的关键．48.如图，与位似，位似中心为点O，与的周长之比为，则的比为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据位似图形的概念得到，，根据相似三角形的周长比等于相似比解答即可．【详解】解：∵与位似，∴，，∴，∴，∵与的周长之比为，∴，∴．故选：C．【点睛】本题考查的是位似图形的概念，掌握位似图形的对应边平行、相似三角形的性质是解题的关键．49.如图，四边形的四个顶点的坐标分别是（1）以原点O为位似中心，相似比为2：1，将图形反向放大，在第三象限画出符合要求的位似四边形；（2）在（1）的前提下，如果四边形内部一点M的坐标为，写出M的对应点的坐标（，）；（3）如果一个小正方形的边长为1，则四边形的面积是____________．【答案】（1）见解析（2），（3）2.5【解析】【分析】（1）先根据题意确定的坐标，然后顺次连接即可；（2）根据对应点坐标坐标为相似比的负2倍进行求解即可；（3）用四边形所在的长方形面积减去三个三角形面积再减去一个正方形面积即可得到答案【小问1详解】解：如图所示，即为所求；【小问2详解】解：∵四边形与四边形位似，位似比为，四边形内部一点M的坐标为，∴M的对应点的坐标为，故答案为：，；【小问3详解】解：；【点睛】本题主要考查了画位似图形，位似图形的性质，坐标与图形，熟知相关知识是解题的关键．【新定义小练】50.在平面直角坐标系中，已知点和，对于点定义如下：以点为对称中心作点的对称点，再将对称点绕点逆时针旋转90°，得到点，称点为点的反转点．已知的半径为1．（1）如图，点，，点在上，点为点的反转点．①当点的坐标为时，在图中画出点；②当点在上运动时，求线段长的最大值；（2）已知点是上一点，点和是外两个点，点为点的反转点．若点在第一象限内，点在第四象限内，当点在上运动时，直接写出线段长的最大值和最小值的差．【答案】（1）①见解析，②（2）4【解析】【分析】（1）①根据新定义画出的点，即可，②根据定义，将作点关于的对称点为，将点，绕点,逆时针旋转得到，以为圆心，1为半径作圆，结合图形可知的最大值为，根据点到圆的距离即可求解．（2）根据位似变换的性质，旋转的性质，找到点的轨迹，根据点到圆的距离即可求解．【小问1详解】解：①如图，点即为所求，②如图，点，，作点关于的对称点为，将点，绕点,逆时针旋转得到，以为圆心，1为半径作圆，则当点在上运动时，点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，∴线段长的最大值为；∴，∴最大值为；【小问2详解】如图，依题意，作出点关于点的对称点，，∵点在上运动，所以是以为位似中心，位似比为的位似图形，∴的半径为,根据题意，点在第四象限，作点的反转点，即将绕点逆时针旋转，根据旋转的性质可得的半径不变，为，∴线段长的最大值为，最小值为，∴最大值和最小值的差为．【点睛】本题考查了位似变换，旋转的性质，根据题意画出图形是解题的关键．【阅读探究材料类小练】51.古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分制”数．把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，D是边的“黄金分割”点，若，且，则的长度是____________．【答案】##【解析】【分析】如图，过作于再根据黄金分割点的含义求解结合等腰三角形的性质求解再利用勾股定理进行计算即可．【详解】解：如图，过作于∵为的黄金分割点，∴∴∵∴∴∴而∴故答案为：【点睛】本题考查的是黄金分割点的含义，等腰三角形的性质，勾股定理分应用，二次根式的混合运算，熟练的利用勾股定理进行计算是解本题的关键．52.矩形ABCD中，＝（k＞1），点E是边BC的中点，连接AE，过点E作AE的垂线EF，与矩形的外角平分线CF交于点F．（1）【特例证明】如图（1），当k＝2时，求证：AE＝EF；小明不完整的证明过程如下，请你帮他补充完整．证明：如图，在BA上截取BH＝BE，连接EH．∵k＝2，∴AB＝BC．∵∠B＝90°，BH＝BE，∴∠1＝∠2＝45°，∴∠AHE＝180°∠1＝135°．∵CF平分∠DCG，∠DCG＝90°，∴∠3＝∠DCG＝45°．∴∠ECF＝∠3+∠4＝135°．∴……（只需在答题卡对应区域写出剩余证明过程）（2）【类比探究】如图（2），当k≠2时，求的值（用含k的式子表示）；（3）【拓展运用】如图（3），当k＝3时，P为边CD上一点，连接AP，PF，∠PAE＝45°，，求BC的长．