专题3.3.1抛物线的标准方程和性质-

专题3.3.1抛物线的标准方程和性质【基本知识梳理】知识点1：抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．【特别注意】(1)“一动三定”：一动点M；一定点F(即焦点)，一定直线l(即准线)，一定值1(即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为1)．(2)若点F在直线l上，则点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线．知识点2：抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))x＝－eq\f(p,2)y2＝－2px(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))x＝eq\f(p,2)x2＝2py(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))y＝－eq\f(p,2)x2＝－2py(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))y＝eq\f(p,2)【特别注意】(1)p的几何意义是焦点到准线的距离．(2)标准方程的结构特征：顶点在坐标原点、焦点在坐标轴上．(3)抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于标准方程中一次项系数的正负．知识点3：用待定系数法求抛物线标准方程的步骤注意：当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论情况的个数．知识点4：抛物线定义的应用根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．知识点5：抛物线的几何性质:标准

方程y2=2px(p>0)y2=2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=2py(p>0)图形顶点(0,0)(0,0)轴对称轴y=0对称轴x=0焦点准线离心率e=1e=1开口开口向右开口向左开口向上开口向下焦半径范围x≥0x≤0y≥0y≤0【题型1动点的轨迹问题】【例1】（2324高二上·黑龙江哈尔滨·期中）若点P到点2,0的距离比它到直线x+3=0的距离小1，则点P的轨迹方程是（

）A．y2=8x B．y2=−8x C．【答案】A【分析】根据抛物线的定义即可求解.【详解】由于点P到点2,0的距离比它到直线x+3=0的距离小1，故点P到点2,0的距离比它到直线x+2=0的距离相等，故点P是在以2,0为焦点，以x=−2为准线的抛物线上，故轨迹为y2故选：A【变式11】（2324高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知动点P(x，y)满足5(x−2)2+(y−1)2A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线【答案】D【分析】等价变形给定等式，再利用式子表示的几何意义，由抛物线的定义可得.【详解】因为5(x−2)得(x−2)2即动点P(x,y)到定点(2,1)的距离与到定直线3x+4y−7=0的距离相等，且点(2,1)不在直线3x+4y−7=0上，则由抛物线定义知，动点P(x,y)的轨迹为抛物线.故选：D.【变式12】（2023高三·全国·专题练习）过点F0,4且与直线y+4=0相切的动圆圆心的轨迹方程为【答案】x【分析】根据题意，由抛物线的定义，即可得到结果.【详解】由题意可得，动圆的圆心到直线y=−4的距离与到点F0,4的距离相等，所以动圆的圆心是以点F0,4为焦点，直线y=−4为准线的抛物线，则其方程为故答案为：x【变式13】（2023高三·全国·专题练习）已知点F(0，2)，过点P(0,−2)且与y轴垂直的直线为l1，l2⊥x轴，交l1于点N，直线l垂直平分FN，交l2于点M【答案】x【分析】作图后，结合图象和抛物线的定义即可得解.【详解】如图，由题意得|FM|=|MN|，即动点M到点F(0,2)的距离和到直线y=−2的距离相等，所以点M的轨迹是以F(0,2)为焦点，直线y=−2为准线的抛物线，根据抛物线定义可知点M的轨迹方程为x2故答案为:x2

