第14单元03巩固练

第十四单元整式乘法与因式分解（单元测）一、选择题（共30分，每个题3分）1.下列运算正确的是（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别判断得出答案．【详解】解：A．，故此选项符合题意；B．，故此选项不合题意；C．，故此选项不合题意；D．，故此选项不合题意．故选：A．【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．2.下列算式中，结果等于的是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据幂的乘方和积的乘方，合并同类项的方法，以及同底数幂的乘法的运算方法，逐项判定即可．【详解】解：∵，∴选项A不符合题意；∵6，∴选项B符合题意；∵，∴选项C不符合题意；∵，∴选项D不符合题意．故选：B．【点睛】此题主要考查了幂的乘方和积的乘方，合并同类项的方法，以及同底数幂的乘法的运算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①(m，n是正整数)；②(n是正整数)．3.将正方形与正方形如图所示放置，延长交于点H，若长方形的面积为24，且，则图中阴影部分的面积为（）A.25 B.24 C.20 D.18【答案】C【解析】【分析】设正方形与正方形的边长分别为a，b，则阴影部分的面积为，，，结合完全平方公式，求得，得，所以．【详解】解：设正方形与正方形的边长分别为a，b，则阴影部分的面积为，，∴∴∴故选：C．【点睛】本题考查平方差公式、完全平方公式，掌握公式的特征是解题的关键．4.下列因式分解正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用完全平方公式判断即可．【详解】解：A、，故错误，不合题意；B、无法分解，故错误，不合题意；C、无法分解，故错误，不合题意；D、，故正确，符合题意；故选：D．【点睛】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．5.若x满足，则（）A.0.25 B.0.5 C.1 D.【答案】B【解析】【分析】根据完全平方公式、多项式乘多项式的乘法法则计算即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∵．故选：B．【点睛】本题主要考查完全平方公式、多项式乘多项式，熟练掌握完全平方公式、多项式乘多项式的乘法法则是解决本题的关键．6.数形结合是数学解题中常用的思想方法，可以使某些抽象的数学问题直观化、简洁化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．在学习整式运算乘法公式的过程中，每个公式的推导教材都安排了运用图形面积加以验证．下列图形中能验证的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分别用含、的式子表示出对应选项图形中的面积即可得到答案．【详解】解：A．大正方形面积为，小正方形面积为，大正方形减去小正方形的面积为，两个长方形的面积之和为，可以验证，故A选项符合题意；B．最大的正方形面积为，两个较小的正方形面积分别为、，两个长方形的面积之和为，不能验证，故B选项不符合题意；C．最大的正方形面积为，两个较小的正方形面积分别为、，两个长方形的面积之和为，不能验证，故C选项不符合题意；D．大正方形的面积为，小正方形的面积为，四个长方形的面积为，不能验证，故D选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题主要考查了平方差公式与几何图形的应用，正确表示出对应选项图形中各部分的面积是解题的关键．7.小明在抄因式分解的题目时，不小心漏抄了的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式因式分解，他抄在作业本上的式子是，则这个指数的可能结果共有（）A.2种 B.3种 C.4种 D.5种【答案】D【解析】【分析】能利用平方差公式分解因式，说明漏掉的是平方项的指数，只能是偶数，又只知道该数为不大于10的正整数，则该指数可能是2、4、6、8、10五个数．【详解】解：∵当这个指数是偶次方时，这个多项式能利用平方差公式因式分解，又因为该指数为不大于10的正整数，∴该指数可能是2、4、6、8、10五个数．