【答案】（1）见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）证明△AHE≌△ECF（ASA）即可；（2）在BA上截取BH=BE，连接EH．证明△AHE∽△ECF，即可求解；（3）以A为旋转中心，△ADP绕A点旋转90°到△AP'H，设AB=3a，则BC=2a，连接P'E，HE，延长P'H交CD于点G，连接EG，证明△AEP'≌△AEP（SAS），△PEG≌△P'EH（AAS），可得四边形APEP'是正方形，再证明△APD≌△PEC（AAS），由（2）得△AHE∽△ECF，过点P作PK⊥AE交于K，进而证明四边形PKEF是矩形，则有PF==a，即可求出BC=．【小问1详解】证明：如图，在BA上截取BH=BE，连接EH．∵k=2，∴AB=BC．∵∠B=90°，BH=BE，∴∠1=∠2=45°，∴∠AHE=180°∠1=135°，∵CF平分∠DCG，∠DCG=90°，∴∠3=∠DCG=45°，∴∠ECF=∠3+∠4=135°，∵AE⊥EF，∴∠6+∠AEB=90°，∵∠5+∠AEB=90°，∴∠5=∠6，∵AB=BC，BH=BE，∴AH=EC，∴△AHE≌△ECF（ASA），∴AE=EF；【小问2详解】解：在BA上截取BH=BE，连接EH．∵∠B=90°，BH=BE，∴∠BHE=∠BEH=45°，∴∠AHE=135°，∵CF平分∠DCG，∠DCG=90°，∴∠DCF=∠DCG=45°．∴∠ECF=135°，∵AE⊥EF，∴∠FEC+∠AEB=90°，∵∠BAE+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠FEC，∴△AHE∽△ECF，∴，∵，E是BC边的中点，∴EC=HB=BC，∴AH=ABBC=BC，∴；【小问3详解】解：以A为旋转中心，△ADP绕A点旋转90°到△AP'H，∵k=3，∴，设AB=3a，则BC=2a，∵∠PAE=45°，∴∠P'AP=90°，连接P'E，HE，延长P'H交CD于点M，连接EM，∵AH=AD=2a，∴BH=a，∵E是BC的中点，∴BE=a，∴HE=a，∠BHE=45°，∴∠P'HE=135°，∵CG=EC=a，∴∠MEC=45°，∴∠PME=135°，∵AP'=AP，∠PAE=∠P'AE，AE=AE，∴△AEP'≌△AEP（SAS），∴PE=P'E，∴△PEM≌△P'EH（AAS），∴∠PEG=∠P'EH，∵∠HEG=∠EGH=45°，∴∠HEG=90°，∴∠PEP'=90°，∴∠AEP=∠AEP'=45°，∴∠APE=∠AP'E=90°，∴四边形APEP'正方形，∴AP=PE，∵∠DAP+∠APD=90°，∠APD+∠EPC=90°，∴∠DAP=∠EPC，∵AP=PE，∴△APD≌△PEC（AAS），∴AD=PC=2a，PD=ED=a，∴PE=a，由（2）得△AHE∽△ECF，∴，∵∴，∵∠HEM=∠AEF=90°，∴∠HEA=∠MEF，∵∠PEM=∠P'EH，∴∠PEF=∠P'EH=45°，过点P作PK⊥AE交于K，∵EF⊥AE，∴PKEF，∵，∴PK=EF，∴四边形PKEF是矩形，∴PF=KE，∵，∴，∴∴．【点睛】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形是判定及性质，正方形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质是解题的关键．【动态问题小练】53.如图，在中，已知，，，动点D从点A出发沿射线方向以每秒2个单位的速度运动，点E是边的中点，连结．设点D运动的时间为t秒．求当t取何值时，与相似？写出所有的情况．【答案】当或或或时，与相似【解析】【分析】分D点在的左边和D点在的右边两种情况讨论即可求解．【详解】解：∵点E是边的中点，，∴，①当D点在的左边时，当时，则，∴，∴，当时，则，∴，∴，②当D点在BC的右边时，当时，则，∴，∴，当时，则，∴，∴，综上，当或或或时，与相似．【点睛】考查了相似三角形的判定和性质：两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；注意分情况讨论求解．54.已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，设运动的时间为t秒．（1）如图①，若PQ⊥BC，求t的值；（2）如图②，将△PQC沿BC翻折至△P′QC，当t为何值时，四边形QPCP′为菱形？【答案】（1）当t＝2时，PQ⊥BC（2）当t的值为时，四边形QPCP′为菱形【解析】【分析】（1）根据勾股定理求出，根据相