【题型2抛物线的焦点坐标及准线方程】【例2】（2324高二上·山东济宁·期末）抛物线y=14xA．116,0 B．18,0【答案】C【分析】变形为标准形式，得到焦点坐标.【详解】x2=4y，焦点在y轴上，故焦点坐标为故选：C【变式21】（2324高二上·山东淄博·期末）抛物线y=2x2的准线方程为（A．y=−14 C．x=−14 【答案】B【分析】把抛物线方程化成标准形式，再求出其准线方程即得.【详解】抛物线y=2x2方程化为x2=1故选：B【变式22】（2324高二上·四川凉山州·期末）过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作圆G:(x+2)2+y2=4的两条切线，切点分别为P，【答案】4【分析】根据给定条件，结合圆、抛物线的对称性，借助图形求出FG的长即可得解.【详解】圆G:(x+2)2+y2由FP,FQ切圆G于点P,Q，得FQ⊥GQ，且FG平分∠PFQ，而△FPQ为等边三角形，即∠PFQ=60于是∠GFQ=30∘，|FG|=2|GQ|=4，则点又抛物线y2=2px(p>0)的焦点所以p2=2，即故答案为：4【变式23】（2223高二上·湖南长沙·阶段练习）（多选）已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,O为坐标原点，点Mx0,yA．F的坐标为1,0 B．yC．OM=42 D．以MF为直径的圆与【答案】BCD【难度】0.85【分析】由抛物线的方程求出焦点F的坐标，可判断A选项；利用抛物线的定义可求得y0的值，可判断B选项；先根据抛物线的方程求x0的值，再利用平面内两点间的距离公式可判断C选项；求出MF的中点坐标，进而可得该点到【详解】对于抛物线C:x2=4y，可得p=2,p2由拋物线的定义可得MF=y0由y0=4可知，x0∵MF的中点坐标为±2,52，则点±2,52到∴以MF为直径的圆与x轴相切，D正确.故选：BCD.【题型3利用抛物线的定义求值】【例3】（2024·山东潍坊·一模）已知抛物线C:x2=y上点M的纵坐标为1，则M到C的焦点的距离为（A．1 B．54 C．32【答案】B【分析】首先求出抛物线的准线方程，再根据抛物线的定义计算可得.【详解】抛物线C:x2=y的准线方程为又点M在抛物线上且纵坐标为1，所以点M到C的焦点的距离为1−−故选：B【变式31】（2324高二上·山东潍坊·阶段练习）已知A为抛物线C：y2=2px(p>0)上一点.点A到C的焦点的距离为8，到y轴的距离为6，则p=（A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根据抛物线的焦半径公式即可求解.【详解】根据题意可得8=6+p2，所以故选：C【变式32】（2024·山东济南·二模）已知抛物线C:y2=6x的焦点为F，准线为l,P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若FP=3FQA．72 B．3 C．52【答案】D【分析】由题意解出Q点横坐标，由抛物线的定义求解.【详解】由题意可知：抛物线C:y2=6x的焦点为F设P−32,t，因为FP=3FQ，则−3=3x由抛物线定义得QF=故选：D.【变式33】（2223高二上·广东珠海·期末）已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，过F的直线交抛物线于A、B两点，若|AF|=4|BF|，则ABA．178 B．218 C．258【答案】C【详解】由抛物线的性质，结合抛物线的定义求解即可．【解答】解：已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，过F的直线交抛物线于A设抛物线的准线交x轴于点N，AB的中点为P，过A,B,P作准线的垂线使得AC⊥CD，BD⊥CD，PQ⊥CD，BE⊥AC,BE⊥x轴于M，设|BF|=t，又|AF|=4|BF|，则|BD|=t，|AF|=|AC|=4t，则|AE|=3t，又|BF||AB|=|MF|又|MN|=t，则FN=8t5则|PQ|=|BD|+|AC|故选：C．

【变式34】（2223高二下·山东青岛·期中）（多选）在xOy平面上，设抛物线C:x2=2pyp>0的焦点为F0,2，准线为l，过点F作直线与C交于Px1,y1，Qx2,y2A．x1x2=−4 B．PQ=32【答案】BD【分析】设直线PQ方程为y−2=kx，联立抛物线方程，由根与系数关系判断A，再由OF=14【详解】因为F0,2，所以p=4抛物线方程为x2=8y，准线l方程为：设直线PQ方程为y−2=kx（由题意直线斜率存在），联立x2=8yy−2=kx∴x又OF=14即x1不妨设x1<0，则解得x1则y1=x所以PQ=由PQ中点为M知，MN=由抛物线定义，PF=所以PFQF故选：BD【题型4利用抛物线的定义求最值】【例4】（2324高二上·山东枣庄·阶段练习）设P是抛物线x2=16y上的一个动点，F为抛物线的焦点，已知点A的坐标为2,6，则PA+A．8 B．10 C．12 D．14【答案】B【分析】根据抛物线的定义及数形结合即可得解.【详解】过P,A作PM⊥l,AN⊥l，交抛物线准线l于M,N，且AN交抛物线于点P′由抛物线x2=16y可得准线l方程为由抛物线定义知，PA+因为PA+所以当P点运动到P′时，即A,P′,N三点共线时，PA+故选：B【变式41】（2223高二上·山东淄博·期末）已知F为抛物线C：x2=8y的焦点，P为抛物线C上一点，点M的坐标为(−4,3)，则△PMF周长的最小值是（