故选：D．【点睛】本题考查了因式分解运用公式法．能熟练掌握平方差公式的特点，是解答这道题的关键，还要知道不大于就是小于或等于．8.已知a、b、c分别为三角形的三条边，则的值（）A.可能为零 B.一定为负数 C.一定为正数 D.无法确定【答案】B【解析】【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，结合平方差公式即可求解．【详解】解：∵a、b、c分别为三角形的三条边，∴，，∴．∵，∴，即的值一定为负数，故选：B．【点睛】本题考查了因式分解的应用，三角形三边关系．掌握平方差公式及三角形三边的关系是解题的关键．9.如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“幸福数”，如，．因此24和56都是“幸福数”，则下列结论错误的是（）A.最小的“幸福数”是8 B.520是“幸福数”C.“幸福数”一定是4的偶数倍 D.30以内的所有“幸福数”之和是49【答案】D【解析】【分析】根据题意，列出代数式计算可得幸福数是8的倍数，逐项分析即可．【详解】解：设两个连续奇数为和（其中取正整数），根据题意可得：，∴幸福数是8的倍数，∵是正整数，∴最小为1，∴最小的“幸福数”是；故A选项说法正确；∵，即是8的倍数，∴520是“幸福数”；故B选项说法正确；∵8是4的偶数倍，且幸福数是8的倍数，∴“幸福数”是4的偶数倍；故C选项说法正确；当时，幸福数是8，当时，幸福数是16，当时，幸福数是24，∴30以内的所有“幸福数”之和是，故D选项说法错误；故选：D．【点睛】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的知识解答．10.已知，且，则的值为（

）A.2022 B.2022 C.4044 D.4044【答案】A【解析】【分析】先将式子整理变形得，进而得出，即，再将展开，最后整理代入即可得出答案．【详解】因为，所以，整理，得，则，即．因为，所以，即．由，得，所以．故选：A．【点睛】本题主要考查了代数式求值，掌握整体代入思想是解题的关键．二、填空题（共15分，每个题3分）11.我们把形如的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为，例如：，当时．则的值为______．【答案】6【解析】【分析】根据所给的运算法则，先列方程，再解方程即可．【详解】解：∵，，，，．故答案为：．【点睛】本题主要考查多项式乘以多项式，一元一次方程的解法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．12.若，则_______．【答案】1【解析】【分析】逆用同底数幂的除法，得到，再利用幂的乘方计算即可求解．详解】解：∵，∴，故答案为：1．【点睛】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方，掌握相关运算法则是解题的关键．13.若关于x的多项式不存在含x的一次项和三次项，则_____．【答案】【解析】【分析】先确定三次项及一次项的系数，再令其为0即可得到a、b的值，再根据代数式求值，可得答案．【详解】解：，∵多项式不存在含x的一次项和三次项，∴，解得，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了多项式，掌握合并同类项法则是关键．14.如图，利用图形面积可以解释代数恒等式的正确性．根据图形，写出一个代数恒等式______．【答案】【解析】【分析】用代数式表示各个部分的面积，再根据各个部分面积之间的关系进行解答即可．【详解】解：大正方形的边长为，因此面积为，中间小正方形的边长为，因此面积为，阴影部分是个长为，宽为的长方形组成的，因此面积为，所以有．故答案为：．【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提，用代数式表示各个部分的面积是解决问题的关键．15.观察“杨辉三角”给出了展开式的系数规律，下列说法正确的是______．①“杨辉三角”第六排数字依次是：，，，，，；②当，时，代数式的值为；③展开式第项的系数是；④展开式中所有系数之和为．【答案】①③④【解析】【分析】观察“杨辉三角”的特点，找到系数间的规律，再求解．【详解】解：①“杨辉三角”第六排数字依次是：，，，，，，故①是正确的；②当，时，代数式，故②是错误的；③展开式第项的系数是，故③是正确的；④展开式中所有系数之和为，故④是正确的；故答案为：①③④．【点睛】本题考查了完全平方公式，找到展开式的系数之间的关系是解题的关键．三、解答题（共55分）16.先化简，再求值：，其中，．【答案】，【解析】【分析】根据，，单项式乘以多项式法则进行展开，再加减运算，代值计算即可．【详解】解：原式．当，时，原式．【点睛】本题考查了化简求值问题，完全平方公式、平方差公式，单项式乘以多项式法则，掌握公式及法则是解题的关键．17.发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．验证：如，为偶数，请把10的一半表示为两个正整数的平方和．探究：设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确．【答案】验证：；论证见解析【解析】【分析】通过观察分析验证10的一半为5，；将m和n代入发现中验证即可证明．【详解】证明：验证：10的一半为5，；设“发现”中的两个已知正整数为m，n，∴，其中为偶数，且其一半正好是两个正整数m和n的平方和，∴“发现”中的结论正确．【点睛】本题考查列代数式，根据题目要求列出代数式是解答本题的关键．18.因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有些多项式无法直接使用上述方法分解，如，我们可以把它先分组再分解：，这种方法叫做分组分解法．请解决下列问题：（1）分解因式：；（2）已知a，b，c是的三边，且满足，请判断的形状，并说明理由，【答案】（1）（2）是等腰三角形，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题干中的方法进行分组分解因式即可；（2）利用分组法分解因式，然后得出，即可判断三角形的形状．【小问1详解】；【小问2详解】是等腰三角形．理由如下：，，，，是的三边，，，，是等腰三角形．【点睛】本题主要考查分组分解因式及提公因式与公式法分解因式，等腰三角形的定义等，理解题意，深刻理解题干中的分组分解法是解题关键．19.今年的里约奥运会，为了体现“零碳奥运”的精神，一座神奇的太阳能建筑被设计出来！创新的太阳能瀑布塔位于Cotonduba岛上，它海拔高度米，白天依靠太阳能水泵将海水抽至顶部，而到了夜间则将海水从顶部放下带动涡轮旋转，从而产生能量供电，有效地利用了能源（如图、图所示）．假设图中的每一块太阳能电板可以看成图中的阴影部分（如图所示），图由长方形和正方形组成，其中，，．（1）用，表示三角形的面积；（2）用，表示一块太阳能电板的面积；（3）如果米，米，则此时一块太阳能电板的面积是多少？【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】根据三角形面积公式，长方形面积公式，正方形面积公式即可求出答案；【小问1详解】【小问2详解】．【小问3详解】当，时，．【点睛】本题考查列代数式，涉及整式混合运算，以及代入求值问题．20.观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，……按照以上规律．解决下列问题：（1）写出第5个等式：________；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．【答案】（1）（2），证明见解析【解析】【分析】（1）观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答；（2）观察相同位置的数变化规律可以得出第n个等式为，利用完全平方公式和平方差公式对等式左右两边变形即可证明．【小问1详解】解：观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：，故答案为：；【小问2详解】解：第n个等式为，证明如下：等式左边：，等式右边：，故等式成立．【点睛】本题考查整式规律探索，发现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键．21.观察下列各式．…请根据你发现的规律完成下列各题：（1）根据规律可得______；（其中为正整数）（2）计算：．（结果保留幂的形式）（3）计算：．（结果保留幂的形式）【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）观察所给式子的特点，等号右边的指数比等号左边的最高指数大，然后写出即可；（2）根据所给式子的规律，把x换为3即可，（3）配成上述结构式子，利用总结规律直接写出结果；【小问1详解】解：观察已知可得，故答案为：；【小问2详解】解：根据（1）可知，；【小问3详解】解：原式变形为：．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的规律题，要读懂题目信息并总结出规律，具有规律性是特殊式子的因式分解，解题的关键是找出所给范例展示的规律．22.阅读下列材料：“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：，∵，∴．∴．∴的最小值为1．试利用“配方法”解决下列问题：（1）求的最小值；（2）已知，求的值；（3）比较代数式与的大小．【答案】（1）（2）1（3）【解析】【分析】（1）将所给式子利用配方法变形，仿照题干可得结果；（2）将已知等式变形为，根据非负数的性质可得x，y的值，代入计算即可；（3）将两式相减，将结果配方，即可得解．【小问1详解】解：，∴的最小值为．【小问2详解】∵，∴，∴，∴，，∴，，∴；【小问3详解】∴．【点睛】本题考查了完全平方式的应用，涉及到求最值，非负数的性质，整式的加减运算，解题的关键是读懂题意，掌握完全平方式的应用．23.若一个四位数的个位数字与十位数字的平方和恰好是去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数为“勾股和数”．例如：，∵，∴2543是“勾股和数”；又如：，∵，，∴4325不是“勾股和数”．（1）判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由；（2）一个“勾股和数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，．