）A．5+15 B．5+17 C．9 【答案】B【分析】△PMF的周长最小，即求PM+PF最小，过P做抛物线准线的垂线，垂足为D,转化为求【详解】如图：由已知F0，2，准线方程y=−2作PD⊥准线于D，MD′⊥所以MF=由抛物线定义知PM+PF=故△PMF周长的最小值是5+17故选：B【变式42】（2223高二上·山东临沂·期末）已知抛物线x2=6y的弦AB的中点的纵坐标为4，则AB的最大值为【答案】11【分析】设Ax1,y1，Bx2,y2，由A【详解】抛物线方程为x2=6y，焦点F(0,3设Ax1,∵AB中点的纵坐标为4，∴y作AA1⊥l，BB1⊥l，垂足为A1则AF=AA而AB≤AF+BF，当弦即AB≤故当弦AB过焦点时，AB取最大值11．故答案为：11．【变式43】（2324高二上·山东青岛·期末）设抛物线y2=−4x上一点P到y轴的距离为d1，到直线3x+4y−12=0的距离为d2，则A．3 B．2 C．163 【答案】B【分析】求出抛物线的焦点坐标及准线方程，利用抛物线定义及点到直线的距离公式求解即得.【详解】抛物线y2=−4x的焦点F(−1,0)，准线过点P作PB⊥l于B，PA垂直于直线3x+4y−12=0于点A，显然|PB|=|FP|，点F到直线3x+4y−12=0的距离d=|−1×3−12|则d1当且仅当点P是点F到直线3x+4y−12=0的垂线段与抛物线的交点时取等号，所以d1故选：B

【变式44】（2324高三·河南新乡·模拟）（多选）已知抛物线x2=2pyp>0的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，且AF的最小值为1，M是线段ABA．pB．若AF+BF=8，则MC．若AF=2FBD．AP+【答案】ABD【分析】根据给定的条件，求出抛物线的方程，结合抛物线定义，逐项分析计算即可判断作答.【详解】抛物线x2=2pyp>0上的点A到抛物线焦点F抛物线的方程为x2=4y，焦点F(0,1)，准线对于B，点M(x1有y1+y2=6，所以M对于C，AF=(−x1,1−y1),又|AF|=2|FB|，即y1于是得|AB对于D，抛物线x2=4y中，当x=2时，y=1<3过点P作PP′⊥l于P′，交抛物线于点Q，连QF，过A作AA′⊥l显然|AP|+|AF|=|AP所以(AP故选：ABD【题型5求抛物线的标准方程】【例5】（2324高二上·浙江金华·阶段练习）准线方程为y=2的抛物线的标准方程是（

）A．x2=4y C．x2=8y 【答案】D【分析】利用抛物线的标准方程直接求解即可.【详解】由题知，设抛物线方程为x2由其准线方程为y=2，则−p2=2所以抛物线的方程为x2故选：D【变式51】（2223高二下·山东青岛·阶段练习）顶点在原点，焦点在y轴上，且过点P(−6,−3)的抛物线的方程是.【答案】x【分析】依题意设出所求抛物线的方程x2=2py，再将点【详解】根据题意，设所求抛物线的方程为x2将点P(−6,−3)代入方程得36=−6p,p=−6，所以抛物线的方程为x2故答案为：x2【变式52】（2324高二·全国·课时练习）（多选）设抛物线C：y2=2px(p≥0)的焦点为F，点M在C上，MF=5，若以MF为直径的圆过点0,2，则抛物线CA．y2=4x B．y2=8x C．【答案】AC【分析】结合抛物线的定义求得M点的坐标，将M点坐标代入抛物线方程，求得p，由此求得抛物线C的方程.【详解】因为抛物线C的方程为y2=2pxp>0设Mx,y，由抛物线的性质知MF=x+p因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得圆心的横坐标为52由已知得圆的半径也为52，故该圆与y轴相切于点0,2故圆心的纵坐标为2，则点M的纵坐标为4，即M5−代入抛物线方程，得p2−10p+16=0，解得p=2或所以抛物线C的方程为y2=4x或故选：AC【变式53】（2324高二上·山东烟台·月考）汽车前照灯的反射镜为一个抛物面．它由抛物线沿它的对称轴旋转一周形成．通常前照灯主要是由灯泡、反射镜和透镜三部分组成，其中灯泡位于抛物面的焦点上．由灯泡发出的光经抛物面反射镜反射后形成平行光束，再经过进镜的折射等作用达到照亮路面的效果．如图，从灯泡发出的光线FP经抛物线y2=2px反射后，沿PN平行射出，∠FPN的角平分线PM所在的直线方程为2x+y−12=0，则抛物线方程为【答案】y【分析】设出P点坐标y022p,y0，然后根据P在直线【详解】设Py022p,y0又因为PN//FM，所以∠PMF=∠NPM，又因为PM平分∠FPN，所以∠FPM=∠NPM，所以∠PMF=∠FPM，所以PF=MF，又因为2x+y−12=0与x轴的交点为M，所以M6,0因为Fp2,0又由抛物线的焦半径公式可知：PF=y02所以y022p+p=6y02故答案为：y2【题型6抛物线的实际应用】【例6】（2223高二下·山东济南·期末）一种卫星接收天线（如图1），其曲面与轴截面的交线可视为抛物线的一部分（如图2），已知该卫星接收天线的口径AB=8米，深度MO=3米，信号处理中心F位于焦点处，以顶点O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，则该抛物线的方程为（

）A．y2=43x B．y2【答案】B【分析】设出抛物线的标准方程，代入A点坐标求出系数既可.【详解】由题意，抛物线开口向右，设抛物线的标准方程y2点A3,4代入抛物线方程求得，得16=6p，则2p=抛物线的标准方程为y2故选：B．【变式61】（2324高二上·山东枣庄·阶段练习）如图是一座拋物线形拱桥，当桥洞内水面宽16m时，拱顶距离水面4m，当水面上升1m后，桥洞内水面宽为m．

【答案】8【分析】建立适当的平面直角坐标系，根据已知求出抛物线方程，进一步利用纵坐标代入抛物线方程得横坐标，即可得解.【详解】以抛物线顶点为原点，对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系：

设抛物线方程为x2由题意当桥洞内水面宽16m时，拱顶距离水面4m，即点A8,−4所以82=8p，解得p=8，所以抛物线方程为设当水面上升1m后，不妨设Dd,−3则d2=−16所以CD=d−c=83，即此时桥洞内水面宽为故答案为：83【变式62】（2023·辽宁锦州·模拟预测）南宋晩期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图一所示，这只杯盏的轴截面如图二所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm，则该杯盏的高度为（

A．236cm B．134cm C．【答案】C【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，可得A点坐标及抛物线的标准方程，设B32,t【详解】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

依题意可得A92,3则814=6p，解得p=27可设B32,t，代入抛物线方程9所以该杯盏的高度为3−1故选：C.【变式63】（2324高二上·全国·课后作业）一种卫星接收天线的轴截面如图所示.卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为0.5m.

(1)试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标；(2)为了增强卫星波束的接收，拟将接收天线的口径增大为5.2m，求此时卫星波束反射聚集点的坐标.【答案】(1)抛物线的标准方程为y2=11.52x，焦点的坐标为(2)3.38,0【分析】（1）建立如图所示的直角坐标系，利用待定系数法进行求解即可；（2）利用待定系数法、代入法进行求解即可.【详解】（1）建立如图所示的直角坐标系，设抛物线的方程为：y2=2pxp>02.42所以抛物线的标准方程为y2=11.52x，焦点的坐标为

（2）设抛物线的方程为y2把0.5,2.6代入方程中，得2.62所以焦点的坐标为：3.38,0.【题型7抛物线的对称性的应用】【例7】（2324高二上·浙江温州·期中）已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y2=4x上，则这个等边三角形的边长为（A．83 B．42 C．43【答案】A【分析】设另外两个顶点的坐标分别为m24,m,m【详解】由题意，依据抛物线的对称性，及等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y2可设另外两个顶点的坐标分别为m2∴tan30°=3故这个等边三角形的边长为2m=83故选：A.【变式71】（2023高二上·全国·专题练习）在平面直角坐标系x