当，均是整数时，求出所有满足条件的．【答案】（1）2022不是“勾股和数”，5055是“勾股和数”；理由见解析（2）8109或8190或4536或4563．【解析】【分析】（1）根据“勾股和数”的定义进行验证即可；（2）由“勾股和数”的定义可得，根据，均是整数可得，为3的倍数，据此得出符合条件的c，d的值，然后即可确定出M．【小问1详解】解：2022不是“勾股和数”，5055是“勾股和数”；理由：∵，，∴1022不是“勾股和数”；∵，∴5055是“勾股和数”；【小问2详解】∵为“勾股和数”，∴，∴，∵为整数，∴，∵为整数，∴为3的倍数，∴①，或，，此时或8190；②，或，，此时或4563，综上，M的值为8109或8190或4536或4563．【点睛】本题以新定义为背景考查了整式混合运算的应用以及学生应用知识的能力，解题关键是要理解新定义，能根据条件找出合适的“勾股和数”．24.如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形．（1）通过计算两个图形的面积阴影部分的面积，可以验证的等式是______；请选择正确的一个A.B.C.D.（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知，，求值．②计算：【答案】（1）B（2）①3；②【解析】【分析】（1）分别表示左图和右图中阴影部分的面积，根据面积相等得出结论；（2）由（1）中规律，利用平方差公式整体代入即可解得；通过观察，此题数字具有一定规律，可用运算定律把原式变为：，再运用平方差公式，解决问题．【小问1详解】解：左图中，阴影部分为正方形，面积为：，右图阴影是拼成的长方形，长是：，宽是：，所以右图阴影部分面积为：，由于左右两图面积相等，所以有：，故答案为：B．【小问2详解】解：由（1）中规律，利用平方差公式可得：，，，．故答案为：．通过观察，此题数字具有一定规律，可用运算定律将原式写成：．故答案为：．【点睛】本题主要考查平方差的几何背景和应用，代数式求值，有理数混合运算及数式规律问题，利用平方差公式将代数式变形是关键．25.配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”．（1）简单应用：已知41是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式；若可配方成（m、n为常数），则；（2）深入探究：已知，则；（3）灵活运用：已知（，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．【答案】（1），（2）1（3）13，理由见解析【解析】【分析】（1）把41分为两个整数的平方即可，原式利用完全平方公式配方后，确定出与的值，即可求出的值；（2）先利用完全平方公式将已知等式配方，然后根据非负数的性质求出与的值，最后求出的值即可；（3）根据为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出的值即可．【小问1详解】解：根据题意得：；根据题意得：，，，则．故答案为：，．【小问2详解】解：，，，，，，解得：，，∴．故答案为：1．【小问3详解】解：当时，为“完美数”，理由如下：，，是整数，，也是整数，是一个“完美数”．【点睛】本题主要考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．巩固练习26.下列运算正确的是（）A. B.C D.．【答案】D【解析】【分析】根据合并同类项，完全平方公式，幂的乘方，单项式乘单项式法则，进行计算后判断即可．【详解】解：A、，故选项错误，不符合题意；B、，故选项错误，不符合题意；C、，故选项错误，不符合题意；D、，故选项正确，符合题意；故选D．【点睛】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．27.若k为任意整数，则的值总能（）A.被2整除 B.被3整除 C.被5整除 D.被7整除【答案】B【解析】【分析】用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式．【详解】解：，能被3整除，∴的值总能被3整除，故选：B．【点睛】本题考查了平方差公式的应用，平方差公式为通过因式分解，可以把多项式分解成若干个整式乘积的形式．28.下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据因式分解的概念可进行排除选项．【详解】解：A、，属于整式的乘法，故不符合题意；B、，不符合几个整式乘积的形式，不是因式分解；故不符合题意；C、，属于因式分解，故符合题意；D、因为，所以因式分解错误，故不符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的概念是解题的关键．29.设有边长分别为a和b()的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的矩形，则需要C类纸片的张数为()A.6 B.7 C.8 D.9【答案】C【解析】【分析】计算出长为，宽为的大长方形的面积，再分别得出A、B、C卡片的面积，即可看出应当需要各类卡片多少张．【详解】解：长为，宽为的大长方形的面积为：；需要6张A卡片，2张B卡片和8张C卡片．故选：C．【点睛】本题主要考查多项式乘多项式与图形面积，解题的关键是理解结果中项的系数即为需要C类卡片的张数．30.关于x，y的方程组的解满足，则的值是（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】D【解析】【分析】法一：利用加减法解方程组，用表示出，再将求得的代数式代入，得到的关系，最后将变形，即可解答．法二：中得到，再根据求出代入代数式进行求解即可.【详解】解：法一：，得，解得，将代入，解得，，，得到，，法二：得：，即：，∵，∴，，故选：D．【点睛】本题考查了根据二元一次方程解的情况求参数，同底数幂除法，幂的乘方，熟练求出的关系是解题的关键．31.已知实数m、、满足：．①若，则_________．②若m、、为正整数，则符合条件的有序实数对有_________个【答案】①.②.【解析】【分析】①把代入求值即可；②由题意知：均为整数，，则再分三种情况讨论即可．【详解】解：①当时，，解得：；②当m、、正整数时，均为整数，而或或，或或，当时，时，；时，，故为，共2个；当时，时，；时，，时，故为，共3个；当时，时，；时，，故为，共2个；综上所述：共有个．故答案为：．【点睛】本题考查了整式方程的代入求值、整式方程的整数解，因式分解的应用，及分类讨论的思想方法．本题的关键及难点是运用分类讨论的思想方法解题．32.因式分解：_______．【答案】【解析】【分析】先分组，然后根据提公因式法，因式分解即可求解．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．33.如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：；；；；…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数对：_______．【答案】【解析】【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，可发现第个数对的第一个数为：，第个数对的第二个位：，即可求解．【详解】解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，…即：，，，，，…则第个数对的第一个数为：，每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，…即：；；；；…，则第个数对第二个位：，∴第n个数对为：，故答案为：．【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的排列规律，利用拐弯出数字的差的规律解决问题．34.关于的多项式：，其中为正整数，各项系数各不相同且均不为0．当时，，交换任意两项的系数，得到的新多项式我们称为原多项式的“兄弟多项式”．给出下列说法：①多项式共有6个不同的“兄弟多项式”；②若多项式，则的所有系数之和为；③若多项式，则；④若多项式，则．则以上说法正确的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】①理解兄弟多项式的含义，对多项式的三项系数进行互换共有6种情况，②③④取和，代入各式中即可得出代数式的值．【详解】解：①多项式有三项系数，互相交换共有6种不同结果，所以共有6个不同的“兄弟多项式”，故①正确，符合题意；②若多项式，且，则取时，，即的所有系数之和为，当为偶数时，系数之和为1，当为奇数时，系数之和为，故②正确，符合题意；③若多项式，，取时，，取时，，两式相加得，解得，故③正确，符合题意；④若多项式，，取时，，取时，，两式相减得，解得，故④正确，符合题意；故选：D【点睛】本题考查已知字母的值求代数式的值，解题关键在于对进行赋值，即对其取，得到不同的多项式进行加减运算进而求得结果．35.已知正整数a，b，c，d满足，且，关于这个四元方程下列说法正确的个数是（）①，，，是该四元方程的一组解；②连续的四个正整数一定是该四元方程的解；③若，则该四元方程有21组解；④若，则该四元方程有504组解．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】将，，，代入到四元方程中看等式两边是否相等即可判断①；设，然后代入四元方程即可判断②；先证明，同理得到，即可推出得到，据此即可判断③；根据③所求可以推出，由此即可判断④．【详解】解：当，，，时，方程左边，方程右边，∴方程左右两边相等，∴，，，是四元方程的一组解，故①正确；设，∴，，∴当，四元方程左右两边相等，∴连续的四个正整数一定是该四元方程的解，故②正确；∵，，且c、d均为正整数，∴，∴，同理，∴，又∵，∴